第4講解三角形原卷版

第4講解三角形【復(fù)習(xí)目錄】一、余弦定理解三角形二、正弦定理解三角形三、三角形面積公式及其應(yīng)用四、化角為邊判斷三角形形狀五、化邊為角判斷三角形形狀六、判斷三角形解的個數(shù)七、正、余弦定理的實際應(yīng)用八、解三角形綜合小題九、邊角互化十、利用基本不等式求范圍問題十一、利用三角函數(shù)值域求范圍問題十二、正、余弦定理在幾何圖形中的計算【知識歸納】1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)．【題型歸納】題型一、余弦定理解三角形1．（2223高二上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期末）在中，角、、對的邊分別為、、．若，，，則角等于（）A． B． C． D．2．（2223高一下·遼寧鐵嶺·期末）在中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，若，，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2223高一下·山東青島·期末）記的三個內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，，，則的面積為（

）A． B． C． D．題型二、正弦定理解三角形4．（2223高一下·安徽宣城·期末）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B．或 C．或 D．或5．（2223高一下·廣東揭陽·期中）在中，內(nèi)角所對的邊分別是.已知，則的大小為（

）A．或 B． C．或 D．6．（2223高一下·江蘇淮安·期中）在中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，，，則的面積為（

）A． B．C． D．題型三、三角形面積公式及其應(yīng)用7．（2324高一下·江蘇常州·期中）在中，若，，，則的面積為（

）A． B． C． D．或8．（2223高一下·河南南陽·期末）已知△ABC中，，且△ABC的面積為，則△ABC的邊AB上的中線長為（

）A． B． C． D．9．（2223高一下·山東菏澤·期末）在中，內(nèi)角對邊分別為，且，當時，的面積是（

）A． B． C． D．3題型四、化角為邊判斷三角形形狀10．（2324高一下·福建泉州·期中）已知的內(nèi)角的對邊分別是，若，則（

）A． B． C．2 D．311．（2223高一下·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則一定是（

）A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形12．（2223高一下·安徽亳州·期末）在，其內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，則的形狀是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形題型五：化邊為角判斷三角形形狀13．（2223高一下·天津·期末）已知中，角所對的邊分別是，若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形14．（2223高一下·四川涼山·期末）中，若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形15．（2223高一下·江蘇宿遷·期末）在中，角所對的邊分別為．若，則為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形題型六、判斷三角形解的個數(shù)16．（2223高一下·浙江臺州·期末）在中角所對的邊分別為，若，，，則（

）A．當時， B．當時，有兩個解C．當時，只有一個解 D．對一切，都有解17．（2122高一下·福建莆田·期末）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，18．（2122高一下·河南開封·期末）在中，角，，所對的邊分別為，，，，，，若滿足條件的三角形有1個，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型七、正、余弦定理的實際應(yīng)用19．（2324高一下·江蘇無錫·期中）如圖，為了測量某鐵塔的高度，測量人員選取了與該塔底B在同一平面內(nèi)的兩個觀測點C與D，現(xiàn)測得，，米，在點C處測得塔頂A的仰角為，則該鐵塔的高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，）

A．40米 B．14米C．48米 D．52米20．（2023·山西·模擬預(yù)測）中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運城市永濟市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流芳后世．如圖，某同學(xué)為測量鸛雀樓的高度MN，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為37m，在地面上點C處（B，C，N三點共線）測得建筑物頂部A，鸛雀樓頂部M的仰角分別為和，在A處測得樓頂部M的仰角為，則鸛雀樓的高度約為（

）

A．74m B．60m C．52m D．91m21．（2223高一下·遼寧鞍山·期末）如圖，小明想測量自己家所在樓對面的電視塔的高度，他在自己家陽臺M處，M到樓地面底部點N的距離為，假設(shè)電視塔底部為E點，塔頂為F點，在自己家所在的樓與電視塔之間選一點P，且E，N，P三點共處同一水平線，在P處測得陽臺M處、電視塔頂處的仰角分別是和，在陽臺M處測得電視塔頂F處的仰角，假設(shè)，和點P在同一平面內(nèi)，則小明測得的電視塔的高為（

）

A． B． C． D．題型八、解三角形綜合小題22．（2324高一下·江蘇南通·期中）在中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．23．（2223高一下·貴州安順·期末）銳角中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，為的面積，且，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．24．（2223高一下·福建龍巖·期末）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，若，，則周長的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型九、邊角互化25．（2324高一下·上?！て谥校┑膬?nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．若，則=.26．（2223高一下·重慶渝中·期末）設(shè)中角所對的邊分別為，，，為邊上的中線；已知且，．則．27．（2122高一下·遼寧沈陽·期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，S表示的面積，若，，則.題型十、利用基本不等式求范圍問題28．（2324高一下·廣東·期末）已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為，滿足．(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求的周長的取值范圍．29．（2223高一下·安徽六安·期末）從條件①；②中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.在中：內(nèi)角的對邊分別為，______.(1)求角的大?。?2)設(shè)為邊的中點，求的最大值.30．（2223高一下·甘肅酒泉·期末）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的值域；(2)設(shè)三角形中，內(nèi)角、、所對邊分別為、、，已知，且銳角滿足，求的取值范圍.題型十一、利用三角函數(shù)值域求范圍問題31．（2223高二下·湖南郴州·期末）在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，若滿足．(1)求角的大??；(2)若，求的取值范圍．32．（2223高一下·四川成都·期末）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期和對稱中心；(2)已知銳角的三個角的對邊分別為，若，求周長的最大值．33．（2223高一下·黑龍江牡丹江·期末）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.(1)求角B；(2)若，求周長的取值范圍.題型十二、正、余弦定理在幾何圖形中的計算34．（2324高一下·廣東佛山·期中）四邊形中，，記，，的角平分線與相交于點，且，.(1)求的大?。?2)求的值.35．（2223高一下·云南玉溪·期末）如圖，在梯形中，，，．

(1)求CD；(2)平面內(nèi)點P在直線CD的上方，且滿足，求的最大值．36．（2223高一下·黑龍江哈爾濱·期末）已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，在①，②，③三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答．

(1)選__________，求角B的大?。?2)如圖，作，設(shè)，使得四邊形滿足，，求的取值范圍．【專題強化】一、單選題37．（2324高一下·江蘇南通·期中）一艘船以32nmile/h的速度向正北方向航行．從A處看燈塔S位于船北偏東的方向上，30分鐘后船航行到B處，從B處看燈塔S位于船北偏東的方向上，則燈塔S與B之間的距離為（

）A． B． C． D．38．（2223高一下·甘肅臨夏·期末）已知的外接圓半徑為4，，，則的面積S為（

）A． B．C． D．39．（2223高一下·吉林·期末）在中，，，，的角平分線交BC于D，則（

）A． B．2 C． D．40．（2223高一下·陜西寶雞·期末）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為，，，則（

）A． B． C．4 D．41．（2223高一下·福建福州·期末）瑞云塔位于福清市融城東南龍首橋頭，如圖，某同學(xué)為測量瑞云塔的高度MN，在瑞云塔的正東方向找到一座建筑物AB，高約為17.3m，在地面上點C處（B，C，N三點共線）測得建筑物頂部A，瑞云塔頂部M的仰角分別為和，在A處測得瑞云塔頂部M的仰角為，瑞云塔的高度約為（

）

A．39m B．34.6m C．33m D．32m42．（2223高一下·寧夏銀川·期末）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，則角A的大小為（

）A． B． C． D．43．（2223高一下·廣西南寧·期末）△ABD、△BCE、△CAF是3個全等的三角形，用這3個三角形拼成如圖所示的2個等邊三角形△ABC、△DEF，若，.，則DF＝（

）

A．1 B． C．2 D．44．（2223高一下·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知的內(nèi)角，，的邊分別對應(yīng)，，，若，為中點，若，，則（

）A． B． C． D．二、多選題45．（2223高一下·甘肅臨夏·期末）在中，，，，D為線段上的點，則下列說法正確的是（

）A．B．若D為的中點，則C．若為的平分線，則D．若，則46．（2223高一下·遼寧鞍山·期末）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，下列敘述正確的是（

）A．若，，，則滿足條件的三角形有且只有一個B．若，則為鈍角三角形C．若不是直角三角形，則D．若，則為等腰三角形47．（2223高一下·遼寧沈陽·期末）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則該三角形周長的最大值為6C．若角A的平分線AD交BC于D，且AD＝2，則D．若的面積為2，a，b，c邊上的高分別為，且，則的最大值為48．（2223高一下·安徽宣城·期末）已知的內(nèi)角A，B，C所的對邊分別為a，b，c，其中，，，下列四個命題中正確的是（

）A．是鈍角三角形 B．面積為C．外接圓面積為 D．若D為AB中點，則49．（2223高一下·貴州黔東南·期末）已知的內(nèi)角所對的分別是，且，是外一點，若，，則下列說法正確的是（

）A．B．若，則四點共圓C．是等邊三角形D．四邊形面積的最大值為三、填空題50．（2223高一下·黑龍江牡丹江·期末）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為，，，則.51．（2223高一下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）在銳角中，角的對邊分別為，且滿足，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為．=52．（2223高一下·河南安陽·期末）某同學(xué)為了測量學(xué)校天文臺的高度，選擇學(xué)校宿舍樓三樓一陽臺，到地面的距離為，在它們之間的地面上的點(、、三點共線)處測得陽臺，天文臺頂?shù)难鼋欠謩e是和，在用臺處測得天文臺頂?shù)难鼋菫?，假設(shè)、和點在同一平面內(nèi)，則學(xué)校天文臺的高度為.

53．（2223高一下·黑龍江大慶·期末）已知內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的最大值是．54．（2223高一下·江西景德鎮(zhèn)·期末）在銳角中，內(nèi)角，，的邊分別對應(yīng)，，，若，則的取值范圍是.四、解答題55．（2223高一下·重慶沙坪壩·期末）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．(1)求A；(2)若D為延長線上一點，且，求的取值范圍．56．（2223高一下·甘肅臨夏·期末）近年來臨夏州深入實施生態(tài)環(huán)境保護和流域綜合治理，城區(qū)面貌煥然一新某片水域，如圖，，為直線型岸線，米，米，，該水域的水面邊界是某圓的一段弧，過弧上一點P按線段和修建垃圾過濾網(wǎng)，已知．

(1)求岸線上點A與點B之間的距離；(2)如果線段上的垃圾過濾網(wǎng)每米可為環(huán)衛(wèi)公司節(jié)約50元的經(jīng)濟效益，線段上的垃圾過濾網(wǎng)每米可為環(huán)衛(wèi)公司節(jié)約元的經(jīng)濟效益，則這兩段垃圾過濾