【均值不等式在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探究5600字（論文）】

均值不等式在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究目錄TOC\o"1-2"\h\u121701前言 1277342均值不等式 1258992.1均值不等式的定義 1264182.2均值不等式的幾何背景 2278992.3均值不等式及其變形 39453如何運(yùn)用均值不等式求解最值 492883.1求解函數(shù)的最值 4157543.2生活中的最優(yōu)化問(wèn)題 8176983.3運(yùn)用均值不等式解決幾何中的最值問(wèn)題 999704運(yùn)用均值不等式比較一些代數(shù)式的大小 10326795均值不等式在證明特殊不等式中的應(yīng)用 118435.1利用綜合法證明不等式 11303415.2利用換元法證明不等式 12276676使用均值不等式常見(jiàn)的錯(cuò)例分析 121676.1漏記“一正”條件造成的錯(cuò)誤 13313336.2連續(xù)使用均值不等式時(shí)等號(hào)成立條件不一直導(dǎo)致的錯(cuò)誤 13248717結(jié)束語(yǔ) 14412參考文獻(xiàn) 15摘要；均值不等式是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，在高中數(shù)學(xué)中合理地去使用均值不等式可以使一些解題過(guò)程簡(jiǎn)單化.均值不等式本身并不難理解，但要靈活地應(yīng)用它去解決我們遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題是很有難度的.因此本文就均值不等式歷史起源、均值不等式的證明過(guò)程和均值不等式在初等數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用等方面進(jìn)行研究.關(guān)鍵字：均值不等式；初等數(shù)學(xué)；高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用1前言眾所周知等量關(guān)系是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯中最常見(jiàn)的一種數(shù)量關(guān)系，然而除了等量關(guān)系之外，另一種數(shù)量關(guān)系不等關(guān)系在我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯中也占有一席之地.不等關(guān)系主要是通過(guò)不等式表達(dá)的，不等式除了可以用來(lái)表達(dá)不等關(guān)系之外，還在求解函數(shù)最值、比較大小、證明不等式等多個(gè)方面都要重要作用.均值不等式是不等式中的一個(gè)特殊的不等式，均值不等式本身就包含著等價(jià)和非等價(jià)關(guān)系，所以均值不等式對(duì)我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯就顯得格外重要.在新課改下，均值不等式的內(nèi)容有所刪減，然而作為數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的不等式之一，均值不等式一直是高中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn)，也是高考的一個(gè)熱門(mén)考點(diǎn)，在近幾年的高考中也常常有它的身影.因此本文主要從均值不等式在求解函數(shù)最值、比較大小、證明不等式等方面進(jìn)行研究.2均值不等式2.1均值不等式的定義均值不等式又稱(chēng)為平均不等式或平均值不等式，它是高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，即公式的數(shù)學(xué)表達(dá)式為，其中；，被稱(chēng)為調(diào)和平均數(shù).，被稱(chēng)為幾何平均數(shù).，被稱(chēng)為算數(shù)平均數(shù).，被稱(chēng)為平方平均數(shù).2.2均值不等式的幾何背景2.2.1趙爽的“弦圖”公元3世紀(jì)，中國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽“負(fù)薪余日，聊觀《周髀》”，他在給《周髀算經(jīng)》“勾股網(wǎng)方圖”作注時(shí)，給出圖1所示的“大方圖”.即用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表示為若直角三角形兩直角邊為則，，從而可得到不等式REF_Ref28028\r\h[1].2.2.2歐幾里得的矩形之變歐幾里得在《幾何原本》卷六命題13中給出了兩條已知線段之間的幾何中項(xiàng)的作圖法，如圖2，以AB為直徑做半圓ADB，則CD為AC和CB之間的幾何中項(xiàng).由歐幾里得的這種作圖法，若設(shè)AC=，CB=，則CD=，AB=，我們可以發(fā)現(xiàn)是三角形ADB的外接圓的半徑，添上外接圓O的半徑OD（如圖3），則OD=因CDOD，所以，這便是均值不等式的幾何意義.綜上所述，通過(guò)對(duì)這些歷史資料的研究，仿佛再現(xiàn)了均值不等式的“源頭”，揭示了均值不等式的歷史意義，值得我們細(xì)細(xì)品味.2.3均值不等式及其變形均值不等式的表達(dá)式為.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)可以取“=”.本文中所應(yīng)用到的均值不等式及其變形公式有REF_Ref15027\r\h[2]：（1）若，則；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)可以取“=”）（2）若，則；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)可以取“=”）（3）若，則；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)可以取“=”）說(shuō)明；（1）與是均值不等式常見(jiàn)的兩種表現(xiàn)形式.（2）這是求解最小值的有力武器.（3）與為均值不等式的變形公式.（4）“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是存在并且僅僅在這些條件成立的時(shí)候.（5）觀察上式可以得出這樣的結(jié)論；和定積最大；積定和最小.3如何運(yùn)用均值不等式求解最值3.1求解函數(shù)的最值函數(shù)是我們初等數(shù)學(xué)中接觸的知識(shí)，而函數(shù)的最值問(wèn)題一直是初等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，同時(shí)函數(shù)最值也是高考的一個(gè)熱門(mén)考點(diǎn)，而均值不等式一直是攻破解函數(shù)最值的最有力的武器，所以如何使用均值不等式去解決函數(shù)的最值問(wèn)題就顯得格外重要REF_Ref27456\r\h[3].少數(shù)函數(shù)式可以直接通過(guò)運(yùn)用均值不等式進(jìn)行求解，而大多數(shù)函數(shù)都不行，這時(shí)我們就需要通過(guò)我們學(xué)過(guò)的代換、分離、拼湊等多種方法來(lái)化簡(jiǎn)函數(shù)式，下面就分享一些解決函數(shù)問(wèn)題的技巧和方法.3.1.1直接使用均值不等式求解最值例1已知，求的最小值.解；因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)有最小值，最小值為4.例2若，求的最小值.解；因?yàn)樗裕ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）注；1）我們?cè)诮鉀Q此類(lèi)問(wèn)題時(shí)通過(guò)觀察，便可看出可以直接使用均值不等式進(jìn)行求解，在解題時(shí)需要注意不等式中的各項(xiàng)是否都為正數(shù)，然后帶入公式直接求解即可.2）求解最值時(shí)一定要注意只有在等號(hào)成立時(shí)函數(shù)才能取到最值，否則不能使用均值不等式求最值.3.1.2配湊項(xiàng)后使用均值不等式例3已知，求函數(shù)的最大值.[4]解；恒大于0.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，上式最大值為1.例4已知，求=的最大值.解；0<<，3-2>0當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，又由題意得，所以上式最大值.評(píng)析；我們?cè)谶M(jìn)行解題時(shí)往往會(huì)出現(xiàn)不能直接運(yùn)用均值不等式進(jìn)行求解的題，此時(shí)可以通過(guò)觀察，看能否通過(guò)增加或者減少某些項(xiàng)來(lái)滿(mǎn)足均值不等式的使用條件，待滿(mǎn)足均值不等式的使用條件后再使用均值不等式進(jìn)行求解REF_Ref22766\r\h[5].3.1.3“1”代換后使用均值不等式例5已知，，求的最小值解；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)可以取等號(hào)成立），又，可得時(shí)，.例6設(shè)，且，則的最小值為多少.解；因?yàn)?，又因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為4.評(píng)析；在解題時(shí)合理的運(yùn)用數(shù)字“1”，可以起到事半功倍的作用，除上述直接給出的“1”的代換外，還應(yīng)時(shí)刻牢記，這是個(gè)隱藏的條件有時(shí)題目不會(huì)明確給出.3.1.4平方后使用均值不等式例7求=的最大值.解；因?yàn)楦?hào)下兩個(gè)式子的和為定值，所以又因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)可以取等號(hào).所以上式最大值為.例8已知，求函數(shù)的最大值.解；因?yàn)椋?所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以上式最大值為.評(píng)析；在解題時(shí)，如果解析式帶有根號(hào)，可以將解析式兩邊同時(shí)平方，或立方n次方，然后在使用均值不等式進(jìn)行解題.3.1.5換元后使用均值不等式例9求函數(shù)的最大值.解；令；則；當(dāng)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，可以取等號(hào).所以時(shí)，上式有最大值，最大值為.評(píng)析；通過(guò)使用換元法，可以把原來(lái)雜亂無(wú)章的解析式轉(zhuǎn)化為通俗易懂的式子，可能轉(zhuǎn)化的過(guò)程比較復(fù)雜，但是換元后往往可以直接使用均值不等式進(jìn)行求解.3.1.6引入?yún)?shù)后使用均值不等式例10求函數(shù)的最小值.[6]解；由題意得引入待定參數(shù)，且，則有當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以上式的最小值為.例11求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和取到最大值時(shí)的的值.解；引入兩個(gè)正實(shí)數(shù)后利用均值不等式求解；；當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，上式最大值為.評(píng)析；在面對(duì)和（或積）不滿(mǎn)足均值不等式使用條件的函數(shù)時(shí)，可以換一種解題思路試試，比如引入?yún)?shù)，引入?yún)?shù)后使得新的函數(shù)式滿(mǎn)足均值不等式的使用條件再對(duì)其使用均值不等式求解.3.2生活中的最優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)是人們對(duì)生活的總結(jié)，而解決生活中數(shù)學(xué)問(wèn)題是生活對(duì)數(shù)學(xué)的反饋，生活中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題有土地資源規(guī)劃和商業(yè)投資等，解決這類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題往往需要結(jié)合實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型在通過(guò)對(duì)模型的分析和求解從而得出最優(yōu)的方案，而攻破數(shù)學(xué)模型的最有力的武器便是均值不等式，而解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是把均值不等式與這些最優(yōu)化問(wèn)題聯(lián)系在一起，如何使用均值不等式就顯得尤為重要，本文就如何解決這類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題得出以下幾個(gè)結(jié)論：我們?cè)诿媾R問(wèn)題時(shí)，往往不能很全面的得到所有的信息，那些未知的信息可以被我們?cè)O(shè)置未知數(shù)來(lái)幫助我們解決問(wèn)題，而未知數(shù)的設(shè)置并不是隨機(jī)的，而是把我們所要求的關(guān)系式的變量設(shè)置為未知數(shù).（2）挖掘并整理題目中給出的信息，根據(jù)這些信息建立函數(shù)關(guān)系式，從而把實(shí)際生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用均值不等式對(duì)所建立的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解，以此來(lái)直接解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而間接解決實(shí)際問(wèn)題.（3）要注意所設(shè)函數(shù)的變量的使用范圍以及條件.例12某學(xué)校計(jì)劃修一個(gè)矩形的籃球場(chǎng)，球場(chǎng)的正面有一面很長(zhǎng)的墻，所以要以這面墻和一面100米長(zhǎng)的籬笆修建一個(gè)籃球場(chǎng)，要怎么樣修建才能使得這個(gè)矩形籃球場(chǎng)的面積最大？解；設(shè)圍墻的鄰邊長(zhǎng)為米，則圍墻對(duì)邊長(zhǎng)為米，那么所圍場(chǎng)地的面積為當(dāng)且僅當(dāng)，即米時(shí)，所圍成的面積最大，最大面積為1250平方米.例13某可樂(lè)工廠準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對(duì)可樂(lè)進(jìn)行促銷(xiāo)，在一年內(nèi)，預(yù)計(jì)年銷(xiāo)量（萬(wàn)件）與廣告費(fèi)（萬(wàn)元）之間的函數(shù)關(guān)系式為，已知生產(chǎn)可樂(lè)每年固定投入為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件可樂(lè)還需要再投入32萬(wàn)元，如果每件銷(xiāo)售價(jià)為“年平均每件成本的150%”與“年平均每件所占產(chǎn)廣告費(fèi)的50%”之差，求年廣告費(fèi)投入多少時(shí)，企業(yè)利潤(rùn)最大？REF_Ref26077\r\h[13]解；設(shè)年利潤(rùn)為萬(wàn)元，年成本為萬(wàn)元，年收入為萬(wàn)元，則年利潤(rùn)，整理后得，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，該工廠的最大年利潤(rùn)為42萬(wàn)元.3.3運(yùn)用均值不等式解決幾何中的最值問(wèn)題像均值不等式這樣強(qiáng)力的武器，不僅僅是攻破函數(shù)最值得有利武器，而且在平面幾何和立體幾何中也常常有出色的表現(xiàn)，在利用這個(gè)雙面刃時(shí)，使用得當(dāng)可以起事半功倍的作用，使用不當(dāng)就會(huì)使計(jì)算出現(xiàn)很大的錯(cuò)誤.說(shuō)以使用均值不等式時(shí)一定要注意均值不等式的使用條件.例14一圓柱的軸截面周長(zhǎng)是一個(gè)定值，那么該圓柱的體積最大為多少？解；設(shè)該圓柱的半徑和高為別為，體積為.則該圓柱的軸截面表達(dá)式為，化簡(jiǎn)后為；所以該圓柱的體積，所以該圓柱的最大體積為.4運(yùn)用均值不等式比較一些代數(shù)式的大小不等式本身作為式就存在大小，而比較代數(shù)式的大小就顯得尤為重要.在初等數(shù)學(xué)中我們也學(xué)習(xí)了許多比較代數(shù)式大小的方法，常見(jiàn)的有分析比較法、放縮法等.然而均值不等式本身就表示了兩個(gè)代數(shù)式的大小關(guān)系，在進(jìn)行代數(shù)式的大小比較時(shí)，在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)運(yùn)用它可能會(huì)出現(xiàn)意想不到的效果，甚至有些很難比較大小的式子都能將其簡(jiǎn)化.例15若，，則的大小關(guān)系為？解；有題意可知，所以；所以有，所以；同理可得，所以.故的大小關(guān)系為.評(píng)析；我們?cè)谑褂镁挡坏仁綍r(shí)不能只想到它的表達(dá)式，當(dāng)運(yùn)用均值不等式出現(xiàn)困難時(shí)，如果把目光放到它的變形式上，可能出現(xiàn)新的突破口.例16若則的大小關(guān)系為？解；因?yàn)?，?dāng)時(shí)等號(hào)成立；；所以的大小關(guān)系為.評(píng)析；均值不等式是在高中才開(kāi)始接觸的不等式，雖然我們接觸它的時(shí)間很短暫，但是它卻是非常重要的一類(lèi)不等式，在很多時(shí)候巧妙靈活的運(yùn)用均值不等式可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程，在比較大小中，如果能靈活運(yùn)用均值不等式，可以巧妙的得出結(jié)論.5均值不等式在證明特殊不等式中的應(yīng)用在現(xiàn)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯中，我們學(xué)習(xí)了很多種證明不等式的方法，比如我們熟知的綜合法、換元法等，如果我們?cè)谧C明不等式成立的過(guò)程中巧妙地結(jié)合均值不等式，說(shuō)不定能讓問(wèn)題變得更容易求解.本文就例舉幾個(gè)常見(jiàn)的證明不等式的方法進(jìn)行研究REF_Ref18795\r\h[7].5.1利用綜合法證明不等式例17假如是互不相等的正數(shù)，求證.解；由題意得，所以；又因?yàn)闉榛ゲ幌嗟鹊恼龜?shù)，所以；所以，即得證.評(píng)析；本小題在證明不等式的過(guò)程中巧妙運(yùn)用了均值不等式，使計(jì)算變得更加簡(jiǎn)便.例18已知，求證；.解；因?yàn)椋?；同理可得，；三式相加有；即，得證.小結(jié)；證明不等式的方法有很多種，運(yùn)用綜合法證明不等式，其實(shí)就是合理的利用所有的已知的條件與均值不等式相結(jié)合從而進(jìn)行求解的方法，該方法理解與應(yīng)用起來(lái)比較簡(jiǎn)單，適合大多數(shù)不等式的證明，合理的應(yīng)用往往能使解題過(guò)程簡(jiǎn)單化.5.2利用換元法證明不等式例19證明；若，則；解；設(shè)，，，則；所以；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；所以；即；所以原式成立.評(píng)析；在證明不等式時(shí)可以通過(guò)換元法來(lái)使不等式的項(xiàng)變多（或者變少），通過(guò)換元之后的代數(shù)式往往能夠滿(mǎn)足均值不等式的使用條件，但是要注意的是換元后等號(hào)成立的條件也會(huì)發(fā)生改變，需要把原來(lái)的元換回來(lái)才能得出結(jié)論.6使用均值不等式常見(jiàn)的錯(cuò)例分析我們?cè)谑褂镁挡坏仁剑?，?dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取等號(hào)）時(shí)常常會(huì)出現(xiàn)一些使用不當(dāng)?shù)默F(xiàn)象，大到公式使用時(shí)機(jī)，小到運(yùn)算符號(hào)，這些使用不當(dāng)出現(xiàn)的錯(cuò)誤都是可以通過(guò)更深入的了解均值不等式去避免的.本文就例舉幾個(gè)在使用均值不等式時(shí)常常出現(xiàn)的錯(cuò)誤來(lái)研究REF_Ref14125\r\h[8].6.1漏記“一正”條件造成的錯(cuò)誤例20已知，求的最值.錯(cuò)解；為定值，，的最小值為4.注；雖然=4為定值，但是因?yàn)?，，此時(shí)不能直接使用均值不等式，必須要將轉(zhuǎn)化為正數(shù)能運(yùn)用均值不等式進(jìn)行求解.正解；，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)可以取等號(hào)，所以上式的的最大值應(yīng)為-4.6.2連續(xù)使用均值不等式時(shí)等號(hào)成立條件不一直導(dǎo)致的錯(cuò)誤例21已知，，，求的最小值.錯(cuò)解；由題意可知，可得，所以得，所以上式的最小值為24.評(píng)析：上式在計(jì)算時(shí)沒(méi)有仔細(xì)閱讀題目，而盲目使用了兩次均值不等式，導(dǎo)致了錯(cuò)誤，正確的解法應(yīng)該是使用1的代換.正解；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以上式的正確解為25.小結(jié)；我們?cè)谑褂镁挡坏仁綍r(shí)，或多或少都會(huì)存在一些計(jì)算上的失誤和公式使用上的錯(cuò)誤，以上是我舉的兩個(gè)常見(jiàn)的均值不等式使用錯(cuò)誤導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤的例子，讓我們更加熟悉均值不等式，從而能更好的去使用它.7結(jié)束語(yǔ)均值不等式是我們?cè)诟咧须A段才開(kāi)始接觸的新內(nèi)容，它的運(yùn)用范圍非常的廣泛，所謂學(xué)海無(wú)涯，它還有