蘇科版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)2.4圓的對(duì)稱性(知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解)(學(xué)生版+解析)（含答案解析）

專題2.4圓的對(duì)稱性（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】圓的對(duì)稱性圓的旋轉(zhuǎn)不變性：一個(gè)圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后，都能與原來的圖形重合.圓的中心對(duì)稱性：圓是中心對(duì)稱圖形，圓心是它的對(duì)稱中心.圓的軸對(duì)稱性：圓是軸對(duì)稱圖形，過圓心的任意一條直線是它的對(duì)稱軸.【要點(diǎn)提示】（1）圓是平面內(nèi)嗾一具有旋轉(zhuǎn)不變性的圖形；（2）圓的對(duì)稱軸不能說是它的直徑，因?yàn)橹睆绞蔷€段，可以說成：直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸.【知識(shí)點(diǎn)二】圓心角、弧、弦之間的關(guān)系圓心角定義：如圖所示，∠AOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．

2.定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．

3.推論：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦也相等．

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧也相等．

【要點(diǎn)提示】(1)一個(gè)角要是圓心角，必須具備頂點(diǎn)在圓心這一特征；(2)注意定理中不能忽視“同圓或等圓”這一前提.【解題技巧點(diǎn)撥】在同圓或等圓中，要證明弧、弦、圓心角中一組量相等，通常將其轉(zhuǎn)化到證明另外兩組量中的任意一組量相等，一般方法有多種，而連接半徑或作垂直于弦的直徑構(gòu)造等弧、等弦、相等圓心角是常用來作輔助線的方法.

【知識(shí)點(diǎn)三】垂徑定理1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

2.推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

【要點(diǎn)提示】(1)垂徑定理是由兩個(gè)條件推出兩個(gè)結(jié)論；(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.3垂徑定理的拓展：根據(jù)圓的對(duì)稱性及垂徑定理還有如下結(jié)論：平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.【要點(diǎn)提示】在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、平分弦所對(duì)的劣弧，在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑）【解題技巧點(diǎn)撥】運(yùn)用垂徑定理解題或證明時(shí)，常?！斑B半徑，作垂線，構(gòu)造直角三角形”，通過勾股定理求值或證明.

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】利用弧、弦、圓心角關(guān)系求線段長(zhǎng)或角度大??；【例1】（22-23九年級(jí)上·江蘇無錫·期中）如圖，已知為的直徑，CD是的弦，、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且．（1）若，求的度數(shù)；（2）若的度數(shù)是的度數(shù)的m倍，則m＝．【變式1】（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)為上三點(diǎn)，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，于，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B．2 C． D．【變式2】（23-24九年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，已知是的兩條直徑，且，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則弧的度數(shù)為．

【題型2】利用弧、弦、圓心角關(guān)系證明；【例2】（2024·江蘇南京·二模）如圖，、是的兩條弦，與相交于點(diǎn)E，．（1）求證：；（2）連接作直線求證：．【變式1】（23-24九年級(jí)上·廣東陽江·期末）如圖，已知，，，是圓上的點(diǎn)，，，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24九年級(jí)上·遼寧大連·期中）如圖，是的直徑，，，則的度數(shù)是°．

【題型3】利用垂徑定理求半徑或弦心距；【例3】（23-24九年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，，若，求的半徑．

【變式1】（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)C在的弦AB上，，則的弦心距為（）A． B．3 C． D．2【變式2】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，弦，垂足為點(diǎn)E，連接．若，則的半徑長(zhǎng)為．

【題型4】利用垂徑定理求線段長(zhǎng)【例4】（2024九年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)A，B，過點(diǎn)O，A的與該直線相交于點(diǎn)C，連結(jié)，．（1）求點(diǎn)E到x軸的距離．（2）連結(jié)，求的長(zhǎng)．【變式1】（2024·江西九江·三模）如圖1，是的直徑，C是上的一點(diǎn)，連接，D是上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．設(shè)，，y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示，若P是圖象的最高點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（

）

A．10 B．6 C．5 D．【變式2】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在中，直徑于點(diǎn)E，，則弦的長(zhǎng)為．【題型5】利用垂徑定理求圓中平行弦問題（分類討論）【例5】（23-24九年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）如圖，的兩條弦（不是直徑），點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，．

（1）求證：直線；（2）求證：．【變式1】（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古通遼·期中）⊙O的半徑是10，弦，，則弦與的距離是（

）A．2 B．14 C．2或14 D．7或1【變式2】（2023九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）在半徑為10的中，弦，弦，且，則與之間的距離是．【題型6】利用垂徑定理求同心圓的問題【例6】（2023九年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．

（1）求證：；（2）若，，大圓的半徑，求小圓的半徑r的值．【變式1】將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B． C． D．【變式2】如圖，一人口的弧形臺(tái)階，從上往下看是一組同心圓被一條直線所截得的一組圓?。阎總€(gè)臺(tái)階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測(cè)得AB=200cm，AC=BD=40cm，則弧AB所在的圓的半徑為cm【題型7】利用垂徑定理的推論求值或證明【例7】（23-24九年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）操作題：如圖，是的外接圓，弦AD平分，P是上一點(diǎn)．（1）請(qǐng)你只用無刻度的直尺在圓上找一點(diǎn)P使；（2）在（1）的條件下，當(dāng)，圓的半徑為5的時(shí)候，求的面積．【變式1】（2024·上海長(zhǎng)寧·二模）如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D都在上，，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24九年級(jí)下·江西贛州·階段練習(xí)）如圖，是的弦，半徑經(jīng)過的中點(diǎn)．若，則的大小為．【題型8】利用垂徑定理及其推論求最值【例8】（23-24九年級(jí)上·江蘇常州·期中）如圖所示，是的直徑，，是的兩條弦，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，．（1）求的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)P為上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置，使得的值最小，并求出最小值【變式1】（23-24九年級(jí)下·安徽亳州·開學(xué)考試）如圖，在直角中，，D，E分別是，上的一點(diǎn)，且．若以為直徑的圓與斜邊相交于M，N，則的最大值為（

）

A． B． C．4 D．【變式2】（23-24九年級(jí)上·河南商丘·期末）如圖，點(diǎn)M坐標(biāo)為，點(diǎn)A坐標(biāo)為，以點(diǎn)M為圓心，為半徑作，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，點(diǎn)C是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接，則線段的最大值為．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·黑龍江綏化·中考真題）下列敘述正確的是（

）A．順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)一定能得到一個(gè)矩形B．平分弦的直徑垂直于弦C．物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影D．相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等【例2】（2024·江西·中考真題）如圖，是的直徑，，點(diǎn)C在線段上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)C的弦，將沿翻折交直線于點(diǎn)F，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為正整數(shù)時(shí)，線段的長(zhǎng)為．2、拓展延伸【例1】（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）如圖，以為直徑的圓O中，點(diǎn)O為圓心，C為弧的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作且．連接，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，與圓O交于點(diǎn)G，連接．（1）求證：；（2）連接，，求證：．【例2】（2024·浙江溫州·二模）圖1是圓形置物架，示意圖如圖2所示，已知置物板，且點(diǎn)E是的中點(diǎn)，測(cè)得，，，，則該圓形置物架的半徑為cm．專題2.4圓的對(duì)稱性（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】圓的對(duì)稱性圓的旋轉(zhuǎn)不變性：一個(gè)圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后，都能與原來的圖形重合.圓的中心對(duì)稱性：圓是中心對(duì)稱圖形，圓心是它的對(duì)稱中心.圓的軸對(duì)稱性：圓是軸對(duì)稱圖形，過圓心的任意一條直線是它的對(duì)稱軸.【要點(diǎn)提示】（1）圓是平面內(nèi)嗾一具有旋轉(zhuǎn)不變性的圖形；（2）圓的對(duì)稱軸不能說是它的直徑，因?yàn)橹睆绞蔷€段，可以說成：直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸.【知識(shí)點(diǎn)二】圓心角、弧、弦之間的關(guān)系圓心角定義：如圖所示，∠AOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．

2.定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．

3.推論：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦也相等．

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧也相等．

【要點(diǎn)提示】(1)一個(gè)角要是圓心角，必須具備頂點(diǎn)在圓心這一特征；(2)注意定理中不能忽視“同圓或等圓”這一前提.【解題技巧點(diǎn)撥】在同圓或等圓中，要證明弧、弦、圓心角中一組量相等，通常將其轉(zhuǎn)化到證明另外兩組量中的任意一組量相等，一般方法有多種，而連接半徑或作垂直于弦的直徑構(gòu)造等弧、等弦、相等圓心角是常用來作輔助線的方法.

【知識(shí)點(diǎn)三】垂徑定理1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

2.推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

【要點(diǎn)提示】(1)垂徑定理是由兩個(gè)條件推出兩個(gè)結(jié)論；(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.3垂徑定理的拓展：根據(jù)圓的對(duì)稱性及垂徑定理還有如下結(jié)論：平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.【要點(diǎn)提示】在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、平分弦所對(duì)的劣弧，在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑）【解題技巧點(diǎn)撥】運(yùn)用垂徑定理解題或證明時(shí)，常?！斑B半徑，作垂線，構(gòu)造直角三角形”，通過勾股定理求值或證明.

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】利用弧、弦、圓心角關(guān)系求線段長(zhǎng)或角度大??；【例1】（22-23九年級(jí)上·江蘇無錫·期中）如圖，已知為的直徑，CD是的弦，、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且．（1）若，求的度數(shù)；（2）若的度數(shù)是的度數(shù)的m倍，則m＝．【答案】(1)(2)3【分析】（1）根據(jù)得到，根據(jù)等腰三角形底角相等得，再根據(jù)三角形的外角定理得到，從而得到，再通過三角形外角定理即可得到的度數(shù)．（2）根據(jù)圓弧度數(shù)比等于對(duì)應(yīng)的圓心角之比即可得到答案．（1）解：如下圖所示，連接，由題意得，∵，∴，∴，∵，∴，∵,∴，∵,∴；（2）解：∵對(duì)應(yīng)的圓心角，對(duì)應(yīng)的圓心角，∴．【點(diǎn)撥】本題考查圓的性質(zhì)和三角形外角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)和三角形外角定理．【變式1】（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)為上三點(diǎn)，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，于，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了弧，弦，圓周角之間的關(guān)系，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，在上取一點(diǎn)F，使得，連接，由得到，進(jìn)而證明，得到，由三線合一定理得到，則．解：如圖所示，在上取一點(diǎn)F，使得，連接，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，故選：B．【變式2】（23-24九年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，已知是的兩條直徑，且，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則弧的度數(shù)為．

【答案】/80度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，連接，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，根據(jù)圓周角定理求出，再求出的度數(shù)，即可求出本題答案．解：連接，

∵，，∴，∵，∴∴，∴的度數(shù)是，∵是的兩條直徑，∴的度數(shù)是，∴的度數(shù)是，故答案為：．【題型2】利用弧、弦、圓心角關(guān)系證明；【例2】（2024·江蘇南京·二模）如圖，、是的兩條弦，與相交于點(diǎn)E，．（1）求證：；（2）連接作直線求證：．【分析】本題考查了垂直平分線的判定與性質(zhì)，利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)利用弧、弦、圓心角的關(guān)系得出，則；（2）因?yàn)樗?，即結(jié)合，得出E、O都在的垂直平分線上，即可作答．（1）證明：∵，∴∴，即．∴．（2）證明：連接

∵∴∴∴∵∴E、O都在的垂直平分線上．∴【變式1】（23-24九年級(jí)上·廣東陽江·期末）如圖，已知，，，是圓上的點(diǎn)，，，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系．連接，根據(jù)弧與弦的關(guān)系得出，進(jìn)而判斷即可．解：連接，∵，∴，∴，∴，故選：C．【變式2】（23-24九年級(jí)上·遼寧大連·期中）如圖，是的直徑，，，則的度數(shù)是°．

【答案】【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)；可求，從而可求，由等腰三角形的性質(zhì)可求；掌握“同弧所對(duì)的圓心角相等”是解題的關(guān)鍵．解：，，，，，，，；故答案：．【題型3】利用垂徑定理求半徑或弦心距；【例3】（23-24九年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，，若，求的半徑．

【答案】【分析】本題考查圓中求線段長(zhǎng)，涉及垂徑定理、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)于點(diǎn)，由矩形的判定及性質(zhì)得到，再根據(jù)垂徑定理，得為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，在中，利用勾股定理求解即可得到答案，熟練掌握垂徑定理及勾股定理求線段長(zhǎng)是解決問題的關(guān)鍵．解：過點(diǎn)分別作于點(diǎn)于點(diǎn)，連接，如圖所示：

由垂徑定理，得為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，，，，四邊形是矩形，，∴在中，由勾股定理可得．【變式1】（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)C在的弦AB上，，則的弦心距為（）A． B．3 C． D．2【答案】B【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是求出的長(zhǎng)．作于點(diǎn)D，則是的弦心距，根據(jù)垂徑定理可以得到的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理求解即可．解：作于點(diǎn)D，如圖所示，則是的弦心距，∴，由題意可知：，∴，∴，∴，在中，，故選：B．【變式2】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，弦，垂足為點(diǎn)E，連接．若，則的半徑長(zhǎng)為．

【答案】10【分析】此題考查垂徑定理及勾股定理，設(shè)的半徑是r，由垂徑定理得，根據(jù)勾股定理列得，即，求出r即可．解：設(shè)的半徑是r，∵弦，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴的半徑長(zhǎng)為10．故答案為：10．【題型4】利用垂徑定理求線段長(zhǎng)【例4】（2024九年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)A，B，過點(diǎn)O，A的與該直線相交于點(diǎn)C，連結(jié)，．（1）求點(diǎn)E到x軸的距離．（2）連結(jié)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱藞A周角定理、勾股定理和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．（1）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，先確定，再根據(jù)垂徑定理得到，然后利用勾股定理計(jì)算出即可；（2）連結(jié)，，如圖，先求出，則可判斷為等腰直角三角形，所以，再根據(jù)圓周角定理得到，所以為等腰直角三角形，于是根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出的長(zhǎng)．（1）解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖，當(dāng)時(shí)，，解得，，，，在中，，點(diǎn)到軸的距離為；（2）連結(jié)，，如圖，當(dāng)時(shí)，，，，為等腰直角三角形，，，為等腰直角三角形，．【變式1】（2024·江西九江·三模）如圖1，是的直徑，C是上的一點(diǎn)，連接，D是上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．設(shè)，，y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示，若P是圖象的最高點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（

）

A．10 B．6 C．5 D．【答案】C【分析】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問題和垂徑定理，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，由圖象可知此時(shí)，，設(shè)，則，在中，由勾股定理可列方程，求出，得，從而可求出解：如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，結(jié)合圖象知，，，設(shè)，則，在中，∴解得，∴∴故選：C【變式2】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在中，直徑于點(diǎn)E，，則弦的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理等知識(shí)，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．由垂徑定理得，設(shè)的半徑為，則，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解．解：∵，，設(shè)的半徑為，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，，在中，由勾股定理得：，故答案為：．【題型5】利用垂徑定理求圓中平行弦問題（分類討論）【例5】（23-24九年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）如圖，的兩條弦（不是直徑），點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，．

（1）求證：直線；（2）求證：．【分析】（1）依據(jù)垂徑定理的推論平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦可得結(jié)論；（2）證明，由垂徑定理可得結(jié)論．（1）證明：如圖，連接，

過點(diǎn)，為的中點(diǎn)，．（2）證明：延長(zhǎng)交于．

，，．過點(diǎn)，，垂直平分，．【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理，靈活利用垂徑定理及其推論是解題的關(guān)鍵．【變式1】（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古通遼·期中）⊙O的半徑是10，弦，，則弦與的距離是（

）A．2 B．14 C．2或14 D．7或1【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用．作于E，于F，由垂徑定理得，由于，易得E、O、F三點(diǎn)共線，在和中，利用勾股定理分別計(jì)算出與，然后討論：當(dāng)圓心O在弦與之間時(shí)，與的距離；當(dāng)圓心O在弦與的外部時(shí)，與的距離．解：如圖，作于E，于F，連，則，∵，∴E、O、F三點(diǎn)共線，在中，，在中，，當(dāng)圓心O在弦與之間時(shí)，與的距離；當(dāng)圓心O在弦與的外部時(shí)，與的距離．所以與的距離是14或2．故選：C．【變式2】（2023九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）在半徑為10的中，弦，弦，且，則與之間的距離是．【答案】2或14【分析】由于弦與的具體位置不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：①弦與在圓心同側(cè)；②弦與在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．解：①當(dāng)弦與在圓心同側(cè)時(shí)，如圖①，

過點(diǎn)O作，垂足為F，交于點(diǎn)E，連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴由勾股定理得：，，∴；②當(dāng)弦與在圓心異側(cè)時(shí)，如圖，

過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，反向延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，同理，，，所以與之間的距離是2或14．故答案為：2或14．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解．【題型6】利用垂徑定理求同心圓的問題【例6】（2023九年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．

（1）求證：；（2）若，，大圓的半徑，求小圓的半徑r的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查垂徑定理和勾股定理，利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形從而利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．（1）過O作于點(diǎn)E，由垂徑定理可得，，再用等式的性質(zhì)即可得證；（2）連接、，利用垂徑定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出．（1）證明：過O作于點(diǎn)E，如圖，由垂徑定理可得，，∴，∴；（2）解：連接、，如圖，

∵，，∴，∴，∴，∴在中，，∴在中，，∴，即小圓的半徑r為【變式1】將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B． C． D．【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圓于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO為半徑，則OA=OD=4；然后運(yùn)用勾股定理即可求得AC的長(zhǎng)，即可求得AB的長(zhǎng).解：作OD⊥AB于C，交小圓于D，則CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=，∴AB=2AC=.故答案為C.【點(diǎn)撥】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，作出輔助線、構(gòu)造出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.【變式2】如圖，一人口的弧形臺(tái)階，從上往下看是一組同心圓被一條直線所截得的一組圓弧．已知每個(gè)臺(tái)階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測(cè)得AB=200cm，AC=BD=40cm，則弧AB所在的圓的半徑為cm【答案】134【分析】由于所有的環(huán)形是同心圓，畫出同心圓圓心，設(shè)弧AB所在的圓的半徑為r，利用勾股定理列出方程即可解答．解：設(shè)弧AB所在的圓的半徑為r，如圖．作OE⊥AB于E，連接OA，OC，則OA=r，OC=r+32，∵OE⊥AB，∴AE=EB=100cm，在RT△OAE中，在RT△OCE中，，則解得：r=134．故答案為：134．【點(diǎn)撥】本題考查垂徑定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．【題型7】利用垂徑定理的推論求值或證明【例7】（23-24九年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）操作題：如圖，是的外接圓，弦AD平分，P是上一點(diǎn)．（1）請(qǐng)你只用無刻度的直尺在圓上找一點(diǎn)P使；（2）在（1）的條件下，當(dāng)，圓的半徑為5的時(shí)候，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了弧與弦，圓周角之間的關(guān)系，垂徑定理的推論，勾股定理等等：（1）如圖所示，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；（2）先由垂徑定理的推論得到，再利用勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，即可根據(jù)三角形面積公式求出答案．（1）解：如圖所示，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；由角平分線的定義得到，則，則，則；（2）解：設(shè)交于H，連接，角平分線的定義得到，則，∴，∴，∴，∴，∴．【變式1】（2024·上海長(zhǎng)寧·二模）如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D都在上，，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】考查了圓周角定理、垂徑定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系，解題關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．根據(jù)題意和垂徑定理，可以得到，，，然后即可判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．解：∵，∴，，故A正確；，∴，,∴，故B正確；,∴，故C錯(cuò)誤；∵，∴，故D正確；故選：C．【變式2】（23-24九年級(jí)下·江西贛州·階段練習(xí)）如圖，是的弦，半徑經(jīng)過的中點(diǎn)．若，則的大小為．【答案】/度【分析】本題考查了垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)垂徑定理的推理得，再利用三線合一及直角三角形的性質(zhì)解答即可．解：∵半徑經(jīng)過的中點(diǎn)．∴，∵，∴，∵，，∴，故答案為：．【題型8】利用垂徑定理及其推論求最值【例8】（23-24九年級(jí)上·江蘇常州·期中）如圖所示，是的直徑，，是的兩條弦，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，．（1）求的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)P為上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置，使得的值最小，并求出最小值【答案】(1)(2)點(diǎn)P位置建詳解；【分析】（1）連接，分別求出和的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求解；（2）連接交于點(diǎn)P，連接，作于點(diǎn)G，的長(zhǎng)即為的最小值．（1）連接，∵，，是的直徑，，∴，∵，∴，∴，∴．（2）連接交于點(diǎn)P，連接，作于點(diǎn)G，則四邊形是矩形，∴，∴．∵，是的直徑，∴，∴．∴，即的值最小值為．【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．【變式1】（23-24九年級(jí)下·安徽亳州·開學(xué)考試）如圖，在直角中，，D，E分別是，上的一點(diǎn)，且．若以為直徑的圓與斜邊相交于M，N，則的最大值為（

）

A． B． C．4 D．【答案】B【分析】作于F，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)經(jīng)過圓心O時(shí)，最小，根據(jù)垂徑定理，勾股定理計(jì)算即可．解：如圖，作于F，∵，∴，∴，

∵，∴，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)經(jīng)過圓心O時(shí)，最小，有最大值，∴，連接，∴，根據(jù)垂徑定理，得，故選B．【變式2】（23-24九年級(jí)上·河南商丘·期末）如圖，點(diǎn)M坐標(biāo)為，點(diǎn)A坐標(biāo)為，以點(diǎn)M為圓心，為半徑作，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，點(diǎn)C是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接，則線段的最大值為．【答案】【分析】本題考查了三角形中位線、勾股定理、垂直定理，根據(jù)垂徑定理及中點(diǎn)得是的中位線，，當(dāng)是的直徑時(shí)，線段取得最大值，在中，根據(jù)勾股定理得，進(jìn)而可得，進(jìn)而可求解，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，找準(zhǔn)線段的最大值的位置是解題的關(guān)鍵．解：，點(diǎn)坐標(biāo)為，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，是的中位線，，當(dāng)是的直徑時(shí)，線段取得最大值，如圖：、點(diǎn)M坐標(biāo)為，，在中，根據(jù)勾股定理得：，，，故答案為：．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·黑龍江綏化·中考真題）下列敘述正確的是（

）A．順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)一定能得到一個(gè)矩形B．平分弦的直徑垂直于弦C．物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影D．相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等【答案】C【分析】本題考查了矩形的判定，垂徑定理，中心投影，弧、弦與圓心角的關(guān)系，根據(jù)相關(guān)定理逐項(xiàng)分析判斷，即可求解．A.順次連接平行四邊形