14高中數(shù)學(xué)新教材課堂導(dǎo)學(xué)案（雙曲線二）及答案

課堂導(dǎo)學(xué)（雙曲線二）一、橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系：橢圓雙曲線根據(jù)|MF1|+|MF2|=2a根據(jù)|MF1|－|MF2|=±2aa＞c＞0，a2－c2=b2（b＞0）0＜a＜c，c2－a2=b2（b＞0），（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定大于b）（a最大）（c最大）標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一為：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件方程Ax2+By2=C可化為，即，所以只有A、B異號(hào)，方程表示雙曲線。當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上。二、雙曲線的漸近線（1）已知雙曲線方程求漸近線方程：若雙曲線方程為，則其漸近線方程為已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程。（2）已知漸近線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件，求出即可。（3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）（4）等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設(shè)為.（5）雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為.三、焦三角面積：四、中點(diǎn)弦問題：已知雙曲線：（，），是雙曲線上不同的兩點(diǎn)，且線段不與坐標(biāo)軸平行，是線段的中點(diǎn)，則.（提示：用點(diǎn)差法）【典例】例1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是?，過的弦AB與其右支交于A?B兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線的定義和三角形的周長(zhǎng)即得．【詳解】由題可得，則的周長(zhǎng)為.故選：C．例2.設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于（）A． B． C． D．例3．雙曲線的右焦點(diǎn)為，雙曲線C的一條漸近線與以為直徑的圓交于點(diǎn)（異于點(diǎn)O），與過F且垂直于軸的直線交于，若，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．3 C．5 D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，利用直角三角形，漸近線的斜率，三角形的面積關(guān)系可得關(guān)于的方程，化簡(jiǎn)即可得出雙曲線的離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，由題意知，又，，所以，若，則，即，在中，由勾股定理可得，又，可得，所以，化簡(jiǎn)可得，即，所以，故選：A例4.已知雙曲線，過P（2，1）點(diǎn)作一直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，并使P為AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程.．例5.（2016浙江）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，．若點(diǎn)在雙曲線上，且銳角三角形，求的取值范圍._______．【作業(yè)】1．已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（

）A．雙曲線 B．雙曲線一支 C．兩條射線 D．一條射線【答案】B【解析】【分析】根據(jù)表示的幾何意義，結(jié)合雙曲線定義，可判斷答案.【詳解】點(diǎn)的坐標(biāo)滿足,即動(dòng)點(diǎn),到定點(diǎn)距離減去到的距離，差等于4，即,且，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支，故選：B2．（2022·廣東·深圳市羅湖外語學(xué)校高二階段練習(xí)）相距1400m的A，B兩個(gè)哨所，聽到炮彈爆炸聲的時(shí)間相差3s，已知聲速是340m/s，則炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線【答案】D【解析】【分析】由題意得到A，B兩個(gè)哨所的距離差為定值，小于A，B兩個(gè)哨所之間的距離，滿足雙曲線的定義，可解.【詳解】設(shè)炮彈爆炸點(diǎn)為P，則，故炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡是雙曲線.故選：D.3．與橢圓共焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用雙曲線的定義可求得的值，再由可求得的值，結(jié)合雙曲線的焦點(diǎn)位置可求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由雙曲線的定義可得，，，，因此，雙曲線的方程為.故選：C.4．設(shè)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且，則的面積等于（

）A．6 B．12 C． D．【答案】A【解析】【分析】利用雙曲線定義結(jié)合已知求出及，再求出焦距即可計(jì)算作答.【詳解】雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，半焦距，因此，，因，由雙曲線定義得，解得，，顯然有，即是直角三角形，所以的面積.故選：A5．雙曲線與雙曲線具有共同的（

）A．實(shí)軸 B．虛軸 C．焦點(diǎn) D．漸近線【答案】D【解析】【分析】求出兩雙曲線的實(shí)軸、虛軸的位置，以及焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】雙曲線的實(shí)軸在軸上，虛軸在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，雙曲線的實(shí)軸在軸上，虛軸在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，因此，雙曲線與雙曲線具有共同的漸近線.故選：D.6．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的漸近線方程，結(jié)合離心率與的關(guān)系求解即可【詳解】由題意可知，此雙曲線的漸近線方程為，則漸近線過點(diǎn)，即，，所以.故選：B.7．設(shè)是等腰三角形，，則以為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8.已知、為雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠=，則（B）(A)2(B)4(C)6(D)89．直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且為AB的中點(diǎn)，則的斜率為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用“點(diǎn)差法”求出l的斜率，再驗(yàn)證作答.【詳解】設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)锳B的中點(diǎn)，則有，又點(diǎn)A，B在雙曲線上，則，即，則l的斜率，此時(shí)，直線l的方程：，由消去y并整理得：，，即直線l與雙曲線交于兩點(diǎn)，所以l的斜率為2.故選：C10.（2015高考天津，文5）已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為,且雙曲線的漸近線與圓相切,則雙曲線的方程為（D）(A)(B)(C)(D)11．（多選題）已知曲線，下列說法正確的是（）A．若，則為雙曲線B．若且，則為焦點(diǎn)在軸的橢圓C．若，則不可能表示圓D．若，則為兩條直線【答案】ABD【分析】由，的取值，根據(jù)橢圓、雙曲線、圓與直線方程的特征，判斷曲線表示的形狀即可．【詳解】若，則為焦點(diǎn)在橫軸或縱軸上的雙曲線，所以正確；若且，可得，，所以為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以正確；若，，是單位圓，所以不正確；若，則化為，表示兩條直線，所以正確；故選：．12．與雙曲線有相同的漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出所求雙曲線的方程，利用待定系數(shù)法求解作答.【詳解】依題意，設(shè)雙曲線方程為：，于是得，則有，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：13．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與雙曲線的左支交于，兩點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為.A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由雙曲線的定義即可求出的周長(zhǎng).【詳解】設(shè)，，由題意可得，由雙曲線的定義可得，，則的周長(zhǎng)是.故選：B.14.雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在雙曲線上，若，則點(diǎn)到軸的距離為．15．已知直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F，若三角形ABF的面積為，則雙曲線的漸近線方程為_________.【答案】【解析】【分析】由題意可得AB為直徑的圓的方程為，圓也過左焦點(diǎn)，四邊形為矩形，然后由雙曲線的定義可得，由勾股定理可得，再由三角形A