計算機組成原理期末復習

真值和機器數(shù)

?真值：符號(+/-)+尾數(shù)(絕對值)

(+5)10=(+101)2,(-7)10=(-111)2

?機器數(shù)：將符號(+/-)數(shù)碼化，用最高位做符號位

S+數(shù)值

?數(shù)的符號在計算機中的表示：

原碼、反碼、補碼：0表示正數(shù)，1表示負數(shù)

移碼：0表示負數(shù)，1表示正數(shù)

1.原碼表示法

若定點小數(shù)的真值為X=±0.xlx2■■■xn,則原碼表示的定義是:

例如，X=+0.1001,則［X］原=0.1001

X=-0.1001,則［X］原=1.1001

對于0,原碼有“+0”、“一0”之分，故有兩種形式：

［+0］原=0.000...0［—0］原=1.000...0

若定點整數(shù)的真值為X=±xlx2…xn,則原碼表示的定義是:

采用原碼表示法簡單易懂，但它的缺點是運算復雜。

當兩數(shù)相加時.，如果是同號則數(shù)值相加；如果是異號，則要進行減法。而在

進行減法時還要比較絕對值的大小，然后大數(shù)減去小數(shù)，最后還要給結(jié)果選擇符

號。

2.反碼表示法

所謂反碼，就是二進制的各位數(shù)碼0變?yōu)?,1變?yōu)?。在一些文獻中，這

種以2為基數(shù)的反碼又稱為1的補碼。

對于正數(shù)X=+0.xlx2…xn,則反碼表示為：［X］反=0.xlx2…xn

對于負數(shù)X=-0.xlx2…xn,則反碼表示為:［X］反=1.xlx2…xn

例如，X=+0.1001,則［X］反=0.1001

X=-0.1001,則［X］反=1.0110

若定點小數(shù)的真值為x=±0.xlx2…xn,則反碼表示的定義是：

對于0有［+0］反和［-0］反之分：［+0］反=0.000...0［―0］反=

1.111...1

若定點整數(shù)的真值為X=±xlx2…xn,則反碼表示的定義是：

3.補碼表示法

若定點小數(shù)的真值為X=±0.xlx2…xn,則補碼表示的定義是:

例如，X=+0.1001,則［X］補=0.1001

X=-0.1001,則［X］補=1.0111

［+0］補=［—0］補=0.000...0

［-1］補=1.000...0

若定點整數(shù)的真值為X=±xlx2…xn,則補碼表示的定義是:

對于負數(shù)，補碼等于反碼的最低位加1：

［］補=以］反+2?—11）X為小數(shù)

2］補=0<］反+1X為整數(shù)

4.移碼表示法

若定點整數(shù)的真值為X=±xlx2…xn,則移碼表示的定義是:

例如，X=+1001,則［X］移=11001

X=-1001,則［X］移=00111

四種機器碼的比較（以n+1位定點正數(shù)為例）：

1.原碼、反碼和補碼的符號位為0正1負，移碼為1正0負；

2.原碼和反碼的表示范圍為2~n>X>一2%,0的原碼和反碼都有兩個；

補碼和移碼的表示范圍為2~n>X2—2~n,0的補碼和移碼都只有一個;

3.正數(shù)的原碼、反碼和補碼相同，負數(shù)則不同；

4.移碼等二F補碼的符號位取反；移碼的大小關(guān)系與真值的大小關(guān)系相同。

真值原碼反碼補碼網(wǎng)

?70111011101111111

+60110011001101110

+50101010101011101

+40100010001001100

+30011001100111011

+20010001000101010

+10001000100011001

+00000000000001000

-010001111-

-11001111011110111

21010110111100110

1011110011010101

-41100101111000100

-51101101010110011

-61110100110100010

-71111100010010001

--10000000

數(shù)據(jù)格式

計算機中常用的數(shù)據(jù)表示格式有兩種，一是定點格式，二是浮點格式。定點

格式容許的數(shù)值范圍有限，但要求的處理硬件比較簡單；浮點格式容許的數(shù)值范

圍很大，但要求的處理硬件比較復雜。

1.定點數(shù)的表示方法

定點數(shù)是指小數(shù)點的位置固定不變。小數(shù)點的位置是事先約定的，不需要占

用一個二進制位來表示。通常將數(shù)據(jù)表示成純小數(shù)或純整數(shù)。

定點小數(shù)：

小數(shù)點位于符號位和最高有效位之間。

n個零值位、

符號位-*[xsj_

i—小數(shù)點位置（隱含）

采用原碼表示時，所能表示的數(shù)的范圍是：0W|X|Wl—2?—n）。

定點正數(shù)：

,小數(shù)點位于最高有效位之后。

n個零值位

符號位f國...

小數(shù)點位置（除含）一

采用原碼表示時，所能表示的數(shù)的范圍是：0WIXIW2An-l。

2.浮點數(shù)的表示方法

一個R進制的數(shù)N可以寫成：

N=MXR"E

其中M為尾數(shù)，E為指數(shù)，R為基數(shù)。在計算機中通常取R為2、8或16。

在機器中表示一個浮點數(shù)時，一要給出尾數(shù)，用定點小數(shù)的原碼或補碼表示;

二要給出指數(shù)，用整數(shù)的補碼或移碼表示，稱為階碼。

瑪石再…耳M.??J/.

I階符I-階碼——^數(shù)符|--------歐----------f

為了使浮點數(shù)的表示形式唯一，當尾數(shù)M不為0時，若尾數(shù)用原碼表示，規(guī)

定0.5W|M|V1,即尾數(shù)的二進制形式為0.1義X…X或1.IXX…X；若尾數(shù)

用補碼表示，規(guī)定0.5WMV1或一1WM<-0.5,即尾數(shù)的二進制形式為0.1

XX…X或1.0XX…X。這稱為浮點數(shù)的規(guī)格化表示。M=-0.5對于原碼表示

是規(guī)格化的，對于補碼表示則不是。P54的規(guī)格化

當一個浮點數(shù)的尾數(shù)M=0,不管階碼取何值，或者階碼比它能表示的最

小值還小時，不管尾數(shù)取何值，都把該浮點當零看待，稱為機器零。此時要求把

浮點數(shù)的階碼和尾數(shù)都清為零，保證零這個數(shù)表示的唯一性。

浮點數(shù)的表示范圍

設階碼和尾數(shù)都用補碼表示，階碼共k+1位(含一位階符)，尾數(shù)共n+1位(含

一位數(shù)符)。浮點數(shù)的表示范圍如下：

階碼尾數(shù)真值

最大IE故0,11…10.11—1(1-2?2必1

絕對值最大負數(shù)0,11-11.00—0(-1)x2j

--?

最小正數(shù)1,00-00.00—1(2")x2

規(guī)格化最小正數(shù)1,00-00.10—0(21)X2T*

(-2")x2-2*

絕對值最小負數(shù)1,00—01.11—1

規(guī)格化絕對值最小負數(shù)1,00—01.01—1_(2T+2?2孑

IEEE754標準

IEEE754是目前廣泛采用的浮點數(shù)編碼格式。

32^^點數(shù):

64位浮點數(shù):

32位浮點數(shù)中，S是浮點數(shù)的符號位，占1位，安排在最高位，0正1負。

符號位后面是階碼E,占8位。E的計算方法是將浮點數(shù)的指數(shù)真值加上一個固

定的偏移值127(這也叫移碼)。E的取值范圍是1—254,對應的指數(shù)真值為一

126?+127。E取255表示“無窮大”，E取0表示機器零。M是尾數(shù)，占23

位，放在最低位，用原碼表示。尾數(shù)的真值為LM,即在M前面有一個隱藏的lo

這相當于將尾數(shù)規(guī)格化到1和2之間，而將整數(shù)部分的1隱藏不表。

一個32位浮點數(shù)X的真值可表示為：

X=(-1)ASX(l.M)X2EA(-127)

64位浮點數(shù)中，階碼E占11位，計算方法是將浮點數(shù)的指數(shù)真值加上一個

固定的偏移值1023。E的取值范圍是1—2046,對應的指數(shù)真值為一1022-+

1023。E取2047表示“無窮大”,E取0表示機器零。尾數(shù)M占52位，有一

個隱藏位lo

一個64位浮點數(shù)X的真值可表示為：

X=(-1)ASX(l.M)X2EA(-1023)

/EEE754標準中的一些特殊值（以32位為例）：

符號階碼尾數(shù)值

正零：000+0

負零：100-0

正無窮大：02550+8

負無窮大：12550------CX3

非數(shù)：0或1255W0NaN

注意：

本書中提及的規(guī)格化有兩種,移碼也有兩種。IEEE754標準指的移碼以及規(guī)格

化與浮點數(shù)表示不同。

移碼規(guī)格化

IEEE75府準真值加127尾數(shù)的真值為1.M

并將整數(shù)部分的1隱藏不表

真畫112n原碼：1.1XXD^0.1XX

浮點數(shù)與補碼區(qū)別符號位補碼：1.0xxog0.1xx

?將-27/64用IEEE754表示

--27/64=-0.011011

?規(guī)格化：（必須是1.M的形式）

0.011011=1.1011X2-2

?階碼為一2E=e+127=01111101

?1011111011011000..000

牛刀小試：

設某機器用32位表示一個實數(shù)，階碼部分8位（含1位階符），用定點整

數(shù)補碼表示；尾數(shù)部分24位（含數(shù)符1位），用規(guī)格化定點小數(shù)補碼表示，基

數(shù)為2。

I階符］—階碼——I數(shù)符｛--------劇-----------H

1）求X=256.5的浮點表示格式（16進制格式表示）

2）求Y=-256.5的浮點表示格式（16進制格式表示）

3）將十進制數(shù)178.125表示成IEEE754單精度浮點數(shù)。

4）將下面IEEE754的單精度浮點數(shù)表示成十進制真值是多少？

1011,1111,0101,1000,0000,0000,0000,0000

解：1)X=(256.5)10=+(100000000.1)2=+(0.1000000001X2-9)2

8位階碼為：(+9)補=00001001

24位尾數(shù)為:(+0.1000000001)補=0.10000000010000000000000

所求256.5的浮點表示格式為：00001001010000000010000000000000

用16進制表示此結(jié)果則為：(09402000)16

2)Y=-(256.5)10=-(100000000.l)2=-0.1000000001X2*9

8位階碼為：(+9)補=00001001

24位尾數(shù)為：(-0.1000000001)#=1.01111111110000000000000

所求-256.5的浮點表示格式為：00001001101111111110000000000000

用16進制表示此結(jié)果則為：(09BFE000)16

3)178.125=10110010.001B=l.0110010001X2-7

指數(shù)E=7+127=134=10000110B

127是單精度浮點數(shù)應加的指數(shù)偏移量，其完整的浮點數(shù)形式為：

01000011001100100010000000000000=43322000H

4)1011,1111,0101,1000,0000,0000,0000,0000

數(shù)符:S=T負號)

階碼:E=(01111110)2-127=126-127=-1

尾數(shù)：D=(l.1011)2

X=-l.1011X2*(-1)=-(0.11011)2=-0.84375

?設某機器用32位表示一個實數(shù)，階碼部分8位(含1位階符)，用定點整數(shù)

補碼表示；尾數(shù)部分24位(含數(shù)符1位)，用規(guī)格化定點小數(shù)補碼表示，基數(shù)

為2。求X=256.5的浮點表示格式

256.5=+(100000000.1)B

所求256.5的浮點表示格式為：00001001010000000010000000000000

?將十進制數(shù)178.125表示成IEEE754單精度浮點數(shù)

178.125=10110010.001B

指數(shù)E=7+127=134=10000110B=l.0110010001X2-7

127是單精度浮點數(shù)應加的指數(shù)偏移量，其完整的浮點數(shù)形式為：

01000011001100100010000000000000

補碼加法

用補碼表示定點數(shù)，加減運算可以統(tǒng)i成加法運算。運算器中只需要一個加

法器就可以了，不需要減法器。

補碼加法的公式為：［x］補+［y］補=［x+y］補(mod2)

證明：設x和y均為定點小數(shù)，且運算結(jié)果沒有溢出。即

|x|<1,Iy|<1,Ix+y|<1

(1)x>0,y>0,貝Ux+y>0。正數(shù)的補碼和原碼是一樣的，可得：

［x］補+［y"b=x+y=［x+y］補(mod2)

(2)x>0,y<0,x+y20或x+y<0。

反］補=*,［y］補=2+y

［x］補+［y］補=x+2+y=2+(x+y)

當x+y?O時，2+(x+y)?2,對于模2來說，2被丟掉，于是

［x］補+［丫］補=*+丫=［x+y］補(mod2)

當x+y<0時，2+(x+y)<2,于是

［x］補+［y］補=2+(x+y)=［x+y］補(mod2)

(3)x<0,y>0o

這種情況和第2種情況證明方法相同。

(4)x<0,y<0,則x+y<0。

［x］補=2+x,［y］補=2+y

［x］補+［y］補=2+x+2+y=2+(2+x+y)

(2+x+y)小于2而大于1的數(shù)，第一個2作為進位被舍棄。于是

［x］補+［y］補=2+(x+y)=［x+y］補(mod2)

至此我們證明了在模2意義下，兩數(shù)的補碼之和等于這兩個數(shù)之和的補碼。這

個結(jié)論也適用于定點整數(shù)。

例：x=+0.1011,y=—0.0101,求x+y。

【X］補=0.1011,［y］補=1.1011

【X］補0.1011

+［y］補1.1011

［x+y］補10.0110x+y=0.0110

在模2意義下，超過2的進位應舍棄。

符號位作為數(shù)的--部分參加運算。

補碼減法

數(shù)用補碼表示時，減法運算可轉(zhuǎn)化為加法運算。公式為：

［x—y］補=［x+(—丫)］補=以］補+［—y］補(mod2)

已知［y］補求［—y］補的方法是：將［y］補的所有位(包括符號位)一起取反,

然后在最低位加1(對定點小數(shù)相當于加2—n)：

［―y］補=［［y］補+2?-n)

證明：

(1)若y為正數(shù),1>y^Oo［y］補=0.yly2…yn=y。

［—y］補=2+(—y)=2—0.yly2…yn=2"(―n)+(1.11…1一0.yly2…yn)

=—>0.yly2…yn+2”(―n)

(2)若y為負數(shù)，0>y>—lo［y］補=1.yly2…yn=2+y。

［―丫］補=—y=2—1.yly2…yn=2"(—n)+(1.11…1—1.yly2…yn)

=—>1.yly2…yn+2”(—n)

例：x=+1101,y=+0110,求x-y

岡補=01101

[X]補01101

[y]補=00110

[-y]^=11010+[-y]補11010

x-y=+0111[x，y]補100111

溢出檢測

運算結(jié)果超出了機器允許的表示范圍稱為溢出。兩個同符號數(shù)相加，如果結(jié)

果的符號與參加運算的操作數(shù)的符號相反，則表明有溢出。兩個正數(shù)相加產(chǎn)生的

溢出稱為上溢；兩個負數(shù)相加產(chǎn)生的溢出稱為下溢。

1.單符號法

兩個正數(shù)相加，最高有效位產(chǎn)生進位而符號位無進位（此時符號位從0變成

1）則產(chǎn)生上溢；兩個負數(shù)相加，最高有效位無進位而符號位有進位（此時符號

位從1變成0）則產(chǎn)生下溢。

溢出邏輯表達式為：V=Cf?C0

其中Cf為符號位產(chǎn)生的進位，co為最高有效位產(chǎn)生的進位。

2.雙符號法

雙符號位補碼也稱“變形補碼”或“模4補碼”。通過采用雙符號位，可使

所能表示的數(shù)的范圍比模2補碼擴大一倍。其定義為：

2>xNO（mod4）

⑶產(chǎn)｛202xN—2

用Sfl和Sf2表不［x］補最高符號位和第二符號位，貝U：

snsi-2=oo0Wx<1

SflSf2=01lWx<2

SflSf2=ll—l〈x<0

SflSf2=10-2Wx<<-1

模4補碼的運算規(guī)則為：［x］補+［丫］補=反+丫］補（mod4）

若運算結(jié)果中Sfl和Sf2相同則無溢出；若SflSf2=01表示上溢；若SflSf2

=10表示下溢。溢出邏輯表達式為Sfl?Sf2o無論是否溢出，最高符號位Sfl

永遠表示運算結(jié)果的正確符號。

為了得到兩數(shù)變形補碼之和等于兩數(shù)之和的變形補碼，同樣必須：

1.兩個符號位都看作數(shù)碼一樣參加運算

2.兩數(shù)進行以4位模的加法,即最高符號位上產(chǎn)生的進位要丟掉。

采用變形補碼后，如果兩個數(shù)相加后，其結(jié)果的符號位出現(xiàn)“01”或“10”

兩種組合時,表示發(fā)生溢出。這是因為兩個絕對值小于1的數(shù)相加,其結(jié)果不會大

于或等于2,所以最高符號位永遠表示結(jié)果的正確符號。

采用變形補碼后，正數(shù)的符號為00,負數(shù)的符號為11

[例14]x=+0.1100,y=+0.1000,求x+y。

[x]補=00.iioo,[y]補=00.looo

[x]補oo.1100

+[v麻oo.iooo

01.0100

兩個符號位出現(xiàn)“oi”，表示已溢出,即結(jié)果大于+1。

[例15]x=-0.1100,y=-0.1000,求x+y。

[X]補=11.0100,[y]補=11.1000

[X]補11.0100

+[y]兼ii.iooo

110.1100

兩個符號位出現(xiàn)“io”，表示已溢出,即結(jié)果小于-1。

全加器

全加器(FullAdder,FA)將兩個二進制數(shù)字Ai、Bi和一個進位輸入Ci

相加，產(chǎn)生一個和輸出Si,以及一個進位輸出Ci+1。

S,~Aj?Bj?Cj

G+1=AB+B￡+CA=AB+(A]3BJCi

門的延遲時間

常用門電路的國外常用符號和延遲時間。T表示一個與門或一個或門的延遲

時間。對一位全加器來說，Si的時間延遲為6T,Ci+l的時間延遲為5T。

門邏輯符號延遲時間

T

與非4ZZ＞

或非工＞T

非七＞T

與O-T

或工＞T

異或無＞3T

同或1＞37-

符號位

考慮溢出檢測時，延遲時間為Ta=3T+5T+(n-1)X2T+3T=(2n+9)T

不考慮溢出檢測時，延遲時間為Ta=3T+5T+(n—2)X2T+3T=(2n+7)T

十進制加法器

兩個一位十進制數(shù)相加，并考慮低位的進位，結(jié)果范圍0-19。

加法器輸出修正后輸出加法器輸出修正后輸出

和和

；；S1'So'

C'SSCS3S2S1Soc's；S1,SoCS3S2S1So

000000000001001010]0000

10000100001110101110001

20001000010120110010010

30001100011130110110011

40010000100140111010100

50010100101150111110101

6001100011016T000010110

70011100111171000110111

80100001000181001011000

90100101001191001111001

在十進制運算時,，當相加二數(shù)之和大于9時,便產(chǎn)生進位?？墒怯肂CD碼完成

十進制數(shù)運算時,當和數(shù)大于9時，必須對和數(shù)進行加6修正。這是因為,采用BCD

碼后,在二數(shù)相加的和數(shù)小于等于9時,十進制運算的結(jié)果是正確的；而當相加的

和數(shù)大于9時,結(jié)果不正確,必須加6修正后才能得出正確的結(jié)果。

S|s(>

例：X=15(D)Y=26(D)計算Z=X+Y=41(D)

X0=5=0101,Y0=6=0110,Xl=l=0001,Yl=2=0010

修正之后應該為：

SO=1=OOO1,Cl=l,Sl=4=0100

若不進行修正，結(jié)果為SO=XO+YO=B(H)=1011,S1=X1+Y1=3(H)=0011

原碼乘法

1.人工算法和機器算法的同異點

兩個原碼表示的數(shù)相乘的運算規(guī)則是：乘積的符號位由兩數(shù)的符號位按異或

運算得到，而乘積的數(shù)值部分則是兩個正數(shù)相乘之積。

被乘數(shù)：值］原=*￡.XnT…X/o

乘數(shù)：?】原=丫「丫「「"超

乘積：Ms=(XfeYf)+(O.Xn.v.^XoMO.yn.v.-YiYo)

對于只有加法器和移位器的計算機，可以通過多次執(zhí)行“加法一移位”操作

來實現(xiàn)乘法。

2.不帶符號的陣列乘法器

設A和B是m位和n位的不帶符號的二進制整數(shù)，相乘產(chǎn)生m+n位乘積P：

■—1n-1W-lJt-1

k

尸=(蟲勺2=LA(°也)2力=^pk2

i-0>0i-0>0I

則乘積P的數(shù)值為：

即

34aja2ai

X()

b4b3b2b|b

a3boa2b|ia|b（）

a4bla3bla2blaiha（）b|

a4b2a3b2a2b2aib2aobi

a4b3ajb3a2b5aibja?bi

+a3b$a2b4a）b4a（>b4

P9PSP7P6P5P4PiP2Plp<>

A=am.i???aiHobn.i...bibo=B

J一|「月二」||

JIIJ-TL

ri???riri

，*am.bnjaib()+「aobo

mxn乘法陣列

P=Pm+n-l..........P1PO

aibj稱為位積。mXn個位積可以通過mXn個與門并行產(chǎn)生。

陣列乘法器

這種乘法器要實現(xiàn)n位Xn位乘法時，需要n(n—l)個全加器和n~2個與門。

所需時間為：

tm=T+(n-2)6T+5T+(n-2)2T+3T=(8n-7)T

加數(shù)］^5T

[a令人

進位

輸出和輸出

CiAiBi

對2求補電路

對2求補時，采用自右向左按位掃描技術(shù)。設人=211…alaO是(n+1)位

帶符號數(shù)的原碼，an為符號位，要求確定它的補碼。求補的方法是從數(shù)的最右

端aO開始，從右向左掃描，直到找出第一個“1"。例如ai=l,ai左側(cè)的每一

個數(shù)值位都取反，ai和ai右側(cè)的位保持不變。當控制信號線E為“1”時，啟動

對2求補的操作；當控制信號線E為“0”時，輸出和輸入相等?？梢岳梅?/p>

位來作為控制信號。

a*n的延遲時間為：tTC=nXT+T+3T=(n+4)T

若輸入為帶符號數(shù)的補碼，則輸出為該數(shù)的原碼，即［［A］補］補=［A］原

3.帶符號的陣列乘法器

算前求補器的作用是將乘數(shù)和被乘數(shù)補碼變成原碼；算后求補器的作用是將

乘法陣列輸出的乘積原碼變成補碼。

被乘數(shù)補碼乘數(shù)補碼

A=a?an.|-aia（）B=bnbn.ib|b（?

例：x=-15,y=-13,用帶求補器的陣列乘法器求xy。

［x］補=10001,［y］補=10011

算前求補器輸出為：1x1=1111,lyl=1101

陣列乘法器輸出為：11000011

乘積的符號位為0，算后求補器輸出為：11000011

乘積的補碼為：［xy］補=011000011

補碼與真值的關(guān)系

考慮一個定點補碼整數(shù)田］補=2*11—1…alaO,其中an是符號位。［N］補和真

值N的關(guān)系可以表示成：

十%2aH=0

N=<TTT

一U+匯（1一%）2'］=-2"+工％2‘4=1

、￡=0x=0

以上兩式可以合并成下列形式：

N=-

i=0

因此可以認為符號位an具有負的權(quán)值（一2%）,而數(shù)值位ai具有正的權(quán)值（十

2"i）o另外，一N的值可以用下式計算：

[-N]補―…％a0+l

-N=-（l-a”）2"+反（1—丐）21+1

i-0

一般化的全加器

C為1表示“2”，S為1表示“一1”,因此結(jié)果為“1”

類型邏輯符號操作

-X

X2類

。類Y全加器-Y

全加器+1Z(全減器)十)z

JCS(-c)s

X-X

1類Y3類-Y

全加器+1-Z全加器土)-Z

C(-S)(-c)(-s)

通過把正權(quán)或9負權(quán)加到全加器的輸入/輸出端，可以歸納出四類加法器。每

一類加法器用它所包含的負權(quán)輸入的個數(shù)命名。

以第1類全加器為例，其真值表為：

ZC-)cco

OOOOO

OO11O

O1O11

O11OO

1OO11

1O1OO

11OO1

1111

對0類、3類全加器:

S=XYZ+XYZ+XYZ+XYZ

C=XY+YZ+XZ

對1類、2類全加器：

S=XYZ+XYZ+XYZ+XYZ

C=XY+YZ+XZ

直接補碼陣列乘法器

設被乘數(shù)A和乘數(shù)B是兩個5位的二進制補碼數(shù)，即

A=(a4)a3a2ala0,B=(b4)b3b2blb0

它們具有帶負權(quán)的符號位a4和b4(用括號標注)。將符號位一起參加運算,

并用括號標注具有負權(quán)的位積，則A和B相乘的計算過程如下：

（）

(a4>aj*3|a

X如。

(b4)b2bib

⑶b(y)a3bDa2bo.3|b（）a（）b（）

町（）

(a4b|)a$b]b|aib1ab|

)曲ab

(a4b2a3b2aaib2n2

曲

(a』b0a3bsa2b3aib343

)

+a4b$(a5b4>(a2b4)(a,b4>(a?b]

P?>PsP7P6PsP4P3P2PlPl>

例：x=15,y=-13

岡補=omi

[y]補=(1)0011

01111

x⑴0011

oiii\

01111

00000

00000

+0(1>(1>(1>(1>

______ll?lUll?111

(1>00111101

[xy]補=(1)00111101

xy=-195

利用一般化的全加器可以構(gòu)成直接補碼陣列乘法器:

右上角的三角形用0類全加器，左上角的三角形用1類全加器，最后兩行用

2類全加器。結(jié)果的最高位p9具有負權(quán)，所以結(jié)果為補碼。

原碼除法

岡原=*￡.xn—1…xlxO,［丫］原=丫￡.yn—1…ylyO

則商q=x/y的原碼為：［q］原=(xf，yf)+(O.xn—1…xlxO/O.yn—1…ylyO)

例：被除數(shù)x=0.1001,除數(shù)y=0.1011。手工計算x/y的過程如下：

0.1101

o.1(11iy().?oo1

-0.1011商。

0.10010得余數(shù)r"即瑞

-0.01011_________除數(shù)右移一位.余數(shù)減除數(shù)?商1

0.001110得余數(shù)G

-0.001011除數(shù)右移一位,余數(shù)減除數(shù).商1

0.0000110得余數(shù)「2

-0.0(10111除數(shù)右移一位.余數(shù)不減除數(shù).商。

().00001100得余數(shù)Q

一仇1)0001011除數(shù)右移一位，余數(shù)減除數(shù).商1

0.00000001得余數(shù)r?

恢復余數(shù)法

為方便計算機操作，對手工算法修改如下：

(1)將心算比較余數(shù)和除數(shù)大小改為減法比較，并且減y改為加［-y］補。

數(shù)減除數(shù)大于等于0則商1,小于0則商Oo

(2)將除數(shù)右移改為余數(shù)左移。如果余數(shù)減除數(shù)的差小于0,應將差加上

除數(shù)，恢復原來的余數(shù)。這就是恢復余數(shù)法。

注：①為保證余數(shù)左移時符號位不變，應采用雙符號位。雙符號位最高符號位永

遠表示結(jié)果的正確符號；若用單符號位，余數(shù)左移后將可能改變符號位的值

②用雙符號位余數(shù)永遠不會溢出，原因何在？設某次運算的余數(shù)為R,不論是何

種運算方法。若R為正，下次的余數(shù)為2R—y=R+R-y,若R為負，下次的余

數(shù)為2R+y.所以都不會溢出。余數(shù)的絕對值小于除數(shù)的絕對值

00.1001商說明

+【一yh卜1uoIo?x-y

1L11100余數(shù)r°v0.商0

+00-1011加ly恢復余數(shù)

00.1001

<-0L0010余數(shù)左移?位

+【—y】補1Lo1o1減y比較

00.01110.1余數(shù)r,＞0.商1

?-00.1110余數(shù)左移?位

+［-yhb1LoIo1減y比較

00-00110.11余數(shù)收＞0.商1

?-00.0110余數(shù)左移位

+Ly】補11.0101減y比較

IL10110.110余數(shù)r$v0.商0

+00.1011力叫恢復余數(shù)

00.0110

?—00.1100余數(shù)左移?位

+［—W補1Lo?01減y比較

00.00010.1101余數(shù)口＞0.商1

加減交替法

恢復余數(shù)法中，設某次余數(shù)為ri,要繼續(xù)進行下面的求商運算，需要將ri

左移一位，然后減去除數(shù)，進行比較：2ri-y

結(jié)果小于0時商上0，并加y恢復余數(shù):(2ri—y)+y=2ri

繼續(xù)下面的求商，又要將它左移一位，再減去除數(shù)2(2ri)—y=4ri—y

當(2ri—y)小于0時，商仍上0,但不進行加y恢復余數(shù)的操作，而是將(2ri

一y)左移一位，然后加上除數(shù)2(2ri—y)+y=4ri—y也得到同樣的余數(shù)(4ri—

y)=

所以，當比較結(jié)果小于0時，仍將結(jié)果左移一位，然后加上除數(shù)y。這就是

不恢復余數(shù)法，也稱加減交替法。

加減交替法的運算規(guī)則是：

余數(shù)為正時，商上1,余數(shù)左移一位，再減去除數(shù)，得到新的余數(shù)；

余數(shù)為負時，商上0,余數(shù)左移一位，再加上除數(shù)，得到新的余數(shù)。

00.1001商說明

+[-yk?i.o101x-y

1L11100余數(shù)商0

^—\L1100左移一位

+yoo.?011余數(shù)為負,加y

00.01110J余數(shù)Q>0”商1

?—00.1110左移一位

+[-yk1i.o101余數(shù)為正-減y

00.00110.11余數(shù)商1

?—00.0110左移一位

+[-yk1i.o101余數(shù)為正”減y

1L10110.110余數(shù)商o

?—11.0110左移一位

+yoo.?011余數(shù)為負"力fly

00.00010.1101余數(shù)商1

恢復余數(shù)法的運算規(guī)則是：

余數(shù)為正時，商上1，余數(shù)左移一位，再減去除數(shù)，得到新的余數(shù)；

余數(shù)為負時，商上0,再加上除數(shù)(恢復余數(shù))，余數(shù)左移一位，再減

去除數(shù)，得到新的余數(shù)。

加減交替法的運算規(guī)則是：

余數(shù)為正時，商上1,余數(shù)左移一位，再減去除數(shù)，得到新的余數(shù)；

余數(shù)為負時，商上0,余數(shù)左移一位，再加上除數(shù)，得到新的余數(shù)。

證明：2(R+y)-y=2R+y

特點：

1、’恢復余數(shù)除法，最后的操作為減法

2、都需要余數(shù)左移一位后再進行加或減

可控加法/減法單元

可控加法/減法單元(CAS)由一個全加器和一個異或門構(gòu)成，有4個輸入

端和4個輸出端。

當控制端P為0時,實現(xiàn)全加器：Si=AieBi?Ci,Ci+i=AiBi+BiCi+AiCi

控制端為1時，實現(xiàn)補碼減法：Si=Ai?Bi?Ci,Ci+i=AiBi+BiCi+AiCi

設［x］補=0.xlx2x3,［y］補=O.yly2y3。下圖電路當P=0時實現(xiàn)x+y,P=1

時實現(xiàn)x—y。減法是通過加上［—y］補實現(xiàn)的。

陣列除法器

利用CAS構(gòu)成的不恢復余數(shù)陣列除法器如下。被除數(shù)x=0.xlx2x3x4x5x6,

除數(shù)y=O.yly2y3,均為正數(shù)，且x<y(否則商大于1,溢出)。

若上一行余數(shù)小于除數(shù)則不產(chǎn)生進位，qi=O,下一行做加法。上一行余數(shù)

大于除數(shù)則產(chǎn)生進位，Qi=l,下一行做減法。例：x=0.101001,y=0.111

2n位除以n位的陣列除法器,有單元(n+1)人2個，延遲時間為td=(n+1P2TCAS。

多功能算術(shù)邏輯單元

算術(shù)邏輯運算單元(ArithmeticLogicUnit,ALU)不僅具有多種算術(shù)運算和邏

輯運算的功能，而且具有先行進位邏輯，從而能實現(xiàn)高速運算。

全加器的邏輯表達式為：

Fi=Ai?Bi?Ci

Ci+l=AiBi+BiCi+AiCi

為了對全加器進行功能擴展以完成多種算術(shù)和邏輯運算，將Ai和Bi送到由

SO,SI,S2,S3控制的函數(shù)發(fā)生器內(nèi)，產(chǎn)生組合函數(shù)Xi和Yi,再送到全加器

內(nèi)進行全加：

Fi=Xi?Yi?Cn+i

Cn+i+1=XiYi+XiCn+i+YiCn+i

進位下標用n+i代替i,n表示多片級聯(lián)時每片的進位輸入。

全加器SoS】耳52導Xi

00001

%A

S01電01g+線

函數(shù)發(fā)生器

S2-10104+線

S-ff

tt

uuR110114

Ai

Xi和Yi的邏輯表達式為:

X=5X+S_S_(A.+B.)+S.S,<A.+B.)+S.S.A.

i2323ii23】i231

Xj=$3八再］+S2A.Bi

Y.=SJX.+*S/.B.-FS.Sl.B.

iOliOliiOliiYj=Aj+S0Bi4-SiBj

另外還有:

Xi+x=Xi

XiX=*

因此全加器的進位信號可以寫成：Cn+i+i=XiX+(Xi+Yi)C1Hi

4位之間采用先行進位邏輯，每一位的進位公式遞推如下：

Cn+1=Y0+X0Cn

%=丫1+X』=Y1+X]Y。+XiX?

CB+3=Y2+X2Ca+2

=丫

Cn+4=Y3+X3CB+33+X3Y2+X3X2X+X3X2X1Y0+X3X2X1X0Cn

定義

P=X3X2X1X0

G稱為進位產(chǎn)生輸出，P稱為進位傳遞輸出，它們和CLA電路配合使用，

可以實現(xiàn)多級先行進位。

74181是4位算術(shù)邏輯單元。它除了有SO?S3四個控制端外，還有一個控

制端M,用來控制74181是進行算術(shù)運算還是進行邏輯運算。74181既適用于正

邏輯數(shù)的運算，也適用于負邏輯數(shù)的運算。還有一個輸出端“A=B”可用于檢測

兩數(shù)相等。

負邏輯和正邏輯方式下74181的方框圖

以正邏輯為例。當M=H（高電平）時，各位輸出的表達式為：

K=X?Y?i=0J,2,3

此時Fi只和Xi及Yi有關(guān)，與進位信號無關(guān)，實現(xiàn)邏輯運算。

當M=L（低電平）時，各位的輸出表達式為：

F尸三肥。二

=\?Y；?C-i=0J23

而日、匕和，相加產(chǎn)生的進位剛好為好工；,此時74181實現(xiàn)算術(shù)運算:

Cn=H無進位輸入，74181實現(xiàn)元兄兄兄加再71vo；

Cn=l■有進位輸入，74181實現(xiàn)元兄兄兄加Y3v2工？0加1。

全加器的邏輯表達式為：

Fi=Ai?Bi?Ci

Ci+l=AiBi+BiCi+AiCi

F0=A0?B0?C0Cl=A0B0+B0C0+A0C0

F1=A1?Bl?C1C2=A1B1+B1C1+A1C1

F2=A2?B2?C2C3=A2B2+B2c2+A2c2

F3=A3?B3?C3

每一級需要的進位信號為上一級的加數(shù)兩兩相乘之和

Fj=Xi十Y十=

,c^^xY+YcT+xcr

Fo=Xo?YoffiCT000o

匕="十I十蟲/C；；2AXM+丫1，；：1+xc；：i

F2?Y2sCn+2^^rCrH.3AX2Y2IY2c1IX2Cn+2

F3-X3ffiY3?C；+3

耳=苫嗎十壇

FO-XO?