預(yù)習(xí)08圓的方程（七大考點）（原卷版）

預(yù)習(xí)08圓的方程一、圓的標準方程1．圓的定義：圓是平面上到定點的距離等于定長的點的集合．2．圓的標準方程：我們把方程稱為圓心為,半徑為r的圓的標準方程．3．幾種特殊位置的圓的標準方程條件方程形式過原點圓心在原點圓心在x軸上圓心在y軸上圓心在x軸上且過原點圓心在y軸上且過原點與x軸相切與y軸相切二、點與圓的位置關(guān)系點與圓的位置關(guān)系：（1）點在圓外；（2）點在圓上；（3）點在圓內(nèi).三、圓上的點到定點的最大、最小距離設(shè)圓心到定點的距離為,圓的半徑為,圓上的動點為:（1）若點在圓外,則;（2）若點在圓上,則;（3）若點在圓內(nèi),則.綜上,.四、圓的一般方程1．圓的一般方程當時,方程表示一個圓．我們把方程叫做圓的一般方程．2．對方程的說明對方程配方得，與0的大小關(guān)系對方程圖形的影響如下表：條件圖形不表示任何圖形表示一個點表示以為圓心,以為半徑的圓考點01 求圓的標準方程【方法點撥】確定圓的標準方程的方法：（1）幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)等，直接求出圓的圓心和半徑，進而得到圓的標準方程；（2）待定系數(shù)法：①設(shè)——設(shè)所求圓的標準方程為；②列——由已知條件，建立關(guān)于的方程組；③解——解方程組，求出；④代——將代入所設(shè)方程，得所求圓的標準方程.【例1】寫出下列圓的標準方程：(1)圓心為，半徑是；(2)圓心為，且經(jīng)過點.【例2】圓心在軸上，半徑為，且過點的圓的方程為（

）．A． B．C． D．【變式11】過圓外一點，以為直徑的圓的標準方程是（

）A． B．C． D．【變式12】過和兩點的面積最小的圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【變式13】圓與圓N關(guān)于直線對稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．考點02 點與圓的位置關(guān)系【方法點撥】判斷點與圓的位置關(guān)系的方法：（1）計算該點與圓的圓心距離，與半徑做比較即可；（2）把點的坐標代入圓的標準方程，判斷式子兩邊的符號，并做出判斷．【例3】已知兩直線與的交點在圓的內(nèi)部，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【例4】已知點，圓C的標準方程：，若點M在圓C上，則a的值為；若點M在圓C的內(nèi)部，則a的取值范圍為．【變式21】（多選）已知，兩點，以線段為直徑的圓為圓P，則（

）A．在圓P上 B．在圓P內(nèi)C．在圓P內(nèi) D．在圓P外【變式22】點關(guān)于直線的對稱點在圓內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是．【變式23】點與圓的位置關(guān)系如何？考點03 二元二次方程是否表示圓【方法點撥】判斷二元二次方程是否表示圓，一般先看這個方程是否具備圓的一般方程的特征，當它具備圓的一般方程的特征時，再看它能否表示圓．方法如下：一是看是否大于零；二是直接配方變形為標準方程的形式，看方程等號右端是否為大于零的常數(shù)．【例5】如果方程表示一個圓，那么實數(shù)k的取值范圍是什么？與圓是怎樣的位置關(guān)系呢？【例6】已知曲線，則“”是“曲線是圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式31】（多選）已知方程表示一個圓，則實數(shù)m可能的取值為（

）A．－1 B．0 C． D．1【變式32】（多選）若方程表示一個圓，則的取值可能為（

）A．3 B．2 C． D．【變式33】若點在圓的外部，則實數(shù)a的取值范圍為．考點04 求圓的一般方程【方法點撥】用待定系數(shù)法求解圓的方程，選用標準方程還是一般方程的原則是：如果已知條件易得圓心坐標、半徑或可用圓心坐標、半徑建立方程，則通常設(shè)圓的標準方程；否則可設(shè)圓的一般方程．【例7】已知圓C經(jīng)過點和點，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（

）A． B．C． D．【例8】過，，三點的圓與軸交于，兩點，則（

）A．3 B．4 C．8 D．6【變式41】過三點的圓的方程為．【變式42】已知圓的圓心在直線上，且過點，，則圓的一般方程為.【變式43】圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．考點05 圓的軌跡問題（直接法）【方法點撥】根據(jù)題目條件，建立關(guān)于動點的幾何關(guān)系，再利用有關(guān)公式(如兩點間的距離公式、點到直線的距離公式等)進行整理、化簡．【例9】若平面內(nèi)兩定點A，B間的距離為3，動點P滿足，則△PAB面積的最大值為．【例10】已知兩點，，點P滿足，則點P的軌跡方程為.【變式51】動點與定點的連線的斜率之積為，則點的軌跡方程是.【變式52】已知點、是距離為4的兩個定點，動點滿足，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，并求動點的軌跡方程．【變式53】已知，動點與點的距離是它與點的距離的倍.(1)求點的軌跡方程；(2)如果把倍改成倍，求點的軌跡.考點06 圓的軌跡問題（代入法）【方法點撥】如果動點依賴于另一動點，而又按某個規(guī)律運動，則可先用表示，再把代入它滿足的條件便得到動點的軌跡方程．【例11】線段長度為4，其兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，則線段中點的軌跡所圍成圖形的面積為（

）A．2 B．4 C． D．【例12】已知定點為圓的動點，則線段的中點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【變式61】已知點，動點P滿足．(1)求動點P的軌跡方程：(2)若動點Q滿足，求動點Q的軌跡方程；【變式62】已知點，點在的圓周上運動，點滿足，則點的運動軌跡圍成圖形的面積為（

）A． B． C． D．【變式63】從定點向圓任意引一條割線交圓于、兩點，求弦的中點的軌跡．考點07 圓的最值問題【方法點撥】已知點在圓上，求的最值問題的處理方法如下：（1）求圓心與定點間的距離（2）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)知，①當點M在圓外時，；②當點M在圓內(nèi)時，.【例13】若實數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．【例14】已知P是過，，三點的圓上的動點，則的最大值為（

）A． B． C．5 D．20【變式71】已知圓，求圓上的點到點的距離的最大值與最小值．【變式72】.已知是圓上的一點，則的最小值是【變式73】已知直線與直線相交于點，，則點到坐標原點O的距離的最小值為．一、單選題1．過點和，且圓心在x軸上的圓的方程為（

）A． B．C． D．2．若點在圓O：外，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．圓恒過的定點為（

）A． B．C． D．4．已知圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．5．過圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程為（

）A． B．．C． D．二、多選題6．設(shè)直線：，：，則（

）A．與平行 B．與相交C．與的交點在圓上 D．與的交點在圓外7．已知，是平面內(nèi)兩個定點，且，則滿足下列條件的動點的軌跡為圓的是（

）A． B．C． D．三、填空題8．在平面直角坐標系中，已知點，若為平面上的一個動點且，則點運動所形成的曲線的方程為．9．已知圓關(guān)于直線l對稱的圓為圓，則直線l的方程為.四、解答題10．已知點，，，直線與軸交于點.(1)求點的坐標；(2)求的外接圓的標準方程.11．已知圓的圓心為直線與直線的交點，且圓的半徑為.(1)求圓的標準方程；(2)若為圓上任意一點，，點滿足，求點的軌跡方程.12．趙州橋，又名安濟橋，位于河北省石家莊市趙縣的洨河上，距今已有多年的歷史，是保存最完整的古代單孔敞肩石拱橋，其高超的技術(shù)水平和不朽的藝術(shù)價值，彰顯了中國勞動人民的智慧和力量．2023年以來，中國文旅市場迎來強勁復(fù)蘇，某地一旅游景點為吸引游客，參照趙州橋的樣式在景區(qū)興建圓拱橋，該圓拱橋的圓拱跨度為，拱高為，