專題04 平方差公式的幾何背景（兩大類型）-2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊《高分突破-培優(yōu)新方法》（北師大版）

專題04平方差公式的幾何背景（兩大類型）【典例分析】【典例1】（2022秋?永春縣期中）如圖，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一個長方形，通過計算兩個圖形陰影部分的面積，驗證了一個等式，則這個等式是（）A．a(chǎn)2﹣ab＝a（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【變式1-1】（2022春?市中區(qū)校級月考）如圖，從邊長為（a+4）cm的正方形紙片中剪去一個邊長為（a+2）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），則矩形的面積為（）A．（2a2+5a）cm2 B．（3a+15）cm2 C．（4a+12）cm2 D．（6a+15）cm2【變式1-2】（2022春?新泰市期末）將圖甲中陰影部分的小長方形變換到圖乙位置，你能根據(jù)兩個圖形的面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是（）A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2【典例2】（2022春?天橋區(qū)校級期中）從邊長為a的正方形剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗證的等式是；（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）計算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【變式2】（2022春?咸陽月考）如圖，圖1為邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個長方形．（1）設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2，請用含a、b的代數(shù)式表示：S1＝，S2＝；（2）以上結(jié)果可以驗證哪個乘法公式？請寫出這個乘法公式；（3）運用（2）中得到的公式，計算：20222﹣2021×2023．【典例3】（2022春?寶安區(qū)期末）初中數(shù)學(xué)的一些代數(shù)公式可以通過幾何圖形的面積來推導(dǎo)和驗證．如圖①，從邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形后，將其沿虛線裁剪，然后拼成一個矩形（如圖②）．（1）通過計算圖①和圖②中陰影部分的面積，可以驗證的公式是：＝．（2）小明在計算（2+1）（22+1）（24+1）時利用了（1）中的公式：（2+1）（22﹣1）（24+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）＝．（請你將以上過程補充完整．）（3）利用以上的結(jié)論和方法、計算：+（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．【變式3】（2021春?高明區(qū)期末）如圖1所示，邊長為a的正方形中有一個邊長為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個長方形，設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2．（1）請直接用含a和b的代數(shù)式表示S1＝，S2＝；寫出利用圖形的面積關(guān)系所得到的公式：（用式子表達）．（2）應(yīng)用公式計算：．（3）應(yīng)用公式計算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．【夯實基礎(chǔ)】1．（2022秋?龍亭區(qū)校級期末）已知a+b＝10，a﹣b＝6，則a2﹣b2的值是（）A．12 B．60 C．﹣60 D．﹣122．（2021秋?寧縣期末）已知a2﹣b2＝8，b﹣a＝2，則a+b等于（）A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．43．（2022?濱?？h模擬）用簡便方法計算107×93時，變形正確的是（）A．1002﹣7 B．1002﹣72 C．1002+2×100×7+72 D．1002﹣2×100×7+724．（2022春?普陀區(qū)期末）某廠原來生產(chǎn)一種邊長為a厘米的正方形地磚，現(xiàn)將地磚的一邊擴大2厘米，另一邊縮短2厘米，改成生產(chǎn)長方形地磚，若材料的成本價為每平方厘米b元，則這種長方形地磚每塊的材料成本價與正方形地磚相比（）A．增加了4b元 B．增加了2ab元 C．減少了4b元 D．減少了2ab元5．（2022春?沈北新區(qū)期中）若（3b+a）（）＝9b2﹣a2，則括號內(nèi)應(yīng)填的代數(shù)式是（）A．﹣a﹣3b B．a(chǎn)+3b C．﹣3b+a D．3b﹣a6．（2022春?龍勝縣期中）計算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）的結(jié)果是（）A． B． C． D．7．（2021秋?紫陽縣期末）用乘法公式計算：201×199．8．（2022春?南海區(qū)校級月考）如圖1所示，從邊長為a的正方形紙片中剪去一個邊長為b的小正方形，再沿線段AB剪開，把剪成的兩張紙拼成如圖2的等腰梯形（其面積＝（上底+下底）×高）．（1）設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2，請直接用含a、b的式子表示S1和S2；（2）利用上述過程所揭示的乘法公式計算：a4+（1﹣a）（1+a）（1+a2）9．（2022春?西安期末）探究活動：（1）將圖1中陰影部分裁剪下來，重新拼成圖②一個長方形，則長表示為，寬為．（2）則圖2中陰影部分周長表示為．知識應(yīng)用：運用你得到的公式解決以下問題（3）計算：已知a＝5m﹣3n，b＝3m+5n，則圖2中陰影部分周長是多少？10．（2022春?天橋區(qū)期末）如圖，邊長為a的正方形中有一個邊長為b（b＜a）的小正方形，如圖2是由圖1中的陰影部分拼成的一個長方形．（1）設(shè)圖1陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，請直接用含a，b的式子表示S1＝，S2＝，寫出上述過程中所揭示的乘法公式；（2）直接應(yīng)用，利用這個公式計算：①（﹣x﹣y）（y﹣x）；②102×98．（3）拓展應(yīng)用，試?yán)眠@個公式求下面代數(shù)式的結(jié)果．（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×…×（31024+1）+1．11．（2022春?乳山市期末）【觀察發(fā)現(xiàn)】從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖①），然后將剩余部分剪開并拼成一個長方形（如圖②）．【歸納結(jié)論】（1）上述操作，能驗證的等式是；（直接寫結(jié)果）【問題解決】（2）利用（1）中的結(jié)論，計算：．12．（2021秋?黔西南州期末）如圖1，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．（1）寫出根據(jù)上述操作利用陰影部分的面積關(guān)系得到的等式：．（2）請應(yīng)用（1）中的等式，解答下列問題：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，則2a﹣b＝；②計算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．13．（2022春?章丘區(qū)期末）“平方差公式”和“完全平方公式”應(yīng)用非常廣泛，靈活利用公式往往能化繁為簡，巧妙解題．請閱讀并解決下列問題：問題一：（x+y﹣z）（x﹣y+z）＝（A+B）（A﹣B），（1）則A＝，B＝；（2）計算：（2a﹣b+3）（2a﹣3+b）；問題二：已知x2+y2＝（x+y）2﹣P＝（x﹣y）2+Q，（1）則P＝，Q＝；（2）已知長和寬分別為a，b的長方形，它的周長為14，面積為10，如圖所示，求a2+b2+ab的值．【能力提升】14．（2022?濰坊三模）如果一個正整數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱該正整數(shù)為“和諧數(shù)”．如8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均為“和諧數(shù)”．在不超過2022的正整數(shù)中，所有“和諧數(shù)”之和等于（）A．255054 B．255064 C．250554 D．25502415．（2022秋?臥龍區(qū)期末）運用整式乘法公式計算：20202﹣2019×2021＝．16．（2021秋?科左中旗期末）探究下面的問題：（1）如圖甲，在邊長為a的正方形中去掉一個邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如圖乙的一個長方形，通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，這個等式是（用式子表示），即乘法公式中的公式．（2）運用你所得到的公式計算：①10.3×9.7；②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．17．（2021?蕪湖模擬）很多代數(shù)公式都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導(dǎo)和解釋．例如：平方差公式、完全平方公式等．【提出問題】如何用表示幾何圖形面積的方法計算：13+23+33+…+n3＝？【規(guī)律探究】觀察如圖表示幾何圖形面積的方法；【解決問題】請用圖中表示幾何圖形面積的方法寫出13+23+33+…+n3＝＝（用含n的代數(shù)式表示）；【拓展應(yīng)用】根據(jù)以上結(jié)論，計算：23+43+63+…+（2n）3的結(jié)果為．18．（2021春?昌平區(qū)期末）用紙片拼圖時，我們發(fā)現(xiàn)利用圖1中的三種紙片（邊長分別為a，b的正方形和長為b寬為a的長方形）各若干，可以拼出一些長方形來解釋某些等式，比如圖2可以解釋為：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2（1）圖3可以解釋為等式：；（2）要拼出一個兩邊長為a+b，3a+b的長方形，先回答需要以下三種紙片各多少塊，再用畫圖或整式乘法驗證你的結(jié)論．（3）如圖4，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，若用x，y（x＞y）表示四個相同小長方形的兩邊長，以下關(guān)系式正確的是．（填序號）①x+y＝m；②2xy＝m2﹣n2；③x2﹣y2＝mn；④x2+y2＝m2+n2．19．（2021春?奉化區(qū)校級期末）某同學(xué)利用若干張正方形紙片進行以下操作：（1）從邊長為a的正方形紙片中減去一個邊長為b的小正方形，如圖1，再沿線段AB把紙片剪開，最后把剪成的兩張紙片拼成如圖2的等腰梯形，這一過程所揭示的公式是．（2）先剪出一個邊長為a的正方形紙片和一個邊長為b的正方形紙片，再剪出兩張邊長分別為a和b的長方形紙片，如圖3，最后把剪成的四張紙片拼成如圖4的正方形．這一過程你能發(fā)現(xiàn)什么代數(shù)公式？（3）先剪出兩個邊長為a的正方形紙片和一個邊長為b的正方形紙片，再剪出三張邊長分，別為a和b的長方形紙片，如圖5，你能否把圖5中所有紙片拼成一個長方形？如果可以，請畫出草圖，并寫出相應(yīng)的等式，如果不能，請說明理由．專題04平方差公式的幾何背景（兩大類型）【典例分析】【典例1】（2022秋?永春縣期中）如圖，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一個長方形，通過計算兩個圖形陰影部分的面積，驗證了一個等式，則這個等式是（）A．a(chǎn)2﹣ab＝a（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【答案】D【解答】解：∵左圖陰影的面積是a2﹣b2，右圖的陰影的面積是（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選：D．【變式1-1】（2022春?市中區(qū)校級月考）如圖，從邊長為（a+4）cm的正方形紙片中剪去一個邊長為（a+2）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），則矩形的面積為（）A．（2a2+5a）cm2 B．（3a+15）cm2 C．（4a+12）cm2 D．（6a+15）cm2【答案】C【解答】解：（a+4）2﹣（a+2）2＝a2+8a+16﹣（a2+4a+4），＝（4a+12）2cm2，故選：C．【變式1-2】（2022春?新泰市期末）將圖甲中陰影部分的小長方形變換到圖乙位置，你能根據(jù)兩個圖形的面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是（）A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2【答案】A【解答】解：如圖，圖甲中①、②的總面積為（a+b）（a﹣b），圖乙中①、②的總面積可以看作兩個正方形的面積差，即a2﹣b2，因此有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故選：A．【典例2】（2022春?天橋區(qū)校級期中）從邊長為a的正方形剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗證的等式是；（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）計算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【解答】解：（1）圖1陰影部分的面積可以看作是兩個正方形的面積差，即a2﹣b2，圖2是長為a+b，寬為a﹣b的長方形，因此面積為（a+b）（a﹣b），由圖1、圖2陰影部分的面積相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）∵x2﹣9y2＝12，即（x+3y）（x﹣3y）＝12，而x+3y＝4，∴x﹣3y＝12÷4＝3，答：x﹣3y的值為3；（3）原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××××…××××＝×＝．【變式2】（2022春?咸陽月考）如圖，圖1為邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個長方形．（1）設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2，請用含a、b的代數(shù)式表示：S1＝，S2＝；（2）以上結(jié)果可以驗證哪個乘法公式？請寫出這個乘法公式；（3）運用（2）中得到的公式，計算：20222﹣2021×2023．【解答】解：（1）由題意得，S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）題結(jié)果，可得乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案為：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）20222﹣2021×2023＝20222﹣（2022﹣1）×（2022+1）＝20222﹣20222+1＝1【典例3】（2022春?寶安區(qū)期末）初中數(shù)學(xué)的一些代數(shù)公式可以通過幾何圖形的面積來推導(dǎo)和驗證．如圖①，從邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形后，將其沿虛線裁剪，然后拼成一個矩形（如圖②）．（1）通過計算圖①和圖②中陰影部分的面積，可以驗證的公式是：＝．（2）小明在計算（2+1）（22+1）（24+1）時利用了（1）中的公式：（2+1）（22﹣1）（24+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）＝．（請你將以上過程補充完整．）（3）利用以上的結(jié)論和方法、計算：+（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．【解答】解：（1）圖①中陰影部分的面積可以看作兩個正方形的面積差，即a2﹣b2，圖②是長為a+b，寬為a﹣b的長方形，因此面積為（a+b）（a﹣b），由圖①、圖②面積相等可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案為：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）原式＝（2﹣1）?（2+1）（22+1）（24+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）＝（24﹣1）（24+1）＝28﹣1，故答案為：28﹣1；（3）原式＝+（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）＝+（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）＝+（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）＝+（38﹣1）（38+1）（316+1）＝+（316﹣1）（316+1）＝+（332﹣1）＝+﹣＝．【變式3】（2021春?高明區(qū)期末）如圖1所示，邊長為a的正方形中有一個邊長為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個長方形，設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2．（1）請直接用含a和b的代數(shù)式表示S1＝，S2＝；寫出利用圖形的面積關(guān)系所得到的公式：（用式子表達）．（2）應(yīng)用公式計算：．（3）應(yīng)用公式計算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．【解答】解：（1）圖1中陰影部分的面積為大正方形與小正方形的面積差，即a2﹣b2，圖2中陰影部分是長為（a+b），寬為（a﹣b）的長方形，因此面積為（a+b）（a﹣b），由圖1和圖2中陰影部分的面積相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；原式＝＝＝＝；（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1＝（232﹣1）（232+1）+1＝264﹣1+1＝264．【夯實基礎(chǔ)】1．（2022秋?龍亭區(qū)校級期末）已知a+b＝10，a﹣b＝6，則a2﹣b2的值是（）A．12 B．60 C．﹣60 D．﹣12【答案】B【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，a+b＝10，a﹣b＝6，∴a2﹣b2＝10×6＝60，故選：B．2．（2021秋?寧縣期末）已知a2﹣b2＝8，b﹣a＝2，則a+b等于（）A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4【答案】C【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8，b﹣a＝2，∴a+b＝﹣4，故選：C．3．（2022?濱?？h模擬）用簡便方法計算107×93時，變形正確的是（）A．1002﹣7 B．1002﹣72 C．1002+2×100×7+72 D．1002﹣2×100×7+72【答案】B【解答】解：107×93＝（100+7）×（100﹣7）＝1002﹣72，故選：B．4．（2022春?普陀區(qū)期末）某廠原來生產(chǎn)一種邊長為a厘米的正方形地磚，現(xiàn)將地磚的一邊擴大2厘米，另一邊縮短2厘米，改成生產(chǎn)長方形地磚，若材料的成本價為每平方厘米b元，則這種長方形地磚每塊的材料成本價與正方形地磚相比（）A．增加了4b元 B．增加了2ab元 C．減少了4b元 D．減少了2ab元【答案】C【解答】解：正方形地磚的面積為a2平方厘米，長方形地磚面積為（a+2）（a﹣2）＝（a2﹣4）平方厘米，長方形面積比正方形減少了4平方厘米，因此這種長方形地磚每塊的材料成本價與正方形地磚相比減少了4b元，故選：C．故陰影部分的面積為3．5．（2022春?沈北新區(qū)期中）若（3b+a）（）＝9b2﹣a2，則括號內(nèi)應(yīng)填的代數(shù)式是（）A．﹣a﹣3b B．a(chǎn)+3b C．﹣3b+a D．3b﹣a【答案】D【解答】解：∵9b2﹣a2＝（3b+a）（3b﹣a），故選：D．6．（2022春?龍勝縣期中）計算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：原式＝（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×…×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）＝××××××…××××＝×＝．故選：B．7．（2021秋?紫陽縣期末）用乘法公式計算：201×199．【解答】解：201×199＝（200+1）（200﹣1）＝2002﹣12＝40000﹣1＝39999．8．（2022春?南海區(qū)校級月考）如圖1所示，從邊長為a的正方形紙片中剪去一個邊長為b的小正方形，再沿線段AB剪開，把剪成的兩張紙拼成如圖2的等腰梯形（其面積＝（上底+下底）×高）．（1）設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2，請直接用含a、b的式子表示S1和S2；（2）利用上述過程所揭示的乘法公式計算：a4+（1﹣a）（1+a）（1+a2）【解答】解：（1）圖1中陰影部分面積為S1，可以看作兩個正方形的面積差，即S1＝a2﹣b2，圖2中陰影部分面積為S2，是上底為2b，下底為2a，高為（a﹣b）的梯形，因此S2＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），所以a4+（1﹣a）（1+a）（1+a2）＝a4+（1﹣a2）（1+a2）＝a4+（1﹣a4）＝a4+1﹣a4＝1．9．（2022春?西安期末）探究活動：（1）將圖1中陰影部分裁剪下來，重新拼成圖②一個長方形，則長表示為，寬為．（2）則圖2中陰影部分周長表示為．知識應(yīng)用：運用你得到的公式解決以下問題（3）計算：已知a＝5m﹣3n，b＝3m+5n，則圖2中陰影部分周長是多少？【解答】解：（1）由題意可得：圖2長方形的長為：a+b，寬為：a﹣b，故答案為：a+b，a﹣b；（2）圖2中陰影部分周長表示為：2（a+b+a﹣b）＝4a，故答案為：4a；（3）∵a＝5m﹣3n，b＝3m+5n．∴陰影部分周長是4a＝4（5m﹣3n）＝20m﹣12n10．（2022春?天橋區(qū)期末）如圖，邊長為a的正方形中有一個邊長為b（b＜a）的小正方形，如圖2是由圖1中的陰影部分拼成的一個長方形．（1）設(shè)圖1陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，請直接用含a，b的式子表示S1＝，S2＝，寫出上述過程中所揭示的乘法公式；（2）直接應(yīng)用，利用這個公式計算：①（﹣x﹣y）（y﹣x）；②102×98．（3）拓展應(yīng)用，試?yán)眠@個公式求下面代數(shù)式的結(jié)果．（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×…×（31024+1）+1．【解答】解：（1）S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b），∵S1＝S2，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．（2）①（﹣x﹣y）（y﹣x）＝（﹣x）2﹣y2＝x2﹣y2；②102×98＝（100+2）×（100﹣2）＝9996．（3）（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）......×（31024+1）+1，＝（3﹣1）×[（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）......×（31024+1）]÷（3﹣1）+1，＝（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）......×（31024+1）÷2+1，＝[（31024）2﹣12]÷2+1，＝（32048﹣1）÷2+1，＝11．（2022春?乳山市期末）【觀察發(fā)現(xiàn)】從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖①），然后將剩余部分剪開并拼成一個長方形（如圖②）．【歸納結(jié)論】（1）上述操作，能驗證的等式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（直接寫結(jié)果）【問題解決】（2）利用（1）中的結(jié)論，計算：．【解答】解：（1）圖①陰影部分的面積可以看作兩個正方形的面積差，即a2﹣b2，圖②是長為a+b，寬為a﹣b的長方形，因此面積為（a+b）（a﹣b），所以有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案為：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××××…××××＝×＝．12．（2021秋?黔西南州期末）如圖1，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．（1）寫出根據(jù)上述操作利用陰影部分的面積關(guān)系得到的等式：．（2）請應(yīng)用（1）中的等式，解答下列問題：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，則2a﹣b＝；②計算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．【解答】解：（1）根據(jù)上述操作利用陰影部分的面積關(guān)系得到的等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①∵4a2﹣b2＝24，∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，∵2a+b＝6，∴2a﹣b＝4，故答案為：4，②2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12＝（200+199）（200﹣199）+（198+197）（198﹣197）+...+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝200+199+198+197+...+4+3+2+1＝×（200+1）×200＝20100．13．（2022春?章丘區(qū)期末）“平方差公式”和“完全平方公式”應(yīng)用非常廣泛，靈活利用公式往往能化繁為簡，巧妙解題．請閱讀并解決下列問題：問題一：（x+y﹣z）（x﹣y+z）＝（A+B）（A﹣B），（1）則A＝，B＝；（2）計算：（2a﹣b+3）（2a﹣3+b）；問題二：已知x2+y2＝（x+y）2﹣P＝（x﹣y）2+Q，（1）則P＝，Q＝；（2）已知長和寬分別為a，b的長方形，它的周長為14，面積為10，如圖所示，求a2+b2+ab的值．【解答】解：問題一：（1）因為（x+y﹣z）（x﹣y+z）＝[x+（y﹣z）][x﹣（y﹣z）]＝（A+B）（A﹣B），所以A＝x，B＝y(tǒng)﹣z，故答案為：x，y﹣z；（2）（2a﹣b+3）（2a﹣3+b）＝[2a﹣（b﹣3）][2a+（b﹣3）]＝4a2﹣（b﹣3）2＝4a2﹣b2+6b﹣9；問題二：（1）∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（x﹣y）2+2xy，∴P＝2xy，Q＝2xy，故答案為：2xy，2xy，（2）由題意得：a+b＝7，ab＝10，∴a2+b2+ab＝a2+b2+2ab﹣ab＝（a+b）2﹣ab＝49﹣10＝39．【能力提升】14．（2022?濰坊三模）如果一個正整數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱該正整數(shù)為“和諧數(shù)”．如8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均為“和諧數(shù)”．在不超過2022的正整數(shù)中，所有“和諧數(shù)”之和等于（）A．255054 B．255064 C．250554 D．255024【答案】D【解答】解：設(shè)相鄰的兩奇數(shù)分別為2n+1，2n﹣1（n≥1，且n為正整數(shù)），（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，根據(jù)題意得：8n≤2022，∴n≤252，∴n最大為252，此時2n+1＝505，2n﹣1＝503，∴32﹣12+52﹣32+...+5032﹣5012+5052﹣5032＝5052﹣12＝255024．故選：D．15．（2022秋?臥龍區(qū)期末）運用整式乘法公式計算：20202﹣2019×2021＝．【答案】1【解答】解：原式＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）＝20202﹣20202+1＝1．故答案為：1．16．（2021秋?科左中旗期末）探究下面的問題：（1）如圖甲，在邊長為a的正方形中去掉一個邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如圖乙的一個長方形，通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，這個等式是（用式子表示），即乘法公式中的公式．（2）運用你所得到的公式計算：①10.3×9.7；②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．【解答】解：（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故答案為（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，平方差．（2）①原式＝（10+0.3）（10﹣0.3）＝102﹣0.32＝100﹣0.09＝99.91；②原式＝（x﹣3z）2﹣（2y）2＝x2﹣6xz+9z2﹣4y2．17．（2021?蕪湖模擬）很多代數(shù)公式都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導(dǎo)和解釋．例如：平方差公式、完全平方公式等．【提出問題】如何用表示幾何圖形面積的方法計算：13+23+33+…+n3＝？【規(guī)律探究】觀察如圖表示幾何圖形面積的方法；【解決問題】請用圖中表示幾何圖形面積的方法寫出13+23+33+…+n3＝＝（用含n的代數(shù)式表示）；【拓展應(yīng)用】根據(jù)以上結(jié)論，計算：23+43+63+…+（2n）3的結(jié)果為．【解答】解：【規(guī)律探究】由題意可得13+23+33＝（1+2+3）2＝62；【解決問題】由13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…