隨機過程：隨機過程的基本概念

隨機過程第二章隨機過程的基本概念本章學習的主要內容★隨機過程的概念和定義★隨機過程的統(tǒng)計特性分析★平穩(wěn)隨機過程★各態(tài)歷經過程★隨機過程的聯(lián)合分布與互相關函數★隨機過程的功率譜密度2.2隨機過程的統(tǒng)計特性分析★隨機過程的概率分布★隨機過程的示性函數★隨機過程的特征函數本堂課的作業(yè)★第99頁習題2.32.42.5★第99頁習題2.262.272.2.1隨機過程的概率分布★問題的提出已知隨機過程是隨時間變化的隨機變量，在確定的時刻t，隨機過程就是通常的隨機變量。如果取n個確定的時刻t1,t2,…tn

，則隨機過程X(t)相應地表現為n個隨機變量X(t1),X(t2),…,X(tn)。當n足夠大，時間間隔△t=ti-ti-1足夠小時，這些隨機變量便可足夠精確地表示出隨機過程的變化特性。因此，在一定近似程度上，我們可用研究多維隨機變量的方法來研究隨機過程。根據以上理解，我們可以給出描述隨機過程統(tǒng)計特性的分布函數和概率密度。2.2.1隨機過程的概率分布★隨機過程的一維分布函數在某固定時刻t1,隨機過程X(t)就是一維隨機變量X(t1)。根據隨機變量分布函數的定義，X(t1)的分布函數為FX(x1)=P{X(t1)≤x1}。式中x1為隨機變量X(t1)的某一取值。推廣到隨機過程的情況，若t取任意可能的時刻，x為此時刻X(t)的取值，則隨機過程X(t)的一維分布函數定義為：

FX(x,t)=P{X(t)≤x}(2.2.1)

由上式可知，隨機過程X(t)的一維分布函數取決于給定時刻t和相應的取值x。實際上，求已知隨機過程X(t)的分布函數就是要知道所給定時刻的隨機變量的一維分布函數。2.2.1隨機過程的概率分布★隨機過程的一維概率密度與隨機變量的情況一樣，如果隨機過程X(t)的分布函數存在著對x的偏導數，則定義下式(2.2.2)為隨機過程X(t)的一維概率密度：如果知道了隨機過程的一維概率密度，也就確定了所有時刻上隨機變量的一維概率密度。隨機過程的一維分布函數和一維概率密度具有一維隨機變量的分布函數和概率密度的各種性質，所不同的是，它們還是時間t的函數。2.2.1隨機過程的概率分布★隨機過程的二維分布函數和二維概率密度如果將X(t1)和X(t2)分別看作是隨機過程X(t)在任意兩個不同時刻t1和t2的隨機變量，則隨機過程X(t)在t1和t2的二維分布函數定義為：

FX(x1,x2;t1,t2)=P{X(t1)≤x1,X(t2)≤x2

}(2.2.3)

同理，根據隨機過程X(t)的二維分布函數就可導出相應的二維概率密度，即：

2.2.1隨機過程的概率分布★隨機過程的n維分布函數和n維概率密度用類似的方法，可以建立隨機過程X(t)的n維分布函數和n維概率密度，即：

FX(x1,x2

…

xn;t1,t2…

tn)=P{X(t1)≤x1,X(t2)≤x2

…

X(tn)≤xn

}(2.2.5)

2.2.1隨機過程的概率分布★隨機過程一、二維分布的例子[例2.2.1]設隨機振幅信號X(t)=Ycosω0t，式中ω0是常數，Y是均值為零，方差為1的隨機變量，求在t=0,2π/3ω0

,π/2ω0時X(t)的概率密度，以及任意時刻t，X(t)的概率密度。2.2.1隨機過程的概率分布★隨機過程一、二維分布的例子（續(xù)）[解]當t=0時，X(0)=Y，所以fX(x,0)=fY(y)。

當t=2π/3ω0

時，X(2π/3ω0)=－Y/2，即有y=－2x，y’=－2，

由fX(x,2π/3ω0)=|y’|fY(y)得

2.2.1隨機過程的概率分布★隨機過程一、二維分布的例子（續(xù)）

當t=π/2

ω0

時，X(π/2

ω0)=0，也就是說，此時無論Y如何變化，

X(π/2

ω0)始終為0，即有P{X(π/2

ω0)=0}=1，所以X(π/2

ω0)的分布函數為

FX(x,π/2ω0)=u(x)

因此，fX(x,π/2ω0)=δ(x)2.2.1隨機過程的概率分布★隨機過程一、二維分布的例子（續(xù)）

一般而言，對任意時刻t，隨機變量X(t)是Y的函數，如果cosω0t不等于零，則有y=x/cosω0t

，y’=1/cosω0t

，所以

如果cosω0t=0，即t=(±k+1/2)π/ω0

時，有

fX(x,(±k+1/2)π/ω0)=δ(x)2.2.1隨機過程的概率分布★隨機過程一、二維分布的例子（續(xù)）[例2.2.2]設X(t)=cos(ω0t+Φ)，式中Φ為隨機變量，其樣本空間S={e1,e2}，e1為φ=0，e2為φ=－π/2，出現的概率皆為1/2。即隨機過程X(t)有兩個樣本函數：xⅠ

(t)=cosω0txⅡ

(t)=cos(ω0t－π/2)

下面來分析在t1和t2時刻上隨機過程X(t)的一維和二維概率分布。2.2.1隨機過程的概率分布★隨機過程一、二維分布的例子（續(xù)）[解]依據題意，我們可以得出隨機變量X(t1)和X(t2)的分布律如下：根據一維概率分布的定義，我們可以得出FX(x1,t1)，FX(x2,t2)，fX(x1,t1)和fX(x2,t2)。X(t1)10p(x1)0.50.5X(t2)-10p(x2)0.50.52.2.1隨機過程的概率分布★隨機過程一、二維分布的例子（續(xù)）我們還可以得出隨機變量X(t1)和X(t2)的二維分布律如下：由此可以得出FX(x1,x2,t1

,t2)和fX(x1,x2,t1

,t2)。

X(t1)X(t2)10-11/20001/22.2.2隨機過程的示性函數★數學期望數學期望表示隨機過程的瞬時統(tǒng)計均值?！锓讲罘讲蠲枋隽穗S機過程諸樣本偏離其數學期望的程度。2.2.2隨機過程的示性函數★自相關函數數學期望和方差僅僅描述了隨機過程在各個時刻上取值的特性，它們不能反映隨機過程不同時刻取值之間的內存聯(lián)系。兩個隨機過程可以具有相同的數學期望和方差，但它們各自不同時刻之間的相關性的差別卻可能是很大的。為了表征隨機過程在任意兩個不同時刻上取值之間的聯(lián)系，我們引入隨機過程的自相關函數。2.2.2隨機過程的示性函數★自相關函數（續(xù)）自相關函數反映了X(t)在任意兩個不同時刻取值之間的相關程度。它實際上是X(t)在t1和t2的隨機變量X(t1)和X(t2)之間的原點相關矩。自相關函數的絕對值越大，表示相關性越強。2.2.2隨機過程的示性函數★自相關函數（續(xù)）一般t1和t2相隔越遠，相關性越弱，相應的自相關函數的絕對值就越小。當t1＝t2＝t時，其相關性應當是最強的，相應的自相關函數RX(t,t)就有最大值，此時有2.2.2隨機過程的示性函數★協(xié)方差函數協(xié)方差函數與自相關函數的關系為：當t1＝t2＝t時，有2.2.2隨機過程的示性函數★狀態(tài)離散的隨機過程的示性函數

2.2.2隨機過程的示性函數★不相關、正交和統(tǒng)計獨立的概念1、若KX(t1,t2)=0，則稱隨機變量X(t1)和X(t2)之間不相關；2、若RX(t1,t2)=0，則稱隨機變量X(t1)和X(t2)之間相互正交；3、若fX(x1,x2;t1,t2)=fX(x1,t1)fX(x2,t2)，則稱隨機變量X(t1)和X(t2)之間是統(tǒng)計獨立的。2.2.2隨機過程的示性函數[例2.2.3]求隨機相位信號的均值、方差和自相關函數。[例2.2.4]設隨機過程X(t)由四條樣本函數組成，每條樣本函數出現的概率相等