2022-2023學(xué)年北京市清華附中望京學(xué)校八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2022-2023學(xué)年北京市清華附中望京學(xué)校八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)。1．（3分）下列式子中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列四組線段中，不能作為直角三角形三條邊的是（）A．3，4，5 B．2，2，2 C．2，5，6 D．5，12，133．（3分）下列各式中，運(yùn)算正確的是（）A．2+＝2 B．﹣＝ C．?＝ D．÷＝94．（3分）能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD5．（3分）下列命題正確的是（）A．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形 B．有兩個(gè)角是直角的四邊形是矩形 C．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D．有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形6．（3分）如圖，在正方形ABCD外側(cè)，作等邊三角形ADE，AC，BE相交于點(diǎn)F，則∠BFC為（）A．75° B．60° C．55° D．45°7．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DE上一點(diǎn)，∠AFC＝90°，BC＝10cm，AC＝6cm，則DF長(zhǎng)為（）cm．A．1 B．2 C．3 D．48．（3分）如圖，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)不與線段BC，CD的端點(diǎn)重合）且BE＝CF，連接OE，OF，EF．在點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，下列四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．△OBE≌△OCF B．△OEF始終是等腰直角三角形 C．△OEF面積的最小值是1 D．四邊形OECF的面積始終是1二、填空題（本題共24分，每小題3分）9．（3分）使有意義的x的取值范圍是．10．（3分）若平行四邊形中兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是1：2，則其中較小的角是°．11．（3分）在湖的兩側(cè)有A，B兩個(gè)消防栓，為測(cè)定它們之間的距離，小明在岸上任選一點(diǎn)C，并量取了AC中點(diǎn)D和BC中點(diǎn)E之間的距離為16米，則A，B之間的距離應(yīng)為米．12．（3分）如圖，將平行四邊形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，3），點(diǎn)A的坐標(biāo)是（5，0），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是．13．（3分）將四個(gè)圖1中的直角三角形，分別拼成如圖2，圖3所示的正方形，則圖2中陰影部分的面積為．14．（3分）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上．“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，“遠(yuǎn)航”號(hào)以每小時(shí)16nmile的速度沿北偏東30°方向航行，“海天”號(hào)以每小時(shí)12nmile的速度沿北偏西60°方向航行．一小時(shí)后，“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)分別位于Q，R處，則此時(shí)“遠(yuǎn)航”號(hào)與“海天”號(hào)的距離為nmile．15．（3分）如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線BD所在直線折疊，點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)，落點(diǎn)記為C′，BC′與AD交于點(diǎn)E，若AB＝3，BC＝4，則DE的長(zhǎng)為．16．（3分）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M，N在對(duì)角線AC上（可與點(diǎn)A，C重合），MN＝2，點(diǎn)P，Q在正方形的邊上．下面四個(gè)結(jié)論中，①存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形PMQN是平行四邊形；②存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形PMQN是菱形；③存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形PMQN是矩形；④至少存在一個(gè)四邊形PMQN是正方形．所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題（本題共52分，17題10分，18-20題，每小題10分，21-22每小題10分，23題7分，24題8分)17．（10分）計(jì)算：（1）；（2）．18．（5分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．19．（5分）已知：如圖，在平行四邊形ABDC中，點(diǎn)E、F在AC上，且AE＝CF．求證：四邊形BEDF是平行四邊形．20．（5分）學(xué)習(xí)完四邊形的知識(shí)后，小明想出了“作三角形一邊中線”的另一種尺規(guī)作圖的作法，下面是具體過(guò)程．已知：△ABC．求作：BC邊上的中線AD．作法：如圖，①分別以點(diǎn)B，C為圓心，AC，AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于P點(diǎn)；②作直線AP，AP與BC交于D點(diǎn)，所以線段AD就是所求作的中線．根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：連接PB，PC．∵PC＝AB，，∴四邊形ABPC是平行四邊形（）（填推理的依據(jù)）．∴DB＝DC（）（填推理的依據(jù)）．∴AD是BC邊上的中線．21．（6分）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．（1）在圖（1）中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)面積為10的正方形；（2）在圖（2）中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)三角形，使三角形三邊長(zhǎng)分別為2，，；這個(gè)三角形的面積為．22．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使DF＝ED，連接BE、BF、CF．（1）求證：四邊形BFCE是菱形；（2）若BC＝4，EF＝2，求AD的長(zhǎng)．23．（7分）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把類(lèi)似a+b的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝，b＝；（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：+＝（+）2；（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值．24．（8分）已知正方形ABCD，點(diǎn)E是直線BC上一點(diǎn)（不與B，C重合），∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分線CF所在的直線于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，①請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出AE，EF滿足的數(shù)量關(guān)系；②用等式表示CD，CE，CF滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）當(dāng)點(diǎn)E在直線BC上，用等式表示線段CD，CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫(xiě)出即可）．

2022-2023學(xué)年北京市清華附中望京學(xué)校八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)。1．（3分）下列式子中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義，即可判斷．【解答】解：A、是最簡(jiǎn)二次根式，故A符合題意；B、＝2，故B不符合題意；C、＝，故C不符合題意；D、＝2，故D不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．2．（3分）下列四組線段中，不能作為直角三角形三條邊的是（）A．3，4，5 B．2，2，2 C．2，5，6 D．5，12，13【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，就是直角三角形，沒(méi)有這種關(guān)系，就不是直角三角形．【解答】解：A，32+42＝25＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；B，22+22＝8＝（2）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C，22+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形；D、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．3．（3分）下列各式中，運(yùn)算正確的是（）A．2+＝2 B．﹣＝ C．?＝ D．÷＝9【分析】根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的式子，可以計(jì)算出正確的結(jié)果，從而可以解答本題．【解答】解：2+不能合并，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；＝2，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；＝，故選項(xiàng)C正確；＝＝3，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式混合運(yùn)算的計(jì)算方法．4．（3分）能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD【分析】直接利用平行四邊形的判定定理判定，即可求得答案．注意掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用．【解答】解：A、AB∥CD，AD＝BC，則四邊形ABCD是平行四邊形或等腰梯形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、AB＝CD，AD＝BC，則四邊形ABCD為平行四邊形；故本選項(xiàng)正確；C、∠A＝∠B，∠C＝∠D，則四邊形為等腰梯形或矩形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、AB＝AD，CB＝CD，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的判定．注意掌握舉反例的解題方法是解此題的關(guān)鍵．5．（3分）下列命題正確的是（）A．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形 B．有兩個(gè)角是直角的四邊形是矩形 C．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D．有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形【分析】利用平行四邊形、矩形、菱形及正方形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：A、一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形也可能是等腰梯形，故錯(cuò)誤，不符合題意；B、有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，故錯(cuò)誤，不符合題意；C、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故錯(cuò)誤，不符合題意；D、有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形，正確，符合題意．故選D．【點(diǎn)評(píng)】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解平行四邊形、矩形、菱形及正方形的判定方法，難度不大．6．（3分）如圖，在正方形ABCD外側(cè)，作等邊三角形ADE，AC，BE相交于點(diǎn)F，則∠BFC為（）A．75° B．60° C．55° D．45°【分析】由正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性質(zhì)和內(nèi)角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)果．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，∵△ADE是等邊三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°，∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)；熟練掌握正方形和等邊三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DE上一點(diǎn)，∠AFC＝90°，BC＝10cm，AC＝6cm，則DF長(zhǎng)為（）cm．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出FE，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝BC＝5（cm），在Rt△AFC中，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴FE＝AC＝3（cm），∴DF＝DE﹣EF＝2（cm），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)不與線段BC，CD的端點(diǎn)重合）且BE＝CF，連接OE，OF，EF．在點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，下列四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．△OBE≌△OCF B．△OEF始終是等腰直角三角形 C．△OEF面積的最小值是1 D．四邊形OECF的面積始終是1【分析】由正方形性質(zhì)可得BO＝CO，∠OBE＝∠OCF，由此可以推出三角形△BEO≌△CFO，進(jìn)一步得出△EOF為等腰直角三角形，所以當(dāng)OE最小時(shí)，△EOF面積最小．四邊形OECF的面積不變，此題即可獲解．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BO＝CO，∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCF＝45°，又∵BE＝CF，∴△OBE≌△OCF（SAS），故A正確；∵△OBE≌△OCF，∴∠BOE＝∠COF，OE＝OF，∵∠BOE+∠EOC＝∠BOC＝90°，∴∠COF+∠EOC＝90°，∴∠EOF＝90°，∴△OEF為等腰直角三角形，∴B正確；∵△OEF為等腰直角三角形，∴S△EFO＝，當(dāng)OE最小時(shí)，S△EFO最小，∵當(dāng)OE⊥BC時(shí)，OE最小，最小值為1，∴S△EFO的最小值為，故C錯(cuò)誤；∵△OBE≌△OCF，∴S△OBE+S△OEC＝S△COF+S△OEC，∴S四邊形OECF＝S△BOC＝，故D正確；故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，是一道綜合題，關(guān)鍵是熟悉正方形的性質(zhì)．二、填空題（本題共24分，每小題3分）9．（3分）使有意義的x的取值范圍是x≥2．【分析】當(dāng)被開(kāi)方數(shù)x﹣2為非負(fù)數(shù)時(shí)，二次根式才有意義，列不等式求解．【解答】解：根據(jù)二次根式的意義，得x﹣2≥0，解得x≥2．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無(wú)意義．10．（3分）若平行四邊形中兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是1：2，則其中較小的角是60°．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，推出∠B+∠C＝180°，根據(jù)∠B：∠C＝1：2，求出∠C即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠B：∠C＝1：2，∴∠B＝×180°＝60°，故答案為：60．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，能熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題目比較典型，難度不大．11．（3分）在湖的兩側(cè)有A，B兩個(gè)消防栓，為測(cè)定它們之間的距離，小明在岸上任選一點(diǎn)C，并量取了AC中點(diǎn)D和BC中點(diǎn)E之間的距離為16米，則A，B之間的距離應(yīng)為32米．【分析】可得DE是△ABC的中位線，然后根據(jù)三角形的中位線定理，可得DE∥AB，且AB＝2DE，再根據(jù)DE的長(zhǎng)度為16米，即可求出A、B兩地之間的距離．【解答】解：∵D、E分別是CA，CB的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AB，且AB＝2DE，∵DE＝16米，∴AB＝32米．故答案為：32．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形中位線定理的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．12．（3分）如圖，將平行四邊形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，3），點(diǎn)A的坐標(biāo)是（5，0），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（6，3）．【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝BC，OA∥BC，∵A（5，0），∴OA＝BC＝5，∵C（1，3），∴B（6，3），故答案為（6，3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．13．（3分）將四個(gè)圖1中的直角三角形，分別拼成如圖2，圖3所示的正方形，則圖2中陰影部分的面積為13．【分析】先設(shè)出圖1中直角三角形的直角邊，然后根據(jù)圖2和圖3列出關(guān)于直角邊的方程組，即可求出圖2中陰影部分的邊長(zhǎng)，然后求出面積．【解答】解：由題意知圖2中陰影部分為正方形，設(shè)圖1中直角三角形較短的直角邊為a，較長(zhǎng)的直角邊為b，則由圖2得：a+b＝5，①由圖3得：b﹣a＝1，②聯(lián)立①②得：，∴陰影部分的邊長(zhǎng)為，∴，故答案為13．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是要能求出圖中陰影部分的邊長(zhǎng)，既用直角三角形的直角邊求出斜邊，要牢記勾股定理的公式a2+b2＝c2．14．（3分）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上．“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，“遠(yuǎn)航”號(hào)以每小時(shí)16nmile的速度沿北偏東30°方向航行，“海天”號(hào)以每小時(shí)12nmile的速度沿北偏西60°方向航行．一小時(shí)后，“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)分別位于Q，R處，則此時(shí)“遠(yuǎn)航”號(hào)與“海天”號(hào)的距離為20nmile．【分析】根據(jù)題意，可得∠RPQ＝60°+30°＝90°，利用路程＝速度×?xí)r間，分別算出PQ，PR的長(zhǎng)度，在直角△PRQ中，利用勾股定理計(jì)算出RQ．【解答】解：由題意可得，∠RPQ＝60°+30°＝90°，PQ＝16×1＝16，PR＝12×1＝12，∴RQ＝＝20nmile，故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用和方位角，利用方位角知識(shí)，準(zhǔn)確判斷出∠RPQ＝90°是解決本題的關(guān)鍵．15．（3分）如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線BD所在直線折疊，點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)，落點(diǎn)記為C′，BC′與AD交于點(diǎn)E，若AB＝3，BC＝4，則DE的長(zhǎng)為．【分析】先根據(jù)等角對(duì)等邊，得出DE＝BE，再設(shè)DE＝BE＝x，在直角三角形ABE中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，求得x的值即可．【解答】解：由折疊得，∠CBD＝∠EBD，由AD∥BC得，∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB，∴DE＝BE，設(shè)DE＝BE＝x，則AE＝4﹣x，在直角三角形ABE中，AE2+AB2＝BE2，即（4﹣x）2+32＝x2，解得x＝，∴DE的長(zhǎng)為．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題以折疊問(wèn)題為背景，主要考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)以及勾股定理．折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．解題時(shí)，我們常設(shè)所求的線段長(zhǎng)為x，然后用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求解．16．（3分）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M，N在對(duì)角線AC上（可與點(diǎn)A，C重合），MN＝2，點(diǎn)P，Q在正方形的邊上．下面四個(gè)結(jié)論中，①存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形PMQN是平行四邊形；②存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形PMQN是菱形；③存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形PMQN是矩形；④至少存在一個(gè)四邊形PMQN是正方形．所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②④．【分析】根據(jù)正方形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，作線段MN的垂直平分線交AD于P，交AB于Q．∵PQ垂直平分線段MN，∴PM＝PN，QM＝QN，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠PAN＝∠QAN＝45°，∴∠APQ＝∠AQP＝45°，∴AP＝AQ，∴AC垂直平分線段PQ，∴MP＝MQ，∴四邊形PMQN是菱形，在MN運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，這樣的菱形有無(wú)數(shù)個(gè)，當(dāng)點(diǎn)M與A或C重合時(shí)，四邊形PMQN是正方形，∴至少存在一個(gè)四邊形PMQN是正方形，∵當(dāng)點(diǎn)M與A或C重合時(shí)，四邊形PMQN是正方形（即是矩形），且MN＝2，∴不可能存在無(wú)數(shù)個(gè)矩形，∴①②④正確，故答案為①②④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共52分，17題10分，18-20題，每小題10分，21-22每小題10分，23題7分，24題8分)17．（10分）計(jì)算：（1）；（2）．【分析】（1）先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）先計(jì)算二次根式的乘法，再算加減，即可解答．【解答】解：（1）；＝2﹣2+﹣1＝3﹣3；（2）＝3﹣+4＝3﹣4+4＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．18．（5分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【分析】先對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代值求解即可．【解答】解：原式＝＝＝，∵，∴原式＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值及分母有理化，熟練掌握分式的化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．19．（5分）已知：如圖，在平行四邊形ABDC中，點(diǎn)E、F在AC上，且AE＝CF．求證：四邊形BEDF是平行四邊形．【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，得到AB＝CD，AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAE＝∠DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，證得BE∥DF，即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，在△ABE與△CDF中，，∴△ABE≌△CDF，∴BE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠BEC＝∠DFA，∴BE∥DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．20．（5分）學(xué)習(xí)完四邊形的知識(shí)后，小明想出了“作三角形一邊中線”的另一種尺規(guī)作圖的作法，下面是具體過(guò)程．已知：△ABC．求作：BC邊上的中線AD．作法：如圖，①分別以點(diǎn)B，C為圓心，AC，AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于P點(diǎn)；②作直線AP，AP與BC交于D點(diǎn)，所以線段AD就是所求作的中線．根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：連接PB，PC．∵PC＝AB，AC＝PB，∴四邊形ABPC是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據(jù)）．∴DB＝DC（平行四邊形的對(duì)角線互相平分）（填推理的依據(jù)）．∴AD是BC邊上的中線．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）利用平行四邊形的判定和性質(zhì)解決問(wèn)題即可．【解答】解：（1）如圖，圖形如圖所示：（2）連接PB，PC．∵PC＝AB，AC＝PB，∴四邊形ABPC是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）．∴DB＝DC（平行四邊形的對(duì)角線互相平分）．故答案為：AB＝PB，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，平行四邊形的對(duì)角線互相平分．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．21．（6分）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．（1）在圖（1）中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)面積為10的正方形；（2）在圖（2）中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)三角形，使三角形三邊長(zhǎng)分別為2，，；這個(gè)三角形的面積為2．【分析】（1）根據(jù)正方形的面積為10可得正方形邊長(zhǎng)為，畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為正方形即可；（2）根據(jù)勾股定理和已知畫(huà)出符合條件的三角形即可．【解答】解：（1）面積為10的正方形的邊長(zhǎng)為，∵＝，∴如圖1所示的四邊形即為所求；（2）∵＝，＝，∴如圖2所示的三角形即為所求這個(gè)三角形的面積＝×2×2＝2；故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握正方形的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理得出有關(guān)線段長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．22．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使DF＝ED，連接BE、BF、CF．（1）求證：四邊形BFCE是菱形；（2）若BC＝4，EF＝2，求AD的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形BFCE是平行四邊形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BE＝CE，于是得到四邊形BFCE是菱形；（2）連接AD，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BD＝BC＝2，DE＝EF＝1，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵D是邊BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∵DF＝ED，∴四邊形BFCE是平行四邊形，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是邊AC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，∴四邊形BFCE是菱形；（2）解：連接AD，∵四邊形BFCE是菱形，BC＝4，EF＝2，∴BD＝BC＝2，DE＝EF＝1，∴BE＝＝，∴AC＝2BE＝2，∴AB＝＝＝2，∴AD＝＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，三角形的中位數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．23．（7分）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把類(lèi)似a+b的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：7+4＝（2+1）2；（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值．【分析】（1）利用完全平方公式展開(kāi)得到（m+n）2＝m2+3n2+2mn，從而可用m、n表示a、b；（2）先取m＝2，n＝1，則計(jì)算對(duì)應(yīng)的a、b的值，然后填空即可；（3）利用a＝m2+3n2，2mn＝6和a、m、n均為正整數(shù)可先確定m、n的值，然后計(jì)算對(duì)應(yīng)的a的值．【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，∴a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）m＝2，n＝1，則a＝7，b＝4，∴7+4＝（2+）2，（3）a＝m2+3n2，2mn＝6，∵a、m、n均為正整數(shù)，∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，當(dāng)m＝3，n＝1時(shí)，a＝9+3＝12，當(dāng)m＝1，n＝3時(shí)，a＝1+3×9＝28，∴a的值為12或28．故答案為m2+3n2，2mn；7，4，2，1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．24．（8分）已知正方形ABCD，點(diǎn)E是直線BC上一點(diǎn)（不與B，C重合），∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分線CF所在的直線于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，①請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出AE，EF滿足的數(shù)量關(guān)系A(chǔ)E＝EF；②用等式表示CD，CE，CF滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）當(dāng)點(diǎn)E在直線BC上，用等式表示線段CD，CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫(xiě)出即可）．【分析】（1）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，在AB上截取BM＝BE，連接ME，根據(jù)ASA證△AME≌△ECF即可得出結(jié)論；②根據(jù)△BEM是等腰直角三角形，得出BM＝CF，根據(jù)△A