初中數(shù)學(xué)幾何模型

全等變換

平移：平行等線段（平行四邊形）

對(duì)稱：角平分線或垂直或半角

旋轉(zhuǎn)：相鄰等線段繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

對(duì)稱全等模型:

角分線模型

過向分岐臬點(diǎn)作鼻城

說明：以角平分線為軸在角兩邊進(jìn)行截長(zhǎng)補(bǔ)短或者作邊的垂線，形成對(duì)稱全等。兩邊進(jìn)行邊

或者角的等量代換，產(chǎn)生聯(lián)系。垂直也可以做為軸進(jìn)行對(duì)稱全等。

對(duì)稱半角模型

說明：上圖依次是45°、30°、22.5°、15°及有一個(gè)角是30°直角三角形的對(duì)稱（翻折），

翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對(duì)稱全等。

旋轉(zhuǎn)全等模型

半角：有一個(gè)角含1/2角及相鄰線段

自旋轉(zhuǎn)：有一對(duì)相鄰等線段，需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等

共旋轉(zhuǎn)：有兩對(duì)相鄰等線段，直接尋找旋轉(zhuǎn)全等

中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：倍長(zhǎng)中點(diǎn)相關(guān)線段轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)全等問題

旋轉(zhuǎn)半角模型

說明:

旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個(gè)二分之一角，通過旋轉(zhuǎn)將另外兩個(gè)和為二分之一

的角拼接在一起，成對(duì)稱全等。

自旋轉(zhuǎn)模型

構(gòu)造方法：

遇60度旋60度，造等邊三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋頂點(diǎn)，造旋轉(zhuǎn)全等

遇中點(diǎn)旋180度，造中心對(duì)稱

A

共旋轉(zhuǎn)模型

說明：

旋轉(zhuǎn)中所成的全等三角形，第三邊所成的角是一個(gè)經(jīng)?？疾斓膬?nèi)容。通

過"8"字模型可以證明。

模型變形

說明：

模型變形主要是兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形的夾角的變化，另外是等

腰直角三角形與正方形的混用。

當(dāng)遇到復(fù)雜圖形找不到旋轉(zhuǎn)全等時(shí),先找兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形

的公共頂點(diǎn)，圍繞公共頂點(diǎn)找到兩組相鄰等線段，分組組成三角形證全

等。

中點(diǎn)旋轉(zhuǎn):

說明：

兩個(gè)正方形、兩個(gè)等腰直角三角形或者一個(gè)正方形一個(gè)等腰直角三角形

及兩個(gè)圖形頂點(diǎn)連線的中點(diǎn),證明另外兩個(gè)頂點(diǎn)與中點(diǎn)所成圖形為等腰

直角三角形。證明方法是倍長(zhǎng)所要證等腰直角三角形的一直角邊，轉(zhuǎn)化

成要證明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公

旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)，通過證明旋轉(zhuǎn)全等三角形證明倍長(zhǎng)后的大三角形為等腰直角

三角形從而得證。

中點(diǎn)模型

幾何最值模型

對(duì)稱最值（兩點(diǎn)間線段最短）

線段和差模型

MMwm

4*'

MiMl期*

同側(cè)、異側(cè)兩線段之和最短模型同側(cè)、異側(cè)兩線段之舉最小模型

軸對(duì)稱模型

*,LN//?

X1-----L----

M

\

H、

''f1■r■

三線段之和過橋模型四邊形周長(zhǎng)三角形周長(zhǎng)

最短模型最小模型最小模型

對(duì)稱最值

（點(diǎn)到直線垂線段最短）

OrG--

說明：

通過對(duì)稱進(jìn)行等量代換轉(zhuǎn)換成兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)到直線距離。

旋轉(zhuǎn)最值

（共線有最值）

4D

9

說明：

找到與所要求最值相關(guān)成三角形的兩個(gè)定長(zhǎng)線段，定長(zhǎng)線段的和為最大值,定長(zhǎng)線段的差為

最小值。

簡(jiǎn)拼模型

三角形-四邊形

DPC

''圖6"Jffi-i

四邊形一四邊形

說明：剪拼主要是通過中點(diǎn)的180度旋轉(zhuǎn)及平移改變圖形的形狀。

矩形-正方形

說明：

通過射影定理找到正方形的邊長(zhǎng)，通過平移與旋轉(zhuǎn)完成形狀改變

正方形+等腰直角三角形一正方形

旋轉(zhuǎn)相似模型

說明：兩個(gè)等腰直角三角形成旋轉(zhuǎn)全等，兩個(gè)有一個(gè)角是300角的直角

三角形成旋轉(zhuǎn)相似。

推廣：兩個(gè)任意相似三角形旋轉(zhuǎn)成一定角度，成旋轉(zhuǎn)相似。第三邊所成

夾角符合旋轉(zhuǎn)“8"字的規(guī)律。

相似模型

說明：

注意邊和角的對(duì)應(yīng)，相等線段或者相等比值在證明相似中起到通過等量

代換來構(gòu)造相似三角形的作用。

說明：

(1)三垂直到一線三等角的演變，三等角以30度、45度、60度形式

出現(xiàn)的居多。

(2)內(nèi)外角平分線定理到射影定理的演變，注意之間的相同與不同之

處。另外，相似、射影定理、相交弦定理(可以推廣到圓幕定理)之間

的比值可以轉(zhuǎn)換成乘積，通過等線段、等比值、等乘積進(jìn)行代換，進(jìn)行

證明得到需要的結(jié)論。

說明：相似證明中最常用的輔助線是做平行，根據(jù)題目的條件或者結(jié)論

的比值來做相應(yīng)的平行線。

A模型一：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型全等

a條件：均為等邊三角形

a結(jié)論：①A。4c?AOBD；②LAEB=60°；③平分LAED,

(2)等原內(nèi)A

a條件：A"",'。均為等腰直角三角形

?結(jié)論：①AO.4C?A()BD,②LAEH-90\

a③OE平分乙(即。

<3)任意等腰三角形

?條件：AQf員AOCD均為等股三房影

a結(jié)論：①AOJC■AOBD.②LAEB-LAOB.

A③平分乙4￡〃。

A模型二手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型相似

A條件：CD/,將M)CD族轉(zhuǎn)至右圖位置

A結(jié)論：

a右圖中①A欠?AO48=AO"AOBD§

a②延長(zhǎng)4c交3。于點(diǎn),E,必有乙8EC-430.4

⑵特殊覷

A條件：C?！?8,乙108?90°,將ACXD旋轉(zhuǎn)至右圖

位貴

a結(jié)論：右圖中①AOCOSAO/B=AO/CAOBD；②

延長(zhǎng)4c交BD于點(diǎn)E,必有乙BEC-LBOA；

旦絲QeCD

③/COCOA,@BDLAC

⑤連接/D.BC,必有azr+8,⑥2(對(duì)角線互相垂直的四邊形)

A模型三：對(duì)角互補(bǔ)模型

a條件：①乙〃M?LDCE-90、②0c平分UOB

?怙論：QCD-CE:?OD+OE->J2OC，③

A證明提示：

①（乍垂直，如圖，證明AC/”/?ACE.VJ

②過點(diǎn)C作CF,℃,如上圖（右），證明AODC-AF￡C.

a當(dāng)?shù)囊贿吔粁。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。時(shí)：

以上三NS論：G）CD=CE（不變）I

@OE-OD-410c,③Sg-Sk~2OC

此結(jié)論證明方法與前仲情況一致，可自行嘗試。

(2)

條件：①乙408?2L1XE-120°,

②”核乙408；

結(jié)論：①（D"%②（）D+（）E?OC5

.CC6M

Q"nr7Mm+>soL~TU（-

③4

證l糊示：①可參考“全等型-90?！弊C法一；

②如圖：在OB上取一點(diǎn)、F,使OF=OC,證明AOCF

為等邊三角形。

（3）全等到任意角”

aQZL4Ofi-2fi,ZDC￡-l80-2af（gjCD-CE,

a結(jié)論：（D（乂秩UCB$②OD+OE?2OC*cosa,

a③心?-Sy,+SMKJi-OC-?sina?cos?

A當(dāng)乙。C￡的一邊交.4。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。時(shí)（如右上圖）：

原結(jié)論變成：①?

②1

③）

可繆考上逑第②神方法曲亍證明,請(qǐng)更考初始條件的變化對(duì)模型體電晌?

A炳互才

①常見初始條件：四邊形對(duì)角互補(bǔ)J注意兩點(diǎn)：四點(diǎn)共圓及亶甬三曲形斜邊中線;

②初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區(qū)別；

③兩手怫見睇fll雎發(fā)作法；

金注意a'平分乙時(shí)，乙CDE-LCED-LCOA-乙CO相等如洞推導(dǎo)？

?A模型四：角含半角模型90。

《1》甬含半角模型W-1

a條件：①正方形枇①，②LEAF-45°,

a牯論：①￡尸■。尸+8E；②\CEF的周長(zhǎng)為正方形H8C。周長(zhǎng)的一半.

也可以這樣：

a條件：①正方形ABCD，②EF-DF+BE

a結(jié)論：LEAF-45°

（2）角含半角模型90°-2

a條件：①正方形ABCD；②LEAF-45°；

A恬論：EF-DF-BE

a踐J嚇醐示：

￡1咽：4MAC《方通不唱一》

丁ZA)K--45,A4"〃-ZCUZ

VZ.VW-Z1C7?45?：?AJ/Ws八〃E

：.---AXIHE^XUT

AHAE

a條件：①正方形ABCD.②LEAF-45°.

a結(jié)論：&〃愁為等原直再三角形。

-A模型五：倍長(zhǎng)中線類模型

1,4*

a條件：①j?形'BCD:②BD?BE.③DF?EF,

a結(jié)論：4尸J.CF

模型提取：書亍線40//8￡;②平1亍線I、鑿戔段有中點(diǎn)。尸

可以構(gòu)造“8”字全等MDF>MIEF.

<2）告長(zhǎng)中繩娥型-2

a條件：碼行四邊形ABCD,?BC-2.48；③AM-DM；@CE1AD.

a結(jié)論：(EMD■3(MEA

.4B//CI).有中點(diǎn)」“■/上”

是長(zhǎng)EM,構(gòu)itXdAflM).\fF.i(M(M構(gòu)

遣多?\E\K.XXKF

通過構(gòu)建8字外號(hào),歿他量2位Jt夫系.用的大

小If化

A模型六：相似三角形360°旋轉(zhuǎn)模型

133_________________________________

<1)相以三角形(等原直角)360。旋轉(zhuǎn)模型母卬線法生”：畛K1)1?,*G,FG-Ztf.

A條件：①&〃)￡、A48c均

為等腰直角三角形，②

￡F-CF

a結(jié)論：①DF=BF$②

DF1BF

<?相似三角形(等展直角)360°旋轉(zhuǎn)模型T隆法

a條件：①&4DE、A48c均為等腰直角三角形，②打、CF,

a結(jié)論：①DF?BF；②DF人BF

輔曲線：構(gòu)造殍牌克南&4EG、A.I/7C

娥勸外田酷：將ZJ/與"”樸化利((/茍IH

(2)任意相似直角二角形360,旅豐與模型4^±法M財(cái)代：省長(zhǎng)BAG.使?拓■.招,睡長(zhǎng)

a條件：①M(fèi))AB^SODC5②LOAR,LODC-90°；CDM4H便DH=e,,卜全“附加、

OCH也0笠阱幡里.力死」￡與小刑CG

4BH,。息在“先乙(EP

融財(cái)懼：14KPF￡?假人死?戊?將雄

a條件：①M(fèi))AB^ODCf②?乙ODC?900.③：：的MH、第件科化今壯明MW7>\l/f()tJt

BE-CEQ

力巾息.將X4MI>^SABG韁儲(chǔ)"化為遣明

A怙論：①』￡■/)￡1②UED-2LAHO

78”八A.〃〃.使網(wǎng)網(wǎng)邊機(jī)比JL尖用寺

此處%A.A:上明Z.IAI/■乙KN)

A模型七:最短路程模型

<4）最短路程段型三（旋轉(zhuǎn)類最侑模型〉

R

彳、?、,被大<ft位押

“小例漏

??:Dnaa<?4.as?zicu>Mi?*fi①汽融04?4,，耽?2

>*：QD?VW.z<W*-xr

②（注色點(diǎn)。笈?壬qM0或”②“A〃0?4?（MT.，WF*依件?

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③點(diǎn)P4?■睛<?*■域內(nèi)-（&線￥）-A

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Attl：<，??，期：■小倒：24TM05“

產(chǎn)模型九:相似三角形模型

?[,

(D相假三的形模至基本型(第相曲三危形模型制交星

*斗：如生W外漏44A7)?z>KH,5r

A字型8字里A字型

Mie：?<￡*M.S，，CxaZ>

十斤臬：DE//W觸紛1*，?■小用々ce-乙次、

jnjp7>p”淪："JAMAH

抬論：叱口把口絲.《上怠計(jì)應(yīng)詆要時(shí)應(yīng))

個(gè)聞±?,

ABACBC3Ee41AHEC?2KX.4<*

歐2-HE*BA.<A*-BE=.U

(3)相以三角形模型一線三角型

中Mi乙iB(■/ACE??DE??T

trtl:乙UK-4CT-^CDE-45”論：左IB:P.WR?PCxPI)

H的：所行陽(yáng)邪在妁”論

中由：PA-?PC^PB

1\UK5、《/環(huán)：②I"X”,欣?(7)

七用：

一慢三苓前核幺也睫竄冏公充3方4氏隔代美

以上”論功可以通<1帆似三角打遣什注叫

?

中點(diǎn)模型

【模型1】倍長(zhǎng)

1、倍長(zhǎng)中線；2、倍長(zhǎng)類中線；3、中點(diǎn)遇平行延長(zhǎng)相交

E

【模型2］遇多個(gè)中點(diǎn)，構(gòu)造中位線

1、直接連接中點(diǎn)；2、連對(duì)角線取中點(diǎn)再相連

【例】在菱形ABCD和正三角形BEF中，NABC=60。，G是DF的中

點(diǎn),連接GC、GE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，若AB=10,BF=4,求GE的長(zhǎng)；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段GC、GE有怎樣的數(shù)

量和位置關(guān)系，寫出你的猜想；并給予證明；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，(2)問中關(guān)系還成立嗎？寫

出你的猜想，并給予證明.

角平分線模型

【模型1］構(gòu)造軸對(duì)稱

【模型2］角平分線遇平行構(gòu)造等腰三角形

【例】如圖，平行四邊形ABCD中，AE平分NBAD交BC邊于E,EF

J_AE交CD邊于F,交AD邊于H,延長(zhǎng)BA到點(diǎn)G,使AG=CF,連

接GF.若BC=7,DF=3,EH=3AE,則GF的長(zhǎng)為

手拉手模型

OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD

【結(jié)論】AOAC=^OBDiZAEB=NQ1B=NCO0（即都是旋版）;OE平分ZAEDi

D

鄰邊相等的對(duì)角互補(bǔ)模型

【睡1】

【條件】如圖，四邊形ABCD中，AB=AD,NS4D+NBC。=N48C+4DC=180,

【結(jié)論】HC平分〃CD

【例2】

【條件】如圖，四邊形.4BCD中，.43=1。，NBAD=ZBCD=9。

【結(jié)論】①乙165=48=45°②BC+CD=0AC

【例】如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD=5,G為CD中點(diǎn)，DE=DG,

FGJ_BE于F,則DF為

半角模型

【崛1】

【條件】如圖，四邊形.43CD中，AB=AD,ZBAD+NBCD=NABC-ZADC180:

NEAF=-NBAD,點(diǎn)選直線BCk,點(diǎn)祐直線CD±.

2

【結(jié)論】BE、DF、EF滿足截長(zhǎng)補(bǔ)短關(guān)系

B

弦圖模型

【條件】正方形內(nèi)或外互相垂直的四條線段

【結(jié)論】新構(gòu)成了同心的正方形

【例】如圖,點(diǎn)E為正方形月38邊,婚上一點(diǎn),點(diǎn)尸在DE的延長(zhǎng)線上,AF^AB,NC與

尸。交于點(diǎn)G,/FAB的平分線交尸G于點(diǎn)H,過點(diǎn)D作HA的垂線交HA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)1.

若AH—3AI,FH=2-^2)則DG—

政

C

【例】如圖，A4BC中，ABAC=90),AB=AC,4D15C于點(diǎn)。，點(diǎn)E是/C重點(diǎn)，連

結(jié)BE,作AG1BETF,交5c于點(diǎn)G,連接EG,求證：NG"￡G=5E.

最短路徑模型

【兩點(diǎn)之間線段最短】

L將軍飲馬

A

\B

,?.??

------------2--------

P、.

B'

ii