湖南大學大學物理練習冊答案(一、二年級上冊下兩冊全)

大學物理(一)練習冊參考解答

第1章質(zhì)點運動學

一、選擇題

1(D),2(D),3(B),4(D),5(D),6(D),7(D),8(D),9(B),10(B),

二、填空題

⑴.A^sind,-^(2n+l);i/(y(77=0,1,...),

(2),8m,10m.

⑶.23m/s.

(4).16Rt2-4rad/s2

(5).4盧-3g(rad/s),12代-6*m/s2).

(6).1cr3,2ct,&f/R.

⑺.2.24m/s2,104°

(8).50(-sin5r7+cos5rj)m/s,0,圓.

(9)./7ik/(/71/72)

(10).12,+2+2=0

三、計算題

1.有一質(zhì)點沿/?軸作直線運動，,時刻的坐標為/?=4.5月2汽SI).試求：

(1)第2秒內(nèi)的平均速度;

(2)第2秒末的瞬時速度；

(3)第2秒內(nèi)的路程.

解：(1)?=AX/A，=-0.5m/s

(2)ydQd片9f-6%M2)=-6m/s.

(3)S=|/?(1.5)-/?(l)|+|/?(2)-/?(1.5)|=2.25m.

2.一質(zhì)點沿/?軸運動，其加速度為a《SI)，已知f0時，質(zhì)點位于R

處，初速度,.試求其位置和時間的關系式.

解：a=diydt=4f,dj=4/df

['dv=14fdrv=2^

/=dA/df=2g「dx=12產(chǎn)dr

J.r0Jo

/?=2戶/3+&(SI)

3.質(zhì)點沿/?軸運動，其加速度a與位置坐標/?的關系為3=2+6卬(SI),如果質(zhì)

點在原點處的速度為零，試求其在任意位置處的速度.

解：設質(zhì)點在/?處的速度為乙

dvdvdxc,，

a=——----------=2+6x

drdxdr

VX

Jvdi7=j(2+6x2)dx

00

v=2(x+x3p

4.f體懸掛在彈簧上作豎直振動，其加速度為a=-力/?,式中/為常量，/?是

以平衡位置為原點所測得的坐標.假定振動的物體在坐標&處的速度為K)，試求

速度，與坐標月的函數(shù)關系式.

解：”包=空生內(nèi)也

drdydzdy

又a=-//?：-/y=vAv/6R

-=jvdv,~~^y2=~y2+

已知>=Ab,=(4)則C=一-；妙；

v2=vl+k(yl-y2)

5.一質(zhì)點沿半徑為/?的圓周運動.質(zhì)點所經(jīng)過的弧長與時間的關系為

S=初+卜2其中6、c是大于零的常量，求從y0開始到切向加速度與法向加

速度大小相等時所經(jīng)歷的時間.

解：v=dS/dt=b-^-ct

at=dv/dt=c

an=0+ctf/R

根據(jù)題意：8尸為

即c=0+cr)2/R

解得"匹_2

vcc

6.如圖所示質(zhì)點戶在水平面內(nèi)沿一半徑為/?=2m的圓軌道轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)

動的角速度與時間t的函數(shù)關系為8=kt2(/為常量).已知f=2s

時，質(zhì)點夕的速度值為32m/s.試求/=1s時，質(zhì)點"的速度與加速度的大小.

解：根據(jù)已知條件確定常量力

k=a)/r=v/(/?r2)=4rad/52

co=Ar,v=Ra>=4R廣

f=ls時，i^=4/?Z2=8m/s

at=du/dt=8Rt=\&rtIs'

22

an=v/R=32}n/s

a=(a：+a；2=35.8m/s2

7.(1)對于在/?/?平面內(nèi)，以原點。為圓心作勻速圓周運動的

質(zhì)點，試用半徑/；角速度和單位矢量二，表示其子時刻的位置矢量.已知

在40時，/?=(),/?=/;角速度如圖所示；

(2)由⑴導出速度力與加速度。的矢量表示式;

(3)試證加速度指向圓心.

解：(1)r-xi+3；j-rcoscoti+rsineyrj

⑵5d=T

-rcosincoti+rcocoscotj

一dD「2?:

a=——=-rco2coscoti-rcosinft?rj

dr

(3)a--ar(rcosd;/i+rsincotj)=-arr

這說明G與尸方向相反,即。指向圓心

8.一飛機駕駛員想往正北方向航行，而風以60Am/h的速度由東向西刮來，如

果飛機的航速（在靜止空氣中的速率）為180Am/h,試問駕駛員應取什么航向?

飛機相對于地面的速率為多少？試用矢量圖說明.

」北

解：設下標/I指飛機，尸指空氣，馬旨地面，由題平取之

勿￡=60Am/h正西方向西仁卡―7

幺尸180Am/h方向未知

以￡大小未知，正北方向

由相對速度關系有：vAE^vAF+vFl

%、%、幾￡構成直角三角形，

e=tgT(w%)=i9.4°

（飛機應取向北偏東19.4。的航向）.

四研討題

1.在下列各圖中質(zhì)點M作曲線運動，指出哪些運

動是不可能的？

參考解答：

（1）、（3）、（4）是不可能的.

Q）曲線運動有法向加速度，加速度不可能為零；

（3）曲線運動法向加速度要指向曲率圓心；

（4）曲線運動法向加速度不可能為零.

2.設質(zhì)點的運動方程為x=x（f）,y=y⑺在計算質(zhì)點的速度和加速度時：

第一種方法是，先求出“乒百，然后根據(jù)心警及。=富而求得結果；

第二種方法是，先計算速度和加速度的分量，再合成求得結果，即

你認為兩種方法中哪種方法正確？

參考解答:

第二種方法是正確的。因為速度和加速度都是矢量，根據(jù)定義,

_drdx-rdyr

v=—=--ld----J

drdtdt

22

_dvd/dx-dy入dxTdy-；

a=--—(—i+—j)l

drdrdrdr~叱TTdX^—J

d2xd2y

所以22

第一種方法是錯誤的，問題的關鍵在于位移、速度、加速度的矢量性

力=衛(wèi)=9（廠./°）=坐產(chǎn)+「《（尹為/"方向的單位矢量），

dtdtdtdt

_dud2r.0cdrdr0d2r°

dtdtdtdrd廣

問題的關鍵：F=?

dr

在第二種方法中，$=0,如果在第一種方法的討論中，°==（）,那么

drdr

5="=9（/./。）=匕/+廠火==上汽則八立也成立！

drdrdrdrdtdt

注意：若*=o,則嚴必須是大小與方向均不隨時間改變的常矢

量。根據(jù)質(zhì)點的運動方程為x=x（r）,y=y（r）,質(zhì)點作平面曲線運動，/'

如圖所示，尹大小不變，但方向改變！

所以半H0,即第一種方法是錯誤的！

只有在直線運動中，/=：（顯然：是大小與方向均不隨時間改變的常矢量）

字=普=0,速度的大小才等于匕.對加速度的大小ax女也可以用同樣方法

dtdrdrdr-

加以討論.

第2章質(zhì)點力學的運動定律守恒定律

一、選擇題

1(C),2(E),3(D),4(C),5(C),6(B),7(C),8(C),9(B),10(C),11(B),12(A),

13(D)

二、填空題

(l).(O2=12rad/s,A=0.027J

⑵.290J

⑶3J

(4).18N-s

⑸爭吁+2叮(SI)

(6).16Ns,176J

(7).16Ns,176J

k

(8)./VUA7,

0M+nmVM

(9).63.2N

(10).(2m,6m);(-4m,2m)fn(6m,8m);2m和6m.

三、計算題

L已知一質(zhì)量為777的質(zhì)點在/?軸上運動，質(zhì)點只受到指向原點的引力的作用，

引力大小與質(zhì)點離原點的距離片的平方成反比，即是比例常數(shù).設

質(zhì)點在R=A時的速度為零，求質(zhì)點在R=A/A處的速度的大小.

解：根據(jù)牛頓第二定律

「kdvdvdxdv

j=——-=m——=m---------=mv——

xdrdxdtdx

.vA/4

,.dxk

'vdv=-K——-vdv=-1dx

mx°A

12kA°13；

2mAAmA

2.質(zhì)量為6的子彈以速度4水平射入沙土中，設子彈所受阻力與速度反向，大

小與速度成正比，比例系數(shù)為K,忽略子彈的重力，求：

Q)子彈射入沙土后，速度隨時間變化的函數(shù)式；

(2)子彈進入沙土的最大深度.

解：Q)子彈進入沙土后受力為-Kv,由牛頓定律

dv

-Kv=m—

■.v=v^-K"m

(2)求最大深度

解法一：〃=孚

dr

dx=qe-w〃"dr

00

K,/m

：.x=(m/K)v0(\-e-)

3.如圖，用傳送帶/輸送煤粉，料斗口在/上方高h

=0.5m處，煤粉自料斗口自由落在A上.設料斗口連續(xù)卸煤的流量為qm=

y

40Ag/s，/以“2.0m/s的水平速度勻速向右移動.求裝煤的出程

a

力的作用力的大小和方向.（不計相對傳送帶靜止的煤粉質(zhì)重）3

解：煤粉自料斗口下落，接觸傳送帶前具有豎直向下的速度3_x

設煤粉與力相互作用的tAm=q*

設/對煤粉的平均作用力為了，由動量定理寫分量式:

/=Amu-0

/vAr=O-(-Ami2o)

將Am=%”4代入得￡=qmv,fy=q,,V。

?"="：+斤=149N

了與/?軸正向夾角為=arctg(/V同=57.4。

由牛頓第三定律煤粉對/的作用力F=ai49N,方向與圖中『相反.

4.有一水平運動的皮帶將砂子從一處運到另一處，砂子經(jīng)一豎直的靜止漏斗落到

皮帶上，皮帶以恒定的速率1/水平地運動.忽略機件各部位的摩擦及皮帶另一端

的其它影響，試問：

Q)若每秒有質(zhì)量為的砂子落到皮帶上，要維持皮帶以恒定速率

/運動，需要多大的功率？

⑵若0n=20Ag/s,=1.5m/s,水平牽引力多大？所需功率多大？

解：Q)設t時刻落到皮帶上的砂子質(zhì)量為M,速率為匕"dt時刻，皮帶上的

砂子質(zhì)量為M+6M,速率也是匕根據(jù)動量定理，皮帶作用在砂子上的力尸的

沖量為：

Fdt^(M+dM)v-(Mv+dM-V

.F=vdM/dt=v-qm

由第三定律，此力等于砂子對皮帶的作用力P,即P=F.由于皮帶勻速

運動，動力源對皮帶的牽引力F"=F.

因而,F"=F、FW，同向，動力源所供給的功率為：

2

P=F-v=v-vdM/dt=vqm

⑵當好=dM/df=20Ag/s,i/=1.5m/s時，水平牽引力

F"=i/gm=30N

所需功率P=0qm=A5W

|<—l—a-

5.一鏈條總長為/,質(zhì)量為m,放在桌面上，并使其部分下不

垂，下垂一段的長度為a.設鏈條與桌面之間的滑動摩擦系731

數(shù)為〃.令鏈條由靜止開始運動，則Z

⑴到鏈條剛離開桌面的過程中，摩擦力對鏈條作了多少功當7R潮兩琬不

,Qe

(2)鏈條剛離開桌面時的速率是多少？不義

解：Q)建立如圖坐標.

某一時刻桌面上全鏈條長為尺則摩擦力大小為

f=/.imyg

摩擦力的功叼=[“fdy=〃ygydy

=厘2孔儂…2

21戶"21

(2)以鏈條為對象,應用質(zhì)點的動能定理￡M/=^mv2-^mvl

其中￡小必+Wf,30

%=你近=「惚疝=〃儂＞力)

LLI21

由上問知W/=一幺嗎過

6.小球2,自地球的北極點以速度為在質(zhì)量為M、

半徑為R的地球表面水平切向向右飛出，如圖所

示，地^參考系中軸OO'與%平行，小球/的運動軌道與軸’相交于距O

為3/?的C點.不考慮空氣阻力，求小球2在。點的速度D與％之間的夾角.

解：由機械能守恒：

；—GMm/R=加爐-GMm/(3R)①

根據(jù)小球繞。角動量守恒：

Rmu()=3Rmvsin3②

①、②式聯(lián)立可解出.“外

Af———

sin0=V{)=D

79Vo-UGM/RV________

7.質(zhì)量為mA的粒子力受到另一重粒子B的萬有引力作B

用，8保持在原點不動.起初，當/離8很遠（々8）時，力具有速度5。,方向沿

圖中所示直線Aa,8與這直線的垂直距離為。.粒子/由于粒子8的作用而偏

離原來的路線，沿著圖中所示的軌道運動.已知這軌道與8之間的最短距離為d,

求8的質(zhì)量nr）B.

解：/對夕所在點的角動量守恒.設粒子A到達距6最短距離為d時的速度為

DmAv0—mAvd,v-Dv0/d

48系統(tǒng)機械能守恒（力在很遠處時，引力勢能為零）

1）19

太叫必=4加』-GmAmB/d

解得“2—訴=2GmB/d

，加8=（。2-/）說/（2Gd）

8.一個具有單位質(zhì)量的質(zhì)點在隨時間t變化的力F=（3/2-4Z）F+（12/-6方（SI）作

用下運動.設該質(zhì)點在上0時位于原點，且速度為零.求42秒時，該質(zhì)點受

到對原點的力矩和該質(zhì)點對原點的角動量.

解：以下各式均為SI式6=1F^ma,

戶=（3產(chǎn)一4a：+（l>—6）7,2=（3/一4。：+（12一6）7

a=dv/dt,占0時，％=°

Vtt

.Jdi>=Jad/=j[（3r-4z）7+（12/-6）J]d^

000

力=?3—2產(chǎn)）：+（6/一6/）7

v=dr/dt，上0時，%=0

pdf=（*-■|/》+⑵3—3產(chǎn)）J

當上2s時>=—47/3+4],p=12j,F=4r+18j

=FxF=（-1r+4；）x（47+18；）=-40^

_4一一__

角動量1=￥x〃加=（—§i+4J）xl2/=-16%

四研討題

L汽車發(fā)動機內(nèi)氣體對活塞的推力以及各種傳動部件之間的作用力能使汽車前

進嗎？使汽車前進的力是什么力？

參考解答：

汽車發(fā)動機內(nèi)氣體對活塞的推力以及各種傳動部件之間的作用力都是汽車

系統(tǒng)的內(nèi)力，內(nèi)力只會改變內(nèi)部各質(zhì)點的運動狀態(tài)，不會改變系統(tǒng)的總動量，所

以不能使汽車前進。使汽車前進的力只能是外力，這個外力就是地面給汽車的摩

擦力。粗略分析如下：當汽車發(fā)動機內(nèi)氣體對活塞的推力帶動傳動部件使主動輪

（一般為汽車的后輪）繞輪軸轉(zhuǎn)動時，使主動輪與地面的接觸部分相對地面有向

后滑動的趨勢，從而使地面對汽車施以向前的摩擦力，使汽車整體向前加速運動。

由于汽車前進使從動輪（汽車的前輪）相對地面有向前的運動趨勢，因此從動輪

受到地面施以的方向向后的摩擦力，該摩擦力對從動輪軸的力矩使從動輪滾動起

來。所以汽車的運動最終靠的是地面施加的摩擦力。

2.沖量的方向是否與沖力的方向相同？

參考解答：

沖量是力對時間的積累，由動量定理：7=J:戶dr=g-R=AP

所以，沖量的方向和動量增量A戶的方向相同，不一定與沖力戶的方向相同。

3.一物體可否只具有機械能而無動量？一物體可否只有動量而無機械能？試舉

例說明。

參考解答：

機械能是系統(tǒng)作機械運動的動能和勢能的總和.動能與物體相對參考系的運

動速度有關，勢能則屬于保守力系統(tǒng)，一物體具有的勢能，是相對勢能零點而言

的。若取保守力系統(tǒng)，物體相對參考系靜止，那么物體的動能為零，物體的動量

也為零。該系統(tǒng)的機械能就是物體相對系統(tǒng)勢能零點所具有的勢能.所以，一物

體可以有機械能而無動量。例如：一質(zhì)量為力的物體（例如一氣球）靜止在相

對于地面為力的高處，此時對于物體和地球系統(tǒng)，具有的機械能為重力勢能，

其值為mgk由于此時物體靜止，故其動量為零。

在保守力系統(tǒng)中，若一物體運動至某一位置時所具有的動能值，恰等于該位

置相對勢能零點所具有的負的勢能值，則該物體的機械能為零，而因物體具有動

能，因而動量不為零。所以，一物體也可以有動量而無機械能。例如：物體自離

地面高為力處自由下落，取物體和地球為系統(tǒng)，并取下落處為重力勢能零點.初

始時刻系統(tǒng)的機械能昂=0,下落至地面時，物體具有速度的大小為匕動能為

m內(nèi)2,動量的大小為mv,系統(tǒng)的機械能為m囚2-mgh=Eo=O.

4.在經(jīng)典力學范圍內(nèi)，若某物體系對某一慣性系滿足機械能守恒條件，則在相對

于上述慣性系作勻速直線運動的其它參照系中，該物體系是否一定也滿足機械能

守恒條件？請舉例說明.

參考解答：

不一定滿足守恒條件.

例如在水平面上以速度為勻速直線行駛的車廂頂上懸

掛一小球.以車廂為參考系，小球擺動過程中繩子張力對小

球不作功則小球+地系統(tǒng)機械能守恒若以地面為參考系，

小球相對于車廂的擺動速度為力，則小球?qū)Φ厮俣?/p>

v'=vn+v,少與繩張力f不垂直，故小球擺動過程中繩張力對小球要作功，這

時小球+地系統(tǒng)不滿足機械能守恒條件.但在上述兩個參考系（慣性系）中，動

能定理和功能原理仍是成立的.

5.在車窗都關好的行駛的汽車內(nèi)，漂浮著一個氫氣球，當汽車向左轉(zhuǎn)彎時，氫氣

球在車內(nèi)將向左運動還是向右運動？

參考解答：

在空氣中釋放一氫氣球，它將受浮力的作用上升。這浮力的根源是大氣在重

力場中的壓強上小下大，因而對氫氣上下表面的壓力不同，上小下大，而使浮力

與重力的方向相反。

在題述汽車向左轉(zhuǎn)彎時，它具有指向車廂左

側(cè)的法向加速度。因而汽車是一非慣性系。在汽

車內(nèi)觀察，即以汽車為參考系，其中空氣將受到

指向右側(cè)的慣性離心力。汽車內(nèi)的空氣就好象處

在一水平向右的“重力場"中一樣。根據(jù)斤=6〃「，這"重力場"左弱右強。和

在地球表面空氣中氫氣球受浮力要向上運動類似，在汽車內(nèi)空氣中的氫氣球?qū)⑹?/p>

到水平向左（與水平"重力”方向相反）的"浮力"的作用而向左運動。（忽略

由于氫氣球質(zhì)量很小而引起的在車內(nèi)看到的很小的向右的運動）

第2章剛體定軸轉(zhuǎn)動

一、選擇題

1(B),2(B),3(A),4(D),5(C),6(C),7(C),8(C),9(D),10(C)

二、填空題

Q).i/?15.2m/s,772=500rev/min

(2).62.51.67s

⑶."切(2〃

(4).5.0N-m

(5).4.0rad/s

(6).0.25Agm2

⑻〃能g/參考解：/V7=jdA/=[1//gmr=g卬wgl

IhJ+mR2

(10)g=J3gsin8/7

三、計算題

1.有一半徑為/?的圓形平板平放在水平桌面上，平板與水平桌面的摩擦系數(shù)為，,

若平板繞通過其中心且垂直板面的固定軸以角速度以）開始旋轉(zhuǎn)，它將在旋轉(zhuǎn)幾

圈后停止？（已知圓形平板的轉(zhuǎn)動慣量J=；血?2,其中。為圓形平板的質(zhì)量）

解：在〃處的寬度為d/?的環(huán)帶面積上摩擦力矩為

dM=LL——-?2兀廠?mr

nR2

總摩擦力矩M=￡（iM^-pmgR

故平板角加速度=M/J

設停止前轉(zhuǎn)數(shù)為n,則轉(zhuǎn)角9=2?！?/p>

由比=248=4兀?/J（J

可得〃=T17=3/?就/16冗"g

4TIM

2.如圖所示,一個質(zhì)量為0的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián)，繩Q

子質(zhì)量可以忽略，它與定滑輪之間無滑動.假設定滑輪質(zhì)量為M

半徑為/?,其轉(zhuǎn)動慣量為《MRz,滑輪軸光滑.試求該物體由靜止開始下落的過

程中，下落速度與時間的關系.

解：根據(jù)牛頓運動定律和轉(zhuǎn)動定律列方程

對物體：mg-T-ma@

對滑輪：TR=J②

運動學關系：a=③

將①、②、③式聯(lián)立得

a-mg/{m+

1.K)=0,

.,.i/=at-mgt/(m+

3.為求一半徑R=50cm的飛輪對于通過其中心且與盤面垂直的固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動

慣量，在飛輪上繞以細繩，繩末端懸一質(zhì)量rrn=8Ag的重錘.讓重錘從高2m

處由靜止落下，測得下落時間fi=16s.再用另一質(zhì)量/772=4Ag的重錮故同樣

測量，測得下落時間力=25s.假定摩擦力矩是一個常量，求飛輪的轉(zhuǎn)動慣量.

解：根據(jù)牛頓運動定律和轉(zhuǎn)動定律，對飛輪和重物列方程，得

TR-Mf=Ja/R@

mg-T-ma@

h=1ar(5)

則將m、4代入上述方程組，得

ai=2h/t^=0.0156m/s2

71=mi（g-5i）=78.3N

7=（71/?-MffR/ax@

將狽、力代入①、②、③方程組，得

52=2/7/=6.4x103m/s

72=m2（g-㈤=39.2A/

J=（我/?-MWai⑤

由④、⑤兩式，得

7=/?（71-無）/（&-氏）=1.06x103Ag.m2

4.一轉(zhuǎn)動慣量為1的圓盤繞一固定軸轉(zhuǎn)動，起初角速度為o.設它所受阻力矩

與轉(zhuǎn)動角速度成正比，即/（A為正的常數(shù)），求圓盤的角速度從。變

為:。。時所需的時間.

解：根據(jù)轉(zhuǎn)動定律：

d/dt=-A

dcok,

/.——=——dr

CDJ

伊。/21rtk

兩邊積分：一dco=--dt

JgcoJ()J

得In2二協(xié)

（/n2）/Z

5.某人站在水平轉(zhuǎn)臺的中央，與轉(zhuǎn)臺一起以恒定的轉(zhuǎn)速m轉(zhuǎn)動，他的兩手各拿

一個質(zhì)量為6的磋碼，祛碼彼此相距〃（每一祛碼離轉(zhuǎn)軸當此人將祛碼拉近

到距離為分時（每一怯碼離轉(zhuǎn)軸為;⑸,整個系統(tǒng)轉(zhuǎn)速變?yōu)閙.求在此過程中人

所作的功.（假定人在收臂過程中自身對軸的轉(zhuǎn)動慣量的變化可以忽略）

解：Q）將轉(zhuǎn)臺、怯碼、人看作一個系統(tǒng)，過程中人作的功必等于系統(tǒng)動能之增

量：W-5=g（Jo+gm/；）4兀-glJo+g）dibzl兀

這里的兒是沒有怯碼時系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量.

（2）過程中無外力矩作用，系統(tǒng)的動量矩守恒：

卜+—ml；）/71/）+-ml}）/72/~|~i

=/

廠2（%-鬲AvzL^/

⑶將為代入小式，得切/宣漢2222^/

6.一質(zhì)量均勻分布的圓盤，質(zhì)量為M,半徑為/?,放在i

一粗糙水平面上（圓盤與水平面之間的摩擦系數(shù)為〃），圓

盤可繞通過其中心。的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動.開始時，圓盤靜止，一質(zhì)量為m

的子彈以水平速度4垂直于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌在盤邊上，求

Q）子彈擊中圓盤后，盤所獲得的角速度.

（2）經(jīng)過多少時間后，圓盤停止轉(zhuǎn)動.

（圓盤繞通過。的豎直軸的轉(zhuǎn)動慣量為2,忽略子彈重力造成的摩擦阻力矩）

解：（1）以子彈和圓盤為系統(tǒng)，在子彈擊中圓盤過程中，對軸。的角動量守恒.

m枕R={-MR1+m哈

八叫

CD=y--------------r-

\-M+m\R

(2)淡2表示庖恁單位面積的質(zhì)量，可求出圓盤所受水平面的摩擦力矩的大小

%Mf=￡r/2ga-2wdr=ogf^-(2/3)

設經(jīng)過f時間圓盤停止轉(zhuǎn)動，則按角動量定理有

-Mft=0-=-(^-MR2+mf^}=-mvbR

△/_mv()Rmv0R3mv0

-Mf~Q/3)〃MgR-2pMg

7.—勻質(zhì)細棒長為2L,質(zhì)量為m,以與棒長方向相垂直的速

度％在光滑水平面內(nèi)平動時，與前方一固定的光滑支點。發(fā)生完全非彈性碰

撞.碰撞點位于棒中心的T則:L處，如圖所示,求棒在碰撞后的瞬時繞。點轉(zhuǎn)

動的角速度.(細棒繞通過其端點且與其垂直的軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量為，出之，

式中的)和/分別為棒的質(zhì)量和長度.)

解：碰撞前瞬時，桿對。點的角動量為

r3L/2pL/221

]02為xdx-Jopvoxdx=pvoL-=-mv0L

式中為桿的線密度.碰撞后瞬時，桿對。點的角動量為

,113(3斤1(\7八

3|_4\2J4UJJ12

因碰撞前后角動量守恒，所以

21

1mLco/12=—mv()L

???=6uo/(7L)

8.長為/的勻質(zhì)細桿，可繞過桿的一端。點的水平光滑固定

軸轉(zhuǎn)動，開始時靜止于豎直位置,緊挨。點懸一單擺，輕質(zhì)

擺線的長度也是/，擺球質(zhì)量為m.若單擺從水平位置由靜止開始自由擺下，且

擺球與細桿作完全彈性碰撞，碰撞后擺球正好靜止.求：

(1)細桿的質(zhì)量.

(2)細桿擺起的最大角度.

解：(1)設擺球與細桿碰撞時速度為K),碰后細桿角速度為，系統(tǒng)角動量守恒

得：=77714)/

由于是彈性碰撞，所以單擺的動能變?yōu)榧殫U的轉(zhuǎn)動動能

=^Jco2

代入_/=,由上述兩式可得M=3/77

(2)由機械能守恒式

=mgl=g除/(1-8S。)

并利用⑴中所求得的關系可得6=arccos|

四研討題

L計算一個剛體對某轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量時，一般能不能認為它的質(zhì)量集中于其質(zhì)

心，成為一質(zhì)點，然后計算這個質(zhì)點對該軸的轉(zhuǎn)動慣量？為什么？舉例說明你的

結論。

參考解答：

不能.

因為剛體的轉(zhuǎn)動慣量Z/m,.與各質(zhì)量元和它們對轉(zhuǎn)軸的距離有關.如一勻

質(zhì)圓盤對過其中心且垂直盤面軸的轉(zhuǎn)動慣量為1成2,若按質(zhì)量全部集中于質(zhì)心

計算，則對同一軸的轉(zhuǎn)動慣量為零.

2.剛體定軸轉(zhuǎn)動時，它的動能的增量只決定于外力對它做的功而與內(nèi)力的作用無

關。對于非剛體也是這樣嗎？為什么？

參考解答：

根據(jù)動能定理可知，質(zhì)點系的動能增量不僅決定于外力做的功，還決定于內(nèi)力做

的功。

由于剛體內(nèi)任意兩質(zhì)量元間的距離固定，或說在運動過程中兩質(zhì)量元的相對

位移為零，所以每一對內(nèi)力做功之和都為零。故剛體定軸轉(zhuǎn)動時，動能的增量就

只決定于外力的功而與內(nèi)力的作用無關了。

非剛體的各質(zhì)量元間一般都會有相對位移，所以不能保證每一對內(nèi)力做功之

和都為零，故動能的增量不僅決定于外力做的功還決定于內(nèi)力做的功。

3.乒乓球運動員在臺面上搓動乒乓球，為什么乒乓球能自動返回？

參考解答：

分析：乒乓球(設乒乓球為均質(zhì)球殼)的運動可分解為球隨質(zhì)心的平動和繞通過

質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動.乒乓球在臺面上滾動時，受到

的水平方向的力只有摩擦力.若乒乓球平動的初p

始速度人的方向如圖，則摩擦力々的方向一定向———

后.摩擦力的作用有二，對質(zhì)心的運動來說，它使質(zhì)心平動的速度吐逐漸減小;

對繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動來說，它將使轉(zhuǎn)動的角速度。逐漸變小.

當質(zhì)心平動的速度Vc=O而角速度小0時，乒乓球?qū)⒎祷?因此，要使乒乓

球能自動返回，初始速度14和初始角速度物的大小應滿足一定的關系.

解題：由質(zhì)心運動定理：-5=〃，①

「dr

因耳.=〃"g彳導Vc=VcQ-JLlg(1)

由對通過質(zhì)心的軸(垂直于屏面)的轉(zhuǎn)動定律"=IP

-RF=(2)成2)上^得口=(o一巨〃g/(2)

3dz2R

由(1),(2)兩式可得。匕二%，令以=0；<y>0

2R

可得條

這說明當人力和的的大小滿足此關系時，乒乓球可自動返回.

第3章狹義相對論

一、選擇題

1(B),2(C),3(C),4(C),5(B),6(D),7(C),8(D),9(D),10(C)

二、填空題

⑴V

(2).433xl0-8s

(3)A/匕(AX/仁41-(i?/c)2

(4).c

(5)。99c

(6).0.99c

(7).8.89xl0-8s

(8).海

(9)〃=V§c/2,u=辰i2

(10).9xlO16J,1.5xlO17J

三、計算題

1.在/慣性系中觀測到相距/?=9x108m的兩地點相隔上5s發(fā)生兩事件，而

在相對于力系沿/?方向以勻速度運動的A1系中發(fā)現(xiàn)此兩事件恰好發(fā)生在同一

地點.試求在力’系中此兩事件的時間間隔.

解：設兩系的相對速度為匕根據(jù)洛侖茲變換，對于兩事件，有

AX'+v\tr

71-(v/c)2

由題意：數(shù)=0

可得R=vt

△t=i-----,

由上兩式自■得Af'=Afjl-⑴/c)2=((Ar)2-(AX/C)2)I/2=4S

2.在A慣性系中，相距/?=5xl06m的兩個地方發(fā)生兩事件，時間間隔

^10-2s;而在相對于A系沿正/?方向勻速運動的/'系中觀測到這兩事件卻

是同時發(fā)生的?試計算在A'系中發(fā)生這兩事件的地點間的距離R'是多少？

解：設兩系的相對速度為人根據(jù)洛侖茲變換，對于兩事件，有

AX'+

AL《口弘

%)2

由題意：△，=0

可得Al=(V/C2)AX

及“=Axjl-(f

由上兩式可得AX'=[(d)2—(C2A"C)2,2=[-—c2ALy2=4xl06m

3.一艘宇宙飛船的船身固有長度為￡o=9Om,相對于地面以N=0.8《C為真空中

光速)的勻速度在地面觀測站的上空飛過.

(1)觀測站測得飛船的船身通過觀測站的時間間隔是多少？

(2)宇航員測得船身通過觀測站的時間間隔是多少？

解：⑴觀測站測得飛船船身的長度為

L=L()-(u/c)?=54m

ri=Z/^2.25xlO-7s

(2)宇航員測得飛船船身的長度為Zo,則

6=Zo/^=3.75xlO-7s

4.一飛船和慧星相對于地面分別以0.6c和0.8c速度相向運動，在地面上觀察，

5s后兩者將相撞，問在飛船上觀察，二者將經(jīng)歷多長時間間隔后相撞？

解：兩者相撞的時間間隔△上5s是運動著的對象一飛船和慧星一發(fā)生碰撞的時

間間隔，因此是運動時.在飛船上觀察的碰撞時間間隔是以速度々0.6c運

動的系統(tǒng)的本征時，根據(jù)時間膨脹公式4=/~、，可得時間間隔為

Jl-(v/c)2

Af=一(y/c)2=4(s).

5.在慣性系中，有兩個靜止質(zhì)量都是頂?shù)牧Ｗ恿虰,它們以相同的速率i4目

向運動，碰撞后合成為一個粒子，求這個粒子的靜止質(zhì)量M).

解：設粒子A的速度為以，粒子B的速度為%，合成粒子的運動速度為V.由

動量守恒得

movA,M0V

-u；Ic1-u；Ic171-V2/c2

因以（=%=4,且%=-i）B,所以￡=o.

即合成粒子是靜止的.由能量守恒得

22

mocmoc

c71-v2/c271-v2/C1

解出M)

71-v2/c2

6.兩個質(zhì)點力和8，靜止質(zhì)量均為mo.質(zhì)點A靜止，質(zhì)點8的動能為6mod.設

48兩質(zhì)點相撞并結合成為一個復合質(zhì)點.求復合質(zhì)點的靜止質(zhì)量.

解：設復合質(zhì)點靜止質(zhì)量為Mo,運動時質(zhì)量為M,由能量守恒定律可得

22

Me=moc+m(?

其中萬厘為相撞前質(zhì)點8的能量.

222

me=moc+6moc=7m0c)

故M=8m0

設質(zhì)點8的動量為PB,復合質(zhì)點的動量為p.由動量守恒定律

P=PB

利用動量與能量關系，對于質(zhì)點8可得

PyC2+欣c4=m2c4=4,而C/

對于復合質(zhì)點可得P2c2+河襯=M2c4=6的松4

由此可求得=6%-48m；=16m；

M)=癡0

四研討題

L相對論的時間和空間概念與牛頓力學的有何不同？有何聯(lián)系？

參考解答：

牛頓力學時空觀的基本觀點是，長度和時間的測量與運動（或說與參考系）無關;

而相對論時空觀的基本觀點是，長度和時間的測量不僅與運動有關，還與物質(zhì)分

布有關。

牛頓力學時空概念是相對論時空觀在低速（即運動速度遠遠小于光速）時的

近似。

牛頓力學時空觀的基本原理是力學相對性原理，由力學基本原理得到的兩個

慣性系的運動量間的關系是伽利略變換

x'=x-vt,yr=y,z'=z,tr=t.

狹義相對論時空觀的基本原理是相對論的相對性原理和光速不變原理，而相

應運動量之間的變換是洛侖茲變換

即p<<c時，洛侖茲變換式就會過渡

到伽利略變換式。

2.同時的相對性是什么意思？為什么會有這種相對性？如果光速是無限大,是否

還會有同時性的相對性?

參考解答:

同時性的相對性的意思是：在某一慣性系中兩地同時發(fā)生的兩個事件，在相

對于此慣性系勻速運動的另一慣性系中觀測，并不是同時發(fā)生的。

CAV

這個結論與光速不變原理緊密相聯(lián)。

設相對運動的慣性系是S（xOy）和swoy）,坐標系和相

對運動如圖所示，坐標原點0和0'重合時設為t=，'=0。'

由洛侖茲變換，兩事件的時空坐標關系為

如果在S系中兩事件同時發(fā)生，即加=0，那么在S，系中兩事件的時間間隔

VA

2-

\t'=c=

與兩事件在s系中發(fā)生的空間內(nèi)隔心有關。

當AxwO時，Ar^0o即兩事

件在及系中不同時發(fā)生。

如果光速是無限大，也就是研究的對象均屬于低速情況，那必然是牛頓力學

的情況。即洛侖茲變換中的

<=0,4=°-

CC

則加=加,就不再有同時的相對性。

3.在某一參考系中同一地點、同一時刻發(fā)生的兩個事件，在任何其他參考系中觀

察觀測都將是同時發(fā)生的，對嗎？這里的參考系均指慣性系。

參考解答：

對的。

如果S系和9系是相對于運動的兩個慣性系。設在S，系中同一地點、同一時

刻發(fā)生了兩個事件,即Ax'-x'2-x[-0,Af

將上述已知條件代入下面的洛侖茲坐標變換式中

A/+y(%2~X\)

加=，2-八=j2

則可得&=z2。\說明在S系中也是同時發(fā)生的。

這就是說，在同一地點，同一時刻發(fā)生的兩個事件，在任何其他參考系中觀察觀

測也必然是同時發(fā)生。

4.靜長/o的火車以勻速M亍駛時,甲是地面上的觀測者，相對于地面靜止；乙是

火車上的觀測者,相對于火車靜止.甲觀測到的長度方百<￡0,即火車

的動長小于靜長，這就是甲所觀測到的長度收縮.試從另一個角度來看長度收縮

問題,即被測量者如何看待別人的測量并討論產(chǎn)生不同看法的原因.

參考解答：

當火車以勻速M亍駛時，甲是地面上的觀測者,相對于

I------?0

地面靜止，?乙是火車上的觀測者，相對于火車靜止.以地面加〃〃，￡〃〃〃？小k-

為S系,沿火車速度方向取牌血以火車為S，系，沿火車速度—L—

圖1甲測量運動中的火車長度

方向取用軸.甲是這樣測量運動中的火車長度的：在S系

的同一時刻（t2=ti），在地面劃下火車前端A的位置#2和后端B的位置7?1（如圖1所

示），然后測量/?2和吊之間的距離/,這就是甲測出的運動中的火車長度，即

L=X?—%]---------（1）

對乙來說,火車是靜止的，火車前端A的位置/?3和后端B的位置之間的距離就是

火車的靜長/0,即LQ=X2'-X[-----（2）

且L=4Ji-多-----⑶

因i/<c故由式⑶得出kb即火車的動長小于靜長，這就是甲所觀測到的長度收

縮。

乙是如何看待上述甲的測量呢?乙觀測到,甲在杉時刻在地面上劃下火車前端A的

位置/?2,在代時刻在地面上劃下火車后端B的位置總,由洛倫茲變換

,1「一

t=I=t----

\li-V2/c2LC~_

有4-才=/,；（，2-ZI）--T（X2-X1）

Vl-v2/c2Lc,J

-t\=--/⑶

Vl-v2/c2-=c<o------

這個結果表明：13在先，抬在后.也就是說，在乙看來,甲并不是同時劃下火車前后

端的位置的,而是先（也時刻）劃下火車前端A的位置&,后（△時刻戊！]下火車后端B

的位置A如圖2所示所以,乙認為，甲少測了一段長度，這段長度為

\L=v(t\-t'2)------(4)

將式⑶代入式(4)得

V2U

AL=—￡0------⑸

c"

因此,乙認為,甲所測量的不是火車的長度，而①先劃下火車前端A的位置均

②后劃下火車后端B的位置占

圖2乙觀測到的甲的測量

是比

火車短△/的某一長度：

￡*=4—AL-----(6)

將式⑸代入式⑹得

乙還觀測到,地面上沿火車進行方向的尺縮短了，縮短的因子為廬西"于是乙

推知,甲所觀測到的火車長度應為

這正是甲測得的.由以上的分析可見，在S系看來，甲的觀測是正確的，火車

的長度收縮是真實的.在S'系看來，火車的長度是/o,并沒有收縮，而是甲的觀測方

法有問題(先測前端，后測后端)，甲少測了一段長度加上甲的尺縮短了,兩種因

素合在一起，使甲得出火車長度收縮的結論.

第4章振動

一、選擇題

1(C),2(B),3(B),4(C),5(C),6(D),7(B),8(D),9(B),10(C)

二、填空題

(1).、-分、

(2).2TIYI2m/k、2Tlybn/2k

(3).x=0.04cos(7ir+；兀)

(4).0.04cos(4w-；兀)

(5).x=2x102cos(5//2-^7t)

(6).0.05m,-0.205兀(或-36.9。)

(7)3/4,2蟲2/g

(8).291Hz或309Hz

(9).lxl0-2m,

i3

(10).0.06cosnt,0.03cos(Kr--71)0.03cos(itt+—n)

三、計算題

1.在一輕彈簧下端懸掛砍=100g祛碼時，彈簧伸長8cm.現(xiàn)在這根彈簧下端

懸掛m=250g的物體，構成彈簧振子.將物體從平衡位置向下拉動4cm,并給

以向上的21cm/s的初速度(令這時片0).選/?軸向下，求振動方程的數(shù)值式.

解：A=mog/=。鼠用N/m=12.25N/m

co=yjk/m=.1225s-i_7s-i

V0.25_________

A=Jr；+訴/①2=J42+(Zl)2cm=5cm

tg^--v0/(xoa>)--(-21)/(4x7)=3/4,=0.64rad

x=0.05cos(7z+0.64)(SI)

2.一木板在水平面上作簡諧振動，振幅是12cm,在距平衡位置6cm處速率是

24cm/s.如果一小物塊置于振動木板上，由于靜摩擦力的作用，小物塊和木板

一起運動(振動頻率不變)，當木板運動到最大位移處時，物塊正好開始在木板

上滑動，問物塊與木板之間的靜摩擦系數(shù)為多少？

解：若從正最大位移處開始振動，則振動方程為

x-Acos(<wt),X--Atwsin69t

在W=6cm處，W=24cm/s

.?.6=12|cosI,24=|-12sin|,

解以上二式得口=4//rad/s

x=-Aco2coscot,

木板在最大位移處國最大，為國=A蘇①

若m2稍稍大于mg,則m開始在木板上滑動，取

"mg=tnAa>2②

〃=Aco2/gx0.0653(3)

3.在一豎直輕彈簧的下端懸掛一小球，彈簧被拉長6=L2cm而平衡.再經(jīng)拉動

后，該小球在豎直方向作振幅為/=2cm的振動，試證此振動為簡諧振動；選小

球在正最大位移處開始計時，寫出此振動的數(shù)值表達式.

解：設小球的質(zhì)量為m,則彈簧的勁度系數(shù)

mg/l。?

選平衡位置為原點，向下為正方向.小球在/?處時，根據(jù)

2

mg-k(l0+x)=mdx/dr

將女=〃zg〃o代入整理后得

d2x/dr+gx〃o=0

,此振動為簡諧振動，其角頻率為.

<y="g〃o=28.58=9.1兀

設振動表達式為x=Acos(cot+狗

由題意：上0時，/?o=/l-2x10-2m,K)=0,

解得=0

=2xl(T2cos(9.1”)

4.一質(zhì)量/77=0.25Ag的物體，在彈簧的力作用下沿/？軸運動，平衡位置在原點.

彈簧的勁度系數(shù)/=25N-m」.

Q)求振動的周期「和角頻率.

(2)如果振幅/=15cm,t=0時物體位于/?=7.5cm處，且物體沿/?軸反向運動,

求初速4及初相.

(3)寫出振動的數(shù)值表達式.

解：(1)>==10s”

T=2n/a>=0.63s

(2)/=15cm,在上0時，&=7.5cm,K)<0

由A=Jx；+”/力)2

得t>0=—co-ijA~—XQ=-1.3m/s

O=tgT(一%/0Xo)=；7I或

,.Ab>0,；.(/>=—it

3

(3)x=15xlO2cos(10/+g兀)(SI)

5.質(zhì)量/77=5.OOAg的物體掛在彈簧上，讓它在豎直方向作自由振動.在無阻尼

情況下，其振動周期78=0.2，放在阻力與物體的運動速率成正比的某介質(zhì)中,

它的振動周期T=0..求當速度為1.0cm/s時物體在該阻尼介質(zhì)中所受的阻

力.

解：7=2//荷-外,夕2=(/2_穹)2

101

=8.66s-i

=2=86.6Ags1

F