蘇科版2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊2.7確定圓的條件(知識梳理與考點(diǎn)分類講解)(學(xué)生版+解析)（含答案解析）

專題2.7確定圓的條件（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識點(diǎn)歸納】【知識點(diǎn)一】確定圓的條件過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.【要點(diǎn)提示】（1）過一點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)圓；（2）過兩點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)圓；（3）過三個(gè)能作一個(gè)圓，但前提是三點(diǎn)不共線.【知識點(diǎn)二】三角形的外接圓與外心1、三角形的外接圓：三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫三角形的外心，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.【要點(diǎn)提示】（1）“內(nèi)”“外”是相對的位置關(guān)系，是以一個(gè)圖形為準(zhǔn)，另一個(gè)圖形相對在其內(nèi)還是外；（2）“接”說明三角形的頂點(diǎn)和圓的關(guān)系是頂點(diǎn)在圓上；（3）一個(gè)三角形的外心有且只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形有無窮多個(gè).2、三角形外心的性質(zhì)：三角形外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.3、三角形外心的位置：銳角三角形的外心在其內(nèi)部；直角三角形外心是其斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形外心在其外部.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】三角形外接圓的理解與作圖【例1】（22-23九年級上·陜西西安·期末）如圖，是的外接圓，請利用尺規(guī)作圖法，作出劣弧的中點(diǎn)（保留作圖痕跡，不寫作法）．【變式1】下列語句中，正確的是（

）A．同一平面上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓B．三角形的外心到三角形三邊的距離相等C．三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)D．菱形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上【變式2】（2022·江蘇泰州·二模）如圖，點(diǎn)O是△ABC的外心，連接OB，若∠OBA＝17°，則∠C的度數(shù)為°．【題型2】判斷確定圓的條件【例2】（20-21九年級下·全國·課后作業(yè)）圖，在四邊形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD為直徑作圓O，證明點(diǎn)C在圓O上；【變式1】（23-24九年級上·江蘇無錫·期中）下列說法中正確的命題是（

）A．一個(gè)三角形只有一個(gè)外接圓B．平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧C．過三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓D．三角形的外心到三角形的三邊距離相等【變式2】（2023·安徽合肥·二模）如圖，在矩形中，，，M，N分別是，上的動點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)E，且．（1）．（2）連接，則的最小值為．【題型3】求外接圓的半徑或外心坐標(biāo)【例3】（23-24九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，在中，．

（1）尺規(guī)作圖：作的外接圓（保留作圖痕跡）；（2）求（1）中所作外接圓的半徑．【變式1】（23-24九年級上·河北邯鄲·期中）如圖，點(diǎn)、、都是格點(diǎn)，外接圓的圓心坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·湖北襄陽·二模）在中，，，則這個(gè)三角形的外接圓的半徑是．【題型4】與外心相關(guān)的綜合題【例4】（2024·江蘇常州·一模）如圖，在中，，交的延長線于點(diǎn)C，交的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：．（2）運(yùn)用無刻度的直尺和圓規(guī)畫出的外接圓，且當(dāng)，時(shí)，的外接圓半徑為________．【變式1】（21-22九年級上·湖北武漢·期末）如圖是一個(gè)含有3個(gè)正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，將它鑲嵌在一個(gè)圓形的金屬框上，使A，G，H三點(diǎn)剛好在金屬框上，則該金屬框的半徑是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)O為的外心，過點(diǎn)O分別作AB、AC的垂線、，交BC于D、E兩點(diǎn)．

（1）若，則的度數(shù)為；（2）過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，，則的周長為．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，是銳角三角形的外接圓，，垂足分別為，連接．若的周長為21，則的長為（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．3【例2】（2021·廣西梧州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1），B（0，﹣5），若在x軸正半軸上有一點(diǎn)C，使∠ACB＝30°，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是（）A．34 B．12 C．6+3 D．62、拓展延伸【例1】（2022·云南昆明·一模）如圖，在?中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，，由，，三點(diǎn)確定的圓的周長為．

（1）求證：平分；（2）若，，，求的值．【例2】（2022八年級上·江蘇·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B分別在x軸負(fù)半軸、y軸正半軸上，(a為常數(shù))，以C為圓心、適當(dāng)?shù)拈L度為半徑作，使點(diǎn)A、B在上．（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出．（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若，直線與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則．專題2.7確定圓的條件（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識點(diǎn)歸納】【知識點(diǎn)一】確定圓的條件過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.【要點(diǎn)提示】（1）過一點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)圓；（2）過兩點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)圓；（3）過三個(gè)能作一個(gè)圓，但前提是三點(diǎn)不共線.【知識點(diǎn)二】三角形的外接圓與外心1、三角形的外接圓：三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫三角形的外心，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.【要點(diǎn)提示】（1）“內(nèi)”“外”是相對的位置關(guān)系，是以一個(gè)圖形為準(zhǔn)，另一個(gè)圖形相對在其內(nèi)還是外；（2）“接”說明三角形的頂點(diǎn)和圓的關(guān)系是頂點(diǎn)在圓上；（3）一個(gè)三角形的外心有且只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形有無窮多個(gè).2、三角形外心的性質(zhì)：三角形外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.3、三角形外心的位置：銳角三角形的外心在其內(nèi)部；直角三角形外心是其斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形外心在其外部.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】三角形外接圓的理解與作圖【例1】（22-23九年級上·陜西西安·期末）如圖，是的外接圓，請利用尺規(guī)作圖法，作出劣弧的中點(diǎn)（保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】見解析．【分析】分別以點(diǎn)、點(diǎn)為圓心，大于一半長為半徑在線段同側(cè)畫弧，兩弧交于一點(diǎn)；因?yàn)槭堑耐饨訄A，圓心到點(diǎn)與點(diǎn)的距離相等，即圓心是線段垂直平分線上的點(diǎn)，過兩弧的交點(diǎn)與圓心作直線，即線段的垂直平分線，其與劣弧的交點(diǎn)即所求．解：如圖，點(diǎn)即所求．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形外接圓的性質(zhì)、垂直平分線的作法及性質(zhì)等知識點(diǎn)，正確把握垂直平分線的作法是解這道題的關(guān)鍵．【變式1】下列語句中，正確的是（

）A．同一平面上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓B．三角形的外心到三角形三邊的距離相等C．三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)D．菱形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上【答案】C【分析】本題考查外心定義，圓的定義，垂直平分線性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)．根據(jù)題意逐一對選項(xiàng)進(jìn)行分析即可得到本題答案．解：∵同一平面內(nèi)，不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，故A選項(xiàng)不正確；∵三角形外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，故B選項(xiàng)不正確，C選項(xiàng)正確；∵圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，菱形對角相加不一定等于，故D選項(xiàng)不正確，故選：C．【變式2】（2022·江蘇泰州·二模）如圖，點(diǎn)O是△ABC的外心，連接OB，若∠OBA＝17°，則∠C的度數(shù)為°．【答案】73【分析】連接，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：連接，，點(diǎn)是的外心，，，，，，，即，，，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形的外接圓與外心，三角形的內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【題型2】判斷確定圓的條件【例2】（20-21九年級下·全國·課后作業(yè)）圖，在四邊形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD為直徑作圓O，證明點(diǎn)C在圓O上；【答案】證明見解析【分析】連接CO；由勾股定理求出AC，利用勾股定理的逆定理證明△ACD是直角三角形，得出∠ACD=90°；再根據(jù)斜邊上中線的性質(zhì)和圓的對稱性分析，即可完成證明．解：圖，連接CO∵AB=6，BC=8，∠B=90°，∴∵CD=24，AD=26∴∴△ACD是直角三角形，∴∠ACD=90°∵AD為⊙O的直徑∴AO=OD∴OC為Rt△ACD斜邊上的中線∴∴點(diǎn)C在圓O上．【點(diǎn)撥】本題考查了圓、勾股定理、直角三角形斜邊中線的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的對稱性、勾股定理及其逆定理、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，從而完成求解．【變式1】（23-24九年級上·江蘇無錫·期中）下列說法中正確的命題是（

）A．一個(gè)三角形只有一個(gè)外接圓B．平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧C．過三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓D．三角形的外心到三角形的三邊距離相等【答案】A【分析】根據(jù)三角形的外接圓、垂徑定理的推論、確定圓的條件、三角形的外心的概念判斷即可．本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．解：A、一個(gè)三角形只有一個(gè)外接圓，命題正確，符合題意；B、平分弦（不是直徑）的直徑，平分這條弦所對的弧，故本選項(xiàng)命題錯(cuò)誤，不符合題意；C、過不在同一直線上的三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓，故本選項(xiàng)命題錯(cuò)誤，不符合題意；D、三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，故本選項(xiàng)命題錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．【變式2】（2023·安徽合肥·二模）如圖，在矩形中，，，M，N分別是，上的動點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)E，且．（1）．（2）連接，則的最小值為．【答案】/90度2【分析】（1）由，推出，最后利用矩形的性質(zhì)即可得解；（2）先確定E點(diǎn)的運(yùn)動路徑是個(gè)圓，再利用圓的知識和兩點(diǎn)這間線段最短確定最短長度，然后利用勾股定理即可得解．解：（1）∵，，∴，∴.∵四邊形是矩形，∴，，∴，故答案為．（2）∵，點(diǎn)E在以為直徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為O，則當(dāng)O，E，C三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，此時(shí)∵，，∴，∴，∴，故答案為2．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，最短距離，圓等知識的應(yīng)用，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．【題型3】求外接圓的半徑或外心坐標(biāo)【例3】（23-24九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，在中，．

（1）尺規(guī)作圖：作的外接圓（保留作圖痕跡）；（2）求（1）中所作外接圓的半徑．【答案】(1)作圖見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，是等腰三角形，作出邊的中垂線，交點(diǎn)即為的外接圓圓心，連接圓心與的一個(gè)頂點(diǎn)，以這個(gè)線段長為半徑作圓即可得到答案；（2）如圖所示，由垂徑定理可知于，且，再由勾股定理求出線段長即可得到答案．（1）解：如圖所示：

即為所求；（2）解：如圖所示：

于，且，，，在中，，則，在中，，則，設(shè)，則，即，解得，（1）中所作外接圓的半徑．【點(diǎn)撥】本題考查尺規(guī)作圖及圓中求線段長，涉及中垂線尺規(guī)作圖、圓的確定、垂徑定理與勾股定理等知識，熟練掌握圓的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式1】（23-24九年級上·河北邯鄲·期中）如圖，點(diǎn)、、都是格點(diǎn)，外接圓的圓心坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形的外接圓的外心，作線段的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)即為的外接圓的圓心．解：如圖，作線段的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)即為的外接圓的圓心，由圖可知，點(diǎn)的坐標(biāo)是：，故選：B．【變式2】（2023·湖北襄陽·二模）在中，，，則這個(gè)三角形的外接圓的半徑是．【答案】4或5【分析】本題考查了直角三角形外接圓半徑，掌握理解直角三角形的外接圓是以斜邊中點(diǎn)為圓心，斜邊長的一半為半徑的圓是解題的關(guān)鍵．根據(jù)外接圓直徑是斜邊長，分斜邊為和兩種情況進(jìn)行討論計(jì)算即可．解：當(dāng)為斜邊時(shí)，是直角，三角形外接圓直徑，半徑是4；當(dāng)為斜邊時(shí)，為直角，，，三角形外接圓直徑為半徑是5；綜上所述：半徑為4或5．【題型4】與外心相關(guān)的綜合題【例4】（2024·江蘇常州·一模）如圖，在中，，交的延長線于點(diǎn)C，交的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：．（2）運(yùn)用無刻度的直尺和圓規(guī)畫出的外接圓，且當(dāng)，時(shí)，的外接圓半徑為________．【答案】(1)見解析(2)作圖見解析，【分析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.（1）由“”可證（2）分別作的垂直平分線，兩條直線交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫圓即可畫出的外接圓，由勾股定理可求的長，即可求解.解：（1）)證明：，，又，在和，，；（2）∵，，∴，，∴，的外接圓半徑，故答案為：【變式1】（21-22九年級上·湖北武漢·期末）如圖是一個(gè)含有3個(gè)正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，將它鑲嵌在一個(gè)圓形的金屬框上，使A，G，H三點(diǎn)剛好在金屬框上，則該金屬框的半徑是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，記過A，G，H三點(diǎn)的圓為則是，的垂直平分線的交點(diǎn)，記的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為延長交于為的垂直平分線，結(jié)合正方形的性質(zhì)可得：再設(shè)利用勾股定理建立方程，再解方程即可得到答案.解：如圖，記過A，G，H三點(diǎn)的圓為則是，的垂直平分線的交點(diǎn)，記的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為延長交于為的垂直平分線，結(jié)合正方形的性質(zhì)可得：四邊形為正方形，則設(shè)而AB＝2，CD＝3，EF＝5，結(jié)合正方形的性質(zhì)可得：而又而解得：故選A【點(diǎn)撥】本題考查的是正方形的性質(zhì)，三角形外接圓圓心的確定，圓的基本性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的化簡，確定過A，G，H三點(diǎn)的圓的圓心是解本題的關(guān)鍵.【變式2】（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)O為的外心，過點(diǎn)O分別作AB、AC的垂線、，交BC于D、E兩點(diǎn)．

（1）若，則的度數(shù)為；（2）過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，，則的周長為．【答案】【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)得，，從而有，，由三角形內(nèi)角和定理，從而由可求得結(jié)果；（2）連接，由已知可得點(diǎn)O在線段的垂直平分線上，則可得；再利用線段垂直平分線的性質(zhì)得，，最后可求得周長的值．解：（1）∵點(diǎn)O為中的外心，，，∴、是的垂直平分線，∴，，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴；故答案為：；（2）連接，∵是邊的垂直平分線，是邊的垂直平分線，∴，，∴，∴點(diǎn)O在線段的垂直平分線上，∵，∴，∵，，∴的周長．

故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的外心，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)與判定是關(guān)鍵．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，是銳角三角形的外接圓，，垂足分別為，連接．若的周長為21，則的長為（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．3【答案】B【分析】根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)得出點(diǎn)D、E、F分別是的中點(diǎn)，再由中位線的性質(zhì)及三角形的周長求解即可．解：∵是銳角三角形的外接圓，，∴點(diǎn)D、E、F分別是的中點(diǎn)，∴，∵的周長為21，∴即，∴，故選：B．【點(diǎn)撥】題目主要考查三角形外接圓的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握三角形外接圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【例2】（2021·廣西梧州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1），B（0，﹣5），若在x軸正半軸上有一點(diǎn)C，使∠ACB＝30°，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是（）A．34 B．12 C．6+3 D．6【答案】A【分析】如圖，作的外接圓連接過作軸于作軸于則四邊形是矩形，再證明是等邊三角形，再分別求解即可得到答案.解：如圖，作的外接圓連接過作軸于作軸于則四邊形是矩形，是等邊三角形，故選：【點(diǎn)撥】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，三角形的外接圓的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理分應(yīng)用，靈活應(yīng)用以上知識解題是解題的關(guān)鍵.2、拓展延伸【例1】（2022·云南昆明·一模）如圖，在?中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，，由，，三點(diǎn)確定的圓的周長為．

（1）求證：平分；（2）若，，，求的值．【答案