高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)專題3.9函數(shù)的實際應(yīng)用(講)原卷版+解析

專題3.9函數(shù)的實際應(yīng)用新課程考試要求能將一些簡單的實際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問題，并給予解決.核心素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象（多例）、數(shù)學(xué)運算（多例）、邏輯推理（例9）、數(shù)據(jù)分析（例3）、直觀想象（例3）等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).考向預(yù)測（1）從實際問題中抽象出函數(shù)模型，進(jìn)而利用函數(shù)知識求解；（2）函數(shù)的綜合應(yīng)用.（3）常與二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、基本不等式及導(dǎo)數(shù)等知識交匯．【知識清單】1．常見的幾種函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0).(2)反比例函數(shù)模型：y＝eq\f(k,x)(k≠0).(3)二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0).(4)指數(shù)函數(shù)模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0).(5)對數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0).2.指數(shù)、對數(shù)及冪函數(shù)三種增長型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當(dāng)x>x0時，有l(wèi)ogax<xn<ax【重點總結(jié)】解答函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟：=1\*GB3①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；=2\*GB3②建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；=3\*GB3③求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；=4\*GB3④還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題的意義．【考點分類剖析】考點一：一次函數(shù)與分段函數(shù)模型【典例1】（2021·江西南昌市·高三三模（文））某電影票單價30元，相關(guān)優(yōu)惠政策如下：①團(tuán)購10張票，享受9折優(yōu)惠：②團(tuán)購30張票，享受8折優(yōu)惠；③購票總額每滿500元減80元．每張電影票只能享受一種優(yōu)惠政策，現(xiàn)需要購買48張電影票，合理設(shè)計購票方案，費用最少為（）A．1180元 B．1230元 C．1250元 D．1152元【典例2】【多選題】（2021·浙江高一期末）某市出租車收費標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價為8元，起步里程為（不超過按起步價付費）；超過但不超過時，超過部分按每千米2.15元收費；超過時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元，下列結(jié)論正確的是（）A．出租車行駛，乘客需付費8元B．出租車行駛，乘客需付費9.6元C．出租車行駛，乘客需付費25.45元D．某人兩次乘出租車均行駛的費用之和超過他乘出租車行駛一次的費用【規(guī)律方法】1.確定一次函數(shù)模型時，一般是借助兩個點來確定，常用待定系數(shù)法．2.分段函數(shù)模型的求解策略(1)實際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解．(2)構(gòu)造分段函數(shù)時，要力求準(zhǔn)確、簡捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函數(shù)的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．【變式探究】1.（2020·廣東省高三其他（理））某貧困縣為了實施精準(zhǔn)扶貧計劃，使困難群眾脫貧致富，對貧困戶實行購買飼料優(yōu)惠政策如下：（1）若購買飼料不超過2000元，則不給予優(yōu)惠；（2）若購買飼料超過2000元但不超過5000元，則按標(biāo)價給予9折優(yōu)惠；（3）若購買飼料超過5000元，其5000元內(nèi)的給予9折優(yōu)惠，超過5000元的部分給予7折優(yōu)惠.某貧窮戶購買一批飼料，有如下兩種方案：方案一：分兩次付款購買，分別為2880元和4850元；方案二：一次性付款購買.若取用方案二購買此批飼料，則比方案一節(jié)?。ǎ┰狝．540 B．620 C．640 D．8002.（2021·山東濱州市·高三二模）某同學(xué)設(shè)想用“高個子系數(shù)k”來刻畫成年男子的高個子的程度，他認(rèn)為，成年男子身高160及其以下不算高個子，其高個子系數(shù)k應(yīng)為0；身高190及其以上的是理所當(dāng)然的高個子，其高個子系數(shù)k應(yīng)為1，請給出一個符合該同學(xué)想法?合理的成年男子高個子系數(shù)k關(guān)于身高的函數(shù)關(guān)系式___________.【總結(jié)提升】1.判斷函數(shù)圖象與實際問題中兩變量變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象．(2)驗證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則根據(jù)實際問題中兩變量的變化特點，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案．2.在現(xiàn)實生活中，很多問題的兩變量之間的關(guān)系是一次函數(shù)模型，其增長特點是直線上升(自變量的系數(shù)大于0)或直線下降(自變量的系數(shù)小于0)．3.在現(xiàn)實生活中，很多問題的兩變量之間的關(guān)系，不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成分段函數(shù)．如出租車票價與路程之間的關(guān)系，就是分段函數(shù)．分段函數(shù)主要是每一段上自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其作為幾個不同問題，將各段的規(guī)律找出來，再將其合在一起．要注意各段變量的范圍，特別是端點．考點二：二次函數(shù)模型【典例3】（北京高考真題）加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c（a，b，c是常數(shù)），如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為（）A．3.50分鐘 B．3.75分鐘 C．4.00分鐘 D．4.25分鐘【典例4】（2020·北京高三期末）某商貿(mào)公司售賣某種水果.經(jīng)市場調(diào)研可知:在未來天內(nèi),這種水果每箱的銷售利潤(單位:元)與時間,單位:天)之間的函數(shù)關(guān)系式為,且日銷售量(單位:箱)與時間之間的函數(shù)關(guān)系式為①第天的銷售利潤為__________元;②在未來的這天中,公司決定每銷售箱該水果就捐贈元給“精準(zhǔn)扶貧”對象.為保證銷售積極性,要求捐贈之后每天的利潤隨時間的增大而增大,則的最小值是__________．【規(guī)律方法】根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下：【變式探究】1.（山東省青島市2018年春季高考二模）山東省壽光市綠色富硒產(chǎn)品和特色農(nóng)產(chǎn)品在國際市場上頗具競爭力，其中香菇遠(yuǎn)銷日本和韓國等地.上市時，外商李經(jīng)理按市場價格10元/千克在本市收購了2000千克香菇存放入冷庫中.據(jù)預(yù)測，香菇的市場價格每天每千克將上漲0.5元，但冷庫存放這批香菇時每天需要支出各種費用合計340元，而且香菇在冷庫中最多保存110天，同時，平均每天有6千克的香菇損壞不能出售.（1）若存放x天后，將這批香菇一次性出售，設(shè)這批香菇的銷售總金額為y元，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）李經(jīng)理如果想獲得利潤22500元，需將這批香菇存放多少天后出售？（提示：利潤=銷售總金額-收購成本-各種費用）（3）李經(jīng)理將這批香菇存放多少天后出售可獲得最大利潤？最大利潤是多少？【易錯提醒】二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯．2.(2019·湖北孝感八校聯(lián)考)共享單車是城市慢行系統(tǒng)的一種創(chuàng)新模式，對于解決民眾出行“最后一公里”的問題特別見效，由于停取方便、租用價格低廉，各色共享單車受到人們的熱捧．某自行車廠為共享單車公司生產(chǎn)新樣式的單車，已知生產(chǎn)新樣式單車的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一輛新樣式單車需要增加投入100元．根據(jù)初步測算，自行車廠的總收益(單位：元)滿足分段函數(shù)h(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0＜x≤400，,80000，x＞400，))其中x是新樣式單車的月產(chǎn)量(單位：輛)，利潤＝總收益－總成本．考點三：指數(shù)函數(shù)模型【典例5】（四川高考真題）某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲存溫度x（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對數(shù)的底數(shù)，k、b為常數(shù)）。若該食品在0的保鮮時間設(shè)計192小時，在22的保鮮時間是48小時，則該食品在33的保鮮時間是小時.【典例6】（2021·湖南衡陽市八中高三其他模擬）“一騎紅塵妃子笑，無人知是荔枝來”描述了封建統(tǒng)治者的驕奢生活，同時也講述了古代資源流通的不便利．如今我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展和資源整合．已知某類果蔬的保鮮時間y（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系（a，b為常數(shù)），若該果蔬在6的保鮮時間為216小時，在24的保鮮時間為8小時，那么在12時，該果蔬的保鮮時間為（）小時．A．72 B．36 C．24 D．16【規(guī)律方法】1．指數(shù)函數(shù)模型，常與增長率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實際問題中有人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來表示．2．應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時，關(guān)鍵是對模型的判斷，先設(shè)定模型將有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型．3．y＝a(1＋x)n通常利用指數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．4．對于直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長的特點要注意區(qū)分：直線上升：勻速增長，其增長量固定不變；指數(shù)增長：先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；對數(shù)增長：先快后慢，其增長速度緩慢．公司的利潤選擇直線上升或指數(shù)模型增長，而員工獎金選擇對數(shù)模型增長．【變式探究】1.（2021·黑龍江大慶市·大慶中學(xué)高三其他模擬（理））基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加3倍需要的時間約為(ln2≈0.69)（）A．1.2天 B．1.8天 C．2.7天 D．3.6天2.（2019·廣西高考模擬（文））一個放射性物質(zhì)不斷衰變?yōu)槠渌镔|(zhì)，每經(jīng)過一年就有的質(zhì)量發(fā)生衰變,剩余質(zhì)量為原來的.若該物質(zhì)余下質(zhì)量不超過原有的，則至少需要的年數(shù)是（）A． B． C． D．考點四：對數(shù)函數(shù)模型【典例7】（2021·福建師大附中高三其他模擬）視力檢測結(jié)果有兩種記錄方式，分別是小數(shù)記錄與五分記錄，其部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：小數(shù)記錄五分記錄現(xiàn)有如下函數(shù)模型：①，②，表示小數(shù)記錄數(shù)據(jù)，表示五分記錄數(shù)據(jù)，請選擇最合適的模型解決如下問題：小明同學(xué)檢測視力時，醫(yī)生告訴他的視力為，則小明同學(xué)的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為（附，，）（）A． B． C． D．【典例8】（2019年高考北京理）在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2?m1=，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1，2）．已知太陽的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為（）A．1010.1 B．10.1C．lg10.1 D．10?10.1【總結(jié)提升】指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)兩類函數(shù)模型的應(yīng)用技巧(1與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)兩類函數(shù)模型有關(guān)的實際問題，在求解時，要先學(xué)會合理選擇模型，在兩類模型中，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型．(2)在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般需要先通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題，必要時可借助導(dǎo)數(shù)．【變式探究】1.（2021·江西高三其他模擬（文））科學(xué)家以里氏震級來度量地震的強度，若設(shè)為地震時所散發(fā)出來的相對能量程度，則里氏震級可定義為.2021年3月13日下午江西鷹潭余江區(qū)發(fā)生里氏級地震，2020年1月1日四川自貢發(fā)生里氏級地震，則自貢地震所散發(fā)出來的能量是余江地震所散發(fā)出來的能量的（）倍．A． B． C． D．2.（2021·江蘇南京市·高三三模）聲音的強弱可以用聲波的能流密度來計算，叫做聲強.通常人耳能聽到聲音的最小聲強為（瓦/平方米）.對于一個聲音的聲強，用聲強與比值的常用對數(shù)的10倍表示聲強的聲強級，單位是“分貝”，即聲強的聲強級是（分貝）.聲音傳播時，在某處聽到的聲強與該處到聲源的距離的平方成反比，即（為常數(shù)）.若在距離聲源15米的地方，聽到聲音的聲強級是20分貝，則能聽到該聲音（即聲強不小于）的位置到聲源的最大距離為（）A．100米 B．150米 C．200米 D．米考點五：分式函數(shù)模型【典例9】（2021·浙江高一期末）某工廠有舊墻一面長，現(xiàn)準(zhǔn)備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形，面積為的廠房．工程條件是：①建新墻的費用為元；②修舊墻的費用是元；③拆去舊墻，用所得的材料建新墻的費用為元．利用舊墻的一段為矩形廠房的一面邊長：（1）向如何利用舊墻，即為多少時建墻費用最省，最省費用是多少？（2）由于地理位置的限制，廠房另一邊長（舊墻的臨邊）不能超過，如何利用舊墻使總費用最?。俊究偨Y(jié)提升】分式函數(shù)模型的應(yīng)用技巧1.利用“配湊法”，創(chuàng)造應(yīng)用基本不等式的條件.注意“一正、二定、三相等”.2.應(yīng)用“對勾函數(shù)”的單調(diào)性.【變式探究】（2021·上海市建平中學(xué)高三三模）上海市某地鐵項目正在緊張建設(shè)中，通車后將給更多市民出行帶來便利，已知該線路通車后，地鐵的發(fā)車時間間隔t（單位：分鐘）滿足，，經(jīng)測算，在某一時段，地鐵載客量與發(fā)車時間間隔t相關(guān)，當(dāng)時地鐵可達(dá)到滿載狀態(tài)，載客量為1200人，當(dāng)時，載客量會減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時載客量為560人，記地鐵載客量為.（1）求的解析式；（2）若該時段這條線路每分鐘的凈收益為（元），問當(dāng)發(fā)車時間間隔為多少時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大？【易錯點睛】利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.專題3.9函數(shù)的實際應(yīng)用新課程考試要求能將一些簡單的實際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問題，并給予解決.核心素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象（多例）、數(shù)學(xué)運算（多例）、邏輯推理（例9）、數(shù)據(jù)分析（例3）、直觀想象（例3）等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).考向預(yù)測（1）從實際問題中抽象出函數(shù)模型，進(jìn)而利用函數(shù)知識求解；（2）函數(shù)的綜合應(yīng)用.（3）常與二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、基本不等式及導(dǎo)數(shù)等知識交匯．【知識清單】1．常見的幾種函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0).(2)反比例函數(shù)模型：y＝eq\f(k,x)(k≠0).(3)二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0).(4)指數(shù)函數(shù)模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0).(5)對數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0).2.指數(shù)、對數(shù)及冪函數(shù)三種增長型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當(dāng)x>x0時，有l(wèi)ogax<xn<ax【重點總結(jié)】解答函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟：=1\*GB3①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；=2\*GB3②建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；=3\*GB3③求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；=4\*GB3④還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題的意義．【考點分類剖析】考點一：一次函數(shù)與分段函數(shù)模型【典例1】（2021·江西南昌市·高三三模（文））某電影票單價30元，相關(guān)優(yōu)惠政策如下：①團(tuán)購10張票，享受9折優(yōu)惠：②團(tuán)購30張票，享受8折優(yōu)惠；③購票總額每滿500元減80元．每張電影票只能享受一種優(yōu)惠政策，現(xiàn)需要購買48張電影票，合理設(shè)計購票方案，費用最少為（）A．1180元 B．1230元 C．1250元 D．1152元【答案】A【解析】計算第③種方案的優(yōu)惠折扣，可得先以第②種方案購票張，再以第③種方案購買張可得答案.【詳解】由第③種方案可知，，，，，則第③種方案約為84折，所以先以第②種方案購票張：(元)，再以第③種方案購買余下的張：(元)，所以共需要(元).故選：A.【典例2】【多選題】（2021·浙江高一期末）某市出租車收費標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價為8元，起步里程為（不超過按起步價付費）；超過但不超過時，超過部分按每千米2.15元收費；超過時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元，下列結(jié)論正確的是（）A．出租車行駛，乘客需付費8元B．出租車行駛，乘客需付費9.6元C．出租車行駛，乘客需付費25.45元D．某人兩次乘出租車均行駛的費用之和超過他乘出租車行駛一次的費用【答案】CD【解析】根據(jù)題意，逐一分析各個選項，即可得答案【詳解】對于A：出租車行駛，乘客需付起步價8元和燃油附加費1元，共9元，故A錯誤；對于B：出租車行駛，乘客需付費8+2.15+1=11.15元，故B錯誤；對于C：出租車行駛，乘客需付費元，故C正確；對于D：某人兩次乘出租車均行駛的費用之和為元，一次行駛的費用為25.45元，，故D正確.故選：CD【規(guī)律方法】1.確定一次函數(shù)模型時，一般是借助兩個點來確定，常用待定系數(shù)法．2.分段函數(shù)模型的求解策略(1)實際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解．(2)構(gòu)造分段函數(shù)時，要力求準(zhǔn)確、簡捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函數(shù)的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．【變式探究】1.（2020·廣東省高三其他（理））某貧困縣為了實施精準(zhǔn)扶貧計劃，使困難群眾脫貧致富，對貧困戶實行購買飼料優(yōu)惠政策如下：（1）若購買飼料不超過2000元，則不給予優(yōu)惠；（2）若購買飼料超過2000元但不超過5000元，則按標(biāo)價給予9折優(yōu)惠；（3）若購買飼料超過5000元，其5000元內(nèi)的給予9折優(yōu)惠，超過5000元的部分給予7折優(yōu)惠.某貧窮戶購買一批飼料，有如下兩種方案：方案一：分兩次付款購買，分別為2880元和4850元；方案二：一次性付款購買.若取用方案二購買此批飼料，則比方案一節(jié)?。ǎ┰狝．540 B．620 C．640 D．800【答案】C【解析】依題意可得，方案一：第一次付款2880元時，因為，所以該款的原價享受了9折優(yōu)惠，則其原價為元；第二次付款4850元時，因為，所以其原來的價格為元.所以分兩次購買飼料的原價為元.方案二：若一次性付款，則應(yīng)付款為：元，所以節(jié)省元.故選：C2.（2021·山東濱州市·高三二模）某同學(xué)設(shè)想用“高個子系數(shù)k”來刻畫成年男子的高個子的程度，他認(rèn)為，成年男子身高160及其以下不算高個子，其高個子系數(shù)k應(yīng)為0；身高190及其以上的是理所當(dāng)然的高個子，其高個子系數(shù)k應(yīng)為1，請給出一個符合該同學(xué)想法?合理的成年男子高個子系數(shù)k關(guān)于身高的函數(shù)關(guān)系式___________.【答案】，(只要寫出的函數(shù)滿足在區(qū)間上單調(diào)遞增，且過點和即可.答案不唯一)【解析】由題意，個數(shù)越高，系數(shù)越大，因此在上的函數(shù)是增函數(shù)即可，初始值，，設(shè)出函數(shù)式代入求解．【詳解】由題意函數(shù)是上的增函數(shù)，設(shè)，，由，解得，所以，所以故答案為：注：在上設(shè)其他函數(shù)式也可以，只要是增函數(shù)，只有兩個參數(shù)．如，等等．【總結(jié)提升】1.判斷函數(shù)圖象與實際問題中兩變量變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象．(2)驗證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則根據(jù)實際問題中兩變量的變化特點，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案．2.在現(xiàn)實生活中，很多問題的兩變量之間的關(guān)系是一次函數(shù)模型，其增長特點是直線上升(自變量的系數(shù)大于0)或直線下降(自變量的系數(shù)小于0)．3.在現(xiàn)實生活中，很多問題的兩變量之間的關(guān)系，不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成分段函數(shù)．如出租車票價與路程之間的關(guān)系，就是分段函數(shù)．分段函數(shù)主要是每一段上自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其作為幾個不同問題，將各段的規(guī)律找出來，再將其合在一起．要注意各段變量的范圍，特別是端點．考點二：二次函數(shù)模型【典例3】（北京高考真題）加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c（a，b，c是常數(shù)），如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為（）A．3.50分鐘 B．3.75分鐘 C．4.00分鐘 D．4.25分鐘【答案】B【解析】由圖形可知，三點都在函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以，因為，所以當(dāng)時，取最大值，故此時的t=分鐘為最佳加工時間，故選B.【典例4】（2020·北京高三期末）某商貿(mào)公司售賣某種水果.經(jīng)市場調(diào)研可知:在未來天內(nèi),這種水果每箱的銷售利潤(單位:元)與時間,單位:天)之間的函數(shù)關(guān)系式為,且日銷售量(單位:箱)與時間之間的函數(shù)關(guān)系式為①第天的銷售利潤為__________元;②在未來的這天中,公司決定每銷售箱該水果就捐贈元給“精準(zhǔn)扶貧”對象.為保證銷售積極性,要求捐贈之后每天的利潤隨時間的增大而增大,則的最小值是__________．【答案】12325【解析】①因為，，所以該天的銷售利潤為；②設(shè)捐贈后的利潤為元，則，化簡可得，．令，因為二次函數(shù)的開口向下，對稱軸為，為滿足題意所以，，解得．故答案為：①1232；②5．【規(guī)律方法】根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下：【變式探究】1.（山東省青島市2018年春季高考二模）山東省壽光市綠色富硒產(chǎn)品和特色農(nóng)產(chǎn)品在國際市場上頗具競爭力，其中香菇遠(yuǎn)銷日本和韓國等地.上市時，外商李經(jīng)理按市場價格10元/千克在本市收購了2000千克香菇存放入冷庫中.據(jù)預(yù)測，香菇的市場價格每天每千克將上漲0.5元，但冷庫存放這批香菇時每天需要支出各種費用合計340元，而且香菇在冷庫中最多保存110天，同時，平均每天有6千克的香菇損壞不能出售.（1）若存放x天后，將這批香菇一次性出售，設(shè)這批香菇的銷售總金額為y元，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）李經(jīng)理如果想獲得利潤22500元，需將這批香菇存放多少天后出售？（提示：利潤=銷售總金額-收購成本-各種費用）（3）李經(jīng)理將這批香菇存放多少天后出售可獲得最大利潤？最大利潤是多少？【答案】（1）y=?3x2+940x+20000(1≤x≤110)（2）將這批香菇存放50天后出售（3）存放100【解析】（1）由題意得，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=(10+0.5x)(2000?6x)=?3x（2）由題意得，(?3x化簡得，x2解得，x1=50，因此，李經(jīng)理如果想獲得利潤22500元，需將這批香菇存放50天后出售.（3）設(shè)利潤為W，則由（2）得，W=(?3=?3x因此當(dāng)x=100時，Wmax又因為100∈(0,110)，所以李經(jīng)理將這批香菇存放100天后出售可獲得最大利潤為【易錯提醒】二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯．2.(2019·湖北孝感八校聯(lián)考)共享單車是城市慢行系統(tǒng)的一種創(chuàng)新模式，對于解決民眾出行“最后一公里”的問題特別見效，由于停取方便、租用價格低廉，各色共享單車受到人們的熱捧．某自行車廠為共享單車公司生產(chǎn)新樣式的單車，已知生產(chǎn)新樣式單車的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一輛新樣式單車需要增加投入100元．根據(jù)初步測算，自行車廠的總收益(單位：元)滿足分段函數(shù)h(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0＜x≤400，,80000，x＞400，))其中x是新樣式單車的月產(chǎn)量(單位：輛)，利潤＝總收益－總成本．【答案】【解析】(1)依題設(shè)知，總成本為(20000＋100x)元，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋300x－20000，0＜x≤400，,60000－100x，x＞400.))(2)當(dāng)0＜x≤400時，y＝－eq\f(1,2)(x－300)2＋25000，故當(dāng)x＝300時，ymax＝25000；當(dāng)x＞400時，y＝60000－100x是減函數(shù)，故y＜60000－100×400＝20000.所以當(dāng)月產(chǎn)量為300輛時，自行車廠的利潤最大，最大利潤為25000元．考點三：指數(shù)函數(shù)模型【典例5】（四川高考真題）某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲存溫度x（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對數(shù)的底數(shù)，k、b為常數(shù)）。若該食品在0的保鮮時間設(shè)計192小時，在22的保鮮時間是48小時，則該食品在33的保鮮時間是小時.【答案】24【解析】由題意得：eb=192e22k+b=48【典例6】（2021·湖南衡陽市八中高三其他模擬）“一騎紅塵妃子笑，無人知是荔枝來”描述了封建統(tǒng)治者的驕奢生活，同時也講述了古代資源流通的不便利．如今我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展和資源整合．已知某類果蔬的保鮮時間y（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系（a，b為常數(shù)），若該果蔬在6的保鮮時間為216小時，在24的保鮮時間為8小時，那么在12時，該果蔬的保鮮時間為（）小時．A．72 B．36 C．24 D．16【答案】A【解析】根據(jù)題意列出時所滿足等式，利用指數(shù)冪的運算分別可求解出的值，然后即可計算出時的值，則對應(yīng)保鮮時間可求.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，，則，整理可得，于是，當(dāng)時，．故選：A.【規(guī)律方法】1．指數(shù)函數(shù)模型，常與增長率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實際問題中有人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來表示．2．應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時，關(guān)鍵是對模型的判斷，先設(shè)定模型將有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型．3．y＝a(1＋x)n通常利用指數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．4．對于直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長的特點要注意區(qū)分：直線上升：勻速增長，其增長量固定不變；指數(shù)增長：先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；對數(shù)增長：先快后慢，其增長速度緩慢．公司的利潤選擇直線上升或指數(shù)模型增長，而員工獎金選擇對數(shù)模型增長．【變式探究】1.（2021·黑龍江大慶市·大慶中學(xué)高三其他模擬（理））基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加3倍需要的時間約為(ln2≈0.69)（）A．1.2天 B．1.8天 C．2.7天 D．3.6天【答案】D【解析】根據(jù)所給模型求得，令，求得，根據(jù)條件可得方程，然后解出即可．【詳解】把，代入，可得，，當(dāng)時，，則，兩邊取對數(shù)得，解得．故選：D2.（2019·廣西高考模擬（文））一個放射性物質(zhì)不斷衰變?yōu)槠渌镔|(zhì)，每經(jīng)過一年就有的質(zhì)量發(fā)生衰變,剩余質(zhì)量為原來的.若該物質(zhì)余下質(zhì)量不超過原有的，則至少需要的年數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)原物質(zhì)的質(zhì)量為單位1，一年后剩余質(zhì)量為原來的，兩年后變?yōu)樵瓉淼?，依此類推，得到年后質(zhì)量是原來的，只需要故結(jié)果為4.故答案為：B.考點四：對數(shù)函數(shù)模型【典例7】（2021·福建師大附中高三其他模擬）視力檢測結(jié)果有兩種記錄方式，分別是小數(shù)記錄與五分記錄，其部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：小數(shù)記錄五分記錄現(xiàn)有如下函數(shù)模型：①，②，表示小數(shù)記錄數(shù)據(jù)，表示五分記錄數(shù)據(jù)，請選擇最合適的模型解決如下問題：小明同學(xué)檢測視力時，醫(yī)生告訴他的視力為，則小明同學(xué)的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為（附，，）（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)表格中可知函數(shù)的單調(diào)性，可選擇合適的函數(shù)模型，然后令，解方程即可得解.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)單調(diào)遞增，故合適的函數(shù)模型為，令，解得.故選：B.【典例8】（2019年高考北京理）在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2?m1=，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1，2）．已知太陽的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為（）A．1010.1 B．10.1C．lg10.1 D．10?10.1【答案】A【解析】兩顆星的星等與亮度滿足，令，則從而.故選A.【總結(jié)提升】指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)兩類函數(shù)模型的應(yīng)用技巧(1與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)兩類函數(shù)模型有關(guān)的實際問題，在求解時，要先學(xué)會合理選擇模型，在兩類模型中，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型．(2)在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般需要先通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題，必要時可借助導(dǎo)數(shù)．【變式探究】1.（2021·江西高三其他模擬（文））科學(xué)家以里氏震級來度量地震的強度，若設(shè)為地震時所散發(fā)出來的相對能量程度，則里氏震級可定義為.2021年3月13日下午江西鷹潭余江區(qū)發(fā)生里氏級地震，2020年1月1日四川自貢發(fā)生里氏級地震，則自貢地震所散發(fā)出來的能量是余江地震所散發(fā)出來的能量的（）倍．A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)給定的公式結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)可求兩者之間的倍數(shù)關(guān)系.【詳解】設(shè)自貢地震所散發(fā)出來的能量為，余江地震所散發(fā)出來的能量，則，故，故，故選：C.2.（2021·江蘇南京市·高三三模）聲音的強弱可以用聲波的能流密度來計算，叫做聲強.通常人耳能聽到聲音的最小聲強為（瓦/平方米）.對于一個聲音的聲強，用聲強與比值的常用對數(shù)的10倍表示聲強的聲強級，單位是“分貝”，即聲強的聲強級是（分貝）.聲音傳播時，在某處聽