河北省唐山市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

唐山市2023-2024學(xué)年度高一年級第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡上“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合A={0，1}，則集合A的子集個數(shù)是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】【分析】根據(jù)子集個數(shù)的公式可得正確的選項.【詳解】因為元素個數(shù)為2，故其子集個數(shù)為，故選：D.【點睛】本題考查有限集的子集的個數(shù)，如果有限集有個元素，則其子集的個數(shù)為，本題屬于基礎(chǔ)題.2.已知函數(shù)，則（）A. B.0 C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，代入即可求出函數(shù).【詳解】因為，所以，故選：B.3.設(shè)命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】全稱量詞命題否定是特稱量詞命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】為，.故選：D4.已知，則是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【答案】C【解析】【分析】，再根據(jù)終邊相同的角的集合，判斷是第幾象限角，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，又是第三象限角，所以是第三象限角，故選：C.5.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】分別求解“”與“”的充要條件再判斷即可.【詳解】易得當(dāng)時,.當(dāng)時,.故“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)值求定義域的方法以及充分與必要條件的判定,屬于基礎(chǔ)題.6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和中間值比較大小.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，故，因為在R上單調(diào)遞減，所以，因為在R上單調(diào)遞增，所以，綜上，.故選：D7.若函數(shù)，則可以化簡為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用輔助角公式求出答案.【詳解】，C正確；其他選項不滿足要求.故選：C8.若函數(shù)，，的零點分別為，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，將零點問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象交點，再根據(jù)圖象即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到，由，得到，由，得到，在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖知，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點晴：本題的關(guān)鍵在于將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化成圖象交點，通過作出函數(shù)的圖象，再根據(jù)圖象求結(jié)果.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.有選錯的得0分，部分選對的得2分，全部選對的得5分.9.非空集合，，均為的真子集，且，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】A選項，根據(jù)真子集和并集概念得到A正確；B選項，求出，故B錯誤；C選項，由補(bǔ)集和真子集的概念得到C正確；D選項，利用韋恩圖得到D錯誤.【詳解】A選項，因為，所以，A正確；B選項，因為，所以，而，故B錯誤；C選項，因為，所以，C正確；D選項，，如圖所示，所以表示的集合為①，不是空集，D錯誤.故選：AC10.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】AB可利用不等式的性質(zhì)得到；CD選項，作差法比較大小.【詳解】A選項，因為，所以，故兩邊同除以得，，A正確；B選項，因為，所以，故兩邊同除以得，，B錯誤；C選項，因為，所以，故，同理可得，C錯誤；D選項，因為，所以，故，故，，故，所以，D正確.故選：AD11.要得到的圖象，可以（）A.將曲線上所有的點向右平移個單位長度B.將曲線上所有的點向右平移個單位長度C.將曲線上所有的點橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變D.將曲線上所有的點橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變【答案】BD【解析】【分析】由題意，利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，即可得出結(jié)論．【詳解】要得到的圖象，可以將曲線上所有的點向右平移個單位長度，故選項A錯誤，選項B正確，又的圖象也可將曲線上所有的點橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變得到，所以選項C錯誤，選項D正確，故選：BD.12.已知定義在上的函數(shù)同時滿足以下三個條件：①；②；③在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列關(guān)于的表述中，正確的是（）A. B.恰有三個零點C.在上單調(diào)遞增 D.存在最大值和最小值【答案】ABC【解析】【分析】選項A，利用條件，賦值即可得出結(jié)果；再利用定義法證明在上單調(diào)遞增，即可判斷出選項C的正誤，結(jié)合條件及奇函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞增，即可判斷出選項D的正誤，再根據(jù)條件得到，，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷出選項B的正誤.【詳解】對于選項A，因為，取，得到，即，所以選項A正確，對于選項C，任取，且，則，且，則，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，所以在區(qū)間上也單調(diào)遞增，所以，得到，即，所以在上單調(diào)遞增，故選項C正確，對于選項B，因為定義在上奇函數(shù)，所以，又，所以，故或或是的根，結(jié)合選項C、由奇函數(shù)的性質(zhì)及條件知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項B正確，對于選項D，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)不存在最大值和最小值，所以選項D錯誤，故選：ABC.【點睛】關(guān)鍵點晴：本題的關(guān)鍵在于，根據(jù)條件，利用定義法證明在上單調(diào)遞增，再利用條件及奇函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞增，即可解決問題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.____________.【答案】【解析】【分析】利用二倍角余弦公式直接化簡，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值可得答案.【詳解】故答案為：【點睛】本題考查二倍角余弦公式，是基礎(chǔ)題14.若是鈍角，，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系和角的范圍得到，進(jìn)而求出答案.【詳解】因為，所以，即，因為，所以，因為是鈍角，所以，故故答案為：15.在固定壓力差（壓力差為常數(shù)）下，當(dāng)氣體通過圓形管道時，其流量（單位：）與管道半徑（單位：）的四次方成正比.已知氣體在半徑為的管道中，流量為，則氣體在半徑為的管道中，流量為______.【答案】25【解析】【分析】先計算出比例系數(shù)，在根據(jù)比例系數(shù)算出流量.【詳解】設(shè)比例系數(shù)為k，根據(jù)題意得：，把代入得.當(dāng)時，.故答案為：2516.在中，，邊上的高等于，則______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)得到，進(jìn)而得到，求出，利用正切和角公式求出答案.【詳解】為邊上的高，由題意得，設(shè)，，則，因為，所以，即，又，故，故，故.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合，.（1）求集合；（2）若，函數(shù)，求函數(shù)的定義域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到，進(jìn)而利用交集概念求出答案；（2）得到，根據(jù)函數(shù)特征得到不等式，結(jié)合單調(diào)性解不等式，求出定義域【小問1詳解】，，故；【小問2詳解】因為，所以，由題意得，因為在上單調(diào)遞減，所以，解得，故定義域為.18.已知函數(shù)的最小正周期為，且.（1）求及的值；（2）求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】18.，19.【解析】【分析】（1）根據(jù)求出最小正周期，進(jìn)而根據(jù)求出；（2）整體法求解函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【小問1詳解】由題意得，由得，故，即因為，所以；【小問2詳解】，令，，解得，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.19.已知定義在上的函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)時，.（1）求；（2）求函數(shù)的解析式；（3）若，求函數(shù)的值域.【答案】19.20.21.【解析】【分析】（1）先求出，由奇偶性得到；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到時的函數(shù)解析式，進(jìn)而得到答案；（3）分兩種情況，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在時的值域.【小問1詳解】，因為為上的偶函數(shù)，所以；小問2詳解】當(dāng)時，，故，又為上的偶函數(shù)，故，所以，所以；【小問3詳解】當(dāng)時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知單調(diào)遞減，因為，故，由函數(shù)為偶函數(shù)可知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，則，綜上，的值域為20.已知函數(shù).（1）若，求不等式解集；（2）若函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，求的最小值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式，求出解集；（2），由韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積，進(jìn)而得到，求出最小值.【小問1詳解】時，，解得或，原不等式的解集為或；【小問2詳解】令，由得，故，故，當(dāng)時，取得最小值，最小值為.21.已知函數(shù).（1）若，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明在上單調(diào)遞減；（2）由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱可以推廣得到：函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱的充要條件是.據(jù)此證明：當(dāng)時，函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱.【答案】（1）證明過程見解析（2）證明過程見解析【解析】【分析】（1）化簡得到，定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟，取點，作差，判號，下結(jié)論；（2）得到，計算出，得到答案.【小問1詳解】時，，任取，則，因為在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，故，所以在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】時，，，故函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱.22.如圖，已知直線，分別在直線，上，是，之間的定點，點到，的距離分別為，，.設(shè).（1）用表示邊，的長度；（2）若為等腰三角形，求的面積；（3）設(shè)，問：是否存在，使得？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1），；（2）（3）不存在使得【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)得到，的長度；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，得到方程，得到，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求出，求出三角形面積；（3）得到，由基本不等式和三