數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

7.1.1數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念1.通過方程的解,認識復數(shù).2.理解復數(shù)的代數(shù)表示及相關概念.3.理解兩個復數(shù)相等的含義.4.體會數(shù)學抽象的過程,加強數(shù)學運算能力的培養(yǎng).【情境探究】1.回顧一元二次方程的解,明確實數(shù)的概念與分類:(1)方程x2-2x-3=0的正整數(shù)解是__,有理數(shù)解是_____,實數(shù)解是_____.(2)方程x2-2x-1=0的無理數(shù)解是,實數(shù)解是.必備知識生成33,-13,-12.(1)方程x2=-1在實數(shù)集中是否有解?提示:因為實數(shù)的平方都是非負數(shù),所以方程x2=-1在實數(shù)集中無解.(2)為了解決此類方程無實數(shù)解的問題,我們引入新數(shù)i,定義i·i=i2=-1,將實數(shù)集加以擴充,得到一個新的數(shù)集,那么此方程在這個數(shù)集中就有一個解為__.i3.(1)復數(shù)a+bi(a,b∈R)何時表示零?提示:當且僅當a=b=0時表示零.(2)實數(shù)集R與復數(shù)集C有什么關系?提示:用文字語言描述:實數(shù)集R是復數(shù)集C的真子集,即RC.用圖形語言描述:

實數(shù)集經(jīng)過擴充后，我們希望加法和乘法滿足交換律、結合律，以及乘法對加法的分配律，依此設想：一、概念形成

為了解決像這樣的方程在實數(shù)集中無解的問題,我們設想引入一個新數(shù),使得

，是方程

的解,即使得成立.1.新數(shù)i的引入與性質:

②

把實數(shù)

與

相加，結果記作：.①

把實數(shù)

與

相乘，結果記作：

；

所有實數(shù)以及

都可寫成

的形式，從而這些數(shù)都在擴充后的新數(shù)集中，我們把形如

的數(shù)叫做復數(shù).形如

的數(shù)叫做復數(shù).

叫做虛數(shù)單位.

叫做復數(shù)的實部

叫做復數(shù)的虛部2.復數(shù)的概念:3.復數(shù)的代數(shù)形式:概念形成復數(shù)通常用字母

表示，即全體復數(shù)所構成的集合

叫做復數(shù)集.

在復數(shù)集

中任取兩個數(shù)

和

我們規(guī)定：

相等，

當且僅當

且.4.復數(shù)相等:概念形成當且僅當

時，它叫做實數(shù)；當且僅當

時，它是實數(shù);當且僅當

時，它叫做虛數(shù)；當且僅當

時，它叫做純虛數(shù).5.復數(shù)的分類:概念形成例如，

，

，

，

都是虛數(shù)，它們的實部分別是

，，

，0，虛部分別是，，，，并且其

中只有是純虛數(shù).對于復數(shù)概念形成思考：復數(shù)集C與實數(shù)集R之間有什么關系？實數(shù)(b=0)虛數(shù)(b≠0)純虛數(shù)(a=0,b≠0)非純虛數(shù)(a≠0,b≠0)復數(shù)實數(shù)集R是復數(shù)集C的真子集.復數(shù)

可以分類如下：復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關系圖：虛數(shù)集實數(shù)集純虛數(shù)集復數(shù)集例題講解注意：0是復數(shù)，因為0是實數(shù)，所以0也是復數(shù)，將0寫成的形式為，它的實部和虛部都是0.例1.下列各數(shù)中，哪些是實數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)，哪些是復數(shù)？

，

，

，

，

，

，

，

，

，,.(課本P70練習改編)解：實數(shù)：，

，，

，;虛數(shù)：，，，，

，.純虛數(shù)：，，；以上全體數(shù)都是復數(shù)．二、復數(shù)相等當堂檢測1.說出下列復數(shù)的實部和虛部：2.說出下列各數(shù)中，哪些是實數(shù)？哪些是虛數(shù)？哪些是純虛數(shù)？為什么？3.求滿足下列條件的實數(shù)x,y的值：解：根據(jù)復數(shù)相等的充要條件得：數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念核心知識方法總結核心素養(yǎng)易錯提醒1.數(shù)系的擴充.2.復數(shù)有關的概念(1)判斷復數(shù)是實數(shù)、虛數(shù)或者純虛數(shù)：①保證復數(shù)的實部、虛部均有意義．②根據(jù)分類的標準，列出實部、虛部應滿足的關系式再求解．(2)復數(shù)相等求參數(shù)的步驟：分別確定兩個復數(shù)的實部與虛部，利用實部與實部、虛部與虛部分別相等，列方程組求解．(1)兩個復數(shù)不全是實數(shù)，就不能比較大?。?2)一個數(shù)的平方非負在實數(shù)范圍內是真命題，在復數(shù)范圍內是假命題.(3)對于復數(shù)實部、虛部的確定不但要把復數(shù)化為a＋bi的形式，更要注意