高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)(新教材新高考)專題2.2基本不等式及其應(yīng)用(講)原卷版+解析

專題2.2基本不等式及其應(yīng)用新課程考試要求1.探索并了解基本不等式的證明過(guò)程．2.掌握基本不等式(a，b＞0)及其應(yīng)用..核心素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算（例1.2.3.4.5）、數(shù)學(xué)建模（例5）、邏輯推理（例1.2.3.4）等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).考向預(yù)測(cè)1.利用基本不等式求最值2.利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題3.基本不等式的綜合應(yīng)用【知識(shí)清單】1．重要不等式當(dāng)a、b是任意實(shí)數(shù)時(shí)，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．2．基本不等式當(dāng)a>0，b>0時(shí)有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．3．基本不等式與最值已知x、y都是正數(shù)．(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy取得最大值．(2)若xy＝p(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y取得最小值．4.常用推論（1）（）（2）（，）；（3）【考點(diǎn)分類(lèi)剖析】考點(diǎn)一：利用基本不等式證明不等式例1.（2021·山西高三二模（文））證明：；例2.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：.【方法技巧】利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，對(duì)不滿足使用基本不等式條件的可通過(guò)“變形”來(lái)轉(zhuǎn)換，常見(jiàn)的變形技巧有：拆項(xiàng)，并項(xiàng)，也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，“1”的代換法等．【變式探究】1.求證:2.已知、、都是正數(shù)，求證：考點(diǎn)二：利用基本不等式求最值例3.【多選題】（2021·遼寧葫蘆島市·高三一模）設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足，則（）A．有最小值4 B．有最大值C．有最大值 D．有最小值例4.（2021·浙江高三月考）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是______．【規(guī)律方法】利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的項(xiàng)必須為正數(shù)，如果有負(fù)數(shù)則考慮變形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值時(shí)，變形后的一側(cè)不能還含有核心變量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號(hào)成立，要注意以下兩點(diǎn)：①若求最值的過(guò)程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號(hào)成立的條件必須能夠同時(shí)成立（彼此不沖突）②若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號(hào)成立時(shí)變量的值，并驗(yàn)證是否符合初始范圍.注意：形如的函數(shù)求最值時(shí)，首先考慮用基本不等式，若等號(hào)取不到，再利用該函數(shù)的單調(diào)性求解．【變式探究】1.（陜西省2019年高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）若正數(shù)滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．32.（2019年高考天津卷文）設(shè)，則的最小值為_(kāi)_________.【總結(jié)提升】通過(guò)拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提．考點(diǎn)三：基本不等式的實(shí)際應(yīng)用例5.（2021·陜西西安市·交大附中高三其他模擬（理））已知圓錐的母線長(zhǎng)為，側(cè)面積為，體積為，則取得最大值時(shí)圓錐的體積為（）A． B． C． D．【規(guī)律方法】1.用均值不等式解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：(1)理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫(xiě)出答案.2.利用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題注意點(diǎn)：(1)此類(lèi)型的題目往往較長(zhǎng)，解題時(shí)需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題求解．(2)當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，若等號(hào)成立的自變量不在定義域內(nèi)時(shí)，就不能使用基本不等式求解，此時(shí)可根據(jù)變量的范圍用對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解．【易錯(cuò)警示】忽視不等式等號(hào)成立的條件！【變式探究】（江蘇高考真題）某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物600噸，每次購(gòu)買(mǎi)噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬(wàn)元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)之和最小,則的值是.考點(diǎn)四：基本不等式的綜合運(yùn)用例6.（2021·內(nèi)蒙古赤峰市·高三二模（文））的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則a的最小值為_(kāi)________.例7.（2020·黑龍江省佳木斯一中高一期中（理））已知函數(shù)（）．（1）若不等式的解集為，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，解不等式；（3）若不等式的解集為，若，求的取值范圍．【總結(jié)提升】基本不等式的綜合應(yīng)用求解策略(1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對(duì)所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解．(2)條件不等式的最值問(wèn)題：通過(guò)條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得到參數(shù)的值或范圍．【變式探究】1.（天津市河北區(qū)2019屆高三二模）已知首項(xiàng)與公比相等的等比數(shù)列an中，若m，，滿足aman2.設(shè)函數(shù)f（Ⅰ）若不等式fx≥m對(duì)任意x∈0,1（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，當(dāng)m取最大值時(shí)，設(shè)x>0，y>0且2x+4y+m=0，求1x+專題2.2基本不等式及其應(yīng)用新課程考試要求1.探索并了解基本不等式的證明過(guò)程．2.掌握基本不等式(a，b＞0)及其應(yīng)用..核心素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算（例1.2.3.4.5）、數(shù)學(xué)建模（例5）、邏輯推理（例1.2.3.4）等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).考向預(yù)測(cè)1.利用基本不等式求最值2.利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題3.基本不等式的綜合應(yīng)用【知識(shí)清單】1．重要不等式當(dāng)a、b是任意實(shí)數(shù)時(shí)，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．2．基本不等式當(dāng)a>0，b>0時(shí)有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．3．基本不等式與最值已知x、y都是正數(shù)．(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy取得最大值．(2)若xy＝p(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y取得最小值．4.常用推論（1）（）（2）（，）；（3）【考點(diǎn)分類(lèi)剖析】考點(diǎn)一：利用基本不等式證明不等式例1.（2021·山西高三二模（文））證明：；【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】由不等式，令，則有，即可證得.例2.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：.【答案】見(jiàn)解析【解析】∵，，，∴.同理，.∴＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“＝”．∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．【方法技巧】利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，對(duì)不滿足使用基本不等式條件的可通過(guò)“變形”來(lái)轉(zhuǎn)換，常見(jiàn)的變形技巧有：拆項(xiàng)，并項(xiàng)，也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，“1”的代換法等．【變式探究】1.求證:【答案】見(jiàn)解析【解析】證明:由基本不等式和得=當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).2.已知、、都是正數(shù)，求證：【答案】見(jiàn)解析【解析】∵、、都是正數(shù)∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）即.考點(diǎn)二：利用基本不等式求最值例3.【多選題】（2021·遼寧葫蘆島市·高三一模）設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足，則（）A．有最小值4 B．有最大值C．有最大值 D．有最小值【答案】ACD【解析】根據(jù)基本不等式結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷．【詳解】因?yàn)榍?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為，，A正確；，B錯(cuò)誤；，C正確；，D正確．故選：ACD．例4.（2021·浙江高三月考）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是______．【答案】【解析】由已知不等式可解得，換元，設(shè)，則所求式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性可得的最小值，從而得結(jié)論．【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，所以，解得或，而均為正數(shù)，所以，設(shè)，則，時(shí)，由不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立知在上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，取得最小值，所以的最小值是．故答案為：．【規(guī)律方法】利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的項(xiàng)必須為正數(shù)，如果有負(fù)數(shù)則考慮變形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值時(shí)，變形后的一側(cè)不能還含有核心變量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號(hào)成立，要注意以下兩點(diǎn)：①若求最值的過(guò)程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號(hào)成立的條件必須能夠同時(shí)成立（彼此不沖突）②若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號(hào)成立時(shí)變量的值，并驗(yàn)證是否符合初始范圍.注意：形如的函數(shù)求最值時(shí)，首先考慮用基本不等式，若等號(hào)取不到，再利用該函數(shù)的單調(diào)性求解．【變式探究】1.（陜西省2019年高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）若正數(shù)滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．3【答案】A【解析】由題意，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故選A.2.（2019年高考天津卷文）設(shè)，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】.因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)成立.又因?yàn)樗缘淖钚≈禐?【總結(jié)提升】通過(guò)拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提．考點(diǎn)三：基本不等式的實(shí)際應(yīng)用例5.（2021·陜西西安市·交大附中高三其他模擬（理））已知圓錐的母線長(zhǎng)為，側(cè)面積為，體積為，則取得最大值時(shí)圓錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓錐底面半徑為，高為，根據(jù)圓錐的側(cè)面積和體積公式，求得，結(jié)合基本不等式求得時(shí)取得最大值，進(jìn)而求得圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，高為，由題意可得母線，所以圓錐的側(cè)面積為，且，所以圓錐的體積為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí).故選：D.【規(guī)律方法】1.用均值不等式解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：(1)理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫(xiě)出答案.2.利用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題注意點(diǎn)：(1)此類(lèi)型的題目往往較長(zhǎng)，解題時(shí)需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題求解．(2)當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，若等號(hào)成立的自變量不在定義域內(nèi)時(shí)，就不能使用基本不等式求解，此時(shí)可根據(jù)變量的范圍用對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解．【易錯(cuò)警示】忽視不等式等號(hào)成立的條件！【變式探究】（江蘇高考真題）某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物600噸，每次購(gòu)買(mǎi)噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬(wàn)元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)之和最小,則的值是.【答案】30【解析】總費(fèi)用，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.考點(diǎn)四：基本不等式的綜合運(yùn)用例6.（2021·內(nèi)蒙古赤峰市·高三二模（文））的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則a的最小值為_(kāi)________.【答案】2【解析】結(jié)合的范圍求出角的值，結(jié)合余弦定理以及基本不等式求出a的范圍，從而可得到a的最小值【詳解】解：因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，解得，由余弦定理得，則，所以，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為2，故答案為：2例7.（2020·黑龍江省佳木斯一中高一期中（理））已知函數(shù)（）．（1）若不等式的解集為，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，解不等式；（3）若不等式的解集為，若，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.；（3）.【解析】（1）①當(dāng)即時(shí)，，不合題意；②當(dāng)即時(shí)，，即，∴，∴（2）即即①當(dāng)即時(shí)，解集為②當(dāng)即時(shí)，∵，∴解集為③當(dāng)即時(shí)，∵，所以，所以∴解集為（3）不等式的解集為，，即對(duì)任意的，不等式恒成立，即恒成立，因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，設(shè)則，，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，，所以【總結(jié)提升】基本不等式的綜合應(yīng)用求解策略(1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對(duì)所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解．(2)條件不等式的最值問(wèn)題：通過(guò)條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得到參數(shù)的值或范圍．【變式探究】1.（天津市河北區(qū)2019屆高三二模）已知首項(xiàng)與公比相等的等比數(shù)列an中，若m，，滿足aman【答案】1【解析】設(shè)等比數(shù)