1.1周期變化課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第一章三角函數(shù)1周期變化北師大版

數(shù)學(xué)

必修第二冊(cè)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解現(xiàn)實(shí)生活中的周期現(xiàn)象,能初步判斷簡單的實(shí)際問題中的周期.2.理解周期函數(shù)的概念及最小正周期的意義.3.能判斷一個(gè)函數(shù)是否為周期函數(shù),能利用函數(shù)的周期求值.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)一

周期函數(shù)的概念1.周期函數(shù)一般地,對(duì)于函數(shù)y=f(x),x∈D,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得對(duì)任意的x∈D,都有x+T∈D,且滿足

,那么函數(shù)y=f(x)稱作周期函數(shù),非零常數(shù)T稱作這個(gè)函數(shù)的周期.

2.最小正周期如果在周期函數(shù)y=f(x)的所有周期中存在一個(gè)

的正數(shù),那么這個(gè)

就稱作函數(shù)y=f(x)的最小正周期.

不是所有的周期函數(shù)都存在最小正周期f(x+T)=f(x)最小

最小正數(shù)

名師點(diǎn)睛周期函數(shù)定義中的“f(x+T)=f(x)”是對(duì)定義域中的每一個(gè)x來說的,如果只有個(gè)別的x滿足f(x+T)=f(x),不能說T是y=f(x)的周期.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)鐘表的分針每小時(shí)轉(zhuǎn)一圈,它的運(yùn)行是周期現(xiàn)象.(

)(2)函數(shù)f(x)=5x2滿足f(-3+6)=f(-3),那么函數(shù)y=f(x)的周期為6.(

)2.如果鐘擺每經(jīng)過2s就回到豎直狀態(tài),那么每經(jīng)過多少秒可以再回到最左邊位置呢?√×提示

回到豎直狀態(tài)的時(shí)間間隔為2

s,即半個(gè)周期,而再回到最左邊的間隔時(shí)間,也就是一個(gè)周期,所以是4

s.3.常數(shù)函數(shù)是周期函數(shù)嗎?存在最小正周期嗎?提示

根據(jù)周期函數(shù)的定義知,常數(shù)函數(shù)是周期函數(shù),但不存在最小正周期.知識(shí)點(diǎn)二

函數(shù)周期性的常用結(jié)論對(duì)于函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)任一自變量x:(1)若f(x+a)=-f(x),則T=2a(a>0);f(x)≠0名師點(diǎn)睛函數(shù)的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系(1)如果函數(shù)y=f(x)(x∈D)在定義域內(nèi)有兩條對(duì)稱軸x=a,x=b(a<b),則函數(shù)f(x)是周期函數(shù),且周期T=2(b-a)(不一定是最小正周期,下同).(2)如果函數(shù)y=f(x)(x∈D)在定義域內(nèi)有兩個(gè)對(duì)稱中心A(a,0),B(b,0)(a<b),那么函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且周期T=2(b-a).(3)如果函數(shù)y=f(x)(x∈D)在定義域內(nèi)有一條對(duì)稱軸x=a和一個(gè)對(duì)稱中心B(b,0)(a≠b),那么函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且周期T=4|b-a|.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)若函數(shù)f(x)滿足f(0)=f(5)=f(10),則它的周期T=5.(

)(2)若函數(shù)f(x)的周期T=5,則f(-5)=f(0)=f(5).(

)(3)若函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),且f(x+2)=f(x),則f(2022)=0.(

)×√√2.對(duì)于定義在R上的函數(shù)f(x),若f(x+a)=,能說f(x)為周期函數(shù)嗎?提示

不能,需要限制a≠0.3.如果今天是星期五,則59天后是星期幾?提示

每隔七天循環(huán)一次,59=7×8+3,故59天后為周一.4.已知函數(shù)f(x)是R上的周期為5的周期函數(shù),且f(1)=2023,你能通過f(1)得出f(11)的值嗎?提示

f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=2

023.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一求函數(shù)的周期【例1】

若對(duì)任意的x∈R,函數(shù)f(x)滿足f(x+2022)=-f(x+2023),則函數(shù)f(x)的周期為

.

2解析

由f(x+2

022)=-f(x+2

023),得f(x+2

022)=-f(x+2

022+1),令x+2

022=t,即f(t+1)=-f(t),所以f(t+2)=f(t),即函數(shù)f(x)的周期是2.規(guī)律方法

函數(shù)周期的求解方法求解函數(shù)的周期問題,要緊扣函數(shù)周期的定義,牢記函數(shù)周期的常用結(jié)論,熟練掌握函數(shù)的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系.變式訓(xùn)練1已知f(x)是定義在R上的函數(shù),且滿足f(x+2)=,則函數(shù)f(x)的周期為

.

4所以f(x+4)=f(x),所以函數(shù)f(x)的周期為4.探究點(diǎn)二周期函數(shù)的判定【例2】

設(shè)函數(shù)y=f(x),x∈R.若函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)并且圖象關(guān)于直線x=a(a≠0)對(duì)稱,求證:函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù).證明

由圖象關(guān)于x=a對(duì)稱得f(2a-x)=f(x),即f(2a+x)=f(-x).因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),從而f(2a+x)=f(x),所以f(x)是以2a為周期的函數(shù).規(guī)律方法

緊扣定義——判斷一個(gè)函數(shù)為周期函數(shù)應(yīng)用定義判斷或證明函數(shù)是否具有周期性的關(guān)鍵是從函數(shù)周期的定義出發(fā),充分挖掘隱含條件,合理賦值,巧妙轉(zhuǎn)化.變式訓(xùn)練2設(shè)函數(shù)y=f(x),x∈R.若函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)并且圖象關(guān)于直線x=a(a≠0)對(duì)稱,求證:函數(shù)y=f(x)是以4a為周期的周期函數(shù).證明

若f(x)為奇函數(shù),則圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且f(-x)=-f(x),由題意得f(2a+x)=f(-x),所以f(2a+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4a+x)=f(x),故f(x)是以4a為周期的函數(shù).探究點(diǎn)三利用函數(shù)的周期性求值或范圍【例3】

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+6)=f(x).當(dāng)x∈[-3,3)時(shí),

則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2022)+f(2023)=

.

338解析

f(x+6)=f(x),故函數(shù)f(x)是周期函數(shù),周期為6.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1+2-1+0-1+0=1,故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2

022)+f(2

023)=337×1+1=338.規(guī)律方法

函數(shù)周期性的應(yīng)用根據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)的局部性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì),在解決具體問題時(shí),要注意最小正周期與周期的區(qū)別.變式訓(xùn)練3已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù),若f(1)<1,f(5)=則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

(-1,4)解析

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的周期為3的偶函數(shù),所以f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1),探究點(diǎn)四周期性在實(shí)際中的應(yīng)用【例4】

已知做周期性運(yùn)動(dòng)的鐘擺的高度h(單位:mm)與時(shí)間t(單位:s)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.(1)求該函數(shù)的周期;(2)求t=10s時(shí)鐘擺的高度.解

(1)由圖象知,該函數(shù)的周期為1.5

s.(2)設(shè)h=f(t),∵T=1.5,∴f(10)=f(1+6×1.5)=f(1)=20.∴t=10

s時(shí)鐘擺的高度為20

mm.規(guī)律方法

應(yīng)用周期性解決實(shí)際問題的兩個(gè)要點(diǎn)

變式訓(xùn)練4受日月的引力,海水會(huì)發(fā)生漲落,這種現(xiàn)象叫作潮汐.已知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y(單位:米)是時(shí)間t(0≤t≤24,單位:時(shí))的函數(shù),記作y=f(t),下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù):t/時(shí)03691215182124y/米1.51.00.51.01.51.00.51.01.5根據(jù)規(guī)定,當(dāng)海浪高度不低于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛好者開放,判斷一天內(nèi)對(duì)沖浪愛好者能開放幾次?時(shí)間最長的一次是什么時(shí)候?有多長時(shí)間?解

由題中表可知,一天內(nèi)能開放三次,時(shí)間最長的一次是上午9時(shí)至下午3時(shí),共6個(gè)小時(shí).本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)周期現(xiàn)象;(2)周期函數(shù)的定義;(3)函數(shù)的周期、最小正周期的定義;(4)函數(shù)周期的簡單應(yīng)用.2.方法歸納:數(shù)學(xué)抽象、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū):容易忽視周期函數(shù)定義和常用結(jié)論中的常數(shù)T,a均不為0.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)123456789A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.如圖所示的是一個(gè)單擺,讓擺球從A點(diǎn)開始擺,最后又回到A點(diǎn),單擺所經(jīng)歷的時(shí)間是一個(gè)周期T,則擺球在O→B→O→A→O的運(yùn)動(dòng)過程中,經(jīng)歷的時(shí)間是(

)B解析

擺球的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程恰好是一個(gè)周期,所以經(jīng)歷的時(shí)間是T.1234567892.0.428571428571…的小數(shù)點(diǎn)后第545位上的數(shù)字是(

)A.5 B.4 C.8 D.7D解析

由題意知小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)的周期為6,而545=6×90+5,故小數(shù)點(diǎn)后第545位上的數(shù)字是7.1234567893.已知函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù),且當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=2x,則f(8.5)=(

)C解析

∵T=2,∴f(8.5)=f(4×2+0.5)=f(0.5)=20.5=.故選C.1234567894.若函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且當(dāng)x∈(-1,1]時(shí),f(x)=|x|,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2021)+f(2022)=

.

1011解析

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),所以f(x+2)=f(x),當(dāng)x∈(-1,1]時(shí),f(x)=|x|.當(dāng)x∈N時(shí),f(2x+1)=1,f(2x)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2

021)+f(2

022)=1

011.1234567895.已知奇函數(shù)f(x)是R上的函數(shù),且f(1)=2,f(x+3)=f(x),那么f(8)=

.

-2解析∵f(x+3)=f(x),∴T=3,∴f(8)=f(2+3×2)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.123456789B級(jí)關(guān)鍵能力提升練6.(多選)按照規(guī)定,奧運(yùn)會(huì)每4年舉行一次.2008年夏季奧運(yùn)會(huì)在北京舉辦的,那么下列年份中舉辦夏季奧運(yùn)會(huì)的應(yīng)該是(

)A.2019 B.2024

C.2026

D.2032BD解析2

019=2

008+4×2+3,2

026=2

008+4×4+2.顯然2

019,2

026不是4的倍數(shù).2

024=2

008+4×4,2

032=2

008+4×6,顯然2

024與2

032是4