2023年寧夏回族自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題及答案

寧夏回族自治區(qū)2023年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1.本試卷滿分120分，考試時間120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上規(guī)定位置，認(rèn)真核對條形碼

上的姓名、準(zhǔn)考證號，并將條形碼粘貼在指定位置上.

3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫

在本試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分,在每小題給出的四個選項中只有一個是

符合題目要求的）

_2

1.號的絕對值是（）

33八22

A.----B.-C.—D.-----

2233

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)解答即可.

22

【詳解】一彳二§，

故選：C.

【點睛】本題考查了絕對值，掌握絕對值的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

2.下面是由七巧板拼成的圖形（只考慮外形,忽略內(nèi)部輪廓），其中軸對稱圖形是（）

岡

七巧板

你心

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念進行判斷即可.

【詳解】解：A.不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

B.不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

C.是軸對稱圖形，故此選項合題意；

D.不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題考查的是軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

3.下列計算正確的是()

A.5。-3々=2B.a6-^-a3=a2C.(tz-Z?)2=a2-b2D.(a2/?)=a6b3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)合并同類項，同底數(shù)暴的除法，完全平方公式，積的乘方，逐一計算判斷即可.

【詳解】解：A、5a-3a=2a,故選項A錯誤；

633

B、a-a=?,故選項B錯誤；

C、(a-b)"=a2-2ab+b\故選項C錯誤；

D、(a%)故選項D正確；

故選D.

【點睛】本題考查整式的運算.熟練掌握合并同類項，同底數(shù)鼎的除法，完全平方公式，積的乘方法則，

是解題的關(guān)鍵.

4.勞動委員統(tǒng)計了某周全班同學(xué)的家庭勞動次數(shù)工(單位:次)，按勞動次數(shù)分為4組：0KXV3,3WX<6,

6<x<9,9<x<12,繪制成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖.從中任選一名同學(xué)，則該同學(xué)這周家庭勞動次

數(shù)不足6次的概率是()

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.32

[,；><]A

【解析】

分析】利用概率公式進行計算即可.

10+20

【詳解】解：由題意，得：P==—=0.6:

10+20+14+65

故選A.

【點睛】本題考查直方圖，求概率.解題的關(guān)鍵是從直方圖中有效的獲取信息.

5.估計后的值應(yīng)在（）

A.3.5和4之間B.4和4.5之間

C.4.5和5之間D.5和5.5之間

【答案】C

【解析】

【分析】先找到所求的無理數(shù)在哪兩個和它接近的有理數(shù)之間，然后判斷出所求的無理數(shù)的范圍.

【詳解】V16<23<25,

4<>/23<5.排除A和D,

又???23更接近25，

???V23更接近6,

???J萬在4.5和5之間,

故選：C.

【點睛】此題主要考查了無理數(shù)的大小估算，現(xiàn)實生活中經(jīng)常需要估算，估算應(yīng)是我們具備的數(shù)學(xué)能力，

“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法.

6.將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把60。和45。角的頂點及它們的直角邊

A.力隨/的增大而增大

B.b<n

C.當(dāng)x<2時，X>當(dāng)

ax-y=-b\x=2

D.關(guān)于孫y的方程組lJ的解為《.

mx-y=-n[y=3

【答案】C

【解析】

【分析】結(jié)合圖象，逐一進行判斷即可.

【詳解】解：A、,隨x的增大而增大，故選項A正確；

B、由圖象可知，一次函數(shù)y=雙+6（。A0）的圖象與y軸的交點在必=，內(nèi)+〃（加?！悖┑膱D象與）'軸的

交點的下方，即bv〃，故選項B正確；

C、由圖象可知：當(dāng)XV2時，乂<必，故選項c錯誤；

D、由圖象可知，兩條直線的交點為（2,3）,

ax-y=-b[x=2

，關(guān)于y的方程組《的解為〈小

mx-y=-n[）=3

故選項D正確；

故選C.

【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)與二元一次方程組，一次函數(shù)與一元一次不等式.從

函數(shù)圖象中有效的獲取信息，熟練掌握圖象法解方程組和不等式，是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在AABC中，ZBAC=90%AB=AC,BC=2.點。在BC上，且50:8=1:3.連接AO,

將線段A力繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段4E，連接跳，DE.則二加比的面積是（）

E

BDC

【答案】B

【解析】

【分析】證明△AO&AAEB,得到BE=8,NABE=NC,推出-。況為直角三角形，利用人比坦

的面積等于18O-8E,進行求解即可.

2

【詳解】解：???/B4C=90。，AB=AC,

AZ4BC=ZC=45°,ZBAD+ZC4D=90°,

■:將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AE，

：-AD=AE，ZBAD+ZBAE=ZDAE=90°,

:.ZCAD=ZBAE,

在△A￡>C和ZXAEB中，

AD=AE

?NCAD=/BAE,

AB=AC

：.Z^ADC^/\AEB,

：.BE=CD,ZABE=ZC=45°,

???/EBD=ZABE+ZABC=90°,

<BC=2,80:8=1:3,

1133

:.BD=2x-=-,BE=CD=2x-=-,

4242

11133

：?ABDE的面積等于一BDBE;上義±x±二3；

22228

故選B.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得

到三角形全等是解題的關(guān)鍵.本題蘊含手拉手全等模型，平時要多歸納，多總結(jié)，便于快速解題.

二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）

13

9.計算：——+—=________.

x-1x-1

4

【答案】—

x-1

【解析】

【分析】根據(jù)同分母分式加法法則計算即可.

?、洋山、回131+34

【詳解】解：----+----=----=---

X—1X-1X-1X-1

4

故答案為：

x-1

【點睹】本題考查分式的加法，題目較為基礎(chǔ).

10.如圖，在邊長為2的正方形A8CO中，點E在AO上，連接EC.則圖中陰影部分的面積是

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)正方形A8CO的N3A￡>=90。，ZCZM=90°,邊長為2,陰影部分面積等于與

△C￡>￡面積的和，運用二角形面積公式，即可求解.

【詳解】???四邊形A8cD為正方形，

AZBAD=90°,NCZM=90。，

???正方形A8CD的邊長為2,

：?S陰影=SABE+SCDE

=-AEAB-^--DECD

22

=-AEx2+-DEx2

22

=AE+DE

=AD

=2

故答案為：2.

【點睛】本題主要考查了正方形，三角形面積.熟練掌握正方形的邊角性質(zhì)，三角形面積公式，是解題的

關(guān)鍵.

11.方程f一4不一6=0有兩個相等的實數(shù)根，則”的值為.

【答案】-4

【解析】

【分析】根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根△=(),進行求解即可.

【詳解】解：???方程有兩個相等的實數(shù)根，

AA=(-4)2-4xl(-zn)=0,

解得：m=-4；

故答案為：-4.

【點睛】本題考查根的判別式，熟練掌握A=0,方程有兩個相等的實數(shù)根，是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的四宮格里任選兩個小方格，則所選方格中數(shù)字之和為4的概率是.

【分析】利用列表法求概率即可.

【詳解】解：列表如下：

1234

1345

2356

3457

4567

共有12種等可能的結(jié)果，其中和為4有2種等可能的結(jié)果,

p=—=—.

126

故答案為：7-

6

【點睛】本題考查列表法求概率.熟練掌握列表法，是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，四邊形A8C。內(nèi)接于OO,延長AO至點E,已知NAOC=140。，那么NCDE=

【答案】70

【解析】

【分析】根據(jù)圓周角定理得到NB=70。，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)和平角的定義即可得解.

【詳解】解：???NAOC=140。，

???ZB=-ZAOC=70°,

2

???四逅形ABC。內(nèi)接于0O,

；?ZB+ZAZX?=180°,

???NC￡>E+ZWC=180。，

???NCDE=/B=70。，

故答案為：70.

【點睛】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理是解題的關(guān)

鍵.

14.如圖，點A,B，C在數(shù)軸上，點A表示的數(shù)是-1,點8是AC的中點，線段A3=&，則點。表示

的數(shù)是.

ABC

A______1」一4

-10

【答案】2&-1

【解析】

【分析】根據(jù)兩點間的距離公式和中點平分線段進行計算即可.

【詳解】解：???點B是AC的中點，線段=

：?AC=2V2，

，點C表示的數(shù)是：2血一1；

故答案為：2&-1.

【點睛】本題考查數(shù)軸上兩點間的距離，以及線段的中點.熟練掌握線段中點的定義，以及數(shù)軸上兩點間

的距離公式，是解題的關(guān)鍵.

15.如圖是某種桿秤.在秤桿的點A處固定提紐，點8處掛秤盤，點C為。刻度點.當(dāng)秤盤不放物品時，提

起提紀(jì)，秤蛇所掛位置移動到點C,秤桿處于平衡.秤盤放入X克物品后移動秤蛇，當(dāng)秤蛇所掛位置與提扭

的距離為）'毫米時秤桿處于平衡.測得1與y的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表:

X/克024610

〃毫米1014182230

【答案】50

【解析】

【分析】根據(jù)表格可得y與X的函數(shù)關(guān)系式，再將x=20代入求解即可.

【詳解】解：由表格可得，物品每增加2克，秤昵所掛位置與提扭的距離增加4毫米，則物品每增加1

克，科尼所掛位置與提扭的距離增加2毫米，

當(dāng)不掛重物時，秤蛇所掛位置與提扭的距離為10亳米，

與彳的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+10,

當(dāng)x=20時，y=2x20+10=50,

故答窠為：50.

【點睛】本題考查由表格得函數(shù)關(guān)系式以及求函數(shù)值，通過表格得出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

16.如圖是由邊長為1的小正方形組成的9x6網(wǎng)格，點A,B，C,D,E，F(xiàn)，G均在格點上.下列結(jié)

①點。與點F關(guān)于點E中心對稱；

②連接RB，F(xiàn)C,FE,則尸。平分注:；

③連接AG,則點3,尸到線段AG的距離相等.

其中正確結(jié)論的序號是.

【答窠】①②③

【解析】

【分析】根據(jù)描述，作圖，逐一進行判斷即可；

【詳解】解：①如圖：

點。與點尸關(guān)于點E中心對稱；故①正確:

②如圖：

由圖可知：FB=FE=A/32+12=710*

???莊為等腰三角形，

■:尸C經(jīng)過花的中點，

:?FC平分ZBFE，故②正確；

③如圖，8點到AG的距離為BM,尸點到4G的距離為FN,

???BM=FN=y[i，

???點兒/到線段AG的距離相等，故③正確；

綜上，正確的有①@③；

故答窠為：???.

【點睛】本題考查中心對稱圖形，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì).解題的關(guān)

鍵是根據(jù)描述，正確的畫圖，熟練掌握相關(guān)知識點.

三、解答題(本題共10小題，其中17~22題每小題6分，23、24題每小題8分，25、26題

每小題10分,共72分)

17.計算：(-2)2x2-'-(>/3-l)+tan45o

【答案】4—石

【解析】

【分析】先化簡各式，在按照運算順序進行計算即可.

【詳解】解：原式L4X4-J5+1+1

2

=2-73+1+1

=4—A/3.

【點睛】本題考查特殊角三角函數(shù)值，實數(shù)的混合運算.解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，掌握相

關(guān)運算法則，正確的進行計算.

；_汩>吧①

18.解不等式組|24

2-3X<4-A?

下面是某同學(xué)的部分解答過程，請認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)：

解：由①得：

4-2|2x-l)>3x-l第1步

4-4x+2>3x-l第2步

-4x-3x>-1-4-2

-7x>-7第3步

x>l第4步

任務(wù)一：該同學(xué)的解答過程第步出現(xiàn)了錯誤，錯誤原因是,不等式①的正確解集是；

任務(wù)二：解不等式②，并寫出該不等式組的解集.

【答案】任務(wù)一：4,不等號的方向沒有發(fā)生改變，x<l；任務(wù)二：x>-l,-1<x<l

【解析】

【分析】任務(wù)一：系數(shù)化1時，系數(shù)小于0,不等號的方向要發(fā)生改變，即可得出結(jié)論；

任務(wù)二：移項，合并同類項，系數(shù)化1,求出不等式②的解集，進而得出不等式組的解集即可.

【詳解】解：任務(wù)一：???一7%>—7,

x<1：

???該同學(xué)的解答過程第4步出現(xiàn)了錯誤，錯誤原因是不等號的方向沒有發(fā)生改變，不等式①的正確解集是

x<l：

故答案為：4,不等號的方向沒有發(fā)生改變，X<1;

任務(wù)二：2—3x44—x.

—3x+xW4—2,

-2x<2,

x>-l；

又xvl,

???不等式組的解集為：一IVxvl.

【點睛】本題考查解一元一次不等式，求不等式組的解集.解題的關(guān)鍵是正確的求出每一個不等式的解

集，注意系數(shù)化1時，系數(shù)是負(fù)數(shù)，不等號的方向要發(fā)生改變.

19.如圖，已知B,。分別是AC和斯上的點，/EDC=/CBE.求證：四邊形8cDE是

平行四邊形.

【答案】見解析

【解析】

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定證得8E||C。，再根據(jù)平行四邊形的判定即可證得結(jié)論.

【詳解】證明：

/.NEDC+NBCD=180。,

又NEDC=NCBE,

NC8E+N5CD=180。，

.\BE//CD.

???ED//BC，

二?四邊形BCOE是平行四邊形.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定證得

BEC。是解決問題的關(guān)鍵.

20.“人間煙火味，最撫凡人心”，地攤經(jīng)濟、小店經(jīng)濟是就業(yè)崗位的重要來源.某經(jīng)營者購進了A型和8

型兩種玩具，已知用520元購進A型玩具的數(shù)量比用175元購進笈型玩具的數(shù)量多30個，且A型玩具單價

是8型玩具單價的1.6倍.

（1）求兩種型號玩具的單價各是多少元？

根據(jù)題意，甲、乙兩名同學(xué)分別列出如下方程：

520175

甲：—=——+30,解得x=5,經(jīng)檢驗x=5是原方程的解.

\.6xx

520175

乙：—=1.6x--------,解得工=65,經(jīng)檢驗工=65是原方程的解.

xx-30

則甲所列方程中的x表示，乙所列方程中的“表示；

（2）該經(jīng)營者準(zhǔn)備用1350元以原單價再次購進這兩種型號玩具共200個，則最多可購進A型玩具多少

個？

【答案】（1）4型玩具的單價；購買A型玩具的數(shù)量

（2）最多購進A型玩具116個

【解析】

【分析】（1）根據(jù)方程表示的意義，進行作答即可：

（2）設(shè)最多購進A型玩具。個，根據(jù)題意，列出方程進行求解即可.

【小問1詳解】

52017S

解：對于甲：,=4+30表示的是：用520元購進A型玩具的數(shù)量比用175元購進B型玩具的數(shù)量多

1.6xx

30個，

520175

???—,—分別表示A型玩具和B型玩具的數(shù)量，

1.6%x

???x表示8型玩具的單價；

對于乙：—520=1.6x—175工表示的是：A型玩具單價是B型玩具單價的1.6倍，

xx-30

520175

???一,——,分別表示表示A型玩具和3型玩具的單價，

xx-30

???x表示購買A型玩具的數(shù)量；

故答案為：B型玩具的單價；購買A型玩具的數(shù)量

【小問2詳解】

設(shè)購進A型玩具。個，則購買B型玩具（200-。）個，

由（1）中甲同學(xué)所列方程的解可知：B型玩具的單價為5元，則A型玩具的單價為5xl.6=8元，

由題意，得:8。+5（200—。）<1350,

解得：。《土35「0，

???。為整數(shù)，

/.<7=116;

答：最多購進A型玩具116個.

【點睛】本題考查分式方程和一元一次不等式的應(yīng)用.讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程和不等

式，是解題的關(guān)鍵.

21.給某氣球充滿一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓P（KPa）是氣體體積丫（n?）的反

比例函數(shù)，其圖象如圖所示.

（1）當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓超過150KPa時，氣球會爆炸.若將氣球近似看成一個球體，試估計氣球的半徑至

少為多少時氣球不會爆炸（球體的體積公式丫二不〃，，不取3）；

（2）請你利用〃與丫的關(guān)系試解釋為什么超教的車輛容易爆胎.

【答案】（1）氣球的半徑至少為0.2m時，氣球不會爆炸；

（2）由于車輛超載，輪胎體積變小，胎內(nèi)氣壓增大導(dǎo)致爆胎.

【解析】

4X4X

【分析】（1）設(shè)函數(shù)關(guān)系式為〃=歹k，用待定系數(shù)法可得即可得當(dāng)P=150時，V=j^=0.032,

從而求出r=0.2；

（2）由于車輛超載，輪胎體積變小，胎內(nèi)氣壓增大導(dǎo)致爆胎.

【小問1詳解】

k

設(shè)函數(shù)關(guān)系式為〃二"

根據(jù)圖象可得：Z:=pV=120x0.04=4.8,

4.8

p=—

V

48

當(dāng)〃二150時，V=—=0.032,

150

4

一X3/=0.032,

3

解得：r=0.2,

Z=4.8>0,

二〃隨丫的增大而減小,

，要使氣球不會爆炸，V>0.032,此時廠20.2,

二.氣球的半徑至少為0.2m時，氣球不會爆炸；

【小問2詳解】

由于車輛超載，輪胎體積變小，胎內(nèi)氣壓增大導(dǎo)致爆胎.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，涉及立方根等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握待定系數(shù)法求出反

比例函數(shù)的解析式.

22.如圖，糧庫用傳送帶傳送糧袋，大轉(zhuǎn)動輪的半徑為10cm,傳送帶與水平面成30。角.假設(shè)傳送帶與轉(zhuǎn)動

輪之間無滑動，當(dāng)大轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)140。時，傳送帶上點A處的糧袋上升的高度是多少？（傳送帶厚度忽略不計）

【答案】糧袋上升的高度是"35c%m

9

【解析】

【分析】先求出糧袋移動的距離，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，進行求解即可.

【詳解】解：如圖，設(shè)大轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)140。時，糧袋移動到點8,

nI4n1401八70幾

則：AB=%x10=------,

1809

過點A作AC〃/,8CJ.4C于點C,

???ZBAC=30°,

ABC=-AB=—,即：糧袋上升的高度是至2cm.

299

【點睛】本題考查求弧長，含30度的直角三角形.解題的關(guān)鍵是掌握糧袋移動的距離為大輪轉(zhuǎn)動的距

離.

23.學(xué)校組織七、八年級學(xué)生參加了“國家安全知識”測試（滿分100分）.已知七、八年級各有200人,

現(xiàn)從兩個年級分別隨機抽取10名學(xué)生的測試成績X（單位：分）進行統(tǒng)計:

七年級86947984719076839087

八年級88769078879375878779

整理婦下：

年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

七年級84a9044.4

八年級8487b36.6

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）填空：a=,b=.

A同學(xué)說：“這次測試我得了86分，位于年級中等偏上水平”，由此可判斷他是年級的學(xué)生；

（2）學(xué)校規(guī)定測試成績不低于85分為“優(yōu)秀”，估計該校這兩個年級測試成績達到“優(yōu)秀”的學(xué)生總?cè)?/p>

數(shù)；

（3）你認(rèn)為哪個年級的學(xué)生掌握國家安全知識的總體水平較好？請給出一條理由.

【答窠】（1）85,87,七；

（2）220（3）八年級，理由見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可求出答案；

（2）分別求出七、八年級優(yōu)秀的比例，再乘以總?cè)藬?shù)即可；

（3）兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，通過方差的大小直接比較即可.

【小問I詳解】

解：把七年級10名學(xué)生的測試成績排好順序為：71,76,79,83,84,86,87,90,90,94,

根據(jù)中位數(shù)的定義可知，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為。=吃出=85,

2

八年級10名學(xué)生的成績中87分的最多有3人，所以眾數(shù)b=87,

A同學(xué)得了86分大于85分，位于年級中等偏上水平，由此可判斷他是七年級的學(xué)生；

故答案為：85,87,七；

【小問2詳解】

—x200+—x200=220（人），

1010

答：該校這兩個年級測試成績達到“優(yōu)秀”的學(xué)生總?cè)藬?shù)為220人；

【小問3詳解】

我認(rèn)為八年級的學(xué)生掌握國家安全知識的總體水平較好，

理由：因為七、八年級測試成績的平均數(shù)相等，八年級測試成績的方差小于七年級測試成績的方差，所以八

年級的學(xué)生掌握防震減災(zāi)科普知識的總體水平較好.

【點睛】本題考查中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義和計算方法以及用樣本估計總體，理解各個概念的內(nèi)涵和計

算方法是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，已知A8是CO直徑，直線QC是OO的切線，切點為C,AE_L/）C,垂足為E.連接AC.

（1）求證：4c平分N8AE；

3

（2）若AC=5,tanZ4CE=-,求。。的半徑.

4

25

【答案】（1）見解析（2）。。的半徑為二

6

【解析】

【分析】（1）連接0C,根據(jù)切線的性質(zhì)可得證明比//AE,根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角

形的性質(zhì)求出NC4O=NC4E即可；

（2）連接。。，過點。作OF_LAC于F,證明NACE=NCO尸,根據(jù)正切的定義列式求出OF,再根據(jù)

勾股定理求出0C即可.

【小問1詳解】

不證明：連接。。，

???直線OC是OO的切線，

:.OC±DE,

AE±DC,

???OC〃AE,

???ZOC4=ZC4￡,

?：OA=OC,

:.ZOCA=ZCAO,

AZCAO=ZCAE,即AC平分NAAE；

【小問2詳解】

解：連接0C,過點O作O/JLAC于尸，則b=，AC=9,

22

???NOCE=ZOCF+ZACE=90°，NOCF+ZCOF=90°，

：.ZACE=/COF,

3

/.tanZ.COF=tanZACE=—,

4

5

ACF=_2_=3,

~OF~~OF~4

???OF=—,

3

???OC=ylCF2+OF2=—,

6

25

即。。的半徑為一.

6

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，解直角三角形以

及勾股定理等知識，靈活運用各性質(zhì)進行推理論證是解題的關(guān)鍵.

25.如圖，拋物線y=O￥?+公+3(。=0)與x軸交于A,B兩點,與丁軸交于點C.已知點A的坐標(biāo)是

(-1,0),拋物線的對稱軸是直線x=l.

備用圖

（1）直接寫出點B的坐標(biāo)；

（2）在對稱軸上找一點P,使P4+PC的值最小.求點P的坐標(biāo)和R4+PC的最小值；

（3）第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點過點加作的_1工軸，垂足為N,連接BC交MN于點

。.依題意補全圖形，當(dāng)MQ+&CQ的值最大時，求點M的坐標(biāo).

【答案】（1）（3,0）

（2）點尸（1,2）,總+PC的最小值為3匹

⑶

【解析】

【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱性，進行求解即可；

（2）根據(jù)拋物線的對稱性，得到Q4+PC=P8+尸CN3C,得到當(dāng)P,民C三點共線時，B4+PC的值

最小，為8c的長，求出直線8C的解析式，解析式與對稱軸的交點即為點尸的坐標(biāo)，兩點間的距離公式求

出的長，即為%+PC的最小值；

（3）根據(jù)題意，補全圖形，設(shè)M（八一＞+26+3）,得到N（〃z,0）,。（團，一機+3）,將MQ+&CQ的

最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，即可得解.

【小問1詳解】

解：?:點4（7,0）關(guān)于對稱軸的對稱點為點8,對稱軸為直線x=l,

???點8為（3,0）；

【小問2詳解】

當(dāng)x=0時，y=3,

???C(0,3),

連接BC,

V8(3,0),

：?80=5/32+32=3萬

?，點A關(guān)于對稱軸的對稱點為點B,

.??PA+PC=PB+PCNBC,

???當(dāng)P,區(qū)C三點共線時，PA+PC值最小，為8C的長,

設(shè)直線5c的解析式為：y=kx+nt

n=3n=3

則:，解得:

3k+n=0

：,y=-x+3,

???點P在拋物線的對稱軸上，

/.P(l,2)；

???點尸(1,2),QA+PC的最小值為3五;

【小問3詳解】

過點M作MV_Lx軸，垂足為N,連接8c交于點Q,如圖所示,

???A（-1,0）,3（3,0）,

設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+l）（x-3）,

???C（0,3）,

:.3=-3a，

:.a=—\，

/.y=-（x+l）（x-3）=-x2+2x+3,

設(shè)-m2+26+3）,則：N（m0）：

由知：直線

（2）8C：y=-x+3f

：.Q（m,-加+3）,

MQ=—機2+2m+3+m一3=—m2+3m,

???C（0,3）,B（3,0）,

：.OC=OB=3,BN=3-m，

???ZOBC=ZOCB=45°,

：?/NQB=NOBC=45。,

???BQ=OBN=O?-喻,

:.CQ=BC-BQ=3>/2一3上+41m=41m,

/5、225

???MQ+y/2CQ=-nr+3m+0-6nl=-nr+5m=—Im——H--，

???當(dāng)加時，MQ+0CQ有最大值，此時M13

【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用.正確的求出函數(shù)解析式，利用拋物線的對稱性以及數(shù)形結(jié)合的思

想進行求解，是解題的關(guān)鍵.

26.綜合與實踐

問題背景

數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國旗上五角星的五個角都是頂角為36。的等腰三角形，對此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開探

探究發(fā)現(xiàn)

如圖1,在“13。中，ZA=36°,AB=AC.

（1）操作發(fā)現(xiàn)：將“8C折疊，使邊3。落在邊明上，點C的對應(yīng)點是點￡,折痕交4C于點。，連

接DE，DB，則=0,設(shè)AC=1，BC=x,那么AE=（用含x的式子表示）;

底BC>/5-1

（2）進一步探究發(fā)現(xiàn):,這個比值被稱為黃金比.在（1）的條件下試證明:

腰AC