高中數(shù)學(xué)-正余弦定理的應(yīng)用舉例教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

高二數(shù)學(xué)學(xué)案

1.2正、余弦定理應(yīng)用舉例

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)

題.

2.通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探索，會(huì)利用數(shù)學(xué)建模思想把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，

增強(qiáng)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

1.重點(diǎn)是如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題，并利用解斜三角形的方法予以解決.

2.分析、探究并確定將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路是難點(diǎn)和關(guān)鍵.

情境引入：

碧波萬(wàn)頃的大海上，“藍(lán)天號(hào)”漁輪在4處進(jìn)行海上作業(yè)，“白云號(hào)”貨輪

在“藍(lán)天號(hào)”正南方向距“藍(lán)天號(hào)”20nmile的3處.現(xiàn)在“白云號(hào)”以10nmile/h

的速度向正北方向行駛，而“藍(lán)天號(hào)”同時(shí)以8nmile/h的速度由A處向南偏西

60°方向行駛，經(jīng)過(guò)多少小時(shí)后，“藍(lán)天號(hào)”和“白云號(hào)”兩船相距最近？本節(jié)

將用正、余弦定理解決此類問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)際問(wèn)題，引出問(wèn)題的同時(shí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣

基礎(chǔ)知識(shí)準(zhǔn)備：

1.測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題這實(shí)

際上是已知三角形兩個(gè)角和一條邊解三角形的問(wèn)題，用

可解決問(wèn)題.

2.測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題

首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)A、B之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用

求三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，然后把未知的BC和AC的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為測(cè)量可到

達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問(wèn)題.

D

3.測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問(wèn)題，由于底部不可到達(dá)，這類問(wèn)題不能

直接用解三角形的方法解決，但常用和，計(jì)算出建筑物頂

部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三

角形的問(wèn)題.

C

4.目標(biāo)方向線（視線）與水平線的夾角中，當(dāng)目標(biāo)（視線）在水

平線上方時(shí)，稱為，在水平線下方時(shí)，稱為，

如圖.

北

5.方位角

從指北方向時(shí)針轉(zhuǎn)到

目標(biāo)方向的水平角.如圖（1）所示.西

6.方向角

相對(duì)于某一正方向（東、西、南、

北）的水平角.

①北偏東,即由指北方向順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向，如圖（2）所示.

②北偏西,即是由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)?！愕竭_(dá)目標(biāo)方向.

其他方向角類似.

7.坡角與坡度：坡面與的夾角叫坡角，坡面的與

的比叫做坡度（或坡比）

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生回顧舊知，為新知的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備

課前自測(cè):

1.如圖所示，為了測(cè)量隧道口A3的長(zhǎng)度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測(cè)量時(shí)應(yīng)當(dāng)用

數(shù)據(jù)（）

A.a,a,b

a

C.a,b,Y

b

2.在相距2km的4、8兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C,若NCA5=75°,

ZCBA=60°,則A、。兩點(diǎn)之間的距離為km.

3.如圖，為了計(jì)算荷澤新區(qū)龍湖岸邊兩景點(diǎn)B與C的距離，

由于地形的限制，需要在岸上選取A和O兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)，測(cè)得

4OJ_CQ,AO=5km,AB=7km,/BQA=60°，/BCD=135：

求兩景點(diǎn)8與。的距離.（假設(shè)A、B、C、。在同一平面內(nèi)）

A

4.如圖，在平地上有一點(diǎn)A,測(cè)得一塔尖。的仰角為45°,向前行

進(jìn)。m到3處，又測(cè)得塔尖C的仰角為60?，則塔島是

m（）

A.-2~aB.-2-a

C.（3+的oD.（3+?。゛

5.河堤橫斷面如圖所示，堤高5c=5m,迎水坡的坡比是

小：3,則斜坡的坡角a等于,斜坡AB的長(zhǎng)度是

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)鞏固知識(shí)的同時(shí)，收集掌握學(xué)情，為新知識(shí)的順利學(xué)

習(xí)做鋪墊

典型例題:

解斜三角形的實(shí)際應(yīng)用題的典型問(wèn)題

⑴測(cè)量距離問(wèn)題

例、要測(cè)量河對(duì)岸兩地、之間的距離，在岸邊選

143AB

取相距10（八「m的C、D兩點(diǎn),并測(cè)得NACB=75。，Z

fiCD=45°,ZADC=30°fZADB=45°（A.B、C、O在

同一平面內(nèi)），求A、8兩地的距離.

設(shè)計(jì)意圖：共同分析,再由學(xué)生完成,投影答案，

規(guī)范解題步驟CD

類型歸納:

背景可測(cè)元素圖形目標(biāo)及解法

求A5AB=

兩點(diǎn)均可到達(dá)。、b、a、/B

求A3

(1)測(cè)量從a,B

只有一點(diǎn)可到達(dá)b、a、B

限

(2)43=______

AbC

背景可測(cè)元素圖形目標(biāo)及解法

求AB

(l)AACD中用

_________求4c

兩點(diǎn)都不可到

Q、￡、丫、8("△BCD中用

達(dá)

_________求BC

(3)AABC中用

_________求A3

設(shè)計(jì)意圖：梳理具體題型，便于下一步學(xué)生知識(shí)的應(yīng)用,利于學(xué)生形

成清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

⑵測(cè)量高度問(wèn)題

例2、如圖所示，地平面上有一旗桿OP,為了測(cè)得它的高

度兒在地平面上取一基線AB,AB=20m,在A處測(cè)得P

點(diǎn)的仰角NO4P=30°,在5處測(cè)得P點(diǎn)的仰角NOBP=

45°,又得NAOB=60°,求旗桿的高九

設(shè)計(jì)意圖：共同分析，再次由學(xué)生完成，投影答案，

4…??…/J。

規(guī)范解題步驟，加深印象

B

跟蹤訓(xùn)練：

D

（2015?湖北理，13）如圖，一輛汽車在一條水平的公路

上向正西行駛，到4處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂。在西

偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測(cè)得此

山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°,則此山的

高度CD=_______m.

設(shè)計(jì)意圖：

學(xué)生自己完成，展示解題思路，教師指導(dǎo)點(diǎn)撥，檢驗(yàn)學(xué)生知識(shí)掌握情

況

類型歸納:

背景可測(cè)元素圖形目標(biāo)及解法

求AB

底部可到達(dá)。、a

AB=_____

1r>

Ca

求AB

(1)在△ACO中用正弦:

A理求/W

底部不可到達(dá)a、a、B

(2)AB=

一〈8________

c30B

設(shè)計(jì)意圖：梳理具體題型，便于下一步學(xué)生知識(shí)的應(yīng)用，利于學(xué)生形

成清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

⑶測(cè)量角度問(wèn)題

在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45。方向，距A處(小一1)nmile

的8處有一艘走私船，在A處北偏西75。的方向，距離A處2

nmile的。處的緝私船奉命以l()^3nmile/h的速度追截走私

船.此時(shí)，走私船正以1()nmile/h的速度從B處向北偏東30°

方向逃竄，問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船？

設(shè)計(jì)意圖：

先由學(xué)生分析思路，教師收集學(xué)情，并進(jìn)行適當(dāng)提示和幫助，再由學(xué)

生完成

方法總結(jié)：

利用數(shù)學(xué)建模的思想結(jié)合三角形有關(guān)知識(shí)解應(yīng)用題的步驟：

設(shè)計(jì)意圖：

師生共同總結(jié)方法，形成結(jié)論，加深理解，便于學(xué)生知識(shí)的靈活運(yùn)用

回扣檢測(cè):

1.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時(shí),

測(cè)量公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂O在東南15°的方向上，行駛5km后到

達(dá)8處，測(cè)得此山頂在東偏南30°的方向上，仰角為15°,則此

山的局度CD等于km()

A.5(2—B.5(2+而

C.5(2^/2)D.5(2+啦)

2、如圖，為了測(cè)量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A、

B,望對(duì)岸的標(biāo)記物C,測(cè)得/C4B=45°,NCBA=

75°,AB=120m,求河的寬度.

3、已知A船在燈塔C北偏東80°處，距離燈塔C2km,

B船在燈塔。北偏西40°,4、B兩船的距離為3km,

求8到C的距離.

設(shè)計(jì)意圖：檢查學(xué)生本節(jié)課知識(shí)掌握情況，為下

一步的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備

課后作業(yè)：

作業(yè)1.某地電信局信號(hào)轉(zhuǎn)播塔建在一山坡上，如圖所示，施

工人員欲在山坡上A、8兩點(diǎn)處測(cè)量與地面垂直的塔CO的高,

由A、B兩地測(cè)得塔頂C的仰角分別為60°和45°,又知4B

的長(zhǎng)為40m,斜坡與水平面成30°角，則該轉(zhuǎn)播塔的高度是

________m.

作業(yè)2.某觀測(cè)站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出

發(fā)的一條公路，走向是南偏東40。，在C處測(cè)得公路上3處

有一人，距C為31km,正沿公路向A城走去，走了20km后

到達(dá)。處，此時(shí)CO間的距離為21km,問(wèn)：這人還要走多少

km才能到達(dá)A城？

設(shè)計(jì)意圖：查缺補(bǔ)漏，對(duì)所需知識(shí)再次練習(xí)鞏固，并進(jìn)一步收集學(xué)情

學(xué)情分析

知識(shí)方面：

本節(jié)課學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)完成了正弦定理和余弦定理學(xué)習(xí)，具備了一定解

三角形的知識(shí)，通過(guò)課前自測(cè)的檢查也確定了學(xué)生可以進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)的形狀

能力方面：

學(xué)生經(jīng)過(guò)高一一年的學(xué)習(xí)，已經(jīng)有了必要的數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備和一定的數(shù)學(xué)思維

能力，作為高二年級(jí)學(xué)生也具備一定的生活經(jīng)驗(yàn)

效果分析

成功之處：一是以學(xué)生為主體，教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)并幫助他們完成知識(shí)結(jié)構(gòu)

體系的建構(gòu)；二是多媒體課件的內(nèi)容豐富而又簡(jiǎn)潔，增加了課堂容量，保證了學(xué)

習(xí)任務(wù)的完成；三是教授過(guò)程符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，既有知識(shí)的學(xué)習(xí)又有題型方法

的總結(jié)，利于學(xué)生知識(shí)的掌握和應(yīng)用

不足之處：各題型題量較少，改用題組的形式，可加深學(xué)生印象，便于知識(shí)

的鞏固理解；給學(xué)生留下的思考時(shí)間不足，影響學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解吸收，課堂氣

氛不夠活躍，引錄課的原因?qū)W生有些緊張，對(duì)課堂效果有所影響

教材分析

本節(jié)課是人教B版必修5第一章解三角形中1.2的應(yīng)用舉例中的學(xué)習(xí)內(nèi)容,

在本節(jié)課前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理的公式和基本應(yīng)用。本節(jié)課的

設(shè)計(jì)，意在復(fù)習(xí)前面所學(xué)定理的同時(shí)，加深對(duì)其的了解，從而達(dá)到在實(shí)際問(wèn)題中

熟練應(yīng)用的效果。并使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

的興趣，培養(yǎng)學(xué)生有實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題并加以解決的能力。

評(píng)測(cè)練習(xí)

1.在高200米的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30、60*則塔高為（）

八竺￡米B.竺迪米C.史迪米D.理米

3333

2.某人向正東走x千米后，他向右轉(zhuǎn)150”,然后朝新方向走3千米。結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好G

千米，那么x的值為（）

A.&B.2后C.6或2道D.3

3.一樹(shù)干被臺(tái)風(fēng)吹斷，折斷部分與殘存樹(shù)干成30“角，樹(shù)干底部與樹(shù)尖著地處相距5米,

則樹(shù)干原來(lái)的高度為.

4.甲、乙兩樓相距60米，從乙樓底望甲樓頂仰角為45c.從甲樓頂望乙樓底成俯角30°.則甲、

乙兩樓的高度分別為.

5.海上有AB兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60,角的視角，從B島望C島

和A島成75c的視角，那么B島和c島間的