【常考壓軸題】2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略（滬教版）專題03 平行四邊形 壓軸題（七大題型）（解析版）

專題03平行四邊形壓軸題（七大題型）目錄：題型1：平行四邊形在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用題型2：平行四邊形與一次函數(shù)題型3：平行四邊形與反比例函數(shù)題型4：旋轉(zhuǎn)問題題型5：存在性問題題型6：動點(diǎn)問題題型7：平行四邊形與三角形、特殊三角形的性質(zhì)與判定綜合題型1：平行四邊形在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用1．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，，，以，為鄰邊做平行四邊形，其中，，滿足．(1)直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖2，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，試判斷的大小，并說明理由；(3)如圖3，點(diǎn)，為軸上的一點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)點(diǎn)F的坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到，得，得到，過C作軸于E點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論；（2）連接，過F作軸于G，軸于K，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，求得，設(shè)，根據(jù)勾股定理列方程得到，根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到結(jié)論；（3）分兩種情況：分F在點(diǎn)E的左側(cè)和右側(cè)，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，利用勾股定理建立方程求解可得結(jié)論．【解析】（1）解：∵．，∴，∴，∴，如圖，過C作軸于E點(diǎn)，∵四邊形是平行四邊形，，，，，，，，故答案為：；（2）解：如圖，連接，過F作軸于G，軸于K，∵線段的中垂線交y軸于點(diǎn)E，，∵F為的中點(diǎn)，，，，解得：，，，，，是直角三角形，；（3）解：分兩種情況：①當(dāng)F在點(diǎn)E的左側(cè)時，如圖3，過F作于H，，，是等腰直角三角形，，，，設(shè)，則，，，，，即，整理得：，解得：或，或（舍去，不符合題意），，，；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)E的右側(cè)時，如圖3，過作交延長線于點(diǎn)，，，是等腰直角三角形，，，，設(shè)，則，，，，，即，整理得：，解得：或，（舍去，不符合題意）或，，，，綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合題，考查了圖形和坐標(biāo)的性質(zhì)、非負(fù)性、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理逆定理、等知識，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)刈鬏o助線，構(gòu)建直角三角形，并運(yùn)用方程解決問題．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一動點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．

(1)若，求的長．(2)若，求的長．(3)①連接，問直線是否經(jīng)過一定點(diǎn)，若經(jīng)過，請求出該定點(diǎn)；若不經(jīng)過，請說明理由；②連接，，若，求的長．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）根據(jù)，是的中點(diǎn)，寫出的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為，代入和的坐標(biāo)求出完整解析式，代入，求出，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（2）延長，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)，推理出平分，，設(shè)，，根據(jù)，得，推出，，則，根據(jù)，，計(jì)算即可；（3）①設(shè)直線的解析式為，把，代入解析式，得解析式為，則，設(shè)直線的解析式為：，把，代入解析式，得直線的解析式為，當(dāng)，為定值，可得定點(diǎn)；②記，連接、，作關(guān)于的對稱圖形，過點(diǎn)作，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對稱，故，根據(jù)，得出，，設(shè)，則，，，根據(jù)的兩組底和高相乘，，代入求出的值，根據(jù)，，得，求出的值，根據(jù)即可得到答案．【解析】（1）∵，是的中點(diǎn)，∴設(shè)直線的解析式為：，將、代入得：，解得：，∴直線的解析式為：，∵交延長線于點(diǎn)，∴當(dāng)時，，∴，∴；（2）如下圖，延長，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，，∴，∵，∴，∴平分，即，∵，，∴，，，設(shè)，，則，，

∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，，，∵，，，∴，，∴，∴，∴，，

，，∴，，∴；（3）①∵設(shè)直線的解析式為：，把，代入解析式，得：，得：，∴直線的解析式為：，∴，設(shè)直線的解析式為：，把，代入解析式，得：，得：，∴直線的解析式為：，∴，∴，∴當(dāng)，即，時，等式成立，∴直線經(jīng)過定點(diǎn)；②記，連接、，∴點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對稱，∴，又∵，∴，如下圖，作關(guān)于的對稱圖形，過點(diǎn)作，

∴，設(shè)，則，∵，∴，∵，（的兩組底和高相乘）∴，解得：，∵，∴，∵，，∴，∴，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理計(jì)算、方程求解，綜合運(yùn)用知識點(diǎn)、作出輔助線是解題的關(guān)鍵．題型2：平行四邊形與一次函數(shù)3．如圖，直線的解析表達(dá)式為，與軸交于點(diǎn)，直線經(jīng)過定點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．(1)求直線的函數(shù)關(guān)系式；(2)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，求的面積；(3)若存在點(diǎn)，使以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，試求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)6(3)的坐標(biāo)為或或【分析】此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，兩個一次函數(shù)的交點(diǎn)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)直線的解析式為，把與的坐標(biāo)代入求出與的值，即可確定出的解析式；（2）先求出點(diǎn)與坐標(biāo)，再求出的長，最后求出三角形面積即可；（3）分三種情況討論，分別求出坐標(biāo)即可．【解析】（1）設(shè)直線的解析式為，它經(jīng)過兩點(diǎn)，，解得，直線的關(guān)系式為（2）當(dāng)時，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時，，解得，即，（3）分三種情況討論：①以為對角線，為鄰邊構(gòu)成平行四邊形，軸，且，而

②以為對角線，為鄰邊構(gòu)成平行四邊形，軸，，而

③以為對角線，為鄰邊構(gòu)成平行四邊形，且過，設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為；且過，設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為；相交于軸上的，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交軸于（點(diǎn)在左側(cè)），且面積為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的解析式；(2)如圖，設(shè)點(diǎn)為線段中點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一動點(diǎn)，連接，以為邊向左側(cè)作等腰直角，其中，在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，當(dāng)頂點(diǎn)落在直線上時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖，若為線段上一點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，；(2)或；(3)或或．【分析】（）利用三角形的面積公式求出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可；（）分當(dāng)時，如圖，點(diǎn)落在上時，過作直線平行于軸，過，作直線的垂線，垂足分別為，當(dāng)時兩種情況討論即可；（）利用三角形的面積公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的解析式，作交直線于，此時，當(dāng)時，即點(diǎn)或，當(dāng)在第四象限時，由，根據(jù)對稱性可知，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的坐標(biāo)為．【解析】（1）∵直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，則點(diǎn)，，∴∵面積為，∴，∴，∴點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為；（2）∵點(diǎn)為線段中點(diǎn)，∴，∵，，∴，設(shè)，當(dāng)時，如圖，點(diǎn)落在上時，過作直線平行于軸，過，作直線的垂線，垂足分別為，∵是等腰直角三角形，易證，∴，，∴，∵點(diǎn)在圖象上，∴，解得：，∴點(diǎn)，當(dāng)時，如圖，同理：，∵點(diǎn)在直線圖象上，∴，解得：∴點(diǎn)，此時與點(diǎn)重合；綜上可知，點(diǎn)或；（3）如圖，設(shè)，∵，∴，∴，解得：，∴點(diǎn)，∴同（）可得：直線解析式為，作交直線與，此時，∴，當(dāng)時，即點(diǎn)或，∴或，當(dāng)在第四象限時，由，根據(jù)對稱性可知，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的坐標(biāo)為，綜上可知：或或．【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，三角形的面積，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．題型3：平行四邊形與反比例函數(shù)5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，為的頂點(diǎn)，，點(diǎn)C在x軸上．將沿x軸水平向右平移a個單位得到，A，B兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，恰好落在反比例函數(shù)的圖象上．

(1)求a和k的值；(2)作直線l平行于且與，分別交于M，N，若與四邊形的面積比為，求直線l的函數(shù)表達(dá)式；(3)在（2）問的條件下，是否存在x軸上的點(diǎn)P和直線l上的點(diǎn)Q，使得以，四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合題意的點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為或、或、【分析】（1）由題意得，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，則，即可求解；（2）證明均為等腰直角三角形，得到點(diǎn)，即可求解；（3）當(dāng)為對角線時，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出等式，即可求解；當(dāng)或是對角線時，同理可解．【解析】（1）解：∵將沿x軸水平向右平移a個單位得到，點(diǎn)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)，正好落在第一象限反比例函數(shù)的圖象上．∴，解得：，．（2）由（1）知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：、，設(shè)的解析式為，把代入得，，解得，，∴的解析式為，即直線所在的直線為二四象限的角平分線，∵，則直線和x軸正半軸的夾角為，∵，故設(shè)直線l的表達(dá)式為：，∵直線，與四邊形的面積比為，則，過點(diǎn)作y軸的平行線交直線l于點(diǎn)T，連接，

則均為等腰直角三角形，∵，則，設(shè)，則,則，解得：，則，則點(diǎn)，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線l的表達(dá)式得：；（3）解：設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為：，，當(dāng)為對角線時，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，解得：，則點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為：；當(dāng)或是對角線時，同理可得：或，解得：或，則點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為：、或、；所以，點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為或、或、【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到三角形相似、平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等，分類求解是解題的關(guān)鍵．6．如圖1，已知點(diǎn)，，且a、b滿足，平行四邊形的邊與y軸交于點(diǎn)E，且E為的中點(diǎn)，雙曲線上經(jīng)過C、D兩點(diǎn).

(1)求k的值；(2)點(diǎn)P在雙曲線上，點(diǎn)Q在y軸上，若以點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，直接寫出滿足要求的所有點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)以線段為對角線作正方形（如圖3），點(diǎn)T是邊上一動點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，，交于N，當(dāng)T在上運(yùn)動時，的值是否發(fā)生變化，若改變，請求出其變化范圍；若不改變，請求出其值.【答案】(1)(2)或或(3)不變，【分析】（1）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，由，可知，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求出t，由D的坐標(biāo)即可求出反比例函數(shù)表達(dá)式；（2）由點(diǎn)P在雙曲線上，點(diǎn)Q在y軸上，設(shè)，，再分以為邊和以為對角線兩種情況求出x的值，故可得出P、Q的坐標(biāo)．（3）連接，易證，故，，，由此即可得出結(jié)論．【解析】（1）解：∵，且，，∴，∴，，∴，，∵E為中點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算方法，∴，設(shè)，由平行四邊形的性質(zhì)知，點(diǎn)A向右平移1個單位向下平移4個單位得到點(diǎn)B，則點(diǎn)D向右平移1個單位向下平移4個單位得到點(diǎn)C，則點(diǎn)，∴，∴，∴，，∵D點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴；（2）解：由（1）知：，∴反比例函數(shù)的解析式為，∵點(diǎn)P在雙曲線上，點(diǎn)Q在y軸上，∴設(shè)，，①當(dāng)為邊時：如圖1所示：若為平行四邊形，∵，，則，解得，此時，；如圖2所示，若為平行四邊形，∵，，則，解得，此時，；②如圖3所示，當(dāng)為對角線時：，且；∵，，∴，解得，∴，；故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：或或；（3）解：如圖4，連接，∵是線段的垂直平分線，∴，∵四邊形是正方形，∴，在與中，，∴，∴，∴，四邊形中，，而，∴，∵四邊形內(nèi)角和為，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正方形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識，運(yùn)用分類討論是解決第（2）小題的關(guān)鍵，當(dāng)然除用中點(diǎn)坐標(biāo)公式外，也可通過構(gòu)造全等三角形來解決第（1）題和第（2）題．7．如圖1，已知點(diǎn)，且a、b滿足，平行四邊形的邊與y軸交于點(diǎn)E，且E為的中點(diǎn)，雙曲線經(jīng)過C和D兩點(diǎn)

(1)求k的值；(2)點(diǎn)P在雙曲線上，點(diǎn)Q在y軸上，若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；試求滿足要求的所有點(diǎn)P的位置．(3)以線段為對角線作正方形（如圖3），點(diǎn)T是邊上一動點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，交于N，當(dāng)T在上運(yùn)動時，的值是否發(fā)生改變？若改變，求出其范圍；若不改變，求出其值并給出你的證明．【答案】(1)8(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或(3)不變，【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)知，點(diǎn)A向右平移1個單位向下平移4個單位得到點(diǎn)B，則點(diǎn)D向右平移1個單位向下平移4個單位得到點(diǎn)C，則點(diǎn)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）分是邊和對角線兩種情況，利用數(shù)形結(jié)合的方法，即可求解；（3）連，易證，故，，由此即可得出結(jié)論．【解析】（1）由題意得：，解得：，則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：，由點(diǎn)E是的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為：，由平行四邊形的性質(zhì)知，點(diǎn)A向右平移1個單位向下平移4個單位得到點(diǎn)B，則點(diǎn)D向右平移1個單位向下平移4個單位得到點(diǎn)C，則點(diǎn)將點(diǎn)C、D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，則點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：；則；（2）∵由（1）知，∴反比例函數(shù)的解析式為，∵點(diǎn)雙曲線上，點(diǎn)在y軸上，∴設(shè)，①當(dāng)為邊時：如圖1所示：若為平行四邊形，

∵，則，解得，此時；如圖2所示，若為平行四邊形，

∵，則，解得，此時；②如圖3所示，當(dāng)為對角線時：，且；

∵，∴，解得，∴；故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或；（3）如圖4，連接，

∵是線段的垂直平分線，∴，∵四邊形是正方形，∴，在與中，∵∴，∴，∴，四邊形中，，而所以，，因?yàn)樗倪呅蝺?nèi)角和為，所以．∴，∴．【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正方形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識，運(yùn)用分類討論是解決第（2）小題的關(guān)鍵，當(dāng)然除用中點(diǎn)坐標(biāo)公式外，也可通過構(gòu)造全等三角形來解決第（1）題和第（2）題．題型4：旋轉(zhuǎn)問題8．如圖，在三角形中，，，點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，連接，，，將線段繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．

(1)用等式表示與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)當(dāng)時，①直接寫出的度數(shù)為________；②若M為的中點(diǎn)，連接，請用等式表示與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)'，證明見解析(2)①；②，理由見解析【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)．（1）由得到，由旋轉(zhuǎn)可得，，從而，又，證得，得證；（2）①當(dāng)時，，又，因此，再根據(jù)，得到，從而．②延長到N，使，連接、，易證四邊形為平行四邊形，因此且，從而，，因此，從而證得，故，在等腰直角中，，因此．【解析】（1），

證明：∵，，∴，∵將線段繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∴，∵∴，∴；（2）（2）①當(dāng)時，則，∵，，∴∴，∴，∵，∴，又∵，∴．故答案為：②，理由如下：延長到N，使，連接、，∵M(jìn)為的中點(diǎn)，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴且，∴，，又∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，又∵'為等腰直角三角形，∴，∴，∴．9．如圖，在等邊中，點(diǎn)D是邊上且與A，B不重合的點(diǎn)，是由線段繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)得到的．

(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，過點(diǎn)A作分別交于點(diǎn)F，G，連接相交于點(diǎn)M，求證：與相互平分；(3)如圖3，在（2）的條件下，若N是的中點(diǎn)連接，求證：．【答案】(1)(2)見解析(3)見解析【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，則是等邊三角形，證明，進(jìn)而可求的度數(shù)；（2）如圖1，連接，則，由，可得，由，可得，證明，證明四邊形是平行四邊形，進(jìn)而結(jié)論得證；（3）如圖2，延長至點(diǎn)H，使，證明，則，，，證明，則，進(jìn)而結(jié)論得證．【解析】（1）解：∵是由線段繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)得到的，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，∵，，，∴，∴；（2）證明：如圖1，連接，

∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴與相互平分；（3）證明：如圖2，延長至點(diǎn)H，使，

∵N是的中點(diǎn)，∴，∵，，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型5：存在性問題10．如圖1，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿向C勻速運(yùn)動，速度為每秒3個單位長度；同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，速度每秒2個單位長度．當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動時，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動．過點(diǎn)P作交于點(diǎn)M，連接，，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．

(1)當(dāng)時，求t的值．(2)如圖2，連接，是否存在t值，使得的面積是平行四邊形面積的？若存在，求出對應(yīng)的t；若不存在，請說明理由．(3)如圖3，過點(diǎn)M作交于點(diǎn)N，是否存在t的值，使得點(diǎn)P在線段的垂直平分線上？若存在，求出對應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)不存在值(3)【分析】（1）由題意得，，由平行四邊形的性質(zhì)得出，，，，證出四邊形是平行四邊形，得出，得出方程，解方程即可；（2）作于，延長交延長線于，由直角三角形的性質(zhì)得出，，求出平行四邊形的面積，由直角三角形的性質(zhì)得出，，得出，得出的面積，由題意得出方程，解方程即可；（3）證出四邊形是平行四邊形，得出，由（2）得，，，，求出，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解析】（1）由題意得：，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，解得：（秒；（2）不存在，理由如下：作于，延長交延長線于，如圖2所示：

則，，，平行四邊形的面積，，，，，，，，，，，的面積，若的面積是平行四邊形面積的，則，整理得：，，方程無解，不存在值，使得的面積是平行四邊形面積的；（3）存在，理由如下：延長交延長線于，如圖3所示：

，，，，四邊形是平行四邊形，，由（2）得：，，，，，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，，，，解得：，存在的值，使得點(diǎn)在線段的垂直平分線上，秒．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、三角形面積公式、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型6：動點(diǎn)問題11．如圖，在中，為對角線的中點(diǎn)，，，．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿折線向終點(diǎn)勻速運(yùn)動，連結(jié)并延長交折線于點(diǎn)，將線段繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為（s）．

(1)用含的代數(shù)式表示的長．(2)當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動時，求證：．(3)當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時，求的取值范圍．(4)當(dāng)與的重疊部分圖形是軸對稱的三角形時，直接寫出的值．【答案】(1)或；(2)見解析；(3)；(4)1或．【分析】（1）利用含角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)解答即可；（2）連接，利用平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（3）利用平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)求得點(diǎn)的臨界值時的值，從而得到的取值范圍；（4）畫出符合題意的圖形，利用的長度列出關(guān)于的方程解答即可．【解析】（1）解：，，，，，．四邊形為平行四邊形，．①當(dāng)時，，②當(dāng)時，（2）證明：連接，如圖，

在中，為對角線的中點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)，，四邊形為平行四邊形，，．在和中，，，（3）解：①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，如圖，

由題意得：為等邊三角形，，，，，，四邊形為平行四邊形，，，，，②當(dāng)點(diǎn)落在邊上時，如圖，

由題意得：為等邊三角形，，，，四邊形為平行四邊形，，，．．在和中，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時，的取值范圍為：（4）①當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動時，經(jīng)過點(diǎn)時，與的重疊部分圖形是軸對稱的三角形，

，，，，，，，，，．②當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動時，如果，則，與的重疊部分圖形是軸對稱的三角形，如圖，

，，．綜上，當(dāng)與的重疊部分圖形是軸對稱的三角形時，的值為1或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵．12．如圖：是邊長為6的等邊三角形，P是邊上一動點(diǎn)．由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動（P與點(diǎn)不重合），點(diǎn)Q同時以點(diǎn)P相同的速度，由點(diǎn)B向延長線方向運(yùn)動（點(diǎn)Q不與點(diǎn)B重合），過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)D．(1)若設(shè)的長為x，則，．(2)當(dāng)時，求的長；(3)過點(diǎn)Q作交延長線于點(diǎn)F，則有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由．(4)點(diǎn)在運(yùn)動過程中，線段的長是否發(fā)生變化？如果不變，直接寫出線段的長；如果變化，請說明理由．【答案】(1)(2)2(3)(4)3【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練全等三角形判定是解答此題的關(guān)鍵．（1）由線段和差關(guān)系可求解；（2）由直角三角形的性質(zhì)可列方程，即可求的長；（3）由""可證，可得；（4）連接，由全等三角形的性質(zhì)可證，由題意可證四邊形是平行四邊形，可得．【解析】（1）解：是邊長為6的等邊三角形，設(shè)，則，故答案為∶；（2）當(dāng)時，是等邊三角形，，解得∶，；（3），理由如下∶，，又，，；（4）的長度不變．連接，如圖：，，且四邊形是平行四邊形題型7：平行四邊形與三角形、特殊三角形的性質(zhì)與判定綜合13．如圖，在四邊形中，．(1)如圖1，求證：四邊形是平行四邊形(2)如圖2，點(diǎn)在，點(diǎn)在上，連接，若，，求證：(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，過點(diǎn)作分別交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，得出，即可證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，得出，，，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，易證，得到，即可證明結(jié)論；（3）以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，由平行四邊形的性質(zhì)，可證是等腰直角三角形，，由（2）可知，，進(jìn)而得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的特征，設(shè)，則，可得，，由，得到，利用待定系數(shù)法求出直線和的解析式，從而得到，，然后根據(jù)坐標(biāo)兩點(diǎn)的距離公式，求出的值，得到、的坐標(biāo)，即可求出的長．【解析】（1）證明：，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）證明：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，是等腰直角三角形，，，，，由（1）可知，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，在和中，，，，；（3）解：如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，是等腰直角三角形，，由（2）可知，，，即，，，，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，設(shè)，則，，，，，，，設(shè)直線的解析式為，，解得：，直線的解析式為，令，則，，設(shè)直線的解析式為，，解得：，直線的解析式為，聯(lián)立，解得：，，，，解得：，（舍），，，，的長為．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行線的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，坐標(biāo)兩點(diǎn)距離公式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的交點(diǎn)問題等知識，利用數(shù)形結(jié)合的思想，正確建立直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．14．在中，是對角線，，是內(nèi)一點(diǎn)，連接，，，(1)求證：(2)當(dāng)時，，，，求的面積．(3)在（1）的條件下，當(dāng)平分，，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）利用平行四邊形相鄰兩角互補(bǔ)的性質(zhì)可得，然后用平行四邊形對邊相等即可得證．（2）由可得為等腰直角三角形，然后以為直角邊構(gòu)造一個等腰直角三角形可求證即可求解．（3）延長邊構(gòu)造即可得，過點(diǎn)D作形成以為直角邊的兩個直角三角形，通過兩直角三角形有公共直角邊即可用雙勾股定理，最后過點(diǎn)C作設(shè)，解直角三角形即可求解．【解析】（1）證明：在中，有，，，，，，（2），，，等腰直角三角形，過點(diǎn)B作且，連接，連接，如圖：為等腰直角三角形，，，，，，∴，，∴，∴，∴、、共線，．（3）延長至，使，∵，，∴，∴，設(shè)，∴，，，∴，，，，連接，并延長，過點(diǎn)作于，使，，，∴，，設(shè)，，在中，，，，，，（雙勾股），∴，∴，（舍），作，，，，，（雙勾股），∴，∴，，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等，三角形的外角，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，證明角度相等，線段數(shù)量關(guān)系．15．如圖，點(diǎn)P是平行四邊