蘇科版2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊2.5 圓的對稱性（專項練習(xí)）（基礎(chǔ)練）（含答案）

專題2.5圓的對稱性（專項練習(xí)）（基礎(chǔ)練）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（23-24九年級上·廣西南寧·期末）如圖，在中，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（23-24九年級下·四川達(dá)州·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，弦于點E，，，則（

）A．6 B． C．9 D．123．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在中，弦的長為8，圓心O到的距離，則的半徑長為（

）A．4 B． C．5 D．4．（23-24九年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在中，，以為直徑的交于點，交的延長線于點，若點在的垂直平分線上，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．5．（22-23九年級上·廣東東莞·期末）垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質(zhì)，是證明線段和角相等以及垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時也為圓的計算和作圖問題提供了方法和依據(jù)．下列可以運用垂徑定理解決問題的圖形是（

）A． B． C． D．6．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，弦交于點，，，，則的長為（

）

A．3 B． C． D．7．（2022·臺灣·模擬預(yù)測）如圖，點是⊙的弦上一點．若，，的弦心距為，則的長為（

）A．3 B．4 C． D．8．（2024·四川廣元·二模）如圖，某考古學(xué)家要修復(fù)一面殘破的銅鏡，欲找到其圓心并確定其半徑，按以下步驟操作：①作弦，分別以A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線；②作弦，分別以B，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P，Q，作直線．直線，的交點O即為圓心．連接，即為半徑．若直線交于點D，交于點E，且，則銅鏡的半徑長是（

）A．11 B．12 C．13 D．149．（22-23九年級上·北京海淀·期末）勒洛三角形是分別以等邊三角形的頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由三段圓弧組成的曲邊三角形．如圖，該勒洛三角形繞其中心旋轉(zhuǎn)一定角度后能與自身重合，則該角度可以為（

）

A． B． C． D．10．（2024·云南·模擬預(yù)測）已知的半徑為4，點、、分別為上的三個動點（三點均不重合），且線段長為3，則點到線段的最大值為（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（23-24九年級上·遼寧大連·期中）如圖，是的直徑，，，則的度數(shù)是°．

12．（23-24九年級上·山東聊城·期末）如圖，的直徑，C是圓O上一點，點D平分，，則弦13．（2024·湖南永州·二模）道縣西洲公園是由一座三孔石拱橋?qū)⑽髦夼c瀟水西岸連在一起的．圖為石拱橋的中孔側(cè)面圖，拱是圓弧形，橋的跨徑所在弦，拱高，則拱所在圓的半徑為m．14．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，的半徑是8，是的直徑，M為上一動點，，則的最小值為．15．（21-22九年級上·山西·期末）如圖，將半徑為的圓形紙片沿一條弦折疊，折疊后弧的中點與圓心重疊，則弦的長度為．16．（21-22九年級上·四川·期末）如圖，點O是半圓的圓心，D是以AB為直徑的半圓上的一點，以O(shè)D為對角線作正方形OCDE，經(jīng)過C，E的直線分別與半圓弧交于F，G．已知CE=6，則FG的長為．17．（20-21九年級·江蘇·自主招生）已知圓O，，求．18．（2023·浙江·一模）在中，交于點交于．若，則．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，D、E分別為半徑上的點，且．C為弧上一點，連接，且．求證：C為的中點．20．（8分）（22-23九年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）如圖，已知在半圓中，，，，求的長．21．（10分）（2024·江蘇南京·二模）如圖，、是的兩條弦，與相交于點E，．（1）求證：；（2）連接作直線求證：．22．（10分）（22-23九年級上·湖北·期中）如圖，為的直徑，為的弦，于點E，延長交于點F，，求證：．23．（10分）（23-24九年級上·廣東廣州·期中）如圖，以的邊上一點為圓心的圓，經(jīng)過、兩點，且與邊交于點，為的下半圓弧的中點，連接交于，若．（1）連接，求證：；（2）若，，求的半徑．24．（12分）（2023·貴州·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，弦與相交于點E，．（1）寫出圖中一對你認(rèn)為全等的三角形；（2）求證：；（3）若的半徑為4，，求的長．參考答案：1．D【分析】本題考查圓心角，弧，弦的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等，由此即可得到答案．【詳解】解：，，．故選：D．2．C【分析】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理．先根據(jù)垂徑定理得到，然后利用勾股定理可計算出的長．【詳解】解：，，在中，．故選：C．3．B【分析】本題考查垂徑定理、勾股定理，先根據(jù)垂徑定理得到，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵在中，弦的長為8，圓心O到的距離，∴，，在中，，故選：B．4．A【分析】本題考查了垂徑定理以及垂直平分線的性質(zhì)．過點作于點，由點在的垂直平分線上可知，直線必過圓心，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)；根據(jù)得出的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：過點作于點，連接，

點在的垂直平分線上，∴，直線必過圓心，，，，，，．故選：A．5．C【分析】過圓心作弦的垂線，則可運用垂徑定理解決問題，從而對各選項進(jìn)行判斷．【詳解】解：可以運用垂徑定理解決問題的圖形是．故選：C．【點睛】本題考查了垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟記垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．6．C【分析】本題考查垂徑定理和勾股定理．根據(jù)題意過點作于點，連接，從而得出是等腰直角三角形，結(jié)合圖形由線段之間的關(guān)系推出，從而利用勾股定理推出，再由垂徑定理得到，從而推出．【詳解】解：如圖，過點作于點，連接，

，，，，是等腰直角三角形，，在中，，，，．故選：C．7．D【分析】過點作于點，根據(jù)垂徑定理得出，繼而得出，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作于點，∵，，的弦心距為，∴,，，∴，在中，，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，垂徑定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】本題考查了垂直平分線的作圖原理以及圓的垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．利用題目條件得到，然后在中利用垂徑定理解答即可．【詳解】解：由題意知：垂直平分，，，E在圓上，，，在中，，解得，故選：C．9．C【分析】連接，可得，從而得到，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，

∵是等邊三角形，∴，即，∴．∴該角度可以為．故選：C【點睛】本題主要考查了弧，弦，圓心角的關(guān)系，圖形的旋轉(zhuǎn)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握弧，弦，圓心角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．D【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理，過點作垂線垂直于，交于點，則點到線段的值等于線段，易得當(dāng)經(jīng)過圓心時線段最長，熟練掌握垂徑定理以及勾股定理是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示，過點作垂線垂直于，交于點，則點到線段的值等于線段，當(dāng)經(jīng)過圓心時線段最長．則，連接，為直角三角形，故選D．11．【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)；可求，從而可求，由等腰三角形的性質(zhì)可求；掌握“同弧所對的圓心角相等”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，，，，；故答案：．12．【分析】本題主要考查了垂徑定理的推論，三角形中位線定理．由題意可知點D平分，為的中位線，根據(jù)直徑求出半徑，進(jìn)而求出的長度，再根據(jù)中位線原理即可解答．【詳解】解：∵點D平分，∴平分，∴為的中位線，∴，又∵的直徑，∴，∵，∴，∴弦，故答案為：．13．【分析】將拱形圖進(jìn)行補(bǔ)充，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理和垂徑定理解答．本題考查了垂徑定理和勾股定理；這兩大定理是在圓有關(guān)運算中經(jīng)常用到的．【詳解】解：依題意，拱橋的跨度，拱高，，利用勾股定理可得：，即解得．即圓弧半徑為．故答案為：14．16【分析】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，垂徑定理．作點關(guān)于的對稱點，連接與相交于點，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，點為的最小值時的位置，根據(jù)垂徑定理可得，然后求出為直徑，從而得解．【詳解】解：如圖，作點關(guān)于的對稱點，連接與相交于點，此時，點為的最小值時的位置，由垂徑定理，，∴，∵，為直徑，∴為直徑．則．故答案為：16．15．【分析】連接OC交AB于點D，再連接OA．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)確定，OD=CD；再根據(jù)垂徑定理確定AD=BD；再根據(jù)勾股定理求出AD的長度，進(jìn)而即可求出AB的長度．【詳解】解：如下圖所示，連接OC交AB于點D，再連接OA．∵折疊后弧的中點與圓心重疊，∴，OD=CD．∴AD=BD．∵圓形紙片的半徑為10cm，∴OA=OC=10cm．∴OD=5cm．∴cm．∴BD=cm．∴cm．故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，綜合應(yīng)用這些知識點是解題關(guān)鍵．16．【分析】如圖所示，連接OD交FG于H，連接OF，由正方形的性質(zhì)得到OD⊥CE，OD=CE=6，OD=2OH，由垂徑定理得到FG=2FH，再利用勾股定理求出FH的長即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接OD交FG于H，連接OF，∵四邊形OCDE是正方形，∴OD⊥CE，OD=CE=6，OD=2OH，∴FG=2FH，OH=3，OF=OD=6，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．17．6【分析】過E作EF⊥OC，交CO的延長線于F，利用勾股定理計算出OC和OA，再證明△AOC≌△EOF，得到EF=AC=4，最后利用三角形面積公式計算即可．【詳解】解：過E作EF⊥OC，交CO的延長線于F，∵AB=8，OD⊥AB，∴AC=BC=4，設(shè)OC=x，∵CD=2，∴AO=x+2，在△OAC中，，解得：x=3，即OC=3，∴OA=OE=5，∵∠ACO=∠F，∠AOC=∠EOF，AO=OE，∴△AOC≌△EOF（AAS），∴EF=AC=4，∴△OCE的面積為=6，故答案為：6．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用勾股定理列出方程，求出OC的值．18．【分析】設(shè)的半徑為x，則，，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)列方程求得，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得，根據(jù)垂徑定理即可求解．【詳解】解：設(shè)的半徑為x，則，，∵中，，，∴，即，解得，∴，設(shè)交于點F，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴．

．故答案為：．【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，垂徑定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．19．見解析【分析】本題考查的是圓心角，弧，弦的關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．由證明，得出對應(yīng)角相等，由圓心角，弧，弦的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，即C為的中點．20．【分析】連接交于，根據(jù)垂徑定理的推論得出，根據(jù)題意得出，繼而得出為等邊三角形，即可求解．【詳解】解：連接交于，如圖，∵，∴，∴，∴，∵，∴，而，∴為等邊三角形，∴．【點睛】本題考查了垂徑定理的推論，等邊三角形的性質(zhì)與判定，得出是解題的關(guān)鍵．21．(1)證明見解析；(2)證明見解析．【分析】本題考查了垂直平分線的判定與性質(zhì)，利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)利用弧、弦、圓心角的關(guān)系得出，則；（2）因為所以，即結(jié)合，得出E、O都在的垂直平分線上，即可作答．【詳解】（1）證明：∵，∴∴，即．∴．（2）證明：連接

∵∴∴∴∵∴E、O都在的垂直平分線上．∴22．證明見解析【分析】先根據(jù)垂徑定理可得，，再證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可得證．【詳解】證明：，為的直徑，，，∵延長交于點，，，，在和中，，，，．【點睛】本題考查了垂徑定理、三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．23．(1)見解析(2)【分析】本題考查了垂徑定理，圓的相關(guān)性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用