蘇科版2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊2.17 正多邊形與圓（專項(xiàng)練習(xí)）（培優(yōu)練）（含答案）

專題2.17正多邊形與圓（專項(xiàng)練習(xí)）（培優(yōu)練）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（23-24九年級上·浙江溫州·期中）已知：圓內(nèi)接正六邊形的邊長為2，則圓心到內(nèi)接正六邊形各邊的距離為（

）A．2 B．1 C． D．2．（22-23九年級上·廣東湛江·期末）已知正六邊形的邊長為4，則這個(gè)正六邊形的半徑為（）A．1 B．2 C．4 D．3．（23-24九年級上·廣東湛江·期末）一個(gè)正方形的邊長為，則它的內(nèi)切圓的面積為（）A． B． C． D．4．（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）如圖，正五邊形內(nèi)接于，連接，，則（

）A． B． C． D．5．（23-24九年級上·河南鄭州·開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正六邊形的中心與原點(diǎn)O重合，軸，交y軸于點(diǎn)P．將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．6．（23-24九年級下·云南昆明·階段練習(xí)）如圖，正六邊形與正三角形共頂點(diǎn)，若三角形的邊長為，則這個(gè)六邊形的面積為（

）A． B． C． D．7．（2024·安徽合肥·二模）如圖，正五邊形的外接圓為，點(diǎn)是劣弧上一點(diǎn)，連接，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．8．（23-24九年級下·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，在邊長為4的正五邊形中，按以下步驟作圖：①連接；②以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，③分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)F；④作射線交線段于點(diǎn)G；⑤連接；則四邊形的周長為（

）A．12 B．16 C．18 D．209．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測）如圖，正方形與等邊內(nèi)接于，，則等于（）A． B． C． D．10．（2024·山東德州·二模）我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術(shù)”蘊(yùn)含了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率的近似值為3.1416．如圖，的半徑為1，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)的面積，可得的估計(jì)值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形的面積作近似估計(jì)，可得的估計(jì)值為（

）A． B．3 C． D．3.14二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2024·上海虹口·三模）設(shè)正多邊形的邊數(shù)為，中心角度數(shù)為，則關(guān)于的函數(shù)解析式及其定義域?yàn)?2．（23-24九年級上·山西大同·期末）如圖，在正六邊形中，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，邊落在x軸上.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

13．（23-24九年級下·陜西西安·期中）如圖，已知正六邊形，對角線，交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則的值為．14．（2024·江蘇南京·一模）如圖，是正八邊形的兩條對角線，則．15．（23-24九年級上·江蘇泰州·期末）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的內(nèi)接正邊形的一邊，是的內(nèi)接正邊形的一邊，，則．

16．（22-23九年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，的內(nèi)接正六邊形，點(diǎn)分別為，邊的中點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，若，則．17．（23-24九年級上·湖南湘西·期中）如圖1，圖2，圖3?，M、N分別是的內(nèi)接正三角形，正方形，正五邊形，…的邊上的點(diǎn)，且，連接，圖1中，圖2中，圖3中…，根據(jù)這樣的規(guī)律，圖n中的度數(shù)是．18．（22-23九年級上·浙江寧波·期末）劉徽是我國魏晉時(shí)期卓越的數(shù)學(xué)家，他首次提出“割圓術(shù)”，利用圓內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來近似計(jì)算圓周率，方法如圖：作正六邊形ABCDEF內(nèi)接于，取的中點(diǎn)G，與交于點(diǎn)H；連接、；依次對剩余五段弧取中點(diǎn)可得一個(gè)圓內(nèi)接正十二邊形，記正十二邊形的面積為，正六邊形的面積為，則．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，的半徑為，正六邊形內(nèi)接于．求：（1）圓心O到的距離；（2）正六邊形的面積．20．（8分）（2023·山西太原·二模）如圖，正方形內(nèi)接于，連接，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作的切線與的延長線相交于點(diǎn)G．（1）試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．（2）求的度數(shù)．21．（10分）（2020·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，正方形內(nèi)接于，E是的中點(diǎn)，連接．

（1）求證：；（2）若，求四邊形的面積．22．（10分）（23-24九年級上·河北邢臺·期中）如圖，正六邊形內(nèi)接于．

（1）若是上的動(dòng)點(diǎn)，連接，求的度數(shù)；（2）已知的面積為．求的度數(shù)；求的半徑．23．（10分）（22-23九年級上·湖北武漢·期中）如圖，正方形內(nèi)接于是的中點(diǎn)，連接.（1）求證：；（2）求證：；24．（12分）（23-24九年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，等腰內(nèi)接于，．（1）如圖1，若，連接并延長交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)H．①弧的度數(shù)為：______；與的數(shù)量關(guān)系是：______．②請你僅使用無刻度的直尺在圖1中作出一個(gè)正六邊形，保留作圖痕跡（作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果用實(shí)線表示）；（2）如圖2，若，E是的中點(diǎn)，請你僅使用無刻度的直尺在圖2中，作一個(gè)的內(nèi)接正五邊形（作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果用實(shí)線表示）．參考答案：1．C【分析】構(gòu)建直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系即可求出．此題主要考查了正多邊形和圓、利用勾股定理解三角形，正確掌握正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，，作，

∵圓內(nèi)接正六邊形邊長為2，∴，，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴在中，∴正六邊形的邊心距是．故選：C．2．C【分析】本題考查了正多邊形和圓，等邊三角形的判定和性質(zhì)；掌握正六邊形中心角的計(jì)算方法是解題關(guān)鍵．如圖，求出圓心角，得到為等邊三角形，即可解決問題．【詳解】解：如圖，為內(nèi)接正六邊形的一邊；則，，為等邊三角形，．故選：C．3．B【分析】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、正多邊形與圓等知識，正確地求出正方形的邊心距是解題的關(guān)鍵．先證明正方形的兩條對角線的交點(diǎn)為正方形的內(nèi)切圓的圓心，再從該圓心向正方形的一邊作垂線，得到該正方形的邊心距，求出它的長即得到該正方形的內(nèi)切圓的半徑，再求出該正方形的內(nèi)切圓的面積即可．【詳解】解：如圖，正方形的對角線、BD交于點(diǎn)O，，，，，點(diǎn)O是正方形的外心，也是它的內(nèi)心，作于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心，以為半徑作，則是正方形的內(nèi)切圓，，，，，，，該正方形內(nèi)切圓的面積為．故選：B．

4．D【分析】本題考查正多邊形內(nèi)角和公式、正多邊形的中心角，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和可以求得的度數(shù)，根據(jù)周角等于，可以求得的度數(shù)，然后即可計(jì)算出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵五邊形是正五邊形，，，，故選：D．5．A【分析】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握求正多邊形中心角的方法，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．連接，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)推出，進(jìn)而得出，，則，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，依次得出前幾次旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，總結(jié)出一般變化規(guī)律，即可解答．【詳解】解：如圖所示，連接，∵該六邊形為正六邊形，∴，，∵軸，正六邊形中心與原點(diǎn)O重合，∴，∴，，∴，∴，∴第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∵4次一個(gè)循環(huán)，∴第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．故選：A．6．C【分析】連接、，設(shè)交于點(diǎn)G，根據(jù)正六邊形性質(zhì)證明是等邊三角形，推出，，推出，得到,．【詳解】連接、，設(shè)交于點(diǎn)G，∵正六邊形中，，，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∵正三角形的邊長為，∴，∴，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形．熟練掌握正六邊形性質(zhì)，等邊三角形的判斷和性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，含的直角三角形性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．7．B【分析】本題考查了正五邊形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)求出，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解，掌握正五邊形和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵五邊形是正五邊形，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∴，∴，故選：．8．B【分析】先求解正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為108度，再求解，證明，可得，同理可得，從而可得答案．【詳解】解：∵邊長為4的正五邊形，∴，，∴，∴，由作圖可得：，∴，∴，∴，同理：，∴四邊形的周長為；故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是作角平分線，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正五邊形的性質(zhì)，掌握正多邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．9．D【分析】本題考查了正多邊形與圓，圓周角的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．由圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)證得，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求得，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)求得，即可求出．【詳解】解：連接，，，正方形與等邊內(nèi)接于，，，，，，，，，，，，故選：D10．B【分析】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，30度的作對的直角邊是斜邊的一半，三角形的面積公式，圓的面積公式等，正確求出正十二邊形的面積是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)30度的作對的直角邊是斜邊的一半可得，根據(jù)三角形的面積公式即可求得正十二邊形的面積，即可求解．【詳解】解：圓的內(nèi)接正十二邊形的面積可以看成12個(gè)全等的等腰三角形組成，故等腰三角形的頂角為，如圖為其中一個(gè)等腰三角形，過點(diǎn)作交于點(diǎn)于點(diǎn)，，的半徑為1，，，故圓內(nèi)接正十二邊形的面積為：，的面積為，，即的估計(jì)值為．故選：B．11．【分析】本題考查了正多邊形的計(jì)算，一個(gè)正多邊形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度數(shù)，就得到邊數(shù)．【詳解】解：由題意可得：邊數(shù)為，則．故答案為：．12．【分析】本題考查正多邊形，圖形和坐標(biāo)，勾股定理，先根據(jù)正六邊形得到，，然后再中利用勾勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵正六邊形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為∴，，∴，∴，∴，，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，故答案為：．

13．/【分析】連接，利用是含角的直角三角形，再利用是三角形的中位線求即可得出答案．【詳解】解：連接，如圖所示：∵在正六邊形中，，，∴，∴，∴為直角三角形，∵在正六邊形中，，，∴是等邊三角形，∴，∴，設(shè)正六邊形的邊長為，∴，根據(jù)勾股定理得：，∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的內(nèi)角和中心角，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°的直角三角形三邊關(guān)系，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．【分析】此題考查了正八邊形與圓，正多邊形的性質(zhì)應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．設(shè)正八邊形中心為點(diǎn)O，連接，求出中心角，設(shè)，得到，即可得到答案．【詳解】解：設(shè)正八邊形中心為點(diǎn)O，連接，如圖，∵多邊形為正八邊形，∴中心角，設(shè)，∴∴，故答案為：15．48或36【分析】本題考查了正多邊形與圓：把一個(gè)圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓；熟練掌握正多邊形的有關(guān)概念．連接，如圖，利用正多邊形與圓，分別計(jì)算的內(nèi)接正m邊形與內(nèi)接正n邊形的中心角得到，根據(jù)，得到m，n的值，然后代入計(jì)算即可．【詳解】解：連接，如圖，

，，，，，m，n的中有一個(gè)值必是3的倍數(shù)，且均為正整數(shù)，設(shè)（均為正整數(shù)），則，（n為正整數(shù)），當(dāng)時(shí)，（不符合題意）；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，（不符合題意）；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，（不符合題意）；當(dāng)時(shí)，，（不符合題意）；；當(dāng)時(shí)，n均不為正整數(shù)，（不符合題意）；綜上，的值為48或36．16．【分析】連接，，，，過點(diǎn)O作于點(diǎn)J，交于點(diǎn)K，可得是等邊三角形，求出，然后可得的長，利用勾股定理求出，再根據(jù)垂徑定理可得答案．【詳解】解：如圖，連接，，，，過點(diǎn)O作于點(diǎn)J，交于點(diǎn)K．∵六邊形是正六邊形，∴，，經(jīng)過圓心O，∴是等邊三角形，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，勾股定理，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，梯形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．17．【分析】作多邊形的半徑，根據(jù)多邊形的性質(zhì)可證，得，再根據(jù)“等邊對等角”得，于是可得，從而可證則，因此．本題考查了正多邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊對等角、正多邊形中心角等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵綜合運(yùn)用這些性質(zhì)解題．【詳解】不失一般性，設(shè)時(shí)的情形，可以推廣到一般情況．連接，如下圖由正多邊形的性質(zhì)知：∴∴由得：∴即：又∵∴∴∴即：∵∴故答案為：．18．【分析】求出正六邊形的，再乘以得，求出正十二邊形的，再乘以得．【詳解】解：設(shè)半徑為，由條件可得：為等邊三角形，且面積為正六邊形的，易求得：，．由條件可得：中為底，為高，且面積為正十二邊形的，，，，，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓的關(guān)系，相關(guān)知識點(diǎn)有：正多邊形的面積求法、正多邊形與圓中元素的對應(yīng)關(guān)系，正確找出元素對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．19．(1)(2)【分析】（1）過點(diǎn)O作于點(diǎn)H，連結(jié)、，則可得，，在根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求出的長；（2）由，，可得是等邊三角形，先求出的面積，即可得正六邊形的面積．本題考查的是正多邊形與圓、垂徑定理，掌握正六邊形的性質(zhì)、垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)H，連結(jié)、，則，，，在中，，，，故圓心O到的距離為．（2），，是等邊三角形，，，∴正六邊形的面積為．20．(1),理由見解析(2)【分析】（1）連接，可得，根據(jù)切線的定義可得，即可得出結(jié)論．（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，，則．根據(jù)點(diǎn)F是的中點(diǎn)，可得．最后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得．【詳解】（1）解：．理由：如圖，連接，∵正方形內(nèi)接于，∴．∵與相切于點(diǎn)D，∴，即．∴，∴．（2）解：∵四邊形是正方形，∴，，∴．∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的內(nèi)接正多邊形，平行線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接正多邊形的中心角，同弧所對的圓周角相等，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，以及平行線的判定和性質(zhì)．21．(1)見解析(2)【分析】（1）欲證明，只要證明即可．（2）連接，過點(diǎn)D作交的延長線于F．證明，推出，得到，推出，再利用等腰三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求出，即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，∴，∴．（2）解：連接，過點(diǎn)D作交的延長線于F．∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．22．(1)；(2)；