河北省滄州市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題本卷滿分150分考試時(shí)間120分鐘一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的共線，垂直的充要條件以及空間向量坐標(biāo)的減法，模長定義即得.【詳解】因，對(duì)于A選項(xiàng)，由可得：，易知的值不存在；對(duì)于B選項(xiàng)，由可知不成立；對(duì)于C選項(xiàng)，；對(duì)于D選項(xiàng)，故選：D.2.直線，，若，則這兩條平行直線間的距離為（）A.或0 B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】由兩直線平行，得到或，再分別驗(yàn)證一下，最后結(jié)合兩平行線間的距離公式得到即可.【詳解】因?yàn)橹本€，平行，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，兩條直線重合是一條直線，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線，，兩直線平行，所以這兩條平行直線間的距離為，故選：C3.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262~公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)的重要成果.其中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)P的軌跡與圓的公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)距離公式整理等式，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，明確兩圓的圓心和半徑，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系，可得答案.【詳解】由題意知，化簡得，其圓心為，半徑，又圓C的圓心，半徑，所以，且，所以兩圓相交，故其公切線的條數(shù)為2條.故選：B.4.下列命題中正確的是（）A.點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是B.若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C.若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為D.已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則【答案】C【解析】【分析】由空間點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)可判斷A；由向量的數(shù)量積的性質(zhì)可判斷B；由線面角的定義可判斷C；由共面向量定理可判斷D.【詳解】對(duì)于A，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，若直線l的方向向量為，平面的法向量為，，有，則或，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則，解得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.5.若直線與曲線有公共點(diǎn)，則的取值范圍是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將本題轉(zhuǎn)化為直線與半圓的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合，求出的取值范圍【詳解】將曲線的方程化簡為即表示以為圓心，以2為半徑的一個(gè)半圓，如圖所示：由圓心到直線的距離等于半徑2，可得：解得或結(jié)合圖象可得故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化能力，在解題時(shí)運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式來計(jì)算，數(shù)形結(jié)合求出結(jié)果，本題屬于中檔題6.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線已知ΔABC的頂點(diǎn)，若其歐拉線的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出AB的垂直平分線，和歐拉線方程聯(lián)立求得三角形的外心，由外心到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離相等得另一方程，兩方程聯(lián)立求得點(diǎn)C的坐標(biāo)【詳解】設(shè)C（m，n），由重心坐標(biāo)公式得，三角形ABC的重心為代入歐拉線方程得：整理得：m-n+4=0①AB的中點(diǎn)為（1，2），AB的中垂線方程為，即x-2y+3=0．聯(lián)立解得∴△ABC的外心為（-1，1）．則（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8

②聯(lián)立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．當(dāng)m=0，n=4時(shí)B，C重合，舍去．∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-4，0）．故選A【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程，求直線方程的一般方法：①直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接求出直線方程．②待定系數(shù)法：先設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件求出假設(shè)系數(shù)，最后代入直線方程，待定系數(shù)法常適用于斜截式，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)等．7.在正方體中，若棱長為，，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.平面 B.直線與平面所成角的正弦值為定值C.平面平面 D.點(diǎn)到平面的距離為定值【答案】B【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征，利用空間向量逐個(gè)計(jì)算判斷即可【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，令，得，令，得，，對(duì)于A，，顯然，即，，而，平面，因此平面，A正確；對(duì)于B，由平面，平面，得，因?yàn)?，，平面，則平面，于是為平面的一個(gè)法向量，，設(shè)直線與平面所成角為，則不是定值，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)A知平面，即為平面的一個(gè)法向量，而，則，即有，又，平面，因此平面，則平面平面，C正確；對(duì)于D，顯然，因此點(diǎn)到平面的距離為，為定值，D正確.故選：B8.設(shè)圓：與圓：，點(diǎn)，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析發(fā)現(xiàn)兩圓心和的連線恰好垂直于直線，從而得出當(dāng)與和共線時(shí)最小，從而得解.【詳解】因?yàn)閳A：的標(biāo)準(zhǔn)方程為；圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為：所以和的圓心坐標(biāo)分別為、，半徑，，所以直線的斜率，而直線的斜率為1所以直線與直線垂直，如圖，所以當(dāng)與和共線時(shí)最小，此時(shí)，又此時(shí)，，所以最小值為.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)不得分.9.如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都是2，且它們彼此的夾角都是為與的交點(diǎn)，若，則下列正確的是（）A. B.C. D.的長為【答案】AC【解析】【分析】A、B選項(xiàng)考查的是空間向量基本定理的應(yīng)用，以，，為基底表示，就可以得到結(jié)論；C選項(xiàng)考查利用空間向量數(shù)量積求向量夾角的余弦，先用基底表示和，再求它們的數(shù)量積和模，利用可判斷C是否正確；對(duì)D選項(xiàng)，先用基底表示，再結(jié)合可求的長.【詳解】∵，故A正確.∵.故B錯(cuò)誤.又∵，.，；，..∴.故C正確.∵，∴.故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知圓，則（）A.圓與直線必有兩個(gè)交點(diǎn)B.圓上存在4個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1C.圓與圓恰有三條公切線，則D.動(dòng)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)向圓引兩條切線，為切點(diǎn)，則四邊形面積最小值為2【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)直線切過定點(diǎn)切該定點(diǎn)在圓內(nèi)可判斷A；求出圓的圓心到直線的距離可判斷B；將圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式為，轉(zhuǎn)化為兩圓外切可判斷C；由，且當(dāng)最小時(shí)最小時(shí)可判斷D.【詳解】對(duì)于A，將直線整理得，由，知，所以直線過定點(diǎn)，因?yàn)?，所以該定點(diǎn)在圓內(nèi)，故A正確；對(duì)于B，圓的圓心到直線的距離為，所以過圓心且與直線平行的直線與圓相交有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，與直線平行且與圓相切，并且與直線在圓心同側(cè)的直線到的距離為1，所以只有三個(gè)點(diǎn)滿足題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，將圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式為，因?yàn)閮蓤A有三條公切線，所以兩圓外切，所以，解得，故C正確；對(duì)于D，連接，因?yàn)闉榍悬c(diǎn)，所以，所以，且當(dāng)最小時(shí)，最小，所以當(dāng)與直線垂直時(shí)，，又因?yàn)榘霃綖?，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.如圖，在四棱錐中，底面，底面為邊長為2的菱形，，為對(duì)角線的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)．則下列說法正確的是（）A. B.三棱錐的外接球的半徑為C.當(dāng)異面直線和所成的角為時(shí)， D.點(diǎn)F到平面與到平面的距離相等【答案】ACD【解析】【分析】在菱形中，過點(diǎn)作直線，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量求出線線角判斷AC；求出點(diǎn)到平面距離判斷D；分析棱錐外接球球心并求出球半徑判斷B.【詳解】在菱形中，過點(diǎn)作直線，由底面，得直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，而，則，由，得，則，對(duì)于A，，，則，于是，A正確；對(duì)于B，由，得三棱錐的外接球截平面所得截面圓圓心為，則球心在過垂直于平面的直線上，直線，顯然球心在線段的中垂面上，因此，三棱錐的外接球，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，由異面直線和所成的角為，得，整理得，而，解得，C正確；對(duì)于D，，設(shè)平面與平面的法向量分別為，，令，得，，令，得，而，則點(diǎn)F到平面的距離，點(diǎn)F到平面距離，顯然，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.臺(tái)風(fēng)中心從地以每小時(shí)的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)地區(qū)，城市在地正東處，城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為______小時(shí).【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)已知條件作出圖形，圓半徑，利用銳角三角函數(shù)的定義可求出BE的長，易知是直角三角形，運(yùn)用勾股定理可求出的長，進(jìn)而求出弦長，最后用弦長除以臺(tái)風(fēng)的移動(dòng)速度即可求解.【詳解】以城市為圓心，為半徑畫圓，如圖所示，所在直線為臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)軌跡，，，，過點(diǎn)作于點(diǎn).在中，由銳角三角函數(shù)，得，在中，由勾股定理，得，所以，因?yàn)榕_(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為，所以B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為.故答案為：2.13.設(shè)動(dòng)點(diǎn)在棱長為的正方體的對(duì)角線上，記.當(dāng)為鈍角時(shí)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得，根據(jù)求得的取值范圍.【詳解】由題設(shè)可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，則，得，所以，，顯然不是平角，所以為鈍角等價(jià)于，即，即，解得，因此的取值范圍是.故答案為：14.已知圓，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作直線交圓于兩點(diǎn)，則的取值范圍為______【答案】.【解析】【分析】取中點(diǎn)為，連接，，確定點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，根據(jù)得到答案.【詳解】取中點(diǎn)為，連接，如圖所示：則，又，，故點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，圓心為，半徑為，因?yàn)?，，所以，即，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線，.（1）若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線m的距離為，求a的值；（2）當(dāng)時(shí)，直線l過m與n的交點(diǎn)，且它在兩坐標(biāo)軸上的截距相反，求直線l的方程.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式建立方程求解即可.（2）聯(lián)立求出直線交點(diǎn)，再分類討論直線是否過原點(diǎn)，求解即可.【小問1詳解】設(shè)原點(diǎn)O到直線m的距離為，則，解得或；【小問2詳解】由解得，即m與n的交點(diǎn)為.當(dāng)直線l過原點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線斜率為，所以直線l的方程為；當(dāng)直線l不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)l的方程為，將代入得，所以直線l的方程為.故滿足條件的直線l的方程為或.16.已知圓與直線相切于點(diǎn)，圓心在軸上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線：與圓交于，兩點(diǎn)，求弦的最短長度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，設(shè)出圓的方程，再結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式，以及直線垂直的性質(zhì)，即可求解．（2）先求出直線的定點(diǎn)，再判斷定點(diǎn)在圓內(nèi)，再結(jié)合垂徑定理，以及兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求解．【小問1詳解】依題意，圓心在軸上，可設(shè)圓的方程為，圓與直線相切于點(diǎn)，，解得，，故圓的方程為．【小問2詳解】直線：，，令，解得，直線過定點(diǎn)，又圓的方程為．所以圓心，半徑，，故定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，弦取得最小值，，，，弦的最短長度為．17.如圖，圓臺(tái)下底面圓的直徑為，是圓上異于的點(diǎn)，且，為上底面圓的一條直徑，是邊長為的等邊三角形，.（1）證明：平面；（2）求平面和平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)線線垂直從而證明線面垂直.(2)利用向量法，即可求二面角的余弦值.【小問1詳解】∵為圓臺(tái)下底面圓的直徑，是圓上異于的點(diǎn)，故又∵，，∴∵，∴，∴∴，又∵，，平面∴平面【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，由(1)可知，∵，∴平面，又∵∴以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，，∵平面，∴，四邊形為矩形，∴平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的一條法向量為，，由得令，則，平面一個(gè)法向量為則平面與平面的夾角的余弦值為∴平面和平面夾角的余弦值為18.如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點(diǎn)，四棱錐的體積為．（1）若為棱中點(diǎn)，求證：平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)的位置并給以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在點(diǎn)，位于靠近點(diǎn)三等分點(diǎn)處滿足題意.【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，得到，然后利用線面平行的判定定理得到平面；（2）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)滿足題意，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)平面與平面的夾角的余弦值為，則兩平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值等于，求出，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接，分別為的中點(diǎn)，，底面四邊形是矩形，為棱的中點(diǎn)，，．，，故四邊形是平行四邊形，．又平面，平面，平面．【小問2詳解】假設(shè)在棱上存在點(diǎn)滿足題意，在等邊中，為的中點(diǎn)，所以，又平面