2023-2024學年八年級數學上冊舉一反三系列117 三角形章末題型過關卷（人教版）含解析

2023-2024學年八年級數學上冊舉一反三系列第11章三角形章末題型過

關卷

【人教版】

考試時間：60分鐘；滿分：100分

姓名：班級：考號：

考卷信息：

本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋

面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本章內容的具體情況！

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（2022?安徽）如圖是由10把相同的折扇組成的“蝶戀花”（圖1）和梅花圖案（圖2）（圖中

的折扇無重疊），則梅花圖案中的五角星的五個銳角均為（）

圖（1）圖（2）

A.36°B.42°C.45°D.48,

2.（3分）（2022?興平市一模）如圖，CM是△A5C的中線，△BCM的周長比△ACM的周長大3cm,BC

=8c/n,則AC的長為（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

3.（3分）（2022秋?原州區(qū)期末）下列四個圖形中，線段8E是△ABC的高的是（）

B

AC

A.E

A

E

C

B.B

4.（3分）（2022秋?西青區(qū)期末）小芳有兩根長度為和10cm的木條，她想釘一個三角形木框，桌上

有下列長度的幾根木條，她應該選擇K度為（）的木條.

A.5cmB.3cmC.\lcmD.\2cm

5.（3分）（2022秋?曲靖期末）如圖，在△ABC中，NB4C=128°,P是△ABC的內角NABC的平分線

BP\與外角NACE的平分線CPi的交點；P2是△8P1C的內角NP5C的平分線8P2與外角NP1CE的平

分線CP2的交點；P3是4BP2c的內角NP28c的平分線8P3與外角NP2CE的平分線CP3的交點；依次

6.（3分）（2022春?忠縣期末）設三角形ABC與某長方形相交于如圖所示的A、E、D、F點,如果NC

=90°,N8=30°,NBAF=15：那么NCZ）E=（）

7.（3分）（2022秋?寧津縣期末）如圖，ZA4-ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=（）

A

B

A.180°B.240°C.360°D.540°

8.（3分）（2022春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級期末）如圖，已知AABC中，點。、E分別是邊8C、4B的中點.若

△48C的面積等于8,則ABOE的面積等于（）

A.2B.3C.4D.5

9.（3分）（2022秋?巴州區(qū)期末）若一個多邊形截去一個角后，變成十四邊形，則原來的多邊形的邊數

可能為（）

A.14或15B.13或14C.13或14或15D.14或15或16

10.：3分）（2022秋?虢亭區(qū)校級期中）如圖，在四邊形4BCD中，ND4B的角平分線與N4BC的外角

平分線相交于點P，且NO+NC=210°,則NP=（

A

A.10°B.15°C.30°D.40c

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）（2022春?金堂縣期末）一個多邊形的一個外角為a,且該多邊形的內角和與a的和等于840。，

則這個多邊形的邊數為,a=度.

12.：3分）（2022春?海安市校級月考）如圖，在△ABC中，ZBAC=42°,將aA4c沿著射線BC方向

平移得到連接8.在整個平移過程中，若NACO和NC0E的度數存在2倍關系，則NCOE=

度.

BCG.其中正確的結論是（填序號）.

三.解答題（共7小題，滿分52分）

17.（6分）（2022春?建鄴區(qū)校級期末）如圖，在△A8C中，N8=35°,點D在8C上，NBAC=NADC,

點E在A8上，

（1）DE//AC,求N4QE的度數.

（2）當N8ED的度數是時，是直角三角形.

BDC

18.16分）（2022春?隆回縣期末）如圖，已知三角形EFG的頂點E,廠分別在直線A8和8上，且A3

//CD.若NE「G=90°,N產EG=30°,NEG產=60°.

（1）當N2=2/l時，求N1的度數.

（2）設NAEG=a,NC/G=0,求a和0的數量關系（用含a,0的等式表示）.

19.：8分）（2022春?思明區(qū)校級期中）如圖1,在五邊形4BCDE中，AE//BC,NA=NC.

（D猜想A8與CO之間的位置關系，并說明理由；

（2）如圖2,延長OE至F,連接BE,若N1=N3,ZAEF=2Z2,ZAED=2ZC-140^,求NC的

度數.

20.：8分）（2022秋?正陽縣期末）圖I,線段A8、CO相交于點。，連接A。、CB,我們把形如圖1的

圖形稱之為“8字形”.如圖2,在圖1的條件下，和NECQ的平分線AP和CP相交于點P,并

且與CO、AB分別相交于M、N.試解答下列問題：

（1）在圖1中，請直接寫出NA、N3、NC、NO之間的數量關系：:

（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數：個：

（3）圖2中，當NO=50度，N8=40度時，求NP的度數.

（4）圖2中NO和NB為任意角時，其他條件不變，試問N尸與ND、N8之間存在著怎樣的數量關系.（直

接寫出結果，不必證明）.

21.（8分）（2022春?鹽湖區(qū)校級期末）己知：NWON=40°,。七平分NMOM點A、B、C分別是射線

OM.OE.ON上的動點（4、B、C不與點。重合），連接4c交射線OE于點￡）.設NO4C=x0.

圖1圖2

（1）如圖L港AB//ON,則

?Z.ABO的度數是：

②當時，x=；當時，x=.

（2）如圖2,若48_L0W,則是否存在這樣的工的值，使得△408中有兩個相等的角？若存在，求出x

的值：若不存在，說明理由.

22.：8分）（2022春?海陵區(qū)期末）直線MN與直線PQ垂直相交于。，點A在射線。夕上運動，點8在

射線二運動.

（1）如圖1，已知AE、5E分別是NBA。和NA80角的平分線，點A、8在運動的過程中，NAE8的大

小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求出NAEB的大小.

（2）如圖2,已知4B不平行CD,AD,BC分別是NBAP和/48M的角平分線，又DE、CE分別是N

AOC和NBCO的角平分線，點A、B在運動的過程中，NCED的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請

說明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值.

（3）如圖3,延長84至G,已知NBA。、NO4G的角平分線與N8OQ的角平分線及延長線相交于E、

F,在△AEF中，如果有兩個角度數的比是3：2,請直接寫出/A8O的度數.

23.18分）（2022春?淮安期末）【概念認識】

如圖①，在NAAC中，若NARD=NDBE=NEBC,貝ljBD.BE叫做NARC的“三分線”.其中，BD

是“鄰A8三分線”，跖是“鄰8C三分線”.

【問題解決】

（1）如圖②，在△48C中，NA=80°,ZB=45°,若N8的三分線3。交4c于點0,求N80C的度

數：

（2）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是NABC鄰BC三分線和N4C8鄰BC三分線，且NBPC=140°,

求的度數；

【延伸推廣】

（3）在△48。中，N4C。是△A8C的外角，N8的三分線所在的直線與/4CO的三分線所在的直線交

于點P.若NA=〃?°（?。?4）,ZB=54°,直接寫出N8PC的度數.（用含m的代數式表示）

第11章三角形章末題型過關卷

【人教版】

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（2022?安徽）如圖是由10把相同的折扇組成的&‘蝶戀花"（圖1）和梅花圖案（圖2）（圖中

的折扇無重疊），則梅花圖案中的五角星的五個銳角均為（）

圖（1）圖（2）

A.36°B.42°C.45°D.484

【分析】根據圖（1）先求出梅花扇的內角的度數是120°,則兩銳角的和等于60°,把梅花圖案連接成

正五邊形，求出每一個內角的度數，然后解答即可.

【解答】解：如圖，梅花扇的內角的度數是：360°4-3=120°,

180°-120°=60°,

正五邊形的每一個內角=（5-2）*180°+5=108°,

???梅花圖案中的五角星的五個銳角均為：108。-60°=48?

故選：D.

圖（1）圖（2）

2.（3分）（2022?興平市一模）如圖，CM是△ABC的中線,，Z\8CM的周長比△ACM的周長大3cm,BC

=8。〃，則AC的長為（）

A

X\

BC

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【分析】根據三角形中線的特點進行解答即可.

【解答】解：為△ABC的AB邊上的中線，

:?AM=BM,

,:2BCM的周長比△ACM的周長大3cm,

:.（BC+BM+CM）-CAC+AM+CM）=3c〃?，

:.BC-AC=3cmt

?:BC=8cm,

.*.AC=5cmf

故選：C.

3.（3分）（2022秋?原州區(qū)期末）下列四個圖形中，線段BE是△48。的高的是（）

【分析】根據三角形高的畫法知，過點8作4c邊上的高，垂足為其中線段8七是△AAC的高，再結

合圖形進行判斷.

【解答】解：線段8E是△ABC的高的圖是選項C.

故選：C.

4.（3分）（2022秋?西青區(qū)期末）小芳有兩根長度為5c機和10cm的木條，她想釘一個三角形木框，桌上

有下列長度的幾根木條，她應該選擇長度為（）的木條.

A.5cmB.3cmC.11cmD.12cm

【分析】設木條的長度為wm，再由三角形的三邊關系即可得出結論.

【解答】解：設木條的長度為xan,則10?5VxV10+5,即5<rV15.

故選：O.

5.（3分）（2022秋?曲靖期末）如圖，在△ABC中，ZBAC=128°,尸是△ABC的內角NABC的平分線

BP\與外角NACE的平分線CPi的交點；P2是△8PC的內角NP15C的平分線8P2與外角NPC￡的平

分線CP2的交點；尸3是aBP2c的內角NP28c的平分線5P3與外角NP2CE的平分線CP3的交點；依次

【分析】根據角平分線的定義得/PBC=：N48C,NPCE0/ACE,再根據三角形外角性質得NACE

=/A+N48C,NPCE=NPBC+/P,于是得到［(NA+NABC)=NPBC+NP=^NABC+NP,然后整

理可得NP=^N4,同理得到結論.

【解答】解：:△ABC的內角平分線與外角平分線CPi交于Pi,

???NPiBC=gNABC,ZP1CE=|ZACE,

V^ACE=ZA+^ABC,NPCE=NPBC+/Pi,

A-(NA+NABC)=ZPiBC+ZP\=^ZABC+ZP\,

22

I1

???/Pi=*4=.xl28。=64°,

同理NP2=/NPI=32°,

???々6=2°，

6.（3分）（2022春?忠縣期末）設三角形ABC與某長方形相交于如圖所示的A、E、。、F點,如果NC

=90°，ZB=30°,ZBAF=\5Q，那么NCOE=()

【分析】根據三角形外角性質求出N3=N8+N84尸=45°,根據長方形的性質得出。/〃AF,根據平

行線的性質得出NCDE=NCM,再得出答案即可.

【解答】解：:/8=30°,ZBAF=15°,

AZCM=ZJ?+ZBAF=300+15°=45°,

YDE//AF,

???/COE=NC7^=45°，

故選：C.

7.（3分）（2022秋?寧津縣期末）如圖，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=（）

【分析】根據多邊形內角與外角、三角形內角和定理、三角形外角性質進行推理計算即可.

【解答】解：如圖，

由三角形外角性質可知：

Z1=ZF+ZB,N2=NA+NE,

???在四邊形AQCG中，由四邊形內角和可知:

ZD+ZC+Z2+Z1=360°,

???/4+NB+NC+NO+NE+N尸=360°.

故選：c.

8.（3分）（2022春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級期末）如圖，己知△AAC中,點E分別是邊BC.AB的中點.若

△ABC的面積等于8,則△3QE的面積等于（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】根據三角形的面積公式即可得到結論.

【解答】解：???點。是邊6c的中點，△A8C的面積等于8,

SMBD=

??,￡是AB的中點,

/.S^RDE=2s△.￡>=*X4=2,

故選：A.

9.（3分）（2022秋?巴州區(qū)期末）若一個多邊形截去一個角后,變成十四邊形，則原來的多邊形的邊數

可能為（）

A.14或15B.13或14C.13或14或15D.14或15或16

【分析】根據不同的截法，找出前后的多邊形的邊數之間的關系得出答案.

【解答】解：如圖，〃邊形，A1AM3…A”,

若沿著直線4加截去一個角，所得到的多邊形，比原來的多邊形的邊數少1,

若沿著直線4M截去一個角，所得到的多邊形，與原來的多邊形的邊數相等,

若沿著直線MN截去一個角，所得到的多邊形，比原來的多邊形的邊數多1,

因此將一個多邊形截去一個角后，變成十四邊形，則原來的多邊形的邊數為13或14或15,

10.：3分）（2022秋?狹亭區(qū)校級期中）如圖，在四邊形A4co中，NDAB的角平分線與NA8C的外角

【分析】利用四邊形內角和是360°可以求得ND44+N4BC=150°.然后由角平分線的性質，鄰補角

的定義求得N必8+NABP的度數，所以根據△A8P的內角和定理求得NP的度數即可.

【解答】解：如圖，VZZHZC=210",ZDAB+ZABC+ZC+ZD=360e,

AZDAfi+ZABC=150°.

又'：/DAB的角平分線與N48C的外角平分線相交于點P,

111

???/B48+NA8P=*O4B+N48C+/1800-ZABC）=90°（ZDAB+ZABC）=165°，

；?/P=180°-（NB48+/A8P）=15°.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）（2022春?金堂縣期末）一個多邊形的一個外角為a,且該多邊形的內角和與a的和等于840°,

則這個多邊形的邊數為六，a=120度.

【分析】多邊形外角一定小于180°,利用840除以180可得4余120,可得這個多邊形的邊數為6,外

角a是120°.

【解答】解：???840+180=4…120,

??.這個多邊形的邊數為：4+2=6,

a=120°,

故答案為：六；120.

12.：3分）（2022春?海安市校級月考）如圖，在△48C中，NBAC=42°,將△ABC沿著射線BC方向

平移得到△。七/，連接CD在整個平移過程中，若NACO和NCDE的度數存在2倍關系，則NCDE=

【分析】根據題意作出圖形，記直線與直線OE的交點為點G,由平移得得到N84C=N

AGD=42°,然后由NAGO是△COG的外角得到/AG。和NEO。、NACO之間的數量關系，進而求得

NSE的度數.

【解答】解：如圖，記直線AC與直線?！甑慕稽c為點G,

由平移得，AB//DE,

：,/BAC=ZAGD=42°,

如圖1,當NEOC=2NAC￡>時，

■:/AGO是△CDG的外角，

:./AGO=/EDC+NACD,

???2NACO+N4co=42°,

AZACD=14°,

AZCD￡=28°,

如圖2,當NACO=2NEOC時，2/EDC+/EDC=42°,

；?/CDE=14°,

如圖3,當點G在AC和OE延長線的交點時，NACD=NCDF,

:./：ACD=2ZCDE,

■:/AC。是△COG的外角，

ZACD=NAGD+NCDE,

又,.?NAGO=42°,

:.NCDE+42。=2NCDE,

AZCDE=42°,

綜上所述，NCDE的度數為28°或14°或42°,

故答案為：28或14或42.

AD

13.（3分）（2022秋?江漢區(qū)期末）如圖，將一副三角尺的兩個銳角（30°角和45°角）的頂點尸疊放在

一起，沒有重疊的部分分別記作N1和N2,若N1與N2的和為61°,則/APC的度數是68°.

【分析1先求30°和45°重合部分的侑的度數，再加上N1與N2的和即可得到答案.

【解答】解：三角板重合部分的角的度數=（30+45-61）+2=7°,

???/APC=7°+Z1+Z2=7°+61°=68°.

故答案為：68°.

14.4分）（2022秋?新田縣期中）在同一平面內有〃個點，其中任意三點不在同一直線上.已知3個點

兩兩相接可得到1個三角形，如圖1;4個點兩兩相接可得到4個三角形（以這4個點為頂點的三角形）

如圖2；5個點兩兩相接可得到10個三角形（以這5個點為頂點的三角形）如圖3,…；則10個點兩兩

相接可得到120個三角形（以這10個點為頂點的三角形）.

圖

1圖2圖3

【分析［根據3個點兩兩相接可得到1個三角形，4個點兩兩相接可得到4個三角形，5個點兩兩相接可

n(n-l)(n-2)

得到10個三角形，可得連接〃個點可得三角形的個數是

6

3x2x1

【解答】解：由圖可知，3個點兩兩相接可得到I個三角形,-----=1

6

4x3x2

4個點兩兩相接可得到4個三角形,丁—

5x4x3

5個點兩兩相接可得到10個三角形,-----=10.

6

n(n-l)(n-2)

〃個點兩兩相接可得三角形的個數是

6

10x9x8

則10個點兩兩相接可得到一--=120（個）.

6

故答案為：120.

15.（3分）（2022?合肥開學）若對圖I中星形截去一個角，如圖2,再對圖2中的角進一步截去，如圖3,

則圖中的NA+N8+NC+/D+NE+NF+NG+N〃+NM+NN=1080度.

【分析】根據圖中可找出規(guī)律N4+NB+NC+NZXNE=180°,并且每截去一個角則會增加180度，由

此即可求出答案.

【解答】解：根據圖中可得出規(guī)律/4+/8+/。+/。+/￡=180°,每截去一個角則會增加180度，

所以當截去5個角時增加了180X5度，

則/A+N8+NC+ND+NE+N尸+NG+/”+NM+/N=180X5+180=1080’.

16.：3分）（2022春?射陽縣期中）如圖，/XABC的角平分線CO、BE相交于尸，N4=90°,EG//BC,

且CG_LEG于G,下列結論：①/CEG=2NDCB；②NOFB=45°；?ZADC=ZGCD；④C4平分N

BCG.其中正確的結論是一①②③（埴序號）.

【分析】根據角平分線的性質，垂直的性質及三角形內角和定理依次判斷求解.

【解答】解：?.?EG〃8C,且CG_LEG于G,

AZBCG+ZG=180°,

VZG=90°,

???/8CG=1800-ZG=90°,

VZGEC+ZGC￡=90°,ZBG4+ZGCE=90°,

：?4GEC=/BCA,

???CO平分N8CA,

:.NGEC=NBCA=2NDCB,

???①正確.

,/CD,BE平分NBCA,ZABC,

/.^BFD=ZBCF+ZCBF=\(ZBCA+ZABC)=45°,

，②正確.

???/GCE+NACB=90°,ZABC+ZACB=90°,

:.NGCE=NABC,

■:4GCD=ZGCE+ZACD=ZABC+ZACD,

ZADC=NABC+NBCD,

??.乙4OC=NGCO,

???③正確.

VZGCE+ZACfi=90°,

???/GCE與NACB互余,

???④錯誤.

故答案為：???.

三.解答題(共7小題，滿分52分)

17.(6分)(2022春?建鄴區(qū)校級期末)如圖，在△ABC中，N8=35°,點D在BC上，ZBAC=ZADC,

點E在AB上，

(1)DE//AC,求NAOE的度數.

(2)當N8EO的度數是90°或55°時,△BDE是直角三角形.

【分析1(1)根據平行線的性質可得再根據三角形外角等于和它不相鄰的兩個內角和

即可得/4OE=NB=35°；

(2)根據直角三角形兩個銳角互余可得NBEO=90°-35°=55°,然后利用直角三角形定義即可得結

論.

【解答】解：(1)9：DE//AC,

:?/BED=NBAC,

?.?/8AC=NAOC,

:./BED=NADC,

'：乙BED=4EAD+4ADE,NA〃C'=N6+N8AO,

???/AOE=NB=35°；

(2)當N8EO的度數是90°或55°時，△8OE是直角三角形.

理由如下：

當N6EO的度數是90°時，2X8。七是直角三角形.

當NBDE=90°,

A/BED=W-350=55°時，是直角三角形.

故答案為：90°或55°.

18.17分)(2022春?隆回縣期末)如圖，已知三角形EFG的頂點E,尸分別在直線A8和CO上，且AB

//CD.若NEFG=90°，ZFEG=30°，NEG/=60°.

（1）當N2=2N1時，求N1的度數.

（2）設NAEG=a,ZCFG=p,求a和。的數量關系（用含a,0的等式表示）.

【分析】（1）由平行線的性質可得NEFC=Nl+30°,再根據平角的定義可求解；

（2）過G點作GM〃AB,則MG〃CO,利用平行線的性質可得NAEG+/EGP+/CFG=360°,結合/

EGF=60°可求解.

【解答】解：（1）,：AB//CD,

???乙BEF=ZEFC,

VZFEG=30°,

AZ￡：FC=Z1+30°,

VZ2+ZEFC+900=180°,Z2=2Z1,

/.2Z1+Z1+300+90°=180°，

解得Nl=20°；

???/4EG+NEGM=180°,

*：AB//CD,

:?MG〃CD,

：.^MGF+ZCFG=\S00,

：?NAEG+/EGM+/MGF+/CFG=360°,

即/AEG+NEG尸+NC尸G=360°,

〈/EG/=60°,

AZAEG+ZCFG=3OO0.

V^AEG=a,NCFG=G，

???a+P=300°.

19.：8分）（2022春?思明區(qū)校級期中）如圖1,在五邊形ABCDE中，AE//BC,ZA=ZC.

（1）猜想AB與CO之間的位置關系，并說明理由；

（2）如圖2,延長OE至凡連接BE,若Nl=/3,NAE廣=2N2,ZAED=2ZC-140°,求NC的

度數.

【分析】（1）48與。。平行，理由為：由AE〃BC,根據兩直線平行同旁內角互補，可得：NA+NB=

180°,然后由NA=NC,根據等量代換可得：ZC+ZB=180°,然后根據同旁內角互補兩直線平行，

即可證明AB與CO平行；

（2）由AE〃BC,根據兩直線平行，內錯角相等，同旁內角互補，可得：Z2=Z3,NA+NA8C=I8O°,

由/1=N3,根據等量代換可得：N1=N2=N3,ZABC=2Z2,由N4M=2N2,根據等量代換可得:

ZA+ZABC=ZA+2Z2=ZA+ZAEF=180°,然后根據平角的定義可得：ZA￡F+ZAED=180°,進而

可得NA=NAE￡>,由NA=NC,可得：NAED=NC,結合NAEQ=2NC-140。計算可求解NC的度

數.

【解答】解：⑴猜想：AB//CD,

理由：VAE//BC,

：.ZA+Z5=180°,

VZA=ZC,

AZC+ZB=180°,

：.AB//CD；

（2）YAEHBC,

???/2=N3,NA+NA8C=180°,

VZ1=Z3,

，N1=N2=N3,ZAI3C=2Z2,

VZA￡F=2Z2,

???/A+NABC=NA+2N2=NA+NAM=180°,

???/AE尸+NAEO=180°,

:./A=NAE。，

VZA=ZC,

:.NAED=NC,

VZAED=2ZC-140°，

AZC=2ZC-140°,

解得：ZC=140°.

20.：8分)(2022秋?正陽縣期末)圖1,線段AB、CD相交于點O,連接A。、CB,我們把形如圖1的

圖形稱之為“8字形”.如圖2,在圖1的條件下，ND48和N8CO的平分線AP和CP相交于點P,并

且與CO、A8分別相交于M、N.試解答下列問題：

(1)在圖1中，請直接寫出NA、NB、NC、NO之間的數量關系：NA+ND=NC+NB；

(2)仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數：6個:

(3)圖2中，當NO=50度，N8=40度時，求NP的度數.

(4)圖2中NO和N8為任意角時，其他條件不變，試問NP與NZXN8之間存在著怎樣的數量關系.(直

接寫出結果，不必證明).

【分析】(1)根據三角形內角和定理即可得出NA+N￡)=NC+N&

(2)根據“8字形”的定義，仔細觀察圖形即可得出“8字形”共有6個：

(3)先根據“8字形”中的角的規(guī)律，可得NDAP+NQ=NP+NDCP?,ZPCB+ZB=ZB4B+ZP@,

再根據角平分線的定義，得出ND4P=/B48,/DCP=/PCB,將①+②，可得2NP=NO+N8,進而

求出NP的度數；

(4)同(3),根據“8字形”中的角的規(guī)律及角平分線的定義，即可得出2NP=NZH/6.

【解答】解：(1)VZA+Z￡)+ZAOD=ZC+ZJ?+ZBOC=180o，ZAOD=ZBOC,

:./A+NO=NC+N-

故答案為：N4+NO=NC+NB；

(2)①線段A3、8相交于點0,形成“8字形”；

②線段AN、CM相交于點0,形成“8字形”；

③線段AB、。尸相交于點N,形成“8字形”；

④線段AB、CM相交于點0,形成“8字形”；

⑤線段AP、。相交于點M,形成“8字形”；

⑥線段AMCO相交于點0,形成“8字形”；

故“8字形”共有6個，

故答案為：6；

(3)NDAP+ND=NP+NDCP,①

/尸C8+NB=N%B+NP,②

和NBCO的平分線”和CP相交于點P,

：.Z.DAP=^PAB,NDCP=NPCB,

①+②得：

NDAP+ND+NPCB+NB=NP+NDCP+N必B+NP,

即2NP=NO+NB,

又???/。=50度，NB=40度，

???2/尸=50°+40°,

AZP=45O；

(4)關系：2NP=NO+N3.

ZD+Z1=ZP+Z3?

NB+/4=NP+N2②

①+@得：

ND+N1+N4+N8=NP+N3+N2+NP,

?//DAB和ZDCB的平分線AP和CP相交于點P.

AZ1=Z2,Z3=Z4

21.（8分）（2022春?鹽湖區(qū)校級期末）已知：ZMON=40°,?！昶椒諲MOM點A、B、C分別是射線

OM、OE、ON上的動點（A、B、C不與點。重合），連接AC交射線OE于點。.設NO4C=x°.

（1）如圖1,若A8〃OM則

①/AB。的度數是20。；

②當時，x=120：當時，x=60.

（2）如圖2,若A8_L0M,則是否存在這樣的x的值，使得△AOB中有兩個相等的角？若存在，求出x

的值：若不存在，說明理由.

【分析】利用角平分線的性質求出NABO的度數是關鍵，分類討論的思想.

【解答】解：（1）①???NMON=40°,OE平分NMON,

；?NAOB=NBON=20°,

'：AB//ON,

???/A8O=20°,

@7ZBAD=ZABD,

???/B4O=20°,

V^AOB+ZABO+ZOAB=\SO°,

???/O4C=120°,

?:/BAD=/BDA,NABO=20°,

AZBAD=80",

V^AOB+ZABO+ZOAB=18O0,

???/OAC=60°；

故答案為：①20°；②120,60；

(2)①當點O在線段OB上時，

??,OE是ZMON的角平分線，

A/WB=^ZMON=20°,

*：ABVOM,

A^AOB+ZADO=9Q°,

???/A8O=70°,

若/BAD=NABO=70°,則x=20

若N5AD=NB￡>4=S(180。-70°)=55°,則x=35

若/4OB=NABO=70°,則/班。=180°-2X70°=40°,Ax=50

②當點。在射線BE上時，因為NA8￡=I10°,且三角形的內角和為180°,

所以只有/胡O=N30A,此時x=125.

綜上可知，存在這樣的x的值，使得AAOB中有兩個相等的角，

且x=20、35、50、125.

22.分)(2U22春?海陵區(qū)期末)直線何N與直線尸Q垂直相交于。，點A在射線。尸上運動，點8在

射線OM上運動.

(1)如圖1,已知AE、BE分別是N84O和N4BO角的平分線，點A、B在運動的過程中，NAE8的大

小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求出NAEB的大小.

(2)如圖2,已知4B不平行C。，AD.8C分別是NB4P和N4BM的角平分線，又DE、CE分別是N

AQC和/8C。的角平分線，點A、8在運動的過程中，NCE￡)的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請

說明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值.

(3)如圖3,延長B4至G,已知NBA。、NOAG的角平分線與N8OQ的角平分線及延長線相交于E、

F,在AAE/中，如果有兩個角度數的比是3：2,請直接寫出N48O的度數6個或72°.

【分析】（1）先求解NBAO+NA8O=90°,結合角平分線的定義可得NME+NABE=45°,再利用三

角形的內角和定理可求求解的度數；

（2）由平角的定義求解/班內?NA8M=270。，利用角平分線的定義可求N￡MB+NA8C=135°,根據

四邊形的內角和定理可求/AOC+/8S=225°,再由角平分線的定義及三角形的內角和定理可求解；

（3）先求解/E4F=90°,NA8O=2/E,結合有兩個角度數的比是3：2分4種情況可求解.

【解答】解：（1）不變.

■:MN1PQ,

???/AOB=90°,

???/AOB+N8Ao+NABO=180°,

：,ZBAO+ZABO=90°,

平分NBAO,BE平分N4B。，

:./BAE=//BAO,ZABE=^ZABO,

A^BAE+ZABE=45°,

???/BAE+/ABE+/AEB=180°,

：.^AEB=\35°:

（2）不變.

V^ABO+ZBAO=90°,

：,^BAP+ZABM=\SO0+180°-90°=270°,

??"。、BC分別是NBAP和NABM的角平分線，

:./DAB=聶8AP,NABC=^ZABM,

：.^DAB+ZABC=\35°,

???/OA8+N48C+/ADC+N8CD=360°,

???/4OC+N8CD=225°,

，：DE、CE分別是NAOC和N6C。的角平分線，

/.ZCDE=|ZADC,ZDCE=|zBCD,

?"CDE+NDCE=112.5°,

???/CEO=67.5°；

（3）???4E平分NBA。，A尸平分NOAG,

11

^EAO="BAO,ZFAO=+NOAG,

???/BAO+NOAG=180°,

AZEA6）+ZMO=90o,

即/E4尸=90°,

,：OE平分4BOQ,

???//8OQ=2/EO。，

???/EOQ=NE+NOAE,NBOQ=NABO+/BAO,

:./48O=2NE,

在△?1￡：尸中，

???有兩個角度數的比是3：2,故有4種情況：

①/￡4氏NE=3：2,ZE=60°,ZABO=\20o；（不成立）

②乙EAF：ZF=3：2,Z￡=30°,ZABO=609；

③/尸：NE=3：2,NE=36°,ZABO=12°；

④/E：ZF=3：2,NE=54°,NABO=108°（不成立）.

.??/A8O為60°或72°.

故答案為：NA8O為60°或72°?

23.：8分）（2022春?淮安期末）【概念認識】

如圖①，在NABC中，若NABD=NDBE=NEBC,則BD,BE叫做/ABC的“三分線”.其中，BD

是“鄰A8三分線”，BE是“鄰8C三分線”.

A

AA

D

BCB

①②

【問題解決】

(1)如圖②，在△ABC中，NA=80°,N8=45°,若的三分線交AC于點。，求NBZ)C的度

數；

(2)如圖③，在△A3。中，8P、CP分別是NA3C鄰三分線和NAC3鄰BC三分線，且N8PC=140。，

求/A的度數；

【延伸推廣】

(3)在△ABC中，NACO是△ABC的外角，NB的三分線所在的直線與/ACO的三分線所在的直線交

于點P.若NA=W(m>54),N8=54°,直接寫出N8PC的度數.(用含m的代數式表示)

【分析】(1)根據題意可得當8D是“鄰A8三分線”時，ZBD'C=80°+15°=95°；當8。是“鄰

BC三分線”時，NBD"C=80°+30°=110°；

(2)結合(1)根據BP、CP分別是NABC鄰BC三分線和NAC8鄰8C三分線，且N8PC=140°,即

可求N4的度數：

(3)分4種情況進行畫圖計算：情況一：如圖①，當3P和CP分別是“鄰A8三分線”、“鄰AC三分

線”時，可得N8PC=￡NA=^〃°；恃況二：如圖②，當8P和CP分別牯“鄰BC三分線”、“鄰8

三分線”時，可得/8改=寺4=蓊；情況三：如圖③，當BP和CP分別是“鄰8C三分線”、“鄰

AC三分線”時，可得NBPC=^NA+/ABC=如。+18°；情況四：如圖④，當8尸和CP分別是“鄰

A5三分線”、“鄰8三分線”時，可得N8PC=LAVNA8C="-18°,進而解答.

【解答】解：(1)如圖，

當80是“鄰AB三分線”時，NB。'C=80°+15°=95°；

當BO是“鄰BC三分線”時，^BD"C=80°+30°=110°；

(2)在△BPC中，

VZSPC=140°，

：?/PBC+NPCB=40°,

又，：BP、CP分別是NABC鄰3c二分線和NACB鄰BC二分線,

11

:./PBC=掾NA3GNPCB=摻NACB,

11

???-N4BC+〃ACB=40°，

33

AZABC+ZACB=120°,

在ZLABC中，N4+N4BC+N4CB=180°

AZA=180°-(NA6C+NACB)=60°；

(3)分4種情況進行畫圖計算：

①

情況一：如圖①，當BP和CP分別是“鄰AB三分線”、“鄰4c三分線”時,

2

2

:.4BPC=1ZA=3-

p

BCD

②

情況二：如圖②，當BP和。尸分別是“鄰BC三分線”、“鄰CO三分線”時,

：?NBPC=^NA=，。；

③

情況三：如圖③，當BP和CP分別是“鄰8C三分線”、“鄰AC三分線”時,

④

情況四：如圖④，當BP和CP分別是“鄰AB三分線”、“鄰。。三分線”時,

111

NBPC=與/A一與NABC=冢。-18°；

2121

綜上所述：NBPC的度數為：-W或或-〃?°+18°或二加°-18