2023–2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊單元速記與巧練（人教版）第五章 相交線與平行線知識突破（解析版）

第五章相交線與平行線（知識歸納+題型突破）1.熟練掌握對頂角，鄰補(bǔ)角及垂線的概念及性質(zhì)，了解點到直線的距離與兩平行線間的距離的概念；2.區(qū)別平行線的判定與性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用；3.了解命題的概念及構(gòu)成，并能通過證明或舉反例判定命題的真假；4.了解平移的概念及性質(zhì).知識點一相交線1.對頂角、鄰補(bǔ)角兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關(guān)系，它們的概念及性質(zhì)如下表：圖形頂點邊的關(guān)系大小關(guān)系對頂角112∠1與∠2有公共頂點∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長線對頂角相等即∠1=∠2鄰補(bǔ)角有公共頂點∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長線.鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即∠3+∠4=180°特別說明：⑴對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個角.對頂角的特征:有公共頂點，角的兩邊互為反向延長線.⑵如果∠α與∠β是對頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對頂角.⑶如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角.鄰補(bǔ)角的特征:有公共頂點，有一條公共邊，另一邊互為反向延長線．⑶兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補(bǔ)角有兩個，而對頂角只有一個.2.垂線及性質(zhì)、點到直線的距離（1）垂線的定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.如圖1所示，符號語言記作：AB⊥CD，垂足為O.特別說明：要判斷兩條直線是否垂直，只需看它們相交所成的四個角中，是否有一個角是直角，兩條線段垂直，是指這兩條線段所在的直線垂直.（2）垂線的性質(zhì)：垂線性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直(與平行公理相比較記).垂線性質(zhì)2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.簡稱：垂線段最短.（3）點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，如圖2：PO⊥AB，點P到直線AB的距離是垂線段PO的長.特別說明：垂線段PO是點P到直線AB所有線段中最短的一條.知識點二平行線1．平行線的判定判定方法1：同位角相等，兩直線平行．判定方法2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．特別說明：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有：（1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線沒有交點（不相交），那么兩直線平行.（2）如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行（平行線的傳遞性）.（3）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行.（4）平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.2．平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).特別說明：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的性質(zhì)還有：（1）若兩條直線平行，則這兩條直線在同一平面內(nèi)，且沒有公共點．（2）如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么它必與另一條直線垂直．3．兩條平行線間的距離如圖3，直線AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，則稱線段EF的長度為兩平行線AB與CD間的距離.特別說明：（1）兩條平行線之間的距離處處相等.（2）初中階級學(xué)習(xí)了三種距離,分別是兩點間的距離、點到直線距離、平行線間的距離.這三種距離的共同點在于都是線段的長度,它們的區(qū)別是兩點間的距離是連接這兩點的線段的長度,點到直線距離是直線外一點引已知直線的垂線段的長度,平行線間的距離是一條直線上的一點到與之平行的另一直線的距離.（3）如何理解“垂線段”與“距離”的關(guān)系：垂線段是一個圖形，距離是線段的長度，是一個量，它們之間不能等同.知識點三命題及平移1.命題：判斷一件事情的語句，叫做命題．每個命題都由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成.題設(shè)是已知事項；結(jié)論是由已知事項推出的事項.2.平移：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移．特別說明：平移的性質(zhì)：（1）平移后，對應(yīng)線段平行（或共線）且相等；（2）平移后，對應(yīng)角相等；（3）平移后，對應(yīng)點所連線段平行（或共線）且相等；（4）平移后，新圖形與原圖形是一對全等圖形.【題型一對頂角、領(lǐng)補(bǔ)角的定義理解】例題1：（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級?？计谥校┫铝懈鲌D中，與是對頂角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了對頂角的定義，根據(jù)對頂角的定義判斷即可．有一個公共點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角互為對頂角．【詳解】解：A、的兩邊不是的兩邊的反向延長線，與不是對頂角，故該選項不合題意；B、的兩邊不是的兩邊的反向延長線，與不是對頂角，故該選項不符合題意；C、的兩邊分別是的兩邊的反向延長線，與是對頂角，故該選項符合題意；D、的兩邊不是的兩邊的反向延長線，與不是對頂角，故該選項不合題意．故選：C．例題2．（2023下·福建泉州·七年級校考期中）下列圖形中，與是鄰補(bǔ)角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】鄰補(bǔ)角是指兩個角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，叫做鄰補(bǔ)角，且兩個角的和為，由此即可求解．【詳解】解：、不是鄰補(bǔ)角，原選項不符合題意；、是對頂角，原選項不符合題意；、是鄰補(bǔ)角，原選項符合題意；、不是鄰補(bǔ)角，原選項不符合題意；故選：．【點睛】本題主要考查鄰補(bǔ)角的概念及識別，理解并掌握其概念，圖形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2022上·黑龍江哈爾濱·七年級?？计谥校┫铝袌D中，和是對頂角的有（

）個．

A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】根據(jù)對頂角的兩邊互為反向延長線對各圖形分析判斷后進(jìn)行解答．【詳解】根據(jù)對頂角的定義：中和不是對頂角；中和是對頂角；中和不是對頂角；中和不是對頂角；故選：．【點睛】此題考查了對頂角的定義，掌握對頂角的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·河北承德·七年級統(tǒng)考期末）下列四個選項中，與互為鄰補(bǔ)角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補(bǔ)角，由此即可判斷．【詳解】解：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補(bǔ)角，只有選項A中的與互為鄰補(bǔ)角．故選：A．【點睛】本題考查鄰補(bǔ)角，關(guān)鍵是掌握鄰補(bǔ)角的定義．【題型二對頂角、領(lǐng)補(bǔ)角性質(zhì)的應(yīng)用】例題：（2023上·山東濱州·七年級校考期中）如圖，直線相交于點O，平分．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了角的計算：1直角；1平角，角平分線的定義和對頂角的性質(zhì)．（1）根據(jù)角平分線定義和對頂角相等即可得到結(jié)論；（2）由題意得，根據(jù)，得到，然后與（1）的計算方法一樣．【詳解】（1）解：∵，平分，∴，∴；（2）解：∵，，∴．又∵平分，．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線相交于點O．

(1)寫出的鄰補(bǔ)角．(2)寫出的對頂角．(3)如果，求的度數(shù)．【答案】(1)的鄰補(bǔ)角是；的鄰補(bǔ)角是：(2)的對頂角是的對頂角是(3)132°【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)對頂角的定義進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，對頂角相等進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，的鄰補(bǔ)角是；的鄰補(bǔ)角是：；（2）解：由題意得，的對頂角是的對頂角是；（3）解：∵，∴．【點睛】本題主要考查了對頂角的定義和性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義和性質(zhì)，熟知對頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線和相交于點O，把分成兩部分，且，平分．(1)的對頂角為，的鄰補(bǔ)角為；(2)若，求度數(shù)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)對頂角的概念求解即可；（2）首先根據(jù)對頂角相等得到，然后由得到，利用鄰補(bǔ)角求出，最后利用角平分線的概念求解即可．【詳解】（1）的對頂角為，的鄰補(bǔ)角為，故答案為：，；（2）由對頂角相等，得∵，∴，∴，∵平分，∴．【點睛】此題考查了對頂角，幾何圖形中角度的計算，角平分線的計算，鄰補(bǔ)角等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．【題型三垂線的定義的理解與應(yīng)用】例題：如圖，，，垂足為，則下面的結(jié)論中，不正確的是（）A．點到的垂線段是線段B．與互相垂直C．與互相垂直D．線段的長度是點到的距離【答案】A【分析】根據(jù)點到直線距離的定義對各選項進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】解：A、∵，∴點C到的垂線段是線段的長度，原說法錯誤，故本選項符合題意；B、∵，∴，即與互相垂直，原說法正確，故本選項不符合題意；C、∵，垂足為E，∴與互相垂直，原說法正確，故本選項不符合題意；D、∵，∴，∴線段的長度是點D到的距離，原說法正確，故本選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查的是點到直線的距離，熟知直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．過點C向AB邊作垂線段，下列畫法中正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)垂線段的定義逐個判斷即可得出正確結(jié)論．【詳解】解：A．此選項是過點A作BC邊的垂線段，故錯誤；B．此選項是過點B作AB邊的垂線段，故錯誤；C．此選項是過點C作AB邊的垂線段，故此項正確；D．此選項是過點B作CA邊的垂線段，故錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了垂線段的定義及作法，是一道基礎(chǔ)題，解題時要善于觀察，準(zhǔn)確理解垂線段的定義是解題的關(guān)鍵．2．如圖所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)為（）①AB⊥AC；②AD與AC互相垂直；③點C到AB的垂線段是線段AB；④點A到BC的距離是線段AD；⑤線段AB的長度是點B到AC的距離；⑥∠BAD=∠C．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】本題要根據(jù)垂線定義、垂線段定義（定理）、點到直線的距離定義，逐一判斷．【詳解】解：∵∠BAC=90°，∴①AB⊥AC正確，符合題意；∵∠DAC≠90°，∴AD與AC不互相垂直，所以②錯誤，不符合題意；點C到AB的垂線段應(yīng)是線段AC，所以③錯誤，不符合題意；點A到BC的距離是線段AD的長度，所以④錯誤，不符合題意；線段AB的長度是點B到AC的距離，所以⑤正確，符合題意；同角的余角相等，則∠BAD=∠C，所以⑤正確，符合題意．綜上，正確的有①⑤⑤共3個，故選：B．【點睛】本題考查了點到直線的距離，對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達(dá)要注意理解它們所包含的意義，要善于區(qū)分不同概念之間的聯(lián)系和區(qū)別．【題型四利用垂線的定義求角的度數(shù)】例題：（2023上·河南商丘·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，直線、相交于點，射線在內(nèi)部，且．過點作．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，那么平分嗎？為什么？【答案】(1)的度數(shù)為(2)能，理由見解析【分析】本題主要考查了垂線，角平分線的有關(guān)計算，熟練掌握垂直的性質(zhì)，根據(jù)題意得到角與角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)直角的性質(zhì)，可得，根據(jù)補(bǔ)角的定義得，再由，即可求解；（2）根據(jù)，，可得，再由，可得，從而得到，，即可求解．【詳解】（1）解：（1），，，，，，的度數(shù)為；（2）證明：平分，理由如下：，，，，，，，，平分．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第四十七中學(xué)?？计谥校┮阎喝鐖D，直線與直線交點O，，平分．(1)如圖1，求證：平分；(2)如圖2，，在直線的下方，若平分，平分，，求的度數(shù)．【答案】(1)見詳解(2)【分析】該題主要考查了角的和差倍分運(yùn)算以及角平分線的定義、垂直定義、對頂角相等，解題的關(guān)鍵是找到圖中角度之間的關(guān)系，列出等式；（1）根據(jù)垂直的定義得出根據(jù)角平分線的定義得出等量代換即可證明；（2）根據(jù)角平分線的定義得出，再根據(jù)角的和差倍分計算即可得出，結(jié)合（1）即可求解；【詳解】（1），平分，，，，，平分．（2）平分，平分，，，，，，由（1）知，∴．2．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知：直線、相交于點．

(1)如圖1，，求的度數(shù)．(2)如圖2，射線、在直線的上方，且，作平分，求與的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)于，在下方作于，射線在的內(nèi)部，平分，若，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)已知條件和鄰補(bǔ)角的定義，得出，再利用對頂角相等，即可求出的度數(shù)；（2）根據(jù)角平分線的定義，得到，，再利用角度計算，即可得出與的數(shù)量關(guān)系；（3）根據(jù)垂直和角平分線的定義，得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)，求得，，然后利用垂直和角平分線的定義，得到，再結(jié)合，求得，即可求出的度數(shù)．【詳解】（1）解：，，，，；（2）解：，，平分，，，，，，即；（3）解：，，，，，，，，，，，，，，，，，平分，，，，，，．【點睛】本題考查了角度的計算，垂線的定義，角平分線的定義，補(bǔ)角和余角的性質(zhì)，根據(jù)題意正確找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．【題型五點到直線的距離與垂線段最短】例題：如圖，點，，是直線上的三點，點在直線外，，垂足為，，，，則點到直線的距離是______．【答案】【分析】根據(jù)“直線外一點到直線上各點的所有線中，垂線段最短”進(jìn)行解答．【詳解】解：∵直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，又∵，垂足為，，∴點到直線的距離是．故答案為：．【點睛】本題主要考查了垂線段最短的性質(zhì)．理解和掌握該性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·七年級課時練習(xí)）如圖，，垂足為D，，垂足為F，則點C到直線的距離是；點E到直線的距離是；點C到直線的距離是；點E到直線的距離是．【答案】線段的長線段的長線段的長線段的長【分析】點到直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離，據(jù)此回答即可．【詳解】解：∵，垂足為D，，垂足為F，∴點C到直線的距離是線段的長；點E到直線的距離是線段的長；點C到直線的距離是線段的長；點E到直線的距離是線段的長．故答案為：①線段的長；②線段的長；③線段的長；④線段的長【點睛】此題考查了點到直線的距離，熟練掌握點到直線的距離的定義是解題的關(guān)鍵．2．如圖，BC⊥AC，BC＝8cm，AC＝6cm，AB＝10cm．那么點B到AC的距離是_____，點A、B兩點的距離是_____，點C到AB的距離是_____．【答案】

8cm##8厘米

10cm##10厘米

4.8cm【分析】過點C作CD⊥AB于點D，則線段CD的長即為點C到AB的距離，再根據(jù)三角形的面積公式求出CD的長；再根據(jù)點到直線距離的定義即可得出結(jié)論．【詳解】解：過點C作CD⊥AB于點D，則線段CD的長即為點C到AB的距離，∵BC⊥AC，CB=8cm，AB=10cm，AC=6cm，∴BC?AC=AB?CD，∴CD=6×8÷10=4.8（cm），∴點B到AC的距離是BC的長8cm．點A、B兩點的距離是AB的長10cm，點C到AB的距離是CD的長4.8cm．故答案為：8cm，10cm，4.8cm．【點睛】本題考查了點到直線的距離，是基礎(chǔ)題，熟記點到直線的距離的定義是解題的關(guān)鍵．【題型六同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的辨別】例題：（2023下·黑龍江綏化·七年級?？计谥校┤鐖D，的同旁內(nèi)角是，的內(nèi)錯角是，的同位角是．

【答案】【分析】兩直線被第三條直線所截，同位角位于兩直線同側(cè)，第三條直線的同旁；內(nèi)錯角位于兩直線之間，第三條直線的兩側(cè)；同旁內(nèi)角位于兩直線之間，第三條直線的同側(cè)．【詳解】解：由圖可得：的同旁內(nèi)角是；的內(nèi)錯角是；的同位角是，故答案為：；；．【點睛】本題涉及到三線八角的知識，熟練掌握同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖所示，與是_________角，是直線________和直線________被直線_____所截而形成的，與是_____角，是直線________和直線___________被直線__________所截而形成的．【答案】

內(nèi)錯

AB

CB

AC

同旁內(nèi)

AC

BC

AB【分析】根據(jù)三線八角中的內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角定義即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，與是內(nèi)錯角，是直線AB和直線CB被直線AC所截而形成的，與是同旁內(nèi)角，是直線AC和直線BC被直線AB所截而形成的．故答案為內(nèi)錯；AB；CB；AC；同旁內(nèi)；AC；BC；AB．【點睛】本題考查三線八角中的內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角，掌握三線八角中的截線與被截直線，內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角．2．如圖，（1）∠1和∠ABC是直線AB、CE被直線________所截得的________角；（2）∠2和∠BAC是直線CE、AB被直線________所截得的________角；（3）∠3和∠ABC是直線________、________被直線________所截得的________角；（4）∠ABC和∠ACD是直線________、________被直線_________所截得的________角；（5）∠ABC和∠BCE是直線________、________被直線________所截得的________角．【答案】

BD（BC）

同位

AC

內(nèi)錯

AB

AC

BC

同旁內(nèi)

AB

AC

BC

同位

AB

CE

BC

同旁內(nèi)【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的性質(zhì)判斷即可；【詳解】（1）∠1和∠ABC是直線AB、CE被直線BD（BC）所截得的同位角；（2）∠2和∠BAC是直線CE、AB被直線AC所截得的內(nèi)錯角；（3）∠3和∠ABC是直線AB、AC被直線BC所截得的同旁內(nèi)角；（4）∠ABC和∠ACD是直線AB、AC被直線BC所截得的同位角；（5）∠ABC和∠BCE是直線AB、CE被直線BC所截得的同旁內(nèi)角．故答案是：BD（BC）；同位；AC；內(nèi)錯；AB；AC；BC；同旁內(nèi)；AB；AC；BC；同位；AB；CE；BC；同旁內(nèi)．【點睛】本題主要考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的判斷，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．【題型七平行線的判定】例題：（2022·山東泰安·七年級期末）如圖，，，．請說明線段BE與DF的位置關(guān)系？為什么？【答案】BEDF，見解析【分析】由已知推出∠3+∠4=90°，利用，，得到∠1=∠4，即可得到結(jié)論BEDF．【詳解】解：BEDF，∵，∴∠ABC=90°，∴∠3+∠4=90°，∵，，∴∠1=∠4，∴BEDF．【點睛】此題考查了平行線的判定定理，熟記平行線的判定定理并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．已知如圖所示，，點、、在同一條直線上，，且平分，試說明的理由．【答案】見解析【分析】根據(jù)角平分線定義求出∠1＝∠EAC，根據(jù)已知求出∠C＝∠EAC，推出∠C＝∠1，根據(jù)平行線的判定得出結(jié)論．【詳解】理由：∵AD平分∠EAC，∴∠1＝∠EAC，∵∠EAC＝∠B＋∠C，∠B＝∠C，∴∠C＝∠EAC，∴∠C＝∠1，∴ADBC．【點睛】本題考查了角平分線定義和平行線的判定，關(guān)鍵是根據(jù)定理和已知推出∠1＝∠C，題目比較典型，難度不大．2．如圖，射線BC平分∠ABD，且∠1=110°，∠2=70°．求證：AB∥CD．【答案】見解析【分析】先根據(jù)角平分線的定義和對頂角相等可得出∠ABC=∠2=70°，再由對頂角相等可得出∠1=∠BCE=110°，則∠ABC+∠BCE=180°，由此可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵射線BC平分∠ABD，∴∠ABC=∠2，∵∠1=110°，∠2=70°，∠1=∠BCE，∴∠ABC=70°，∠BCE=110°，∴∠ABC+∠BCE=180°，∴AB∥CD．【點睛】本題考查的是平行線的判定，用到的知識點為：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【題型八添加一條件使兩條直線平行】例題：如圖，點E在AC的延長線上，若要使，則需添加條件_______（寫出一種即可）【答案】∠1=∠2等（寫出一種即可）【分析】根據(jù)平行線的判定定理得出直接得出即可．【詳解】解：∵當(dāng)∠1=∠2時，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；∴若要使，則需添加條件∠1=∠2；故答案為：∠1=∠2．【點睛】本題主要考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，填寫一個能使ABCD的條件：_________．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)平行線的判定定理進(jìn)行解答即可．【詳解】解：填寫的條件為：，，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查的是平行線的判定，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．2．如圖，要使，需補(bǔ)充一個條件，你認(rèn)為這個條件應(yīng)該是______（填一個條件即可）．【答案】(答案不唯一）【分析】利用兩線平行的判定方法，找到一組同位角相等即可．【詳解】解：當(dāng)時：，故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查兩直線平行的判定方法．利用同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，任選其一解題即可．【題型九根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定求角度】例題：（2023下·浙江溫州·七年級?？计谀┤鐖D，已知，分別是射線，上的點．連接，平分，平分，．(1)試說明；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)的度數(shù)為【分析】（1）利用角平分線的定義可得，從而利用等量代換可得，然后利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得，即可解答；（2）根據(jù)已知可得，然后利用平行線的性質(zhì)可得，從而利用角平分線的定義可得，再利用平角定義可得，最后進(jìn)行計算可求出，從而求出的度數(shù)，即可解答．【詳解】（1）解：平分，，，，；（2），，，，平分，，，，，，，的度數(shù)為．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·河北邢臺·八年級校考階段練習(xí)）如圖，于點P．

(1)求證：；(2)若平分，交于點C，且，求的度數(shù)．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）利用已知可得，從而利用同角的余角相等可得，然后利用平行線的判定，即可解答：（2）利用（1）的結(jié)論可得，然后利用角平分線的定義可得，從而可得，進(jìn)行計算即可解答．【詳解】（1）證明：∵，（2）∵，平分【點睛】本題考查了垂線、平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·浙江金華·八年級校考開學(xué)考試）如圖，在三角形中，是上一點，，交于點，是上一點，．(1)與平行嗎？請說明理由；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)平行，見解析(2)度【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，等量代換得出，根據(jù)平行線的判定定理，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由（1）可得，進(jìn)而得出，即可求解．【詳解】（1）解：，理由如下；已知，兩直線平行，同位角相等，已知，等量代換，同位角相等，兩直線平行；（2）已知，，由（1）得，．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【題型十平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】例題：已知：某小區(qū)地下停車場的欄桿如圖所示，當(dāng)欄桿抬起到最大高度時∠ABC=150°，若此時CD平行地面AE，則_________度．【答案】120【分析】過點B作BF∥CD，因為AB⊥AE，可得∠ABF=90°，即可得出∠FBC的度數(shù)，再由BF∥CD，可得∠FBC+∠BCD=180°，代入計算即可得出答案．【詳解】解：過點B作BF∥CD，如圖，由題意可知，∠ABF=90°，∵∠ABC=150°，∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-90°=60°，∵BF∥CD，∴∠FBC+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°．故答案為：120．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練應(yīng)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．光線在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，因此當(dāng)光線從空氣射向水中時，會發(fā)生折射．如圖，在空氣中平行的兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝132°，則∠2＝______．【答案】48°##48度【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：如圖，∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3=180°，又∠1＝132°，∴∠3=180°-∠1=48°，∵水中的兩條折射光線是平行的，∴∠2=∠3=48°，故答案為：48°．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．2．如圖，汽車燈的剖面圖，從位于點的燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線，都是水平線，若，，則的度數(shù)為______．【答案】##60度【分析】如圖所示，過點O作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點O作，∵光線，都是水平線，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．【題型十一平行線的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用】例題：（2023下·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D1，中，的平分線交于O點，過O點作平行線交于D、E．(1)請寫出圖1中線段之間的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．(2)如圖2，若的平分線與的外角平分線交于O，過點O作平行線交于D，交于E．那么之間存在什么數(shù)量關(guān)系？并證明這種關(guān)系．【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析【分析】（1）和的平分線相交于點O，，所以，進(jìn)而，即可求解；（2）和的平分線相交于點O，所以，過O點作平行線交于D、E．得，進(jìn)而即可求解；【詳解】（1）解：，理由如下：∵和的平分線相交于點O，∴，，∵過O點作平行線交于D、E．∴，∴，∴，∴，∴，即；（2），理由如下：∵和的平分線相交于點O，∴，∵過O點作平行線交于D、E．∴，∴，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及證明，角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）已知，，直線交于點，交于點，點在線段上，過作射線、分別交直線、于點、．(1)如圖，當(dāng)時，求的度數(shù)；(2)如圖，若和的角平分線交于點，求和的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖，在（）的基礎(chǔ)上，當(dāng)，且，時，射線繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動時間為秒，當(dāng)射線與的一邊互相平行時，請直接寫出的值．【答案】(1)；(2)；(3)的值為，，，，，秒．【分析】（）過點作，利用平行線的性質(zhì)可得，，再利用垂直定義即可得解；（）過點作，過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及判定以及角平分線的定義即可得解；（）分種情況求解即可．【詳解】（1）解：如圖，過點作，

∴，∵∴，∴，∵，∴；（2）解：如圖過點作，過點作，

∵和的角平分線交于點，∴，，由（）得，∵，，∴，∵，設(shè)，則，∵，，∴，∴，，∵和的角平分線交于點，∴，，∴，∴；（3）解：∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到在射線上時，有，此時，，解得（秒）

當(dāng)旋轉(zhuǎn)到平行于射線時，有，則，∴此時，，解得（秒）；

當(dāng)旋轉(zhuǎn)到平行于射線時，有，則，∴，此時，，解得（秒）

當(dāng)旋轉(zhuǎn)到在射線上時，有，此時，，解得（秒）

當(dāng)旋轉(zhuǎn)到平行于射線時，有，此時，，解得（秒）

當(dāng)旋轉(zhuǎn)到平行于射線時，有，，此時，解得（秒）

綜上可知，的值為，，，，，秒．【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)及分類討論是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·吉林長春·九年級?？茧A段練習(xí)）如果兩個角的差等于，就稱這兩個角互為“兄弟角”．其中一個角叫做另一個角的“兄弟角”．例如，，，則a和β互為“兄弟角”，即a是β的“兄弟角”，β也是α的“兄弟角”．

(1)已知和互為“兄弟角”．，且和互補(bǔ)，求的度數(shù)．(2)在中，，是的角平分線，①如圖1，點P在射線上，平分，與射線交于點N，若與互為“兄弟角”，求的度數(shù)．②如圖2，若，射線平分且與射線交于點N，若與互為“兄弟角”，則的度數(shù)為．③如圖3，若于點P，、相交于點F，若與互為“兄弟角”，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)(2)①②或③10°【分析】（1）根據(jù)和互為“兄弟角”和和互補(bǔ)，，列出關(guān)于和的方程組，解方程組即可；（2）①先根據(jù)角平分線的定義求出，再根據(jù)，可得，然后根據(jù)互為“兄弟角”，得，即可得出答案；②根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得，，可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，然后結(jié)合，求出，最后根據(jù)互為“兄弟角”得出答案；③根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和角平分線的定義表示和，即可得出，再根據(jù)互為“兄弟角”得出答案．【詳解】（1）∵和互為“兄弟角”，，且和互補(bǔ)，∴，①+②得：，∴；（2）①∵，，∴．∵平分，∴．∵是的角平分線，∴．∵，∴，即，∴．∵與互為“兄弟角”，∴，代入②，得：，把代入②得：；②∵是的角平分線，∴．∵，∴．∵平分，∴，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴．∵與互為“兄弟角”，∴，或，∴或．故答案為：或；③∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴．∵，∴，∴，∴．∵與互為“兄弟角”，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義、直角三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)條件找出角與角之間的數(shù)量關(guān)系．【題型十二命題的判定與逆命題】例題：下列命題是真命題的是（

）A．同位角相等B．兩個銳角的和是銳角C．若兩個角的和為，則這兩個角互補(bǔ)D．相等的角是對頂角【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，補(bǔ)角的定義，銳角的定義，對頂角的定義逐項進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：、兩直線平行，同位角相等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；B、兩個銳角的和可能是銳角、鈍角，也可能是直角，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；C、若兩個角的和為，則這兩個角互補(bǔ)，正確，是真命題，符合題意；D、相等的角不一定是對頂角，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了命題真假的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，補(bǔ)角的定義，銳角的定義，對頂角的定義．【變式訓(xùn)練】1．下列命題中，其逆命題是假命題的是（

）A．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 B．若，則C．銳角與鈍角互為補(bǔ)角 D．相等的角是對頂角【答案】C【分析】先寫出各選項的逆命題，再逐個判斷即可．【詳解】解：A、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行的逆命題為兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，為真命題，選項不符合題意；B、若，則的逆命題為若，則，為真命題，選項不符合題意；C、銳角與鈍角互為補(bǔ)角的逆命題為若兩個角互補(bǔ)，則這兩個角分別為銳角、鈍角，為假命題，選項符合題意；D、相等的角是對頂角的逆命題為對頂角相等，為真命題，選項不符合題意；故選：C【點睛】此題考查了命題的逆命題以及真假命題，解題的關(guān)鍵是正確寫出命題的逆命題．2．下列命題的逆命題正確的是(

)A．對頂角相等 B．直角三角形兩銳角互余C．全等三角形的對應(yīng)角相等 D．全等三角形的面積相等【答案】B【分析】先分別寫出第個選項的逆命題，再判斷其是否正確．【詳解】解：A的逆命題是：相等的角是對頂角，假命題；B的逆命題是：兩銳角互余的三角形是直角三角形，真命題；C的逆命題是：對應(yīng)角相等的三角形是全等三角形，假命題；D的逆命題是：面積相等的三角形是全等三角形，假命題；故選：B．【點睛】本題主要考查了學(xué)生對逆命題以及真假命題的定義的理解，要求學(xué)生對常用的基礎(chǔ)知識牢固掌握，比較簡單．【題型十三生活中的平移現(xiàn)象】例題：（2023下·廣西南寧·七年級?？计谥校┫聢D是德勝中學(xué)的?；眨瑢⑺ㄟ^平移可得到的圖形是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)平移前后，圖形的形狀，大小，方向均不變，進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、?；兆笥医粨Q位置得到，故選項錯誤，不符合題意；B、向下旋轉(zhuǎn)得到，故選項錯誤，不符合題意；C、是通過平移得到，故選項正確，符合題意；D、順時針旋轉(zhuǎn)故選項錯誤，不符合題意．故選：C．【點睛】此題考查了圖形的平移，解題的關(guān)鍵是熟知圖形平移的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·黑龍江綏化·七年級校考期末）下列運(yùn)動屬于平移的是（

）A．蕩秋千 B．地球繞著太陽轉(zhuǎn)C．風(fēng)箏在空中隨風(fēng)飄動 D．急剎車時，汽車在地面上的滑動【答案】D【分析】此題考查的是平移的判斷，掌握平移的定義是解決此題的關(guān)鍵．根據(jù)平移的定義：在平面內(nèi)，將一個圖形上的所有點都按照某個方向作相同距離的移動，這樣的圖形運(yùn)動叫做圖形的平移運(yùn)動，簡稱平移，逐一判斷即可．【詳解】A．蕩秋千不屬于平移，故本選項不符合題意；

B．地球繞著太陽轉(zhuǎn)不屬于平移，故本選項不符合題意；C．風(fēng)箏在空中隨風(fēng)飄動不屬于平移，故本選項不符合題意；

D．急剎車時，汽車在地面上的滑動屬于平移，故本選項符合題意；故選D．2．（2023下·浙江溫州·七年級溫州市第十二中學(xué)校聯(lián)考期中）下列大學(xué)?；湛梢钥闯墒怯蓤D案自身的一部分經(jīng)平移后得到的為（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)平移不改變圖形的形狀和大小，結(jié)合圖案，對選項一一分析，排除錯誤答案．【詳解】解：A、是一個對稱圖形，不能由平移得到，故不符合題意；B、是一個對稱圖形，不能由平移得到，故不符合題意；C、圖案自身的一部分沿著直線運(yùn)動而得到，是平移，故符合題意；D、圖案自身的一部分經(jīng)軸對稱而得到，故不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了平移，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型十四圖形的平移】例題：（2023下·天津東麗·七年級統(tǒng)考期中）如圖，沿方向平移得到，已知，，則平移的距離．

【答案】3【分析】如圖，由與之間位置關(guān)系，可知的長度即平移的距離．【詳解】解：如圖，，即移動距離為3；故答案為：3．【點睛】本題考查圖形的平移，理解平移前后圖形間的對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·重慶·七年級統(tǒng)考期末）如圖，邊長為的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此時陰影部分的面積為．

【答案】【分析】由題意可知，陰影部分是正方形的面積減去矩形的面積，根據(jù)平移的距離分別求出矩形的長和寬．從而求出陰影部分的面積．【詳解】解：如圖所示，

∵將邊長為的正方形向上平移，∴，．∵將正方形再向右平移得，．．．即陰影部分的面積為．故答案為：．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，平移只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2023下·浙江溫州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，長方形中，，，現(xiàn)將該長方形沿方向平移，得到長方形，若重疊部分的面積為16，則長方形向右平移的距離為cm．【答案】6【分析】根據(jù)重疊部分的面積求出的長，然后根據(jù)平移的性質(zhì)可知，平移的距離為線段與線段的差，即可得到答案．【詳解】解：重疊部分為矩形，面積為，，，，．故答案為：6．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是確定平移的距離為線段與線段的差．【題型十五平移作圖】例題：（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，的頂點均在小正方形的頂點上．(1)把先向右移動5個單位長度，再向下移動3個單位長度得到，畫出（其中點A的對應(yīng)點為，點B的對應(yīng)點為，點C的對應(yīng)點為）；(2)連接，，判定與的位置關(guān)系，并寫出的面積．【答案】(1)見解析(2)，7【分析】本題考查作圖—平移變換、三角形的面積：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖即可．（2）根據(jù)平移的性質(zhì)可知；利用割補(bǔ)法求三角形的面積即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求．（2）解：由平移可知，．的面積為．【變式訓(xùn)練】1．（2022下·福建廈門·七年級?？计谥校?）把進(jìn)行平移，得到，使點A與對應(yīng)，請在網(wǎng)格中畫出；

（2）線段與線段的關(guān)系是：__________；（3）求出的面積．【答案】（1）答案見解析；（2）平行且相等；（3）3.