預(yù)習(xí)08圓的方程（七大考點(diǎn)）（原卷版）

預(yù)習(xí)08圓的方程一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．圓的定義：圓是平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合．2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：我們把方程稱為圓心為,半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．3．幾種特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程條件方程形式過(guò)原點(diǎn)圓心在原點(diǎn)圓心在x軸上圓心在y軸上圓心在x軸上且過(guò)原點(diǎn)圓心在y軸上且過(guò)原點(diǎn)與x軸相切與y軸相切二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：（1）點(diǎn)在圓外；（2）點(diǎn)在圓上；（3）點(diǎn)在圓內(nèi).三、圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的最大、最小距離設(shè)圓心到定點(diǎn)的距離為,圓的半徑為,圓上的動(dòng)點(diǎn)為:（1）若點(diǎn)在圓外,則;（2）若點(diǎn)在圓上,則;（3）若點(diǎn)在圓內(nèi),則.綜上,.四、圓的一般方程1．圓的一般方程當(dāng)時(shí),方程表示一個(gè)圓．我們把方程叫做圓的一般方程．2．對(duì)方程的說(shuō)明對(duì)方程配方得，與0的大小關(guān)系對(duì)方程圖形的影響如下表：條件圖形不表示任何圖形表示一個(gè)點(diǎn)表示以為圓心,以為半徑的圓考點(diǎn)01 求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【方法點(diǎn)撥】確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：（1）幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)等，直接求出圓的圓心和半徑，進(jìn)而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）待定系數(shù)法：①設(shè)——設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；②列——由已知條件，建立關(guān)于的方程組；③解——解方程組，求出；④代——將代入所設(shè)方程，得所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【例1】寫(xiě)出下列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)圓心為，半徑是；(2)圓心為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).【例2】圓心在軸上，半徑為，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程為（

）．A． B．C． D．【變式11】過(guò)圓外一點(diǎn)，以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【變式12】過(guò)和兩點(diǎn)的面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【變式13】圓與圓N關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)02 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【方法點(diǎn)撥】判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法：（1）計(jì)算該點(diǎn)與圓的圓心距離，與半徑做比較即可；（2）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷式子兩邊的符號(hào)，并做出判斷．【例3】已知兩直線與的交點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【例4】已知點(diǎn)，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：，若點(diǎn)M在圓C上，則a的值為；若點(diǎn)M在圓C的內(nèi)部，則a的取值范圍為．【變式21】（多選）已知，兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓為圓P，則（

）A．在圓P上 B．在圓P內(nèi)C．在圓P內(nèi) D．在圓P外【變式22】點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在圓內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【變式23】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系如何？考點(diǎn)03 二元二次方程是否表示圓【方法點(diǎn)撥】判斷二元二次方程是否表示圓，一般先看這個(gè)方程是否具備圓的一般方程的特征，當(dāng)它具備圓的一般方程的特征時(shí)，再看它能否表示圓．方法如下：一是看是否大于零；二是直接配方變形為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，看方程等號(hào)右端是否為大于零的常數(shù)．【例5】如果方程表示一個(gè)圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是什么？與圓是怎樣的位置關(guān)系呢？【例6】已知曲線，則“”是“曲線是圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式31】（多選）已知方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)m可能的取值為（

）A．－1 B．0 C． D．1【變式32】（多選）若方程表示一個(gè)圓，則的取值可能為（

）A．3 B．2 C． D．【變式33】若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．考點(diǎn)04 求圓的一般方程【方法點(diǎn)撥】用待定系數(shù)法求解圓的方程，選用標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程的原則是：如果已知條件易得圓心坐標(biāo)、半徑或可用圓心坐標(biāo)、半徑建立方程，則通常設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；否則可設(shè)圓的一般方程．【例7】已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（

）A． B．C． D．【例8】過(guò)，，三點(diǎn)的圓與軸交于，兩點(diǎn)，則（

）A．3 B．4 C．8 D．6【變式41】過(guò)三點(diǎn)的圓的方程為．【變式42】已知圓的圓心在直線上，且過(guò)點(diǎn)，，則圓的一般方程為.【變式43】圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)05 圓的軌跡問(wèn)題（直接法）【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件，建立關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的幾何關(guān)系，再利用有關(guān)公式(如兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式等)進(jìn)行整理、化簡(jiǎn)．【例9】若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為3，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則△PAB面積的最大值為．【例10】已知兩點(diǎn)，，點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡方程為.【變式51】動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線的斜率之積為，則點(diǎn)的軌跡方程是.【變式52】已知點(diǎn)、是距離為4的兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．【變式53】已知，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離是它與點(diǎn)的距離的倍.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)如果把倍改成倍，求點(diǎn)的軌跡.考點(diǎn)06 圓的軌跡問(wèn)題（代入法）【方法點(diǎn)撥】如果動(dòng)點(diǎn)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)，而又按某個(gè)規(guī)律運(yùn)動(dòng)，則可先用表示，再把代入它滿足的條件便得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．【例11】線段長(zhǎng)度為4，其兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，則線段中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為（

）A．2 B．4 C． D．【例12】已知定點(diǎn)為圓的動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【變式61】已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程：(2)若動(dòng)點(diǎn)Q滿足，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；【變式62】已知點(diǎn)，點(diǎn)在的圓周上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡圍成圖形的面積為（

）A． B． C． D．【變式63】從定點(diǎn)向圓任意引一條割線交圓于、兩點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)的軌跡．考點(diǎn)07 圓的最值問(wèn)題【方法點(diǎn)撥】已知點(diǎn)在圓上，求的最值問(wèn)題的處理方法如下：（1）求圓心與定點(diǎn)間的距離（2）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)知，①當(dāng)點(diǎn)M在圓外時(shí)，；②當(dāng)點(diǎn)M在圓內(nèi)時(shí)，.【例13】若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．【例14】已知P是過(guò)，，三點(diǎn)的圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C．5 D．20【變式71】已知圓，求圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值與最小值．【變式72】.已知是圓上的一點(diǎn)，則的最小值是【變式73】已知直線與直線相交于點(diǎn)，，則點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的最小值為．一、單選題1．過(guò)點(diǎn)和，且圓心在x軸上的圓的方程為（

）A． B．C． D．2．若點(diǎn)在圓O：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．圓恒過(guò)的定點(diǎn)為（

）A． B．C． D．4．已知圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．5．過(guò)圓和的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程為（

）A． B．．C． D．二、多選題6．設(shè)直線：，：，則（

）A．與平行 B．與相交C．與的交點(diǎn)在圓上 D．與的交點(diǎn)在圓外7．已知，是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，且，則滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓的是（

）A． B．C． D．三、填空題8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的曲線的方程為．9．已知圓關(guān)于直線l對(duì)稱的圓為圓，則直線l的方程為.四、解答題10．已知點(diǎn)，，，直線與軸交于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.11．已知圓的圓心為直線與直線的交點(diǎn)，且圓的半徑為.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若為圓上任意一點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程.12．趙州橋，又名安濟(jì)橋，位于河北省石家莊市趙縣的洨河上，距今已有多年的歷史，是保存最完整的古代單孔敞肩石拱橋，其高超的技術(shù)水平和不朽的藝術(shù)價(jià)值，彰顯了中國(guó)勞動(dòng)人民的智慧和力量．2023年以來(lái)，中國(guó)文旅市場(chǎng)迎來(lái)強(qiáng)勁復(fù)蘇，某地一旅游景點(diǎn)為吸引游客，參照趙州橋的樣式在景區(qū)興建圓拱橋，該圓拱橋的圓拱跨度為，拱高為，