2021-2022學(xué)年新教材人教A版必修第二冊(cè)-8.5.2-直線(xiàn)與平面平行-學(xué)案

8.5.2直線(xiàn)與平面平行在生活中，注意到門(mén)扇的兩邊是平行的，當(dāng)門(mén)扇繞著一邊轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，另一邊始終與門(mén)框所在的平面沒(méi)有公共點(diǎn)，此時(shí)門(mén)扇轉(zhuǎn)動(dòng)的一邊與門(mén)框所在的平面給人以平行的印象．【問(wèn)題1】門(mén)扇轉(zhuǎn)動(dòng)的一邊與門(mén)框所在的直線(xiàn)有什么關(guān)系？【問(wèn)題2】能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言證明你看到的現(xiàn)象嗎？【問(wèn)題3】一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，怎樣在平面內(nèi)作一條直線(xiàn)與該直線(xiàn)平行？1．直線(xiàn)與平面平行的判定定理(1)定理：如果平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么該直線(xiàn)與此平面平行；(2)符號(hào)：a?α，b?α，且a∥b?a∥α；(3)本質(zhì)：線(xiàn)線(xiàn)平行?線(xiàn)面平行，空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題．(4)應(yīng)用：判定直線(xiàn)與平面平行．如果一條直線(xiàn)與平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么該直線(xiàn)與此平面一定平行嗎？提示：不一定，該直線(xiàn)可能在平面內(nèi)．2．直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理(1)定理：一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線(xiàn)的平面與此平面相交，那么該直線(xiàn)與交線(xiàn)平行；(2)符號(hào)：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b；(3)本質(zhì)：線(xiàn)面平行?線(xiàn)線(xiàn)平行，直線(xiàn)與平面平行中蘊(yùn)含直線(xiàn)與直線(xiàn)平行；(4)應(yīng)用：作平行線(xiàn)的一種方法．一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，該直線(xiàn)與此平面內(nèi)任意直線(xiàn)平行嗎？提示：不是，可能是異面直線(xiàn)．1.如果一條直線(xiàn)上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)在平面外，那么該直線(xiàn)一定與平面平行嗎？2．如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，那么這條直線(xiàn)與平面內(nèi)的直線(xiàn)的位置關(guān)系是怎樣的？3．如果兩條直線(xiàn)都平行于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)一定平行嗎？提示：1.不一定，也可能相交；2.平行或異面；3.不一定．觀察教材P137圖8.5－7，如果點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，那么EF與平面BCD是什么關(guān)系？提示：平行．1．如果兩直線(xiàn)a∥b，且a∥α，那么b與α的位置關(guān)系是()A．相交B．b∥αC.b?αD．b∥α或b?α【解析】選D.由a∥b，且a∥α，知b∥α或b?α.2．如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別為平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，那么正方體的六個(gè)面中與EF平行的平面有()A.4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)【解析】選A.如圖，連接AC，A′C′，BD，B′D′，那么由題意可得EF∥AA′∥CC′，又EF?平面AA′D′D，EF?平面CC′D′D，EF?平面BB′C′C，EF?平面AA′B′B，所以EF∥平面AA′D′D，EF∥平面CC′D′D，EF∥平面BB′C′C，EF∥平面AA′B′B，那么正方體的六個(gè)面中與EF平行的平面有4個(gè)．根底類(lèi)型一直線(xiàn)與平面平行的判定(邏輯推理)1．(2021·哈爾濱高一檢測(cè))正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是它們所在線(xiàn)段的中點(diǎn)，那么滿(mǎn)足A1F∥平面BDA．0B．1C．2D．3【解析】1.選B.①中，平移A1F至D1F′，可知D1F′與面BD1E只有一個(gè)交點(diǎn)D1，那么A1F②中，由于A1F∥D1E，而A1F?平面BD1E，D1E?平面BD1E，故A1F③中，平移A1F至D1F′，可知D1F′與面BD1E只有一個(gè)交點(diǎn)D1，那么A12．(2021·北京高一檢測(cè))如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，C1B1(1)求證：AC∥平面B1DE；(2)求證：AF∥平面B1DE.【解析】2．(1)在△ABC中，D，E分別為棱AB，BC中點(diǎn)．所以DE∥AC，因?yàn)镈E?平面B1DE，AC?平面B1DE，所以AC∥平面B1DE.(2)如圖，連接BF交B1E于G，連接DG.因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，B1C1所以B1FEC，所以四邊形ECFB1是平行四邊形，所以B1E∥FC，因?yàn)辄c(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)G是BF的中點(diǎn)，又因?yàn)镈是AB中點(diǎn)，所以DG∥AF，因?yàn)锳F?平面B1DE，DG?平面B1DE，所以AF∥平面B1DE.關(guān)于線(xiàn)面平行的判定(1)充分利用平面圖形中的平行關(guān)系，如三角形中，中位線(xiàn)平行于底邊，平行四邊形對(duì)邊平行，梯形的兩底平行等．(2)連接平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)是常作的輔助線(xiàn)，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線(xiàn)相互平分，可以得到中點(diǎn)從而構(gòu)造平行關(guān)系．(3)書(shū)寫(xiě)步驟時(shí)一定要注明面外直線(xiàn)，面內(nèi)直線(xiàn)，防止步驟扣分．根底類(lèi)型二直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)(邏輯推理)【典例】(2021·六安高一檢測(cè))如下圖，四邊形EFGH為四面體ABCD的一個(gè)截面，假設(shè)四邊形EFGH為平行四邊形．求證：AB∥平面EFGH.【證明】因?yàn)樗倪呅蜤FGH為平行四邊形，所以EH∥FG；因?yàn)镋H?平面ABD，F(xiàn)G?平面ABD，所以EH∥平面ABD；又因?yàn)镋H?平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，所以EH∥AB；又因?yàn)镋H?平面EFGH，AB?平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.【備選例題】如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G和AP作一平面交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.【證明】連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，所以AP∥OM.而PA?平面BDM，OM?平面BDM，所以AP∥平面BMD.因?yàn)槠矫鍼AHG∩平面BMD＝GH，所以AP∥GH.關(guān)于直線(xiàn)與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用假設(shè)題目條件中有直線(xiàn)l與平面α平行的條件(1)首先觀察過(guò)直線(xiàn)l的平面，觀察這些平面與平面α是否有交線(xiàn)，如果有，那么直線(xiàn)l與交線(xiàn)平行；(2)假設(shè)過(guò)直線(xiàn)l的平面與平面α沒(méi)有交線(xiàn)，那么應(yīng)設(shè)法作出交線(xiàn)，再利用直線(xiàn)l與交線(xiàn)平行進(jìn)行證明．如下圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，平面PAD∩平面PBC＝l.求證：l∥BC.【證明】因?yàn)锽C∥AD，BC?平面PAD.AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因?yàn)槠矫鍼BC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(如圖)綜合類(lèi)型線(xiàn)面平行關(guān)系的應(yīng)用(直觀想象、邏輯推理)線(xiàn)面平行關(guān)系的應(yīng)用①如圖，在四棱錐P-ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點(diǎn)，且MN∥平面PAD，那么()A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能②在四面體ABCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，那么四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________．【解析】①選B.四棱錐P-ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點(diǎn)，且MN∥平面PAD，MN?平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，由直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理可得：MN∥PA.②如下圖，取CD的中點(diǎn)E.那么EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，?平面ABD，MN?平面ABC，AB?平面ABD，AB?平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.答案：平面ABD、平面ABC關(guān)于線(xiàn)面平行關(guān)系的綜合應(yīng)用線(xiàn)面平行的判定是由線(xiàn)線(xiàn)平行?線(xiàn)面平行，性質(zhì)定理是由線(xiàn)面平行?線(xiàn)線(xiàn)平行，因此線(xiàn)線(xiàn)平行與線(xiàn)面平行可以相互轉(zhuǎn)化，也表達(dá)了平面和空間平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化．線(xiàn)面平行關(guān)系的探究【典例】如下圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D為AA1中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)棱CC1上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P滿(mǎn)足條件________時(shí)，A1【解析】如圖，取CC1中點(diǎn)P，連接A1P.因?yàn)樵谥比庵鵄BC-A1B1C1D為AA1中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)棱CC1上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)點(diǎn)P是CC1中點(diǎn)時(shí)，A1P∥CD.因?yàn)锳1P?平面BCD，CD?平面BCD，所以A1P∥平面BCD.答案：點(diǎn)P是CC1中點(diǎn)本例中條件不變，在BB1上是否存在點(diǎn)P，使A1P∥平面BCD.【解析】存在．當(dāng)點(diǎn)P為BB1中點(diǎn)時(shí)，A1P∥平面BCD.因?yàn)樵谥比庵鵄BC-A1B1C1D為AA1中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)棱BB1上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)點(diǎn)P是BB1中點(diǎn)時(shí)，A1P∥BD.因?yàn)锳1P?平面BCD，BD?平面BCD，所以A1P∥平面BCD.關(guān)于直線(xiàn)與平面平行關(guān)系的探究動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線(xiàn)的平行關(guān)系探究中，關(guān)鍵是構(gòu)造線(xiàn)線(xiàn)平行，可以先從特殊點(diǎn)(如中點(diǎn))入手，驗(yàn)證是否符合線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面平行的條件，假設(shè)不符合，再探究其它的點(diǎn)是否符合．1．b是平面α外的一條直線(xiàn)，可以推出b∥α的條件是()A．b與α內(nèi)的一條直線(xiàn)不相交B．b與α內(nèi)的兩條直線(xiàn)不相交C．b與α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)不相交D．b與α內(nèi)的任何一條直線(xiàn)都不相交【解析】選D.因?yàn)閎∥α，所以b與α無(wú)公共點(diǎn)，從而b與α內(nèi)任何一條直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)．2．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AA1和BB1A.平行B．相交C．異面D．平行或異面【解析】選A.由長(zhǎng)方體性質(zhì)知：EF∥平面ABCD，因?yàn)镋F?平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，所以EF∥GH.又因?yàn)镋F∥AB，所以GH∥AB.3．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，假設(shè)EF∥平面AB1【解析】因?yàn)镋F∥平面AB1C平面AB1C又點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，所以點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，所以EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).答案：eq\r(2)4．如圖，在六面體FEABCD中，四邊形CDEF為矩形，M，N分別是BF，BC的中點(diǎn)，那么MN與平面ADE的位置關(guān)系是________．【解析】因?yàn)镸，N分別是BF，BC的中點(diǎn)，所以MN∥CF.又四邊形CDEF為矩形，所以CF∥DE，所以MN∥DE.又MN?平面ADE，DE?平面ADE，所以MN∥平面ADE.答案：平行5．如圖，a∥α，A是α的另一側(cè)的點(diǎn)，B，C，D∈a，線(xiàn)段AB，AC，AD分別