初中數(shù)學(xué)綜合

第一章實數(shù)

正整數(shù)1、相反數(shù)

零（0）2、絕對值

K.負(fù)整數(shù)3、數(shù)軸

聲理數(shù)-（有限或無限可盾環(huán)）「正分?jǐn)?shù)4、倒數(shù)

（------A--------->I分?jǐn)?shù)<

5、非負(fù)數(shù)

正數(shù)零負(fù)數(shù)

I負(fù)分?jǐn)?shù)6、奇偶數(shù)

實數(shù)

‘無理數(shù)一（無限不可循環(huán)）

一、相反數(shù)

定義：1-只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù);

27為實數(shù)，a的相反數(shù)為-a。

性質(zhì)：1-若a,ar-a2-在數(shù)軸上的位置對稱3-和為0,商為-1.

二、絕對值

定義：|a|=Ja（a>0）

-a（a<0）

愚a在數(shù)軸上點到原點的距離為實數(shù)a的絕對值

性質(zhì)：1-絕對值具有唯一性；2-非負(fù)數(shù)最小的絕對值是0;3-相反數(shù)的絕對值相等。

三、數(shù)軸

定義：具有原點與方向并可以單位長度的直線就叫做數(shù)軸。

作用：1-直觀的比較實數(shù)的大?。?-明確體現(xiàn)絕對值定義；3-建立與實數(shù)——對應(yīng)的關(guān)

系。

四、倒數(shù)

定義：乘積為1的兩數(shù)互為倒數(shù)

。沒有倒數(shù)；a*l/a=l

五、非負(fù)數(shù)

正實數(shù)與零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)

常見的非負(fù)數(shù)：a2|a|a>0

六、奇偶數(shù)——奇數(shù)：2n-l;偶數(shù)：2n

實數(shù)的運算

一、運算法則（加、減、乘、除、乘方、開方）

1、減去一個數(shù)等于加上它的相反數(shù)；

2、除以一個數(shù)等于乘上它的倒數(shù)；

3、兩數(shù)相乘"同號得正，異號得負(fù)"絕對值相乘；

4、負(fù)數(shù)的奇次冥為負(fù)，偶數(shù)冥為正；正數(shù)的任何次冥為正，0的任何次冥為0；

任何數(shù)的0次冥為1；

5、奇數(shù)的方根只有1個，正實數(shù)的偶次方根為2個互為相反數(shù)的數(shù)；負(fù)實數(shù)不

存在偶次方根；0的田可次方根都是0

二、運算定律

交換定律（加法、乘法）；結(jié)合定律（加法、乘法）；分配定律（乘法）

三、運算順序

1、先高級后彳氐級；

2、同級運算由左至右；

3、括號按照小中大的11質(zhì)序。

第二章代數(shù)式

一、定義：

1、代婀口有理式

實數(shù)范圍內(nèi)的代數(shù)式分為有理式和無理式；

用運算符號把數(shù)或者表示數(shù)的字母連接成個的式子，叫做代數(shù)式。單獨一個數(shù)

或字母也是代數(shù)式。整式和分式統(tǒng)稱為包里式。

含有字母的根式或字母的非整數(shù)次乘方的代數(shù)式叫做無理式。

2、整式和分式

含有加、減、乘、除、乘方、開方運算的代數(shù)式叫做有理式。

沒有除法運算或含有除法運算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法運算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

3、顆出口多項式

沒有加減運算的就叫單項式；（數(shù)字和字母的積包過單獨的數(shù)字或字母）

幾個單項式的和叫做多項式。

Ps：根據(jù)除式中是否有字母，區(qū)分整式和分式；根據(jù)整式中是否有加減運算，區(qū)分單

項式和多項式。

4、系數(shù)和指數(shù)

單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式（或字母因數(shù)）的數(shù)字系數(shù)，簡稱系數(shù)

多項式中每個單項式叫做多項式的項。不含字母的項叫做常數(shù)項。

單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)

多項式的次數(shù)：多項式里，次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)。齊次

多項式：各項次數(shù)相同的多項式叫做齊次多項式。

5、同類項及其合并

同類項：多項式中含有相同的字母,并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同

類項。

合并：把多項式中同類項合并成一項，叫做合并同類項。合并同類項的法則是：

同類項的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。

6、根式

表示方根的代數(shù)式叫做根式。

Ps:含有字母開方運算的代數(shù)式是無理式。

7、算術(shù)平方根

若一個非負(fù)數(shù)x的平方等于a,則這個正數(shù)x為a的算術(shù)平方根。a的算術(shù)平方

根記作Va,讀作"根號a”,a叫做被開方數(shù)。規(guī)定：0的算術(shù)平方根為0。

性質(zhì)：雙重非負(fù)性

在x=Va中l(wèi).a202.x0

與平方根的關(guān)系

正數(shù)的平方根有兩個，它們?yōu)橄喾磾?shù)，其中正數(shù)的平方根，就是這個數(shù)的算術(shù)

平方根。正數(shù)的平方根都是前面加"土"，算術(shù)平方根全部都是非負(fù)數(shù)（0也在內(nèi)，V

0=0）

8、最簡二次根式、同類二次根式、分母有理化

同類二次根式：化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式；

最簡二次根式：滿足以下條件一被開方數(shù)的每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根

指數(shù)2,且被開方數(shù)中不含有分母，被開方數(shù)是多項式時要先因式分解后再觀察。

分母有理化：把分母中的根號劃去叫做分母有理化。

9、指數(shù)

aAn1------a>0aAn>0;2------a<0時，aA2n>0,aA2n-l<0;

零指數(shù)：aA0=la^O

負(fù)冥指數(shù)：a八（-p）=l/a八p（a，0,p是正整數(shù)）

二、運算定律、性質(zhì)、法則

1、分式的加、減、乘、除、乘方、開方法則

分式的加減法則：

通分：把不同分母的分式化為同分母分式的過程叫做通分；

同分母分式相加減，分母不變分子相加減；

異分母分式相加減，先通分，變換為同分母分式相加減。

分式的乘除法則：

分式相乘一分子乘分子，分母乘分母；

分式相除——除以分式變?yōu)槌艘苑质降牡箶?shù)，之后分子分母分別相乘。

分式的乘方、開方法則

分式的乘法、開方——分子分母同時乘方或者開方。

2、分式的性質(zhì)

(1)、基本性質(zhì)：b/a=bm/am(m^O);

(2)、符號法則：-b/a=b/(-a)=(-b)/a

(3)、繁分式：當(dāng)分式B分之A的分子、分母中至少有一個是分式時，B分之A

就叫做繁分式。

化簡方法-1)、根據(jù)分式的除法原則；2)、利用分式的基本性質(zhì)。

3、整式的運算法則

幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來，再用加減號連接.整式加

減的一般步驟是：

(1)如果遇到括號.按去括號法則先去括號：括號前是"十"號，把括號和它前面的

"+”號去掉。括號里各項都不變符號，括號前是"一"號，把括號和它前面的"一"

號去掉.括號里各項都改變符號.

(2)合并同類項：同類項的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù).字母和字母的指數(shù)不變.

4、冥的運算性質(zhì):

1)、aAm*aAn=aA(m+n);

2)、aAm/aAn=aA(m-n);

3)、(aAm)An=aA(m*n);

4)、(ab)An=aAn*bAn;

5)、(a/b)An=aAn/bAn;

6)、(b/a『(-p)=(a/b)八p.

5、乘法法則：單乘單、單乘多、多乘多；

6、乘法公式：******(正、逆運算)

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)(a-b)=a2-b2;

(a±b)(a2+ab+b2)=a3+b3

7、除法法則：單除單、多除單

8、因式分解：

定義——在數(shù)學(xué)中一般理解為把一個多項式分解為兩個或多個的因式的過程。

方法：

1)、提公因式：各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式.如果一

個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的

形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

當(dāng)各項系數(shù)都是整數(shù)時,公因式的系數(shù)應(yīng)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項

的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項式,多項式的次數(shù)取最低

的.

如果多項式的第一項是負(fù)的，一般要提出號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)成為

正數(shù)才是出號時，多項式的各項都要變號.

2)、公式法：把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式,這種方法叫公

式法.

平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);

完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2;

注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成

兩個數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)(或式)的積的2倍.

立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);

立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);

完全立方公式：a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3,

公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

3)、分組分解法：

能分組分解的方程有四項或大于四項,一般的分組分解有兩種形式：二二分法，

三一分法。

4)、十字相乘法：*****

首尾分解，交叉相乘，求和湊中。

5)、求根公式法：

把二次三項式ax2+bx+c分解可得ax2+bx+c=a(x-xl)(x-x2)其中的xl,x2要

用一元二次方程求根公式解出，這樣使二次三項式得到分解的方法，叫求根公式法分

解因式。

6)、拆項、添項法

這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數(shù)的兩項(或幾項)，使原

式適合于提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解.要注意,必須在與原多項式相

等的原則下進行變形.

7)、配方法

對于某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然后再利用

平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法.

8)、換元法

有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數(shù),然后進

行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來，這種方法叫做換元法.

注意:換元后勿忘還元

分解因式技巧掌握：

①等式左邊必須是多項式；

②分解因式的結(jié)果必須是以乘積的形式表示；

③每個因式必須是整式，且每個因式的次數(shù)都必須低于原來多項式的次數(shù)；

④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止.

注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應(yīng)從系數(shù)和因式兩個方面考慮..

9、算術(shù)根的性質(zhì):V(aO2=|a|;(Va)2=a(a>0);V(ab)=VaVb(a>0,b>0);

Va/Vb=V(a/b)

10、開方根式運算法則：

1)、加法法則(合并同類二次根式)

2)、乘、除法法則

3)、分母有理化:A1/Va;BV(b/a)=V(ab)/a;Cl/(mVa-nVb)

例：-am+bm+cm=-m(a-b-c)a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)

ax+ay+bx+by=(a+b)(x+y)5ax+5bx+3ay+3by=(5x+3y)(a+b)

X3-x2+x-l==(x-l)(x2+l)7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)

x2+x-l=[x+(l-V5)/2][x+(l+V5)/2]x2+3x-40=(x-8)(x+5)

bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=(c+b)(c-a)(a+b)

(x2+x+l)(x2+x+2)-12;y=x2+x;原式=(y+l)(y+2)-12=(x2+x+5)(x+2)(x-l)

一元二次方程求根公式:ax2+bx+c=0

x=[-b±V(b2-4ac)]/2a

第三章統(tǒng)計與概率初步

一、統(tǒng)計

統(tǒng)計學(xué)中的幾個基本概念

1、總體

所有考察對象的全體叫做總體。

2、個體

總體中每一個考察對象叫做個體。

3、樣本

從總體中所抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本。

4、樣本容量

樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量。

5、樣本平均數(shù)

樣本中所有個體的平均數(shù)叫做樣本平均數(shù)。

6、總體平均數(shù)

總體中所有個體的平均數(shù)叫做總體平均數(shù)，在統(tǒng)計中，通常用樣本平均數(shù)估計總體平

均數(shù)。

7、眾數(shù)

在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

8、中位數(shù)

將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平

均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

平均數(shù)

1、平均數(shù)定義——一般地，如果有n個數(shù)為，々，…'X"，那么，

-1

X=—(X.+x2+???+%)-

〃■叫做這n個數(shù)的平均數(shù)，x讀作"x拔"。

2、加權(quán)平均數(shù)——如果n個數(shù)中，西出現(xiàn)工次，x?出現(xiàn)人次，…，心出現(xiàn)九次

(這里工+人+…九=〃)，那么，根據(jù)平均數(shù)的定義，這n個數(shù)的平均數(shù)可以表示

為已修力+七力+…,這樣求得的平均數(shù)［叫做加權(quán)平均數(shù)，其中

n

力,人,…/叫做權(quán)。

平均數(shù)計算方法：

1、定義法：當(dāng)所給數(shù)據(jù)不，七，…，X"，比較分散時，一般選用定義公式

—1

X=—(X|+x+…+x“)

n2

2、加權(quán)平均數(shù)法：當(dāng)所給數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時，一般選用加權(quán)平均數(shù)公式：

.=X/+■%+…X"”,其中力十八+…3=〃。

n

3、新數(shù)據(jù)法：

當(dāng)所給數(shù)據(jù)都在某一常數(shù)a的上下波動時，一般選用簡化公式：嚏=，+。。

其中，常數(shù)a通常取接近這組數(shù)據(jù)平均數(shù)的較"整"的數(shù)，兄=匹-。，

—1

x'=x-a,...,x'=x-ax'=-(x；+x,+??-+x')是新數(shù)據(jù)的平均數(shù)

22nnon2n

(通常把用,》2,…,乙，叫做原數(shù)據(jù)，X；,X’2,…，總，叫做新數(shù)據(jù))。

方差

1、方差的概念

在一組數(shù)據(jù)…，X”，中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)］的差的平方的平均數(shù)，叫做這組

2

數(shù)據(jù)的方差。通常用"5一"表示，即

s?=L[(X[—x)2+(x2一幻2+…+(x“一X)2]

n

2、方差的計算

(1)基本公式：

1___

22

S=—[(%[-X)~+(12-X)+---+(xzl-X)]

n

(2)簡化計算公式(I)：

S2=—[(%|2+%2+???+1;)一

n

s2=一[(A：；+X；H---------

也可寫成n

此公式的記憶方法是：方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方。

(3)簡化計算公式(H):

1—2

s~——[(x；+…+X；)—〃￡]

n

當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)較大時，可以依照簡化平均數(shù)的計算方法，將每個數(shù)據(jù)同時減去

一個與它們的平均數(shù)接近的常數(shù)a,得到一組新數(shù)據(jù)K=X|-a,￡2=々-”，…，

1—2

X，=一4皿/=—叱+之+■?.+引…

""，那么，n

此公式的記憶方法是：方差等于新數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去新數(shù)據(jù)平均數(shù)的平方。

(4)新數(shù)據(jù)法：

原數(shù)據(jù)甘'―…"的方差與新數(shù)據(jù)K"-j總二0一"，…，意=/一”的方

差相等，也就是說，根據(jù)方差的基本公式，求得X、，無％，…，X；，的方差就等于原數(shù)據(jù)

的方差。

3、標(biāo)準(zhǔn)差

方差的算數(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，用"S"表示，即

22

S=Js?=J_[(X]—X)+(X2-X)~4--------F(Xn—X)]

n

頻率分布

1、頻率分布的意義

在許多問題中，只知道平均數(shù)和方差還不夠，還需要知道樣本中數(shù)據(jù)在各個小范圍所

占的比例的大小，這就需要研究如何對一組數(shù)據(jù)進行整理，以便得到它的頻率分布。

2、研究頻率分布的一般步驟及有關(guān)概念

(1)研究樣本的頻率分布的一般步驟是：

①計算極差(最大值與最小值的差)

②決定組距與組數(shù)

③決定分點

④列頻率分布表

⑤畫頻率分布直方圖

(2)頻率分布的有關(guān)概念

①極差：最大值與最小值的差

②頻數(shù)：落在各個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)

③頻率：每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)(樣本容量n)的比值叫做這一小組的頻率。

概率初步

1、確定事件和隨機事件：

必然發(fā)生的事件：在一定的條件下重復(fù)進行試驗時，在每次試驗中必然會發(fā)生的事件。

不可能發(fā)生的事件：有的事件在每次試驗中都不會發(fā)生，這樣的事件叫做不可能的事

件。

隨機事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件。

2、隨機事件發(fā)生的可能性：

對隨機事件發(fā)生的可能性的大小，我們利用反復(fù)試驗所獲取一定的經(jīng)驗數(shù)據(jù)可以預(yù)測

它們發(fā)生機會的大小。要評判一些游戲規(guī)則對參與游戲者是否公平，就是看它們發(fā)生

的可能性是否一樣。所謂判斷事件可能性是否相同，就是要看各事件發(fā)生的可能性的

大小是否一樣，用數(shù)據(jù)來說明問題。

3、&

1)、概率的意義

一般地，在大量重復(fù)試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率巴會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那

m

么這個常數(shù)P就叫做事件A的概率。

2)、事件和概率的表示方法

一般地，事件用英文大寫字母A,B,C，…，表示事件A的概率p,可記為P(A)=P

(1)當(dāng)A是必然發(fā)生的事件時,P(A)=1

(2)當(dāng)A是不可能發(fā)生的事件時,P(A)=0

3)、概率的計算：

(1)、列君去

用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

(2)、樹狀圖法

就是通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。

(3)、頻率估計概率

在同樣條件下，做大量的重復(fù)試驗，利用一個隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個常

數(shù)，可以估計這個事件發(fā)生的概率。

第四章、直線形

本章重點：相交線與平行線、三角形、四邊形的有關(guān)概念、判定、性質(zhì)。

直線、相交線、平行線

一、直線、射線、線段

1、直線：一根拉得很緊的線，就給我們以直線的形象，直線是直的，并且是向兩方無

限延伸的。一條直線可以用一個小寫字母表示，如直線I;

2、射線：直線上一點和它一旁的部分叫做射線。這個點叫做射線的端點。一條射線可

以用端點和射線上另一點來表示,如射線I或射線0A；

3、線段：直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段，這兩個點叫做線段的端點。f

線段可用它的端點的兩個大寫字母來表示，如線段AB；

4、直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系

(1)線和射線無長度，線段有長度；

(2)直線無端點，射線有一個端點，線段有兩個端點。

5、線段的中點——點M把線段AB分成相等的兩條線段AM和MB,點M叫做線段AB

的中點。

6、直線和線段的基本性質(zhì)

兩點確定一條直線；兩點之間，線段最短。

7、距離

兩點之間的距離—連接兩點間線段的長度。(兩點之間,線段最短).

點與線之間的距離—為直線外一點到這條直線的垂線段的長度。(垂線段最

短)

8、角

平角——在平面幾何中，角的兩條邊在一條直線上，這樣的角叫做平角。平角是

180度平角是軸對稱圖形因為角的兩條邊可無限延長。

周角——一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)一周所形成的角，叫做周角。周角=360。

或者弧度為2n0

直角——當(dāng)一條直線和另一條橫的直線交成的鄰角彼此相等時，這些角的每一個

被叫做直角，而且稱這一條直線垂直于另一條直線。一個直角等于90度.

銳角——指大于0。而小于90。（直角）的角，銳角是劣角。兩個銳角相加不一定大

于直角，但一定小于平角。銳角一定是第一象限角，第一象限角不一定是銳角。

鈍角——大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做鈍角。

余角——兩個角的和等于90。（直角），說兩個角互為余角。

補角——兩個角的和等于180。（平角），說兩個角互為補角。

Ps:同角的余角、補角相等。

角的平分線——從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做

這個角的平分線。

9、垂線

當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，即兩條直線互相垂直，其中

一條直線叫做另一直線的垂線，交點叫垂足。

性質(zhì)：1.在連接直線外一點與直線上的所有點的連線中，垂線段最短。簡稱垂線段最短。

2.在同?平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

3.畫已知直線的垂線可以畫無數(shù)條。

4.直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離。

10、對頂角及性質(zhì)

兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點而沒有公共邊的兩個角叫做互為對頂角、

兩條直線相交，構(gòu)成兩對對頂角。

互為對頂角的兩個角相等，簡稱對頂角相等。

11、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

同位角——位置相同在截線的同一側(cè)被截線的同一-方。

位角在截線同旁被截線相同的一側(cè)的兩角。N7和N3

內(nèi)錯角——兩個角分別在截線的兩側(cè)，且夾在兩條被截直線之間，具有這樣位置

關(guān)系的一對角叫做內(nèi)錯角。N3和N5

同旁內(nèi)角——兩條直線被第三條直線所截，在截線同旁，且在被截線之內(nèi)的兩角，

叫做同旁內(nèi)角。N5和N4

12、平行線

定義——同一平面內(nèi)，不相交（也不重合）的兩條直線叫做平行線。

性質(zhì)——1.兩直線平行，同位角相等；

2.兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

3.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；

4.兩直線平行，外錯角相等。

PS------性質(zhì)的逆定理同樣成立！

平行線的判定方法：

1.平行線的定義（在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫做平行線。）

2.平行公理推論：平行于同一直線的兩條直線互相平行。

3.在同?平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線互相平行。

4.同位角相等，兩直線平行。

5.內(nèi)錯角相等，兩直線平行。

6.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。

在同一平面內(nèi)，經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行；平行于同一

條直線的兩條直線平行；垂直于同一條直線的兩條直線平行。

13、命題、證明、定理、公理

命題——判斷一件事情的語句叫做命題。由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成。題設(shè)為已知事

項，結(jié)論是由已知事項推出的事項。題設(shè)成立，結(jié)論?定成立的叫真命題；不能保證結(jié)論

成立時，叫假命題。

定理-----些命題的正確性是經(jīng)過推理證實的，這樣得到的真命題叫做定理。定理

可以作為繼續(xù)推理的依據(jù)。

證明-----個命題的正確性需要經(jīng)過推理才可以作出判斷，這個推理的過程叫做證

明。

公理——依據(jù)人類理性的不證自明的基本事實，經(jīng)過人類長期反復(fù)實踐的考驗，不

需要再加證明的基本命題。

對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另外一個命題的結(jié)論和條件，那

么這兩個命題叫做互逆命題，其中?個命題叫做原命題，另外?個命題叫做原命題的逆命

題。

二、三角形

定義——由同一平面內(nèi)，且不在同一直線上的三條線段，首尾順次相接所得到的封閉

的內(nèi)角和為180度的幾何圖形叫做三角形。

1、分類:

按角分：

判定法一：

銳角三角形：三角形的三個內(nèi)角都小于90度。

直角三角形：三角形的三個內(nèi)角中一個角等于90度，可記作RtAo

鈍角三角形：三角形的三個內(nèi)角中有一個角大于90度。[2]

判定法二：

銳角三角形：三角形的三個內(nèi)角中最大角小于90度。

直角三角形：三角形的三個內(nèi)角中最大角等于90度。

鈍角三角形：三角形的三個內(nèi)角中最大角大于90度，小于180度。

其中銳角三角形和鈍角三角形統(tǒng)稱為斜三角形。

判定法三：

若一個三角形的三邊a,b,c(a>b>c>0)滿足：

l.b2+c2>a2,則這個三角形是銳角三角形；

2.b2+c2=a2,則這個三角形是直角三角形；

3.b2+c2<a2,則這個三角形是鈍角三角形。

按邊分：

不等邊三角形：3條邊都不相等。

等腰三角形：有2條邊相等。

等邊三角形：3條邊都相等。

2、三角形的性質(zhì)：

1）在平面上三角形的內(nèi)角和等于180°（內(nèi)角和定理）；

2）在平面上三角形的外角和等于360°（外角和定理）；

3）在平面上三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角之和。

推論：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。

4）一個三角形的三個內(nèi)角中最少有兩個銳角。

5）在三角形中至少有一個角大于等于60度，也至少有一個角小于等于60度。

===邊===

6）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。（三角形兩邊之和大于第三

邊中的兩邊是指兩條較小的邊，兩邊之差小于第三邊的兩邊是指兩條較大的邊。）

7）在一個直角三角形中,若一個角等于30度，則30度角所對的直角邊是斜邊的一半。

8）直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）o

*勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是

直角三角形。

9）直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。

10）三角形的三條角平分線交于一點，三條高線的所在直線交于一點，三條中線交于

一點。

11）三角形三條中線的長度的平方和等于它的三邊的長度平方和的3/4。

12）等底同高的三角形面積相等。

13）底相等的三角形的面積之比等于其高之比，高相等的三角形的面積之比等于其底

之比。

14）三角形的任意一條中線將這個三角形分為兩個面積相等的三角形。

15）等腰三角形頂角的角平分線和底邊上的高、底邊上的中線在一條直線上（三線合

一）O

===其他===

16）在同一個三角形內(nèi)，大邊對大角，大角對大邊。

在三角形中

a>P；>了—>b>￡

，其中角a,0,Y分別對著邊a,b,co

17）在斜aABC中恒滿足：

tenAtatiBtatiC-tuttA+tanB+tanCo

18）AABC中恒有

j伶）…（釧眄伶）

19）三角形具有穩(wěn)定性。

3、三角形的主要線段

1）、中線——連接三角形的一個頂點及其對邊中點的線段叫做三角形的中線

（median）,,

2）、高——從一個頂點向它的對邊所在的直線畫垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三

角形的高。

3）、角平分線——三角形一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點與交

點之間的線段叫做三角形的角平分線。

4）、中位線——三角形的三邊中任意兩邊中點的連線叫中位線。它平行于第三邊目

等于第三邊的一半。切記，中位線沒有逆定理。

5）、中垂線——經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段

的垂直平分線（中垂線）。

4、特殊三角形

直角三角形—三角形的一個角為直角，稱為直角三角形；

等腰三角形—三角形中的其中兩個邊相等。并不等于第三邊，稱為等腰三角形；

等邊三角形—三角形的三條邊都相等，稱為等邊三角形。等邊三角形的內(nèi)角相等為

60度。

5、三角形全等

定義——兩個能夠完全重合的三角形稱為全等三角形。

性質(zhì)——全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊也相等。翻折，平移，旋轉(zhuǎn)，多種變換疊

加后仍全等。

判定：

1）兩個三角形對應(yīng)的三條邊相等，兩個三角形全等,簡稱''邊邊邊"或、'SSS"；

2）兩個三角形對應(yīng)的兩邊及其夾角相等，兩個三角形全等，簡稱''邊角邊"或

"SAS"；

3）兩個三角形對應(yīng)的兩角及其夾邊相等，兩個三角形全等，簡稱''角邊角"或

、'ASA"；

4）兩個三角形對應(yīng)的兩角及其一角的對邊相等，兩個三角形全等，簡稱''角角

邊"或、'AAS”；

5）兩個直角三角形對應(yīng)的一條斜邊和一條直角邊相等，兩個直角三角形全等，

簡稱''斜邊、直角邊"或、'HL"。

6、相似三角形

定義

對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。

性質(zhì)

1相似三角形對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等。

2相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比。

3相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。

4相似三角形對應(yīng)線段（角平分線、中線、高）之比等于相似比。

判定

1如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形

相似（簡稱：三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似）.

2如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條