彈性力學(xué)數(shù)值方法：積分法：彈性力學(xué)數(shù)值模擬案例分析

彈性力學(xué)數(shù)值方法：積分法：彈性力學(xué)數(shù)值模擬案例分析1彈性力學(xué)基礎(chǔ)理論1.1彈性力學(xué)基本方程彈性力學(xué)研究物體在外力作用下的變形和應(yīng)力分布?；痉匠贪ㄆ胶夥匠?、幾何方程和物理方程，它們共同描述了彈性體的力學(xué)行為。1.1.1平衡方程平衡方程描述了物體內(nèi)部的力平衡條件，即在任意體積內(nèi)，作用力的矢量和為零。在直角坐標系中，平衡方程可以表示為：???其中，σx,σy,σz1.1.2幾何方程幾何方程描述了物體變形與位移之間的關(guān)系。在小變形情況下，幾何方程可以簡化為：???γγγ其中，?x,?y,?z1.1.3物理方程物理方程，也稱為本構(gòu)方程，描述了應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系。對于各向同性材料，物理方程可以表示為胡克定律：σσστττ其中，E是彈性模量，ν是泊松比，G是剪切模量。1.2應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是彈性力學(xué)中的核心概念，它描述了材料在受力時的變形特性。對于線彈性材料，應(yīng)力與應(yīng)變之間存在線性關(guān)系，這可以通過胡克定律來描述。胡克定律表明，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，比例系數(shù)為材料的彈性模量。1.2.1胡克定律示例假設(shè)我們有一個各向同性材料的立方體，其彈性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3。當(dāng)立方體受到x#定義材料參數(shù)

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

#定義應(yīng)力

sigma_x=100e6#單位：Pa

#計算應(yīng)變

epsilon_x=sigma_x/E

epsilon_y=epsilon_z=-nu*sigma_x/E

#輸出結(jié)果

print(f"線應(yīng)變εx={epsilon_x:.6f}")

print(f"線應(yīng)變εy={epsilon_y:.6f}")

print(f"線應(yīng)變εz={epsilon_z:.6f}")運行上述代碼，我們可以得到x方向的線應(yīng)變以及由于泊松效應(yīng)引起的y和z方向的線應(yīng)變。1.3邊界條件與載荷在彈性力學(xué)問題中，邊界條件和載荷是確定解的關(guān)鍵。邊界條件可以分為位移邊界條件和應(yīng)力邊界條件，而載荷則可以是體積力或表面力。1.3.1位移邊界條件位移邊界條件規(guī)定了物體在邊界上的位移。例如，如果一個物體的一端被固定，那么在該端的位移將為零。1.3.2應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件規(guī)定了物體在邊界上的應(yīng)力分布。例如，如果一個物體的一側(cè)受到均勻的壓力，那么在該側(cè)的正應(yīng)力將為一個常數(shù)。1.3.3載荷載荷可以是體積力或表面力。體積力是作用在整個物體體積上的力，如重力。表面力是作用在物體表面的力，如壓力。1.3.4示例：彈性梁的數(shù)值模擬假設(shè)我們有一個長度為L=1m，寬度為b=0.1m，高度為h=importnumpyasnp

fromfenicsimport*

#定義材料參數(shù)

E=200e9

nu=0.3

rho=7800#密度，單位：kg/m^3

g=9.81#重力加速度，單位：m/s^2

#定義幾何參數(shù)

L=1.0

b=0.1

h=0.05

#定義網(wǎng)格

mesh=RectangleMesh(Point(0,0),Point(L,b),10,1)

#定義位移邊界條件

defleft_boundary(x,on_boundary):

returnnear(x[0],0)

bc=DirichletBC(VectorFunctionSpace(mesh,'CG',1),Constant((0,0)),left_boundary)

#定義應(yīng)力邊界條件

defright_boundary(x,on_boundary):

returnnear(x[0],L)

F=Constant((0,-100))

bc_right=NeumannBC(VectorFunctionSpace(mesh,'CG',1),F,right_boundary)

#定義本構(gòu)方程

defconstitutive_equation(u):

returnE*(grad(u)+grad(u).T)-E*nu*tr(grad(u))*Identity(2)

#定義變分問題

V=VectorFunctionSpace(mesh,'CG',1)

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0,-rho*g))

a=inner(constitutive_equation(u),grad(v))*dx

L=inner(f,v)*dx

#求解變分問題

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#輸出結(jié)果

plot(u)

interactive()在這個例子中，我們使用了FEniCS庫來求解彈性梁的變形問題。我們定義了位移邊界條件和應(yīng)力邊界條件，并使用有限元方法求解了變分問題。最后，我們輸出了梁的變形結(jié)果。1.4總結(jié)在彈性力學(xué)中，基本方程、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和邊界條件與載荷是解決問題的關(guān)鍵。通過理解和應(yīng)用這些概念，我們可以使用數(shù)值方法來模擬和分析彈性體的力學(xué)行為。2彈性力學(xué)數(shù)值方法：積分法2.1數(shù)值積分方法2.1.1高斯積分原理高斯積分是一種高效的數(shù)值積分技術(shù)，尤其適用于求解多維積分問題。它基于選擇一組特定的積分點和權(quán)重，使得積分結(jié)果盡可能接近真實值。在彈性力學(xué)的數(shù)值模擬中，高斯積分常用于有限元分析中的積分計算，以提高計算效率和精度。2.1.1.1原理高斯積分公式可以表示為：?其中，fx是被積函數(shù)，xi是積分點，?2.1.1.2代碼示例下面是一個使用Python實現(xiàn)的1維高斯積分的示例：importnumpyasnp

defgaussian_quadrature(f,a,b,n):

"""

使用高斯積分計算f在[a,b]區(qū)間上的積分值。

參數(shù):

f:被積函數(shù)

a:積分區(qū)間的下限

b:積分區(qū)間的上限

n:積分點的數(shù)量

返回:

integral:積分值

"""

x,w=np.polynomial.legendre.leggauss(n)

x=(b-a)/2*x+(b+a)/2

w=(b-a)/2*w

integral=np.sum(w*f(x))

returnintegral

#定義被積函數(shù)

deff(x):

returnx**2

#計算積分

integral=gaussian_quadrature(f,0,1,3)

print("積分值:",integral)2.1.2數(shù)值積分在彈性力學(xué)中的應(yīng)用在彈性力學(xué)的有限元分析中，數(shù)值積分用于計算單元的剛度矩陣和應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。由于彈性力學(xué)方程通常涉及復(fù)雜的幾何和材料屬性，直接積分往往難以實現(xiàn)，因此高斯積分成為一種常用且有效的替代方法。2.1.2.1應(yīng)用示例考慮一個簡單的平面應(yīng)力問題，其中需要計算單元的剛度矩陣。剛度矩陣的計算涉及到對單元內(nèi)的應(yīng)變能密度進行積分，這通常通過高斯積分來實現(xiàn)。importnumpyasnp

defstrain_energy_density(E,nu,B,D):

"""

計算應(yīng)變能密度。

參數(shù):

E:楊氏模量

nu:泊松比

B:應(yīng)變矩陣

D:應(yīng)力矩陣

返回:

density:應(yīng)變能密度

"""

#計算彈性矩陣

C=np.array([[1-nu,nu,0],[nu,1-nu,0],[0,0,(1-2*nu)/2]])*E/(1-nu**2)

#應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

D=np.dot(C,B)

#應(yīng)變能密度

density=0.5*np.dot(B.T,D)

returndensity

defstiffness_matrix(E,nu,n,gauss_points):

"""

使用高斯積分計算單元的剛度矩陣。

參數(shù):

E:楊氏模量

nu:泊松比

n:單元節(jié)點數(shù)

gauss_points:高斯積分點和權(quán)重

返回:

K:剛度矩陣

"""

K=np.zeros((n,n))

forxi,weightingauss_points:

#計算形函數(shù)和其導(dǎo)數(shù)

N,dN=shape_functions(xi)

#計算雅可比矩陣和其逆

J,invJ=jacobian(N)

#計算應(yīng)變矩陣

B=strain_matrix(dN,invJ)

#計算應(yīng)變能密度

density=strain_energy_density(E,nu,B,D)

#更新剛度矩陣

K+=weight*np.dot(B.T,B)

returnK

#假設(shè)的形函數(shù)和導(dǎo)數(shù)計算函數(shù)

defshape_functions(xi):

N=np.array([1-xi,xi])

dN=np.array([-1,1])

returnN,dN

#假設(shè)的雅可比矩陣和其逆計算函數(shù)

defjacobian(N):

J=np.array([1,0])

invJ=np.array([1,0])

returnJ,invJ

#假設(shè)的應(yīng)變矩陣計算函數(shù)

defstrain_matrix(dN,invJ):

B=np.dot(dN,invJ)

returnB

#楊氏模量和泊松比

E=200e9#Pa

nu=0.3

#高斯積分點和權(quán)重

gauss_points=[(0,2),(-0.57735,1),(0.57735,1)]

#計算剛度矩陣

K=stiffness_matrix(E,nu,2,gauss_points)

print("剛度矩陣:\n",K)在上述代碼中，我們定義了計算應(yīng)變能密度、剛度矩陣的函數(shù)，并使用了高斯積分點和權(quán)重來近似積分。這只是一個簡化的示例，實際應(yīng)用中需要根據(jù)具體問題的幾何和材料屬性來調(diào)整形函數(shù)、雅可比矩陣等的計算。通過高斯積分，我們可以有效地處理彈性力學(xué)中的復(fù)雜積分，從而提高有限元分析的效率和準確性。在實際工程問題中，選擇合適的高斯積分點和權(quán)重是至關(guān)重要的，它直接影響到計算結(jié)果的精度。3有限元法在彈性力學(xué)中的應(yīng)用3.1有限元法概述有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一種廣泛應(yīng)用于工程分析和科學(xué)計算的數(shù)值方法，尤其在解決彈性力學(xué)問題中表現(xiàn)出色。它通過將連續(xù)的結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)離散成有限數(shù)量的單元，每個單元用一組節(jié)點來表示，從而將偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組，便于計算機求解。FEM的核心在于能夠處理復(fù)雜的幾何形狀和邊界條件，提供結(jié)構(gòu)在不同載荷下的應(yīng)力、應(yīng)變和位移的詳細分析。3.1.1基本步驟結(jié)構(gòu)離散化：將連續(xù)體劃分為有限個單元，每個單元用節(jié)點表示。選擇位移模式：在每個單元內(nèi)，位移用節(jié)點位移的函數(shù)表示。建立單元方程：利用變分原理或能量原理，建立每個單元的平衡方程。組裝整體方程：將所有單元方程組裝成整體結(jié)構(gòu)的方程組。施加邊界條件：考慮結(jié)構(gòu)的約束和載荷，修改整體方程。求解方程組：使用數(shù)值方法求解修改后的方程組，得到節(jié)點位移。后處理：從節(jié)點位移計算單元應(yīng)力和應(yīng)變，進行結(jié)果分析。3.2彈性問題的有限元離散化在彈性力學(xué)中，有限元法的離散化過程是將連續(xù)的彈性體分解為一系列的單元，每個單元內(nèi)部的物理量（如位移、應(yīng)力、應(yīng)變）可以通過節(jié)點上的物理量來近似表示。這一過程涉及到選擇適當(dāng)?shù)膯卧愋秃臀灰坪瘮?shù)，以及如何在單元之間傳遞信息。3.2.1單元類型線性單元：如線性桿單元、線性梁單元，適用于一維問題。二次單元：如二次桿單元、二次梁單元，提供更精確的位移近似。平面單元：如三角形單元、四邊形單元，用于二維問題。體單元：如四面體單元、六面體單元，用于三維問題。3.2.2位移函數(shù)位移函數(shù)用于描述單元內(nèi)部位移與節(jié)點位移之間的關(guān)系。對于線性單元，位移函數(shù)通常是一次多項式；對于二次單元，位移函數(shù)可以是二次多項式。例如，在一個二維四邊形單元中，位移函數(shù)可以表示為：u(x,y)=N1(x,y)u1+N2(x,y)u2+N3(x,y)u3+N4(x,y)u4

v(x,y)=N1(x,y)v1+N2(x,y)v2+N3(x,y)v3+N4(x,y)v4其中，u和v分別是x和y方向的位移，Ni是形狀函數(shù)，ui和3.2.3示例：二維平面應(yīng)力問題假設(shè)我們有一個簡單的二維平面應(yīng)力問題，需要分析一個矩形板在均勻拉伸載荷下的應(yīng)力分布。板的尺寸為1mx1m，厚度為0.01m，材料為鋼，彈性模量為200GPa，泊松比為0.3。載荷為100kN/m，作用在板的上邊界。3.2.3.1離散化將板離散為4個四邊形單元，每個單元有4個節(jié)點。節(jié)點編號如下：12

||

||

343.2.3.2建立單元方程對于每個單元，使用平面應(yīng)力條件下的彈性力學(xué)方程，建立單元的剛度矩陣和載荷向量。剛度矩陣K和載荷向量F可以通過以下公式計算：K=∫∫B^TDBdA

F=∫∫N^TtdA其中，B是應(yīng)變-位移矩陣，D是彈性矩陣，N是位移-節(jié)點位移矩陣，t是載荷強度。3.2.3.3組裝整體方程將所有單元的剛度矩陣和載荷向量組裝成整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和載荷向量。整體方程可以表示為：[K]{u}={F}其中，K是整體剛度矩陣，u是節(jié)點位移向量，F(xiàn)是整體載荷向量。3.2.3.4施加邊界條件在下邊界，假設(shè)板完全固定，即節(jié)點1和節(jié)點3的位移為零。在上邊界，施加均勻拉伸載荷。3.2.3.5求解方程組使用線性代數(shù)求解器求解整體方程，得到節(jié)點位移向量u。3.2.3.6后處理從節(jié)點位移向量計算單元應(yīng)力和應(yīng)變，進行結(jié)果分析。例如，可以計算每個單元的平均應(yīng)力和應(yīng)變，以及板的最大位移和最大應(yīng)力。3.2.4代碼示例以下是一個使用Python和NumPy庫進行二維平面應(yīng)力問題有限元分析的簡化示例：importnumpyasnp

#材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

t=0.01#板厚度，單位：m

#單元屬性

n_nodes=4#每個單元的節(jié)點數(shù)

n_elements=4#元素總數(shù)

n_dofs=2*n_nodes#自由度總數(shù)

#載荷

load=100e3#載荷強度，單位：N/m

#初始矩陣和向量

K_global=np.zeros((n_dofs,n_dofs))

F_global=np.zeros(n_dofs)

#循環(huán)每個單元，計算單元剛度矩陣和載荷向量

foriinrange(n_elements):

#單元節(jié)點坐標

nodes=np.array([[0,0],[1,0],[1,1],[0,1]])

#單元剛度矩陣和載荷向量的計算（此處省略具體計算步驟）

K_element=calculate_stiffness_matrix(nodes,E,nu,t)

F_element=calculate_load_vector(nodes,load)

#組裝到整體矩陣和向量

K_global+=assemble_stiffness_matrix(K_element,i)

F_global+=assemble_load_vector(F_element,i)

#施加邊界條件

#假設(shè)節(jié)點1和節(jié)點3的位移為零

K_global[[0,2],:]=0

K_global[:,[0,2]]=0

K_global[[0,2],[0,2]]=np.eye(2)

F_global[[0,2]]=0

#求解方程組

u=np.linalg.solve(K_global,F_global)

#后處理

#計算每個單元的應(yīng)力和應(yīng)變（此處省略具體計算步驟）3.2.5結(jié)論通過有限元法，我們可以精確地分析彈性結(jié)構(gòu)在各種載荷條件下的行為，為工程設(shè)計和優(yōu)化提供有力的工具。在實際應(yīng)用中，有限元分析通常需要專業(yè)的軟件，如ANSYS、ABAQUS等，但理解其基本原理對于正確使用這些軟件至關(guān)重要。4彈性力學(xué)數(shù)值模擬案例4.1平面應(yīng)力問題分析4.1.1原理平面應(yīng)力問題通常出現(xiàn)在薄板結(jié)構(gòu)中，其中厚度方向的應(yīng)力可以忽略不計。這類問題的分析基于彈性力學(xué)的基本方程，包括平衡方程、本構(gòu)方程和幾何方程。在數(shù)值模擬中，我們使用有限元方法(FEM)來求解這些方程，將連續(xù)的結(jié)構(gòu)離散成有限數(shù)量的單元，每個單元的應(yīng)力和應(yīng)變通過節(jié)點位移來計算。4.1.2內(nèi)容4.1.2.1問題定義假設(shè)我們有一塊矩形薄板，尺寸為L×W，厚度為t，受到均勻分布的面力p作用。薄板的材料屬性為彈性模量E和泊松比4.1.2.2數(shù)學(xué)模型平衡方程：在平面應(yīng)力問題中，平衡方程簡化為兩個方向的力平衡，即x和y方向。本構(gòu)方程：對于線性彈性材料，應(yīng)力σ和應(yīng)變?的關(guān)系由胡克定律給出，即σ=幾何方程：應(yīng)變?與位移u和v的關(guān)系，即?x=?u?4.1.2.3數(shù)值模擬使用Python和FEniCS庫進行平面應(yīng)力問題的數(shù)值模擬。fromfenicsimport*

#定義材料屬性

E=1e3

nu=0.3

rho=1.0

t=0.1

#定義幾何參數(shù)

L=1.0

W=1.0

#創(chuàng)建網(wǎng)格和定義函數(shù)空間

mesh=RectangleMesh(Point(0,0),Point(L,W),10,10)

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',degree=1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定義變量

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

#定義應(yīng)變和應(yīng)力

defepsilon(u):

returnsym(nabla_grad(u))

defsigma(u):

returnlambda_*tr(epsilon(u))*Identity(2)+2*mu*epsilon(u)

#定義材料參數(shù)

mu=E/(2*(1+nu))

lambda_=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

#定義外力

f=Constant((0,-rho*t))

#定義變分形式

a=inner(sigma(u),epsilon(v))*dx

L=dot(f,v)*dx

#求解

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#可視化結(jié)果

plot(u)

interactive()4.1.2.4結(jié)果分析通過上述代碼，我們得到薄板在面力作用下的位移分布。進一步分析應(yīng)力和應(yīng)變，可以評估結(jié)構(gòu)的強度和穩(wěn)定性。4.2維彈性問題模擬4.2.1原理三維彈性問題涉及所有三個方向的應(yīng)力和應(yīng)變，需要解決六個獨立的應(yīng)力分量和六個應(yīng)變分量。在數(shù)值模擬中，我們同樣使用有限元方法，但需要更復(fù)雜的單元和更多的自由度來準確描述三維結(jié)構(gòu)。4.2.2內(nèi)容4.2.2.1問題定義考慮一個立方體結(jié)構(gòu)，尺寸為L×L×L，受到均勻分布的體力f作用。材料屬性包括彈性模量4.2.2.2數(shù)學(xué)模型平衡方程：在三維問題中，平衡方程包括三個方向的力平衡。本構(gòu)方程：應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系由三維胡克定律給出。幾何方程：應(yīng)變與位移的關(guān)系在三維中更為復(fù)雜，包括三個線應(yīng)變和三個剪應(yīng)變。4.2.2.3數(shù)值模擬使用Python和FEniCS庫進行三維彈性問題的數(shù)值模擬。fromfenicsimport*

#定義材料屬性

E=1e3

nu=0.3

rho=1.0

#定義幾何參數(shù)

L=1.0

#創(chuàng)建網(wǎng)格和定義函數(shù)空間

mesh=BoxMesh(Point(0,0,0),Point(L,L,L),10,10,10)

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',degree=1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),boundary)

#定義變量

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

#定義應(yīng)變和應(yīng)力

defepsilon(u):

returnsym(nabla_grad(u))

defsigma(u):

returnlambda_*tr(epsilon(u))*Identity(3)+2*mu*epsilon(u)

#定義材料參數(shù)

mu=E/(2*(1+nu))

lambda_=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

#定義外力

f=Constant((0,0,-rho))

#定義變分形式

a=inner(sigma(u),epsilon(v))*dx

L=dot(f,v)*dx

#求解

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#可視化結(jié)果

plot(u)

interactive()4.2.2.4結(jié)果分析三維模擬的結(jié)果提供了結(jié)構(gòu)在所有三個方向上的位移、應(yīng)力和應(yīng)變信息，這對于評估復(fù)雜結(jié)構(gòu)的性能至關(guān)重要。通過分析這些結(jié)果，可以確定結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力集中區(qū)域，優(yōu)化設(shè)計，確保結(jié)構(gòu)的安全性和效率。以上兩個案例展示了如何使用有限元方法進行平面應(yīng)力和三維彈性問題的數(shù)值模擬，通過FEniCS庫在Python中實現(xiàn)。這些模擬不僅提供了理論上的解決方案，也能夠幫助工程師和研究人員在實際設(shè)計中做出更明智的決策。5模擬結(jié)果的后處理與分析5.1應(yīng)力應(yīng)變場可視化在彈性力學(xué)數(shù)值模擬中，應(yīng)力應(yīng)變場的可視化是理解結(jié)構(gòu)內(nèi)部力學(xué)行為的關(guān)鍵步驟。通過將計算結(jié)果轉(zhuǎn)化為圖像，可以直觀地觀察到應(yīng)力和應(yīng)變的分布情況，幫助分析人員識別潛在的應(yīng)力集中區(qū)域或應(yīng)變異常點，從而優(yōu)化設(shè)計或調(diào)整材料參數(shù)。5.1.1代碼示例：使用Python和matplotlib進行應(yīng)力應(yīng)變場可視化假設(shè)我們有一個二維彈性力學(xué)模擬結(jié)果，包含節(jié)點坐標、應(yīng)力和應(yīng)變數(shù)據(jù)。下面的代碼示例如何使用Python的matplotlib庫來可視化這些數(shù)據(jù)。importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#示例數(shù)據(jù)：節(jié)點坐標

x=np.linspace(0,10,100)

y=np.linspace(0,10,100)

X,Y=np.meshgrid(x,y)

#示例數(shù)據(jù)：應(yīng)力和應(yīng)變場

stress=np.random.rand(100,100)

strain=np.random.rand(100,100)

#創(chuàng)建應(yīng)力場的等值線圖

plt.figure(figsize=(10,5))

plt.subplot(1,2,1)

plt.contourf(X,Y,stress,20,cmap='viridis')

plt.colorbar()

plt.title('應(yīng)力場')

plt.xlabel('X坐標')

plt.ylabel('Y坐標')

#創(chuàng)建應(yīng)變場的等值線圖

plt.subplot(1,2,2)

plt.contourf(X,Y,strain,20,cmap='viridis')

plt.colorbar()

plt.title('應(yīng)變場')

plt.xlabel('X坐標')

plt.ylabel('Y坐標')

plt.tight_layout()

plt.show()5.1.2解釋數(shù)據(jù)準備：首先，我們創(chuàng)建了一個網(wǎng)格，代表模擬區(qū)域的節(jié)點坐標。然后，生成了隨機的應(yīng)力和應(yīng)變數(shù)據(jù)，用于演示?？梢暬菏褂胢atplotlib.pyplot.contourf函數(shù)來創(chuàng)建等值線圖，這可以顯示應(yīng)力和應(yīng)變的連續(xù)變化。cmap='viridis'指定了顏色映射，plt.colorbar()添加了顏色條，以表示數(shù)值范圍。布局與展示：通過plt.subplot創(chuàng)建了兩個子圖，分別用于顯示應(yīng)力和應(yīng)變場。plt.tight_layout()確保了兩個子圖之間的布局緊湊，plt.show()則顯示了最終的圖像。5.2模擬結(jié)果的誤差分析誤差分析是評估數(shù)值模擬準確性的關(guān)鍵步驟。它通常涉及將模擬結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)或理論解進行比較，以確定模擬的精度。誤差分析可以幫助識別模型中的不足，如網(wǎng)格質(zhì)量、邊界條件或材料屬性的設(shè)定，從而指導(dǎo)模型的改進。5.2.1代碼示例：使用Python進行誤差分析假設(shè)我們有一組模擬得到的位移數(shù)據(jù)和一組實驗測量的位移數(shù)據(jù)，下面的代碼示例展示了如何計算這些數(shù)據(jù)之間的誤差，并進行可視化。importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#示例數(shù)據(jù)：模擬位移和實驗位移

sim_displacement=np.array([0.1,0.2,0.3,0.4,0.5])

exp_displacement=np.array([0.12,0.21,0.31,0.42,0.51])

#計算誤差

error=np.abs(sim_displacement-exp_displacement)

#可視化誤差

plt.figure(figsize=(8,4))

plt.plot(range(1,6),error,marker='o',linestyle='-',color='r')

plt.title('位移誤差分析')

plt.xlabel('節(jié)點編號')

plt.ylabel('誤差')

plt.grid(True)

plt.show()5.2.2解釋數(shù)據(jù)準備：我們定義了兩組位移數(shù)據(jù)，一組是模擬得到的，另一組是實驗測量的。誤差計算：使用numpy的abs函數(shù)來計算兩組數(shù)據(jù)之間的絕對誤差?？梢暬和ㄟ^matplotlib.pyplot.plot函數(shù)繪制了誤差圖，marker='o'添加了數(shù)據(jù)點的標記，linestyle='-'指定了線條樣式，color='r'設(shè)定了線條顏色。plt.grid(True)添加了網(wǎng)格線，以幫助讀取數(shù)據(jù)。通過上述步驟，我們可以有效地進行彈性力學(xué)數(shù)值模擬結(jié)果的后處理與分析，包括應(yīng)力應(yīng)變場的可視化和誤差分析，從而提高模擬的準確性和可靠性。6彈性力學(xué)數(shù)值方法：積分法：非線性彈性問題的數(shù)值模擬6.1非線性彈性問題概述非線性彈性問題涉及材料在大變形或高應(yīng)力狀態(tài)下的行為，其中材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系不再是線性的。這類問題在工程實踐中常見于橡膠、生物組織、復(fù)合材料等的分析中。非線性彈性問題的數(shù)值模擬通常采用有限元方法，結(jié)合非線性求解算法，如Newton-Raphson迭代法。6.1.1應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系在非線性彈性問題中，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系由非線性本構(gòu)模型描述，例如Mooney-Rivlin模型、Neo-Hookean模型或更復(fù)雜的多參數(shù)模型。這些模型能夠捕捉材料在不同變形狀態(tài)下的非線性響應(yīng)。6.1.2數(shù)值模擬流程幾何建模：使用CAD軟件創(chuàng)建模型。網(wǎng)格劃分：將模型離散化為有限元網(wǎng)格。材料屬性定義：輸入非線性彈性材料的參數(shù)。邊界條件與載荷：定義問題的邊界條件和外加載荷。求解：采用非線性求解器進行迭代求解。后處理：分析和可視化結(jié)果。6.2示例：使用Python和FEniCS求解非線性彈性問題6.2.1代碼示例fromfenicsimport*

importnumpyasnp

#創(chuàng)建Mesh和FunctionSpace

mesh=UnitCubeMesh(10,10,10)

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),boundary)

#定義非線性本構(gòu)模型：Neo-Hookean模型

defstrain_energy_density_functional(F):

mu=Constant(1.0)#剪切模量

lmbda=Constant(1.0)#Lame參數(shù)

I=Identity(F.shape[0])#單位張量

C=F.T*F#右Cauchy-Green張量

Ic=tr(C)

J=det(F)

psi=(mu/2)*(Ic-3)-mu*ln(J)+(lmbda/2)*(ln(J))**2

returnpsi

#定義外力

f=Constant((0,0,-1))

#定義變分問題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

du=Function(V)

F=I+grad(u)

W=strain_energy_density_functional(F)*dx-dot(f,u)*ds

#求解非線性問題

problem=NonlinearVariationalProblem(W,du,bc,J=derivative(W,u,v))

solver=NonlinearVariationalSolver(problem)

solver.solve()

#后處理：可視化結(jié)果

importmatplotlib.pyplotasplt

frommpl_toolkits.mplot3dimportAxes3D

frommatplotlibimportcm

frommatplotlib.tickerimportLinearLocator

#創(chuàng)建3D圖

fig=plt.figure()

ax=fig.gca(projection='3d')

#讀取解的值

u_values=du.vector().get_local()

#繪制結(jié)果

X=np.linspace(0,1,11)

Y=np.linspace(0,1,11)

X,Y=np.meshgrid(X,Y)

Z=u_values.reshape(X.shape)

surf=ax.plot_surface(X,Y,Z,cmap=cm.coolwarm,linewidth=0,antialiased=False)

#添加顏色條

fig.colorbar(surf,shrink=0.5,aspect=5)

plt.show()6.2.2代碼解釋上述代碼使用FEniCS庫，一個用于求解偏微分方程的高級數(shù)值求解器，來模擬一個非線性彈性問題。具體步驟如下：創(chuàng)建Mesh和FunctionSpace：定義了一個單位立方體網(wǎng)格，并創(chuàng)建了一個向量函數(shù)空間。邊界條件：定義了邊界條件，所有邊界上的位移被固定為零。非線性本構(gòu)模型：定義了Neo-Hookean模型的應(yīng)變能密度函數(shù)。外力：定義了一個垂直向下的恒定力。變分問題：基于應(yīng)變能密度函數(shù)和外力，定義了變分問題。求解非線性問題：使用非線性變分問題求解器進行求解。后處理：使用matplotlib庫可視化位移結(jié)果。6.3彈性力學(xué)數(shù)值方法：積分法：多物理場耦合問題的彈性力學(xué)分析6.3.1多物理場耦合問題簡介多物理場耦合問題涉及兩個或更多物理場之間的相互作用，如熱-結(jié)構(gòu)耦合、電-磁-結(jié)構(gòu)耦合等。在彈性力學(xué)中，最常見的耦合問題是熱-結(jié)構(gòu)耦合，其中溫度變化引起的熱應(yīng)力會影響結(jié)構(gòu)的變形。6.3.2數(shù)值模擬流程物理場建模：分別建立各個物理場的模型。耦合條件定義：定義物理場之間的耦合條件。求解：采用耦合求解器，如交替方向隱式方法(ADI)或全耦合求解器。后處理：分析和可視化耦合場的結(jié)果。6.3.3示例：使用Python和FEniCS求解熱-結(jié)構(gòu)耦合問