滬教版高二數(shù)學(xué)《曲線與方程》練習(xí)題

一、曲線與方程

1.已知曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解，則下列命題正確的是()

A.坐標(biāo)滿足方程f(x,y)=0的點(diǎn)都在曲線C上

B.方程f(x,y)=0是曲線C的方程

C.曲線C是滿足方程f(x,y)=0的曲線

D.方程f(x,y)=0的曲線包含曲線C上任意一點(diǎn)

2.已知坐標(biāo)滿足方程f(x,y)=0的點(diǎn)都在曲線C上，那么下列結(jié)論正確的是()

A.曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程f(x,y)=0

B.凡坐標(biāo)不適合f(x,y)=0的點(diǎn)都不在曲線C上

C.不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)必不適合方程f(x,y)=0

D.不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)有的適合方程f(x,y)=0,有的不適合方程f(x,y)

=0

3.等腰AABC中，若底邊兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別是B(4,2),C(—2,0),則頂點(diǎn)A的軌跡方

程是()

A.x-3y+2=0(xWl)B.3x-y-2=0(x#l)

C.3x+y—4=0(x#l)D.3x-y+l=0(x#l)

“2”2n

6.由動(dòng)點(diǎn)p向力=1引兩條切線PA、PB,切點(diǎn)為A,B,/APB=60則

P的軌跡方程O(píng)

7.已知點(diǎn)A(-a,0),B(a,0)(aGR),若動(dòng)點(diǎn)C與點(diǎn)A、B構(gòu)成直角三角形，試

求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程。

8.求由方程|2x+3|+|y—2|=3確定在多邊形所圍成的圖形的面積S。

9.設(shè)曲線C的方程是丁=——X,將C沿X軸、y軸正向分別平行移動(dòng)t,s單位長(zhǎng)度

后得到曲線G。

(1)寫(xiě)出的曲線G方程；

A(工,—)

(2)證明曲線關(guān)于點(diǎn)2,2對(duì)稱(chēng)；

(3)如果曲線J和C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明：4，且tWO。

參考答案

1.D(點(diǎn)評(píng)：曲線與方程的定義應(yīng)包含兩條：曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，以方

程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，因給出了曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，故以方程的

解為坐標(biāo)的點(diǎn)必都在曲線上，于是對(duì)照定義知，答案應(yīng)選D)

2.C(點(diǎn)評(píng)：本題與上題是曲線與方程的定義中所要求的兩個(gè)要求的不同表現(xiàn)，對(duì)

于本題，設(shè)方程f(x,y)=0所表示的曲線為E,依題意有曲線E為曲線C的一部分，故不

在曲線C上的點(diǎn)的必不適合方程f(x,y)=0)

3.C(點(diǎn)評(píng)：設(shè)A(x,y),顯然A不能是BC的中點(diǎn)，故x=l,而且|AB|=|AC|,

從而jQ+21+y2=J(x-4)2+(y―2)2,化簡(jiǎn)得3x+y—4=0,選C,另一思路為：A

的軌跡為線段BC的中垂線，從而由點(diǎn)斜式亦可得出點(diǎn)A的軌跡方程)

4.D(點(diǎn)評(píng)：由1一/2°,得一iWyWl,故排除A與C,另一方面，由曲線方程

x=^-y2,得曲線中x'O,從而曲線應(yīng)在y軸的右側(cè)，于是排除B)

5.(4,—2)(點(diǎn)評(píng)：將曲線方程變形為/+/-20+(-4%+2丁+20)4=0,曲線

恒過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明它與a的取值無(wú)關(guān)，從而含a的系數(shù)為0,即一4x+2y+20=0,于是余下的項(xiàng)

22

x+y-20=0；解這個(gè)聯(lián)立方程組，即得定點(diǎn)的坐標(biāo))

6.XA2+yA2=4

7./+y2=q2(y/0)(點(diǎn)評(píng)：設(shè)c(x,y),則可由|CA『+|CB/=|得

到關(guān)于X與y的方程，也可由CALCB,得到它們的斜率的積的關(guān)系，然后將C的坐標(biāo)代

入，得到關(guān)于x與y的方程)

3|,-1

8.9(點(diǎn)評(píng)：方程所表示的曲線是以(0,2),(-3,2),2為頂

J_x3x6=9

點(diǎn)的菱形，其兩條對(duì)角線分別為3和6,從而面積為2)

9.(1)y=(x—/)3-(x-0+s。(2)點(diǎn)評(píng)：在曲線C上任取一點(diǎn)耳(X"%),它關(guān)

/_再+%§_必+y

于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為々(超，丁2),于是有22,22從而—%2,

為=5一%,將它們代入曲線c的方程得=(/_/)3_(々_/)+S,故§2(%2,%)在

曲線G上，同樣可以證明，在曲線G上的點(diǎn)關(guān)于A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在曲線C上，因此，曲線C

與G關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱(chēng)。(3)點(diǎn)評(píng)：因?yàn)榍€G與C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，故方程組

(y=x3-x

<

y=(x—“3—(x—/)+s有且僅有一組解，兩式消去丫并整理得：

3比2—3/x+(r—‘―s)=0。該方程有關(guān)于x的一元二次方程(tWO)有且僅有一個(gè)解,

從而必有tWO,且八=9〃-12《'—.—s)=°,化簡(jiǎn)即得所證結(jié)論。

二、圓與方程

1.圓(x-2>+(y+3)2=9的圓心坐標(biāo)和半徑分別是()

A.(2,-3)、3B.(2,-3)、73C.(-2,3)、3D.(-2,3)、V3

2.點(diǎn)P(m,5)與圓x2+y2=25的位置關(guān)系是()

A.在圓外B.在圓上C.在圓內(nèi)D.在圓上或圓外

3.已知圓C與圓(x-l)2+y2=l關(guān)于直線y=-x對(duì)稱(chēng)，則圓C的方程是(

A.(x-l)2+y2=lB.x2+y2=lC.x2+(y+l)2=l

D.x2+(y-l)2=l

4.點(diǎn)(1,1)在圓(x-a>+(y+a)2=4的內(nèi)部，則a的取值范圍是()

A.-l<a<lB.0<a<lC.a>l或a>-lD.a=±l

5.(2006重慶高考)以點(diǎn)(2,—1)為圓心且與直線3x-4y+5=0相切的圓的方程為()

A.(x-2)2+(y+1)2=3B.(x+2)2+(y-l)2=3

C.(x-2)2+(y+1)2=9D.(x+2p+(y-1)2=3

1、答案：A

2、分析：把點(diǎn)P(m,5)代入x?+y2=25,得m2K),所以在圓上或圓外。答案：D

3、分析：圓C與圓(x-l)2+y2=l關(guān)于直線y=-x對(duì)稱(chēng)，其半徑不變，只求出圓心即可，而關(guān)于直

線y=x對(duì)稱(chēng),則橫、縱坐標(biāo)交換位置，并取相反數(shù)，由圓(x-l)2+y2=l的圓心為(1,0),知對(duì)稱(chēng)

的圓心為(0,-1).答案:C

4、分析：由于點(diǎn)(1,1)在圓(x-a)2+(y+a>=4的內(nèi)部，所以(l-a)2+(l+a)2<4,a2<l.所以

答案：A

J3x2-4x(-l)5L

5、分析:r+3

V32+42

答案：C

1.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓，則a的取值范圍是()

22

A.a<-2或a>—B.--<a<0

33

2

C.-2<a<0D.-2<a<-

3

2.過(guò)原點(diǎn)且在x,y軸上的截距分別為p,q(p,q均不為0)的圓的方程是()

A.x2+y2-px-qy=0B,x2+y2+px-qy=0

C.x2+y2-px+qy=0D.x2+y2+px+qy=0

3.已知圓C的方程為f(x,y)=0,點(diǎn)A(xo,yo)是圓外的一點(diǎn)，那么方程f(x,y)-f(xo,yo)=O表示的曲線

是()

A.與圓C重合的圓B.過(guò)點(diǎn)A(xo,y。)與圓C相交的圓

C.過(guò)點(diǎn)A(xo,yo)與圓C同心的圓D.可能不是圓

1、分析：由二元二次方程表示圓的條件，有D2+E2-4F=a2+(2a)2-4(2a2+a-l)>0.

2

解之，可得-2Va<—.

3

答案：D

2、分析：由題意知圓過(guò)原點(diǎn)，且在x,y軸上的截距分別為p、q,則圓的圓心坐標(biāo)為(1,￡)且

常數(shù)項(xiàng)為0.

答案：A

2222

3、分析：設(shè)f(x,y)=x+y+Dx+Ey+F=0,則f(xo,yo)=xo+yo+Dxo+Eyo+F>0,從而

2

f(x,y)-f(xo,yo)=x+

y2+Dx+Ey+F-xo2-y()2_Dxo-Ey(rF=O,過(guò)點(diǎn)A(xo,yo)與圓C同心.

答案：C

1.(2006北京高考)平面a的斜線AB交a于點(diǎn)B,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線1與AB垂直，且交a于點(diǎn)

C,則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是()

A.一條直線B.一個(gè)圓C.一個(gè)橢圓D.雙曲線的一支

2.(2006江蘇高考)圓(x-l)2+(y+g)2=l的切線方程中有一個(gè)是(

)

B.x+y=0C.x=0D.y=0

3.（2006江西高考）已知圓M：（x+cosO）2+（y—sin0）2=l,直線1：y=kx,下面四個(gè)命題：

A.對(duì)任意實(shí)數(shù)k與仇直線1和圓M相切；

B.對(duì)任意實(shí)數(shù)k與0,直線1和圓M有公共點(diǎn)；

C.對(duì)任意實(shí)數(shù)0,必存在實(shí)數(shù)k,使得直線1與圓M相切；

D.對(duì)任意實(shí)數(shù)k,必存在實(shí)數(shù)。，使得直線1與圓M相切.

其中真命題的代號(hào)是.（寫(xiě)出所有真命題的代號(hào)）

4.（2006上海高考）已知圓x2-4x-4+y2=0的圓心是點(diǎn)P,則點(diǎn)P到直線x-y-l=0的距離是

5.（2006湖南高考）若圓x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線l:ax+by=0的距離為2

41，則直線1的傾斜角的取值范圍是（）

71717T57r「八

A.r[—,—]B.r1—,—]C.1一,-]D.[0,

124121263

-]

2

1、答案：A

分析：圓心為（1,-百）,半徑為1,故此圓必與y軸（x=0湘切.

2、答案：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的定義及直線與圓的位置關(guān)系.

八|一左cos8-sine|J1+k2sin（8+0）

3、分析：圓心坐標(biāo)為（一cos0,sin0）,d=---------,-------=----------,-------=|sin（0+（p）|<l.

Jl+YJ1+—2

答案：BD

4、答案：-^――

2

5、答案：B

1.設(shè)m>0,則直線2（x+y）+l+m=0與圓x2+y2=m的位置關(guān)系為（）

A.相切B.相交C.相切或相離D.相交或相切

2.圓x2+y2—4x+4y+6=0截直線x—y—5=0所得的弦長(zhǎng)等于（）

rz5V2

A.J6B.------C.1D.5

2

3.（2004全國(guó)高考III,4）圓x2+y2-4x=0在點(diǎn)P（l,后）處的切線方程為（）

A.X+A/3y—2=0B.X+A/3y—4=0

C.x—V3y+4=0D.x—V3y+2=0

答案：

1、分析：圓心到直線的距離為d=t'，圓半徑為J溫.

2

222

，直線與圓的位置關(guān)系是相切或相離.

答案：C

2、分析：圓心到直線的距離為容,半徑為2,弦長(zhǎng)為2,(行尸―(字［=76.

答案：A

x2+y2-4x=0,

3、解法一:.解得x2-4x+(kx-k+V3)2=0.

y=kx-k+

該二次方程應(yīng)有兩相等實(shí)根，即A=0,解得k=、3.

3

y—V3=-^-(x—1),BPx--\/3y+2=0.

解法二：：點(diǎn)(1,百)在圓x2+y2-4x=0上,

/.點(diǎn)P為切點(diǎn)，從而圓心與P的連線應(yīng)與切線垂直.

又：圓心為(2,0),；.“一返心=-1

2-1

解得k=g,???切線方程為x-V3y+2=0.

答案：D

**圓與圓的位置關(guān)系

例1、已知圓Ci：x2+y2+2x+8y-8=0,圓C2：x?+y2-4x-4y-2=0,判斷兩圓的位置關(guān)系.

例2、求過(guò)點(diǎn)A(0,6)且與圓C:x2+y2+10x+10y=0切于原點(diǎn)的圓的方程.

解：例1、

2

方法一:圓Ci與圓C2的方程聯(lián)立得到方程組，+，y+2x+8y-8=0,(1)

%2+y2-4x-4y-2=0.(2)

①-②得x+2y-l=0,

1-I-y

由③得丫=與二把上式代入①并整理得xZ2x-3=0.④

方程④的判別式A=(-2)2-4xlx(-3)=16>0,所以方程④有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即圓G與圓C2相

交.

方法二:把圓Ci：x2+y2+2x+8y-8=0,[g]C2：x2+y2-4x-4y-2=0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x+l>+(y+4)2=25與

(x-2)2+(y-2)2=10.

圓Ci的圓心是點(diǎn)(-1,-4),半徑長(zhǎng)n=5;

圓C2的圓心是點(diǎn)(2,2),半徑長(zhǎng)r2=V10.

圓G與圓C2的連心線的長(zhǎng)為J(—1—2)2+(T—2尸=3/，圓Ci與圓C2的半徑長(zhǎng)之和為

n+r2=5+V10,

半徑長(zhǎng)之差為r「r2=5-、/HL

而5-A/15"<3A/5<5+V10^,EPr「r2<3君〈口+總，

所以圓Ci與圓C2相交，它們有兩個(gè)公共點(diǎn)A、B.

例2、將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x+5)2+(y+5)2=50,

則圓心為C(-5,-5),半徑為52.所以經(jīng)過(guò)此圓心和原點(diǎn)的直線方程為x-y=0.

設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=F.

由題意，知0(0,0),A(0,6)在此圓上,且