高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(新教材新高考)第07講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題專項(xiàng)練習(xí)(學(xué)生版+解析)

第07講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)2022年新I卷，第10題,5分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率）求已知函數(shù)的極值點(diǎn)2021年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性2能結(jié)合零點(diǎn)的定義及零點(diǎn)存在性定理解決零點(diǎn)問題【命題預(yù)測(cè)】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,也是高考?jí)狠S題之一近幾年高考命題的趨勢(shì)，是穩(wěn)中求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題考查多個(gè)核心素養(yǎng)以及綜合應(yīng)用能力,有一定的難度,一般放在解答題的最后位置，對(duì)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等多個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)都有較深入的考查，需綜合復(fù)習(xí)知識(shí)講解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的方法(1)通過最值(極值)判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢(shì)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)或者通過零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍.(2)數(shù)形結(jié)合法求解零點(diǎn)對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.(3)構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn)①根據(jù)條件構(gòu)造某個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解.②解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．考點(diǎn)一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.3．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．5．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．6．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．1．（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.2．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，證明：當(dāng)時(shí)，；(2)討論函數(shù)在上零點(diǎn)個(gè)數(shù).3．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù).(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)記，若有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求的值.4．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求證：在上有唯一零點(diǎn).5．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，證明：在上恒成立；(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【基礎(chǔ)過關(guān)】1．（2023·重慶酉陽(yáng)·重慶市酉陽(yáng)第一中學(xué)校?？家荒＃┖瘮?shù).(1)討論函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).2．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測(cè)）已知(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)性；(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．3．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)證明：在上有兩個(gè)零點(diǎn).4．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍.5．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)（）．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求函數(shù)在上的最小值．6．（2023·云南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線l與直線垂直.(1)求切線l的方程；(2)判斷在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.7．（2023·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若是的極值點(diǎn)，求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若函數(shù)在上有且僅有個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.8．（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．9．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍.10．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求，的值；(2)求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn).【能力提升】1．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．2．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，證明：在上恒成立；(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).3．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，判定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.4．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中.(1)若時(shí)，有極值，求的值；(2)設(shè)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).5．（2023·湖北·荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，.(1)若函數(shù)在處的切線的斜率為.①求實(shí)數(shù)的值；②求證：存在唯一極小值點(diǎn)且.(2)當(dāng)時(shí)，若在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.6．（2023·北京海淀·北航實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？既＃┮阎瘮?shù)；(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若正數(shù)a使得對(duì)恒成立.求a的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)，討論其在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．7．（2023·廣東東莞·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的，；(3)討論函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).8．（2023·廣東深圳·深圳市高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（1）當(dāng)時(shí)，求證：.（2）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求證：且.9．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證:(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).10．（2023·河北·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，有兩個(gè)零點(diǎn)．（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：．【真題感知】一、多選題1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D．直線是曲線的切線二、填空題2．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，恰有2個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題3．（全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．4．（全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點(diǎn)；（2）若x∈[0，π]時(shí)，f（x）≥ax，求a的取值范圍．5．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．6．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，滿足.(注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))7．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)，其中e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；（Ⅱ）記x0為函數(shù)在上的零點(diǎn)，證明：（?。?；（ⅱ）．

第07講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)2022年新I卷，第10題,5分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率）求已知函數(shù)的極值點(diǎn)2021年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性2能結(jié)合零點(diǎn)的定義及零點(diǎn)存在性定理解決零點(diǎn)問題【命題預(yù)測(cè)】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,也是高考?jí)狠S題之一近幾年高考命題的趨勢(shì)，是穩(wěn)中求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題考查多個(gè)核心素養(yǎng)以及綜合應(yīng)用能力,有一定的難度,一般放在解答題的最后位置，對(duì)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等多個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)都有較深入的考查，需綜合復(fù)習(xí)知識(shí)講解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的方法(1)通過最值(極值)判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢(shì)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)或者通過零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍.(2)數(shù)形結(jié)合法求解零點(diǎn)對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.(3)構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn)①根據(jù)條件構(gòu)造某個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解.②解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．考點(diǎn)一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫出，并求出極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，故選：B.2．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分別令導(dǎo)數(shù)大于零和小于零，求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)解，將其轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)解，令，求導(dǎo)研究函數(shù)圖象的走向，從而求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，令，解得，令，解得，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)解，從方程可知，不成立，即有兩個(gè)解，令，則有，令，解得，令，解得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)有兩個(gè)解時(shí)，有，所以滿足條件的的取值范圍是：.【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，在解題的過程中，也可以利用數(shù)形結(jié)合，將問題轉(zhuǎn)化為曲線和直線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用過點(diǎn)的曲線的切線斜率，結(jié)合圖形求得結(jié)果.3．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）詳見解析；(2).【分析】（1），對(duì)分和兩種情況討論即可；（2）有三個(gè)零點(diǎn)，由（1）知，且，解不等式組得到的范圍，再利用零點(diǎn)存在性定理加以說明即可.【詳解】（1）由題，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，有三個(gè)零點(diǎn)，則，且即，解得，當(dāng)時(shí)，，且，所以在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，同理，，所以在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，又在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，所以有三個(gè)零點(diǎn)，綜上可知的取值范圍為.【點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍問題，考查學(xué)生邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對(duì)分類討論,對(duì)分兩部分研究【詳解】（1）的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng),令則所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，，所以在上有唯一零點(diǎn)又沒有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增,又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)，，又，而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn),上無零點(diǎn)即在上有唯一零點(diǎn)所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.5．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．【答案】(1)(2)證明見的解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域?yàn)?，則令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)要證,即證因?yàn)?即證又因?yàn)?故只需證即證即證下面證明時(shí)，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對(duì)數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個(gè)解又因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故兩邊取對(duì)數(shù)得：，即又因?yàn)?，故，即下證因?yàn)椴环猎O(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是極值點(diǎn)偏移問題，關(guān)鍵點(diǎn)是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式這個(gè)函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握6．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時(shí)，由（1）得當(dāng)時(shí)，，，所以，此時(shí)存在，使得，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.1．（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.【答案】(1)(2)有個(gè)零點(diǎn)，證明見解析【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，令，，得出在的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，再比較的大小，即可得出答案.（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理，討論，和時(shí)，的正負(fù)，即可得出證明.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，故，令，，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，且，，所以由零點(diǎn)存在定理可知，在區(qū)間存在唯一的，使又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，所以函?shù)在區(qū)間上的最小值為.（2）有個(gè)零點(diǎn)，證明如下：因?yàn)?，，若，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知，在區(qū)間有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，若，則，則，若，因?yàn)?，所以，綜上，函數(shù)在有且僅有一個(gè)零點(diǎn).2．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，證明：當(dāng)時(shí)，；(2)討論函數(shù)在上零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【分析】（1）分別構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，進(jìn)而由不等式的性質(zhì)即可求解.（2）對(duì)分情況討論，時(shí)利用不等式的性質(zhì)可得無零點(diǎn)，時(shí)，利用二階求導(dǎo)確定函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）若，則.①先證：當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，則的導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即.②再證：時(shí)，.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即.由①②得，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即.（2）①若，則，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，所以，又由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以在上無零點(diǎn).②若，當(dāng)時(shí)，，則，故在上無零點(diǎn).③若，的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，則的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，則的導(dǎo)函數(shù)，（i）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，又，所以在上存在唯一零點(diǎn)，記作.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增.（ii）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增.綜合（i）（ii），可得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.又因?yàn)?，所以存在唯一?shí)數(shù)，使得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.又因?yàn)?，所以時(shí)，；由（1）已證，所以，又在上單調(diào)遞增，所以在上存在唯一零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，在上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上存在唯一零點(diǎn).【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式或者利用導(dǎo)數(shù)分類討論確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．3．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù).(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)記，若有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)，0，1【分析】（1）求出，利用其單調(diào)性和特殊值可得使得，再由可得答案；（2）由時(shí)，求出的零點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，利用范圍可得在有1個(gè)零點(diǎn)：分、、討論，利用的單調(diào)性和函數(shù)值可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，有，單調(diào)遞增，又，則可知，使得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，則可知；（2）依題意，函數(shù)的定義域是，當(dāng)時(shí)，，即，而，時(shí)，，時(shí)，，有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意；①當(dāng)時(shí)，若，有，且，有，又，由（1）可知又，則所以在有1個(gè)零點(diǎn)：若，有，若，有，可知在有1個(gè)零點(diǎn)，符合題意：若，有在單調(diào)遞增，，（i）若，則當(dāng)，有，（ii）若，又，則可知，使得；由（i）、（ii），則可知有在單調(diào)遞減，所以，又有，所以在至少有1個(gè)零點(diǎn)，則可知在至少有2個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；若，有在單調(diào)遞增，又，則可知，使得，所以在單調(diào)遞增，則有，又有，所以在至少有1個(gè)零點(diǎn)，則可知在至少有2個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，由，記，由①可知，有且僅有滿足題意，即時(shí)，滿足題意.綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為，0，1.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)由零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.4．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求證：在上有唯一零點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后轉(zhuǎn)化為最值問題，求導(dǎo)即可得到結(jié)果；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)構(gòu)造新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，進(jìn)而確定在上存在唯一的零點(diǎn)，分情況討論函數(shù)各區(qū)間零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，即.令，，因?yàn)榍?，所以在上恒成?所以在上單調(diào)遞增，所以，即.（2）考慮，則.因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，①，所以，所以，即②.令，則，所以在上單調(diào)遞增.由①得，又，且的圖象在上不間斷，所以在上存在唯一的零點(diǎn)，記為.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以在上恒成立，且；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，由②知，又，所以在上存在唯一的零點(diǎn).綜上所述，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及含參的函數(shù)零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題.5．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，證明：在上恒成立；(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)證明見詳解(2)答案見詳解【分析】（1）證明不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，最小值大于等于零即可求證；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值最值，取極限從而分析函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).含參要注意進(jìn)行分類討論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增.故，所以，即在上恒成立.（2），其定義域?yàn)椋?.當(dāng)時(shí)，令得：.若，，所以為減函數(shù)；若，，所以為增函數(shù).所以，所以此時(shí)沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令得：，或.若，，所以為增函數(shù)；若，，所以為減函數(shù)；若，，所以為增函數(shù).所以的極大值為，極小值為.此時(shí)時(shí)，，時(shí)，.所以此時(shí)有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增.此時(shí)時(shí)，；時(shí)，.所以此時(shí)有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令得：，或.若，，所以為增函數(shù)；若，，所以為減函數(shù)；若，，所以為增函數(shù).所以的極大值為，極小值為.此時(shí)時(shí)，，時(shí)，，所以有個(gè)零點(diǎn).綜上所述：當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值最值，取極限從而分析函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).含參要注意進(jìn)行分類討論.【基礎(chǔ)過關(guān)】1．（2023·重慶酉陽(yáng)·重慶市酉陽(yáng)第一中學(xué)校?？家荒＃┖瘮?shù).(1)討論函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）求導(dǎo)后，分別在和的情況下得到正負(fù)，進(jìn)而得到單調(diào)性，由極值定義可求得結(jié)果；（2）由（1）可知單調(diào)性，分別討論極小值大于零、等于零和小于零的情況，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得結(jié)論.【詳解】（1）由題意得：；當(dāng)，即時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)，即時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極小值為，無極大值；綜上所述：當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，極小值為，無極大值.（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，恒成立，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，又，當(dāng)趨近于正無窮大時(shí)，也趨近于正無窮大，在和上各存在一個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn).2．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測(cè)）已知(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)性；(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)，0個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或，1個(gè)零點(diǎn)；，2個(gè)零點(diǎn)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得，令，利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，即可求出的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意可得，令，則問題轉(zhuǎn)化為，，利用零點(diǎn)存在定理結(jié)合單調(diào)性可判斷方程的解的個(gè)數(shù).【詳解】（1）解：因?yàn)?，，所以，令，，所以在單增，且，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（2）解：因?yàn)榱?，易知在上單調(diào)遞增，且，故的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為即，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，故為上的增函數(shù)，而，，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，若，則；，則；故，若，則，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；若，則，故在上無零點(diǎn)；若，則，此時(shí)，而，，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，故此時(shí)在上有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；綜上：當(dāng)時(shí)，0個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，1個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，2個(gè)零點(diǎn)；【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下的零點(diǎn)問題，注意利用零點(diǎn)存在定理結(jié)合函數(shù)單調(diào)性來討論.3．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)證明：在上有兩個(gè)零點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在處的切線方程；（2）構(gòu)造研究的單調(diào)性并確定其零點(diǎn)所在區(qū)間，進(jìn)而判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可證結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，，故所求切線方程為，即.（2）設(shè)，則.顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在唯一，使.則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn).4．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定的單調(diào)性；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，結(jié)合零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得到關(guān)于的不等式，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，解，得；解，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）,當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)無兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，解，得；解，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)橼呌谪?fù)無窮，趨于正無窮；為趨于正無窮，趨于正無窮；故有兩不同零點(diǎn)，則即.令則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，綜上，的范圍為.5．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)（）．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求函數(shù)在上的最小值．【答案】(1)答案不唯一，具體見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，分類討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可求解，（2）根據(jù)第一問可知的單調(diào)性，進(jìn)而可判斷在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，滿足，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可列不等式求解.【詳解】（1）由題意得．

當(dāng)時(shí)，由，函數(shù)在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令,令或故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增．

當(dāng)時(shí)，令，令或函數(shù)在(k，4)上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在(0，3)上為單調(diào)函數(shù)，最多只有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在(0，k)上單調(diào)遞增，在(k，3)上單調(diào)遞減．要使函數(shù)在(0，3)上有兩個(gè)零點(diǎn)，則需滿足：且解得．∴．又，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．又，∴6．（2023·云南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線l與直線垂直.(1)求切線l的方程；(2)判斷在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.【答案】(1)(2)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后利用垂直關(guān)系求實(shí)數(shù)a的值，最后求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1），所以切線的斜率，由題意，解得.所以，所以，所以切線l的方程為，即.（2）由（1）知，所以，由，可得，令，所以，①當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以在上無零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，令，所以，即在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以存在，使得，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因?yàn)椋栽谏锨抑挥幸粋€(gè)零點(diǎn)，綜上所述：在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).7．（2023·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若是的極值點(diǎn)，求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若函數(shù)在上有且僅有個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)1(2)答案見解析(3).【分析】（1）由題意，求導(dǎo)得，然后根據(jù)，即可得到結(jié)果；（2）由題意，求導(dǎo)得，然后分與兩種情況討論，即可得到結(jié)果；（3）由題意，構(gòu)造函數(shù)，將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖像交點(diǎn)問題，結(jié)合圖像即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)閯t，即，所以，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意（2），則.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，若，則；若，則.當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（3）當(dāng)時(shí)，由可得，令，其中，則直線與函數(shù)在上的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以，函數(shù)的極大值為，且，，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.8．（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）將導(dǎo)數(shù)化為求其零點(diǎn)并討論零點(diǎn)的大小，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求解.（2）結(jié)合第（1）問的結(jié)果，利用函數(shù)的單調(diào)性、極值的符號(hào)構(gòu)造不等式求解.【詳解】（1）∵，∵，∴，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增．綜上所述，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）情況一：若，即時(shí)，由的單調(diào)性，其在上恒為正，無零點(diǎn)，在增區(qū)間至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符題意．情況二：若，即時(shí)，由于，由零點(diǎn)存在定理，在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，取，則，，，，當(dāng)時(shí)，，由于在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在恒為正，無零點(diǎn)，由零點(diǎn)存在定理，在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，符合題意，情況三：若，即時(shí)，同情況二可得在增區(qū)間恒為正，無零點(diǎn)，僅有一個(gè)零點(diǎn)，不符題意.綜上，a的取值范圍是．9．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）就分類討論，后者可結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)得到最值的符號(hào)，從而得到的取值范圍，注意利用零點(diǎn)存在定理檢驗(yàn)．【詳解】（1）若，則，故，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，即的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2），當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在無零點(diǎn)，不合題意．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則即．又當(dāng)時(shí)，，而，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；而，令，，則，故在上為增函數(shù)，故，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下函數(shù)的零點(diǎn)問題，需利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值，結(jié)合最值的符號(hào)得到參數(shù)的取值范圍，注意需利用零點(diǎn)存在定理檢驗(yàn)前者是否滿足要求．10．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求，的值；(2)求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn).【答案】(1)，；(2)證明見解析.【分析】（1）求解導(dǎo)函數(shù)，從而得的值，根據(jù)切線方程得切線的斜率，從而列方程組求解，的值；（2）將函數(shù)變形為，由成立，將在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得在內(nèi)有零點(diǎn)，求解導(dǎo)函數(shù)，從而判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可得函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn).【詳解】（1）的定義域?yàn)?，因?yàn)?所以，又.∵在點(diǎn)處的切線方程為，所以切線的斜率為.所以，解得∴，.（2）證明：由（1）知，，.∴（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）∵總成立.∴在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).∵，.∴在內(nèi)有零點(diǎn).又∵，當(dāng)時(shí)，，得在上單調(diào)遞增.∴在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn).【能力提升】1．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是(2)答案見解析【分析】（1）求得，令，解得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求解；（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到的單調(diào)性和最值，由（1）知取最小值，分別得到、和的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求解.【詳解】（1）解：由，可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，則，可得，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，則，可得，在單調(diào)遞增；故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．（2）解：由，得，因此函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，因?yàn)?，所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)與的圖象沒有交點(diǎn)，即函數(shù)沒有零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，理由如下：因?yàn)?，所以，，由函?shù)零點(diǎn)存在定理，知在內(nèi)有零點(diǎn).又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn).又因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以與的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn).所以，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)零點(diǎn)與有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．2．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，證明：在上恒成立；(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)證明見詳解(2)答案見詳解【分析】（1）證明不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，最小值大于等于零即可求證；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值最值，取極限從而分析函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).含參要注意進(jìn)行分類討論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增.故，所以，即在上恒成立.（2），其定義域?yàn)椋?.當(dāng)時(shí)，令得：.若，，所以為減函數(shù)；若，，所以為增函數(shù).所以，所以此時(shí)沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令得：，或.若，，所以為增函數(shù)；若，，所以為減函數(shù)；若，，所以為增函數(shù).所以的極大值為，極小值為.此時(shí)時(shí)，，時(shí)，.所以此時(shí)有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增.此時(shí)時(shí)，；時(shí)，.所以此時(shí)有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令得：，或.若，，所以為增函數(shù)；若，，所以為減函數(shù)；若，，所以為增函數(shù).所以的極大值為，極小值為.此時(shí)時(shí)，，時(shí)，，所以有個(gè)零點(diǎn).綜上所述：當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值最值，取極限從而分析函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).含參要注意進(jìn)行分類討論.3．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，判定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.【答案】(1)答案見解析(2)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分類討論含參函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，從而求出極值，即可判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）由題知，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上是?函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).（2）由（1）知，，定義域?yàn)椋?，設(shè)，在區(qū)間上是增函數(shù)，存在唯一，使，即，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取極大值為，設(shè)，其知在區(qū)間上是減函數(shù).在內(nèi)無零點(diǎn)，在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，有且只有一個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，主要是由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合零點(diǎn)存在定理得零點(diǎn)個(gè)數(shù)．難點(diǎn)是在確定零點(diǎn)存在時(shí)，零點(diǎn)兩邊函數(shù)值異號(hào)時(shí)點(diǎn)的取得．4．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中.(1)若時(shí)，有極值，求的值；(2)設(shè)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)，(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，然后由條件列出方程，即可得到結(jié)果.（2）方法一：根據(jù)題意，分與，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，分情況討論即可；方法二：根據(jù)題意，將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，再由導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與極值，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）.由題意得且，即，聯(lián)立解得，.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.（2）方法一：定義域是.由條件知，.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.故是的極大值點(diǎn)，且極大值為.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，.記，則.取，則，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，當(dāng)時(shí)，存在一個(gè)零點(diǎn).取，則.由零點(diǎn)存在定理可知，當(dāng)時(shí)，存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).方法二：由題意，函數(shù)的零點(diǎn)即方程的根，即方程的根，即的根，記，：由，得到，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，又，因?yàn)?，?dāng)趨向正無窮時(shí)，趨向負(fù)無窮，且的最大值為，綜上所述，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)，不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性，極（最）值問題處理.5．（2023·湖北·荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，.(1)若函數(shù)在處的切線的斜率為.①求實(shí)數(shù)的值；②求證：存在唯一極小值點(diǎn)且.(2)當(dāng)時(shí)，若在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)①，②證明見解析(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得實(shí)數(shù)的值，通過導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)性，證明存在唯一極小值點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，由的范圍，確定的取值范圍證明；（2）將問題轉(zhuǎn)化為方程在上有解，分離出參數(shù)，再通過構(gòu)造函數(shù)的方法解決即可.【詳解】（1）①∵，∴，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在處的切線的斜率，由已知，，∴解得.②由①得，，，∴，，令，則，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，∴當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又∵，，∴有且只有一個(gè)，使，又∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴是在上的唯一零點(diǎn)，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴存在唯一極小值點(diǎn).又∵，∴，∴又∵，∴，∴，∴，∴.（2）當(dāng)時(shí)，，，若在上存在零點(diǎn)，則方程在上有解，即在上有解，令，則，當(dāng)時(shí)，令，則，，當(dāng)（）時(shí)，，，∴在區(qū)間（）上單調(diào)遞增，當(dāng)（）時(shí)，，，∴在區(qū)間和（）上單調(diào)遞減，∴當(dāng)，時(shí)，取得極小值.∵，，∴當(dāng)，，，時(shí)，，，，令，則，在上單調(diào)遞增，∴又∵，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為.又有，當(dāng)，時(shí)，取得極大值.∵，，∴當(dāng)，，，時(shí)，，，，令，則，在上單調(diào)遞減，∴又∵，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為.∴當(dāng)時(shí)，，即，∴在上有解，則，又∵，∴，∴.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)在給定區(qū)間有零點(diǎn)的問題，可以轉(zhuǎn)化為方程有解，再分離參數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的值域，從而求得參數(shù)的取值范圍.6．（2023·北京海淀·北航實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考三模）已知函數(shù)；(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若正數(shù)a使得對(duì)恒成立.求a的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)，討論其在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)；(2)；(3)當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，1個(gè)零點(diǎn).【分析】（1）代入的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算及，求出切線方程作答.（2）構(gòu)造，按正數(shù)a與1的關(guān)系分類討論，并借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性求解作答.（3）求出的解析式，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)在處的切線方程是：，即.（2）令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，由得：，即在上遞增，則，因此對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，由得：，在上遞減，則對(duì)，，因此對(duì)恒成立，不符合題意，所以的范圍是.（3）依題意，，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則，即函數(shù)在上遞減，因?yàn)椋虼撕瘮?shù)在上只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，解得：，則當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，于是，又，于是函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，在上只有1個(gè)零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有1個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.7．（2023·廣東東莞·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的，；(3)討論函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)的增區(qū)間是，減區(qū)間是(2)證明見解析(3)答案見解析【分析】（1）代入，求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）代入，求出導(dǎo)函數(shù).構(gòu)造函數(shù)二次求導(dǎo)，即可推得在單調(diào)遞增，根據(jù)，即可得出的單調(diào)性，進(jìn)而得出證明；（3）易知，當(dāng)時(shí)，，所以沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，二次求導(dǎo)可得出的單調(diào)性.進(jìn)而結(jié)合特殊點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可得出的單調(diào)性.然后根據(jù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，即可得出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減.所以的增區(qū)間是，減區(qū)間是.（2）當(dāng)時(shí)，，則.設(shè)，則.由（1）知時(shí)，所以，所以，，即在單調(diào)遞增，所以，所以在單調(diào)遞增，所以.（3）當(dāng)時(shí)，，，所以.由（2）知，此時(shí)，所以沒有零點(diǎn).若時(shí)，的導(dǎo)函數(shù).令，則.令，則.①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以，即在上單調(diào)遞增.又，，所以在上存在唯一零點(diǎn)，記作.則當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí)，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.綜合①②，可得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.又因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，；又，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得.所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增.又因?yàn)?，所以時(shí)，，所以在上沒有零點(diǎn).由（1）知時(shí)，，則.又，在上單調(diào)遞增，所以在上存在唯一零點(diǎn).所以，在上存在唯一零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，在上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上存在唯一零點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理得出導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)的單調(diào)性.8．（2023·廣東深圳·深圳市高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（1）當(dāng)時(shí)，求證：.（2）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求證：且.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）要證明，只需證明，故設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由此證明結(jié)論；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合條件可得，由此可得，，結(jié)合（1）證明，利用導(dǎo)數(shù)證明時(shí)，，由此可得，方法一：化簡(jiǎn)可得，證明，由此可得結(jié)論，方法二：求方程方程的根，證明，由此可得結(jié)論；方法三：設(shè)，，證明，由此證明結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)

，

在上單調(diào)遞增，，得，即.

（2）因?yàn)?，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，即在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，，當(dāng)時(shí)，，又，，，所以當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，，因?yàn)楹瘮?shù)有唯一零點(diǎn)，則，即，即，將①代入②，得，即，若，則，矛盾，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增.

因?yàn)椋?，，，由，得，等式兩邊取自然?duì)數(shù)，得根據(jù)（1）中時(shí)，

，得

設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，，得，，令，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，，由，方法一：，，，則函數(shù)的圖象為開口向上，對(duì)稱軸為的拋物線，，，又，由二次函數(shù)圖象可得，，故，所以.綜上，方法二：，方程的根為，，因?yàn)?，所以，又，所以，又，，所以，即，又，解得方法三：設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．9．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證:(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再對(duì)分類討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由題意，是方程的兩個(gè)根，即可得到，令則，則，只需證明當(dāng)時(shí)，不等式成立即可.【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)恒成立，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)令，解得或，當(dāng)，即時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)即時(shí)，令，解得或，則在，上單調(diào)遞增，令，解得，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)即時(shí)，令，解得或，則在，上單調(diào)遞增，令，解得，則在上單調(diào)遞減；綜上可得，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）因?yàn)椋深}意，是方程的兩個(gè)根，①，②，①②兩式相加，得③，①②兩式相減，得④，聯(lián)立③④，得，，設(shè)，，，，，因?yàn)椋?，則，若，則一定有，只需證明當(dāng)時(shí)，不等式成立即可，即不等式成立，設(shè)函數(shù)，，在上單調(diào)遞增，故時(shí)，，即證得當(dāng)時(shí)，，即證得，，即證得，則．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．10．（2023·河北·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，有兩個(gè)零點(diǎn)．（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減(2)（?。唬áⅲ┳C明見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義求出的解析式，再通過其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）求出，把零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成方程的根，再轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象的交點(diǎn)，根據(jù)圖象即可求出的范圍；把代入，通過兩個(gè)等式構(gòu)造，結(jié)合的范圍即可證明.【詳解】（1）因?yàn)?，令，則，所以（），故（）.當(dāng)時(shí)，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，故在上恒成立.所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.（2）（ⅰ）有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)不同的根.而（），所以有兩個(gè)不同的根，等價(jià)于有兩個(gè)不同的根，等價(jià)于與有兩個(gè)不同的交點(diǎn).因?yàn)椋?/p>

（），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，而當(dāng)趨向正無窮時(shí)，趨向0，趨向0時(shí)，趨向負(fù)無窮，為使與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以.（ⅱ）有兩個(gè)零點(diǎn)，則，.即，.所以，即，得，所以.因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)主要考慮其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)；零點(diǎn)問題常常可轉(zhuǎn)化為方程的根；關(guān)于雙變量問題通常需要通過等式構(gòu)造，找出其等式關(guān)系.【真題感知】一、多選題1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D．直線是曲線的切線【答案】AC【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.二、填空題2．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，恰有2個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②④【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，由，可得或，①正確；對(duì)于②，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個(gè)零點(diǎn)，②正確；對(duì)于③，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，解得，所以，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn)，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．三、解答題3．（全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）求得導(dǎo)函數(shù)后，可判斷出導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可判斷出，使得，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)在上的單調(diào)性，從而可證得結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論可知為在上的唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，首先可判斷出在上無零點(diǎn)，再利用零點(diǎn)存在定理得到在上的單調(diào)性，可知，不存在零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，利用零點(diǎn)存在定理和單調(diào)性可判斷出存在唯一一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，可證得；綜合上述情況可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意知：定義域?yàn)椋呵伊?，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減又，，使得當(dāng)時(shí)，；時(shí)，即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減則為唯一的極大值點(diǎn)即：在區(qū)間上存在唯一的極大值點(diǎn).（2）由（1）知：，①當(dāng)時(shí)，由（1）可知在上單調(diào)遞增

在上單調(diào)遞減又為在上的唯一零點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又

在上單調(diào)遞增，此時(shí)，不存在零點(diǎn)又，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又，在上恒成立，此時(shí)不存在零點(diǎn)③當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減又，即，又在上單調(diào)遞減在上存在唯一零點(diǎn)④當(dāng)時(shí)，，即在上不存在零點(diǎn)綜上所述：有且僅有個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題.解決零點(diǎn)問題的關(guān)鍵一方面是利用零點(diǎn)存在定理或最值點(diǎn)來說明存在零點(diǎn)，另一方面是利用函數(shù)的單調(diào)性說明在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的唯一性，二者缺一不可.4．（全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點(diǎn)；（2）若x∈[0，π]時(shí)，f（x）≥ax，求a的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)后，設(shè)為進(jìn)行再次求導(dǎo)，可判斷出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而得到單調(diào)性，由零點(diǎn)存在定理可判斷出唯一零點(diǎn)所處的位置，證得結(jié)論；（2）構(gòu)造函數(shù)，通過二次求導(dǎo)可判斷出，；分別在，，和的情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性，從而確定恒成立時(shí)的取值范圍.【詳解】（1）令，則當(dāng)時(shí)，令，解得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減又，，即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無零點(diǎn)，即無零點(diǎn)

，使得又在上單調(diào)遞減

為，即在上的唯一零點(diǎn)綜上所述：在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)（2）若時(shí)，，即恒成立令則，由（1）可知，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減且，，，①當(dāng)時(shí)，，即在上恒成立在上單調(diào)遞增，即，此時(shí)恒成立②當(dāng)時(shí)，，，，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又，在上恒成立，即恒成立③當(dāng)時(shí)，，，使得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增時(shí)，，可知不恒成立④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減

可知不恒成立綜上所述：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、根據(jù)恒成立的不等式求解參數(shù)范圍的問題.對(duì)于此類端點(diǎn)值恰為恒成立不等式取等的值的問題，通常采用構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)變成函數(shù)最值與零之間的比較，進(jìn)而通過導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，從而得到最值.5．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，解方程即可；（2）方法一：由（1）可得，易知在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，采用反證法，推出矛盾即可.【詳解】（1）因?yàn)?，由題意，，即：，則．（2）［方法一］：通性通法由（1）可得，，令，得或；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，若所有零點(diǎn)中存在一個(gè)絕對(duì)值大于1的零點(diǎn)，則或，即或.當(dāng)時(shí)，，又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；當(dāng)時(shí)，，又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；綜上，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.［方法二］【最優(yōu)解】：設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，且，則．從而．令，由判別式，可知在R上有解，的對(duì)稱軸是，所以在區(qū)間上有一根為，在區(qū)間上有一根為（當(dāng)時(shí)，），進(jìn)而有，所以的所有零點(diǎn)的絕對(duì)值均不大于1．［方法三］：設(shè)是函數(shù)的一個(gè)絕