全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷6（共263題）

全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷6（共9套）（共263題）全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第1套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則以下向量組中線性無關(guān)的是A、α1+α2，α2+α3，α3+α1B、α1+α2，α2－α3，α1+α3C、α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3D、α1+α2，α2+α3，α3－α1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：用排除法．由B項得(α1＋α2)－(α2－α3)－(α1＋α3)＝0，C項得(α1＋α2)＋(α2＋α3)－(α1＋2α2＋α3)＝0，D項得(α1＋α2)－(α2＋α3)＋(α3－α1)＝0，故B、C、D項中向量組是線性相關(guān)的，故本題應(yīng)選A．2、設(shè)向量組(I)：α1，α2，…，αn的秩為r，則必有A、(I)中任意r個向量必線性無關(guān)B、(I)中任意r－1個向量必線性無關(guān)C、(I)中任意r+1個向量必線性相關(guān)D、(I)中線性相關(guān)向量的個數(shù)必大于r標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因向量組(I)的秩為r，故向量組的一個極大無關(guān)組為(Ⅱ)：αi1，…，αir，則(I)中任意r+1個向量都可由(Ⅱ)線性表示，故C選項正確．3、設(shè)A為m×n矩陣，若任何n維列向量都是方程組Ax＝0解，則A、r(A)＝mB、r(A)＝nC、0D、A＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：設(shè)ej是單位矩陣E的第j列，則有題知Aej＝0，即AE＝0，故A＝0．4、方程組，的一組基礎(chǔ)解系由個向量組成．A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：方程組的基礎(chǔ)解系中自由未知量的個數(shù)．，得r(A)＝2．故基礎(chǔ)解系中自由未知量的個數(shù)為4－r(A)＝2．5、若只有零解的充要條件是a≠A、－1B、－2C、－3D、﹣4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：方程組只有零解的充要條件．因方程組只有零解，故｜A｜≠0，即r(A)＝3，則－a－4≠0，得a≠﹣4．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、已知三階行列式＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1/3知識點解析：7、已知，則ATB－1＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：8、設(shè)矩陣，則ATB的秩是______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：9、設(shè)向量α1＝(1，0，0)T，α2＝(1，1，1)T，α3(1，1，0)T，β＝(0，1，1)T，則β由α1，α2，α3線性表出的表達式為______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：β＝－α1＋α2知識點解析：設(shè)x1α1＋x2α2＋x3α3＝β，β能否表示為α1，α2，α3的線性組合，取決于該方程組是否有解．，得r(A)＝r(A，β)＝3，則此方程組有唯一解η*＝(－1，1，0)T，即得β＝－1·α1＋1·α2＋0·α3＝－α1＋α2．10、設(shè)向量組α1＝(3，3，3)TT，α2﹦(4，5，6)T，α3＝(3，2，1)T與β1，β2，β3等價，則向量組β1，β2，β3的秩為______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：等價的向量組有相同的秩．則11、已知x1＝(1，0，－1)T是三元非齊次線性方程組Ax＝b的一個解向量，又知x2＝(3，4，5)T是其對應(yīng)齊次線性方程組Ax=0的一個解向量，則對應(yīng)三元非齊次線性方程組Ax=b有一個非零解向量ξ＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：(4，4，4)T知識點解析：由非齊次線性方程組解的性質(zhì)，得ξ＝x1＋x2＝(4，4，4)T．12、已知三階矩陣A的特征值為λ1＝0，λ2＝4，λ3＝－1，則r(A)＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：由矩陣的秩與其對應(yīng)的非零特征值的個數(shù)相等，得r(A)＝2．13、已知三階矩陣A的特征值為1，2，3，且矩陣B與A相似，則｜B+AT｜＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：48知識點解析：由A與AT有相同的特征值，相似矩陣也必有相同的特征值，得B、AT的特征值都為1，2，3，所以B+AT的特征值為2，4，6，則｜B＋AT｜＝2×4×6＝48．14、已知二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋2x22＋5x32＋4x1x2＋2x1x2的矩陣為______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由二次型的定義，得二次型f的矩陣為15、已知二次型f(x1，x2，x3)＝(k一1)x12＋(k＋1)x22＋(k＋2)x32正定，則數(shù)k的取值范圍為______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：k>1知識點解析：由正定二次型的定義，得三、計算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、計算行列式D＝的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：數(shù)值行列式計算：一般利用倍加性質(zhì)，將數(shù)值較大的元素變換成數(shù)值較小的元素，再進行計算．知識點解析：暫無解析17、設(shè)三階方陣A，B滿足A2B－A－B＝E，其中E為3階單位矩陣，若A＝，求｜B｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：由｜A｜＝6≠0，則A可逆．A2B－A－B＝E(A2－E)B＝A＋E(A＋E)(A－E)B＝A＋E，又因｜A＋E｜＝＝12＋6＝18≠0，故A＋E可逆，則(A＋E)(A－E)B＝A＋E(A－E)B＝E｜A－E｜｜B｜＝1．知識點解析：暫無解析18、設(shè)矩陣A＝，對參數(shù)λ討論矩陣A的秩．標(biāo)準(zhǔn)答案：對矩陣實行初等變換，得當(dāng)λ＝3時，A的秩為2，當(dāng)λ≠3時，A的秩為3．知識點解析：暫無解析19、設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，令β1＝α1－α2＋2α3，β2＝α2－α3，β3＝2α1－α2＋3α3，試確定向量組β1，β2，β3的線性相關(guān)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)存在k1，k2，k3，使k1β1＋k2β2＋k3β1＝0．將β1，β2，β3代入并整理得(k1＋2k3)α1＋(－k1＋k2－k3)α2＋(2k1－k2＋3k3)α3＝0。由α1，α2，α3線性無關(guān)，可得關(guān)于k1，k2，k3的齊次線方程為故此齊次線性方程組有非零解，存在不全為零的k1，k2，k3，使k1β2＋k2β2＋k3β2＝0．因此β1，β2，β3線性相關(guān)．知識點解析：暫無解析20、已知線性方程組(1)當(dāng)λ為何值時，方程組有唯一解；(2)當(dāng)有無窮解時，求出其通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)當(dāng)λ≠l且λ≠－2時，r(A)＝r(A，b)＝3，方程組有唯一解．(2)當(dāng)λ＝1時，r(A)＝r(A，b)＝1，方程組有無窮多個解．因r(A)＝1，故方程組Ax＝0有3－r(A)＝2個自由解向量，則對應(yīng)Ax＝0的基礎(chǔ)解系為ξ1＝(－1，1，0)T，ξ2＝(－1，0，1)T，而Ax＝b的特解為η*＝(1，0，0)T．因此λ＝1時，非齊次線性方程組的通解為k1ξ1＋k2ξ2＋η*，其中k1，k2為任意實數(shù)．知識點解析：暫無解析21、設(shè)矩陣A＝，判定A是否可與對角矩陣相似，若A可與對角矩陣相似，求對角矩陣A和可逆矩陣P，使P－1AP＝A．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、二次型f(x1，x2，x3)＝2x12＋2x22＋2x32＋2x1x2＋2x1x3＋2x2x3的正定性．標(biāo)準(zhǔn)答案：得A的特征值為λ1＝λ2＝1，λ3＝4，全部大于零，故A正定，則f是正定二次型．知識點解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)23、設(shè)η*為非齊次線性方程組Ax＝b的一個特解，ξ1，ξ2，…，ξn－r是其導(dǎo)出組Ax＝0的一個基礎(chǔ)解系，證明：η*，η*＋ξ1，η*＋ξ2，…，η*＋ξn－r是Ax＝b的n－r＋1個線性無關(guān)的解向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A(η*＋ξ1)＝Aη*＋Aξ1＝b＋0＝b的解．故η*＋ξ1是Ax＝b的解．設(shè)存在任意實數(shù)k0，k1，…，kn－r，使得k0η*＋k1(η*＋ξ1)＋…＋kn－r(η*＋ξn－r)＝0．(1)整理得(k0＋k1＋…＋kn－r)η*＋k1ξ11＋k2ξ2＋…＋kn－r?ξn－r1(2)(2)式兩端左乘A，由Aξi＝0，i＝1，2，…，n－r，得(k0＋k1＋…＋kn－r)Aη*＝(k0＋k1＋…＋kn－r)b＝0．因b≠0，則k0＋k1＋…＋kn－r＝0．(3)把(3)式代入(2)式得k1ξ1＋k2ξ2…＋kn－rξn－r＝0．(4)因ξ1，ξ2，…，ξn－r是Ax＝0的基礎(chǔ)解系，則ξ1，ξ2，…，ξn－r線性無關(guān)，故k1＝k2＝…kn－r＝0．(5)把(5)式代入(3)式得k0＝0．從而(1)式成立時，k0，k1，…，kn－r，必須全為零．故η*，η*＋ξ1，η*＋ξ2，…，η*＋ξn－r線性無關(guān)．因此η*，η*＋ξ1，η*＋ξ2，…，η*＋ξn－r是Ax＝b的n－r+1個線性無關(guān)的解向量．知識點解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第2套一、單選題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、設(shè)A、B為n階可逆矩陣，下列選項等式不成立的是A、｜AB｜＝｜BA｜B、(AB)T＝BTATC、(AB)-1＝B-1A-1D、(A+B)-1＝A-1＋B-1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因為｜AB｜＝｜A｜·｜B｜，所以｜AB｜＝｜BA｜＝｜A｜·｜B｜，故A成立．而B、C也都符合矩陣運算的規(guī)律，故B、c成立．因此D不成立．2、設(shè)，則Ax=0的基礎(chǔ)解系含有_______個解向量．()A、1B、2C、3D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由于V(A)=3，所以基礎(chǔ)解集含有4—3=1個向量．答案為A.3、設(shè)當(dāng)x與y滿足_______時，有AB=BA.()A、2x一7B、2y=xC、y=x+1D、y=x一1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由于解得y=x+1．答案為C.4、設(shè)A為m×n矩陣，若任何n維列向量都是方程組Ax＝0解，則A、r(A)＝mB、r(A)＝nC、0D、A＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：設(shè)ej是單位矩陣E的第j列，則有題知Aej＝0，即AE＝0，故A＝0．5、設(shè)3階矩陣其中α，β，γ2，γ3均為3維行向量，且已知行列式|A|=18，|B|=2，則行列式|A-B|等于()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：選B．6、α1=(1，2，3)，α2=(2，1，3)，α3=(一1，1，0)，α4=(1，1，1)，則()A、α1線性相關(guān)B、α1，α2線性相關(guān)C、α1，α2，α3線性相關(guān)D、α1，α2，α4線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：單個非零向量是線性無關(guān)的．∴選項A不對．而(α1,α2,α3)→因為含有零向量的向量組一定線性相關(guān)，所以C是正確．答案為C7、若α1,α2,α3是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則下列答案中也是Ax=0的基礎(chǔ)解系的為()A、α1一α2，α2一α3，α3一α1B、α1，α2，α3的任意三個線性組合C、α1，α1一α2，α1一α2一α3D、α1，2α1,3α1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：本題考查基礎(chǔ)解系的定義，基礎(chǔ)解系必須線性無關(guān)，且與α1,α2,α3等價．答案為C。8、設(shè)則A的屬于特征值O的特征向量是()A、(1，1，2)TB、(1，2，3)TC、(1，0，1)TD、(1，1，1)T標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：用定義Ax=λx來判斷，這時λ=0，故計算Ax的值，使Ax=0的向量x就是A的屬于特征值0的特征向量．當(dāng)x=(1，2，3)T時，有Ax=0．答案為B。9、已知A、B為n階方陣，且滿足A2＝B2，則必有A、｜A｜＝｜B｜B、｜A｜2＝｜B｜2C、A＝BD、﹣A=B標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由A2＝B2，得｜A2｜＝｜B2｜，即｜A｜2﹦｜B｜2，故B項正確．10、設(shè)A、B、C均為n階方陣，且滿足AB＝BA，BC=CB，則CAB＝A、ABCB、ACBC、BCAD、BAC標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因AB＝BA，BC＝CB，所以CAB＝CBA＝BCA．故C項正確．11、已知向量組α1＝(1，－1，1)T，α2＝(－1，1，1)T，α3＝(1，1，－1)T，此向量組的秩為A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由A＝(α1，α2，α3)，則r(A)＝3，故此向量組的秩為3．12、設(shè)A為m×n矩陣，秩為，r，C為n階可逆矩陣，矩陣B=AC，秩(B)=r1，則()A、r1＞r2B、r＜r1C、r=r1D、r1與C有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：∵C為可逆陣，且B=AC∴r(B)=r(AC)=r(A)=r，即r1=r．答案為C13、初等矩陣相當(dāng)于對A()A、交換2，3兩行的變換B、交換2，3兩列的變換C、交換1，2兩行的變換D、交換1，3兩列的變換標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因右乘初等矩陣為列變換且右乘為交換2，3兩列．14、齊次線性方程組的解的個數(shù)為()A、有惟一的零解B、有無窮多個解C、無解D、不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：齊次線性方程系數(shù)矩陣A的秩為：r(A)=3＜4，故齊次線性方程組有無窮多個解．答案為B。15、設(shè)A是n階矩陣，C是n階正交陣，且B=C’AC，則下述結(jié)論_______不成立．()A、A與B相似B、A與B等價C、A與B有相同的特征值D、A與B有相同的特征向量標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：∵c是正交陣∴c=c-1，B=C-1AC，因此A與B相似．A對．c是正交陣｜C｜≠0，CTAC相當(dāng)對A實行若干次初等行變換和初等列變換，A與B等價，B對．兩個相似矩陣A、B有相同的特征值，C對．(λI—A)X=0與(λI—B)X=0是兩個不同的齊次線性方程組，非零解是特征向量，一般情況這兩個方程的非零解常常不同，所以只有D不對，選D答案為D。16、若矩陣A與B等價，則()A、|A|=|B|B、A與B相似C、A與B合同D、r(A)=r(B)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：A與B等價的充分必要條件為A，B為同階方陣，且r(A)=r(B)．17、設(shè)m×n矩陣A的秩r(A)=n一3(n＞3)，α，β，γ是齊次線性方程組Ax=0的三個線性無關(guān)的解向量，則方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為()A、α，β，α+βB、β，γ，γ一βC、α一β，β一γ，γ一αD、α，α+β，α+β+γ標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：基礎(chǔ)解系必須是線性無關(guān)的向量組，四個選項中只有D中三個向量線性無關(guān)．答案為D。18、行列式()A、48B、84C、一48D、一84標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：答案為A19、與矩陣相似的對角矩陣為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：=(λ一1)2(λ一2)一2(λ一1)=(λ一1)[λ2一3λ+2—2]=λ(λ一1)(λ一3)，所以特征值為λ1=0，λ2=1，λ3=3，而相似矩陣有相同的特征值，所以應(yīng)選C．20、下列矩陣與矩陣乘法可交換的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、設(shè)3階方陣A的特征值為λ1=1，λ2=1，λ3=2，則｜A｜=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一2知識點解析：｜A｜=λ1．λ2．λ3=一2．22、已知三階矩陣A的特征值為λ1＝0，λ2＝4，λ3＝－1，則r(A)＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：由矩陣的秩與其對應(yīng)的非零特征值的個數(shù)相等，得r(A)＝2．23、已知線性方程組無解，則λ=__________。FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一1知識點解析：當(dāng)λ=一1時，第4個方程為矛盾方程，因而無解．24、當(dāng)k=_________時，僅有零解．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：僅有全解→25、若可逆矩陣A的特征值λ=2，則(A2)-1必有特征值________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由于λ=2是A的特征值，故λ=4是A2特征值，所以是(A2)-1的特征值．26、FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：211知識點解析：依據(jù)行列式計算法則：原式=一2×(一2)×(一2)×(一2)×(一2)+3×3×3×3×3=一32+243=211．27、已知4階方陣A相似于B，A的特征值為2，3，4，5，則｜B—E｜=_______。FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：24知識點解析：由于B與A相似，故有相同的特征值，并且存在可逆矩陣P，使所以｜B—E｜=｜P-1｜—E｜.｜B－P｜=｜P-1BP－P-1.P｜=28、設(shè)方程組無解，則λ的取值為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：λ≠0且λ≠一3知識點解析：當(dāng)λ2+3λ≠0時，即λ≠0且λ≠一3時，r(A)=3而方程組無解．29、設(shè)矩陣則|AAT|=_____．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：9知識點解析：30、設(shè)A為三階可逆陣，，則A*=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：三、計算題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)31、已知矩陣求正交矩陣P和對角矩陣A，使P-1AP=A。標(biāo)準(zhǔn)答案：由=λ2(λ一3)=0，得A的特征值λ1=λ2=0，λ3=3．對于λ1一λ2=0，對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α1=(一1，1，0)T，α2=(一1，0，1)T，對于λ3=3，對應(yīng)的特征向量為α3=(1，1，1)T，將α1，α2正交化，得β1=α1,，再將β1，β2單位化，有γ1=，γ2=將α3單位化，有令P=(γ1，γ2，γ3)=,有P-1AP=A。知識點解析：暫無解析32、設(shè)矩陣A=，并且AX=2X+B，求矩陣X．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于(A—2E)X=B，所以知識點解析：暫無解析33、求向量組：的一個極大無關(guān)組，并將其余向量通過該極大無關(guān)組表示出來．標(biāo)準(zhǔn)答案：以所有向量為列向量形成4×4矩陣，然后對該矩陣施行初等行變換化為簡化行階梯形矩陣：所以其一個極大無關(guān)組為：α1，α2，α4，且α3＝－5α1＋3α2－2α4．知識點解析：暫無解析已知線性方程組34、討論λ為何值時，方程組無解、有惟一解、有無窮多個解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將線性方程組的增廣矩陣作初等行變換當(dāng)λ=一2時，r(A)=2，，方程組無解；當(dāng)λ≠一2且λ≠1時，，方程組有惟一解；當(dāng)λ=1時，，方程組有無窮多個解．知識點解析：暫無解析35、在方程組有無窮多個解時，求出方程組的通解(要求用其一個特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)λ=1時,同解方程組為x1=一2一x2一x3．對應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齊次方程組的一個特解η=(一2．0，0)T，所以原方程組的通解為x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2為任意常數(shù))．知識點解析：暫無解析36、設(shè)三階實對稱矩陣A的特征值為λ1=一1，λ2=λ3=1，A對應(yīng)于λ1=一1的特征向量為，求A.標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)屬于λ2=λ3=1的特征向量為則由(α，x)=0可得到x2+x3=0．于是得到兩個線性無關(guān)的解向量令可使得所以知識點解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)37、設(shè)A是n階方陣，且滿足A2一5A+E=0，利用定義證明：A一3E可逆．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于A2一5A+E=0，所以A2—5A=一E，故(A一3E)(A一2E)=一E+6E=5E，所以(A一3E)=E，所以A一3E可逆．知識點解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第3套一、單選題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、若n階方陣A可逆，且伴隨矩陣A*也可逆，則A*的逆矩陣為()A、AB、｜A｜．2C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由于A可逆，因此｜A｜≠0，又A．A*=A*．A=｜A｜．I，所以．答案為C。2、設(shè)A是3階反對稱矩陣，即AT=一A，則｜A｜=()A、0B、1C、±1D、0或l標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由于｜A｜=｜AT｜=｜—A｜=(一1)3｜A｜=一｜A｜，所以｜A｜=0．答案為A。3、若齊次線性方程組只有零解，則λ應(yīng)為()A、λ=一1B、λ≠一1C、λ=1D、λ≠1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：齊次線性方程組Ax=0只有零解｜A｜≠0故λ≠一1時題中齊次線性方程組只有零解．答案為B.4、設(shè)n維向量，矩陣A=E一αTα，B=E+2αTα，其中E為n階單位矩陣，則AB=()A、OB、一EC、ED、E+αTα標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：B=(E—αTα)(E+2αTα)=E+αTα一2αTααTα=E+αTα一2αT(ααT)α=E+αTα一2×=E，選C.5、設(shè)A為四階方陣，若＝1，則｜2A－1｜＝A、－1B、2C、1/2D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：6、實二次型f(x1，…，xn)=ATx為正定的充要條件是()A、f的秩為nB、f的正慣性指數(shù)為nC、f的正慣性指數(shù)等于f的秩D、f的負(fù)慣性指數(shù)為n標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由正定的性質(zhì)即得．答案為B7、若α1，α2，α3是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則下列答案中也是Ax=0的基礎(chǔ)解系的為()A、α1一α2，α2一α3，α3—α1B、α1，α2，α3的任意三個線性組合C、α1，α1一α2，α1—α2—α3D、α1，2α1，3α1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：本題考查基礎(chǔ)解系的定義，基礎(chǔ)解系必須線性無關(guān)，且與α1，α2，α3等價．答案為C。8、二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋2x22＋3x32＋2x1x2＋2x2x3的秩為A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由二次型的矩陣，得r(A)＝3，即此二次型的秩為3，故選D項．9、設(shè)n(n≥3)階矩陣A=若矩陣A的秩為n一1，則a必為()A、1B、C、一1D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由r(A)=n一1．必｜A｜=0．若a=1，則r(A)=1，故必a≠1．=(1一a)n—1(1一n+na)=(1—a)n—1[1一n)a]因a≠1，故僅當(dāng)a=時，｜A｜=0且r(A)=n—1(即｜An—1｜≠0)．答案為B。10、設(shè)λ0是n階矩陣A的特征值，且齊次線性方程組(λ0E-A)x=0的基礎(chǔ)解系為η1和η2，則A的屬于λ0的全部特征向量是()A、η1和η2B、C1η1+C2η2+C2(C1，C2為任意常數(shù))C、C1η1+C2η2(C1，C2為不全為零的任意常數(shù))D、η1或η2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：對任意常數(shù)C1，C2，都有(λ0E—A)(C1η1+C2η2)=C1(λ0E—A)η1+C2(λ0E—A)η2=0．即有A(C1η1+C2η2)=λ0(C1η1+C2η2)．但又由于零向量不是特征向量．故屬于λ0的全部特征向量即為C1η1+C2η2，(C12+C22≠0)，故選C．11、實二次型f(x1，x2，x3)=2x12+2x2+2+k2x33+2kx1x2正定，則k的取值范圍為()A、k＜0或k＞0B、-2＜k＜0或0＜k＜2C、一2＜k＜2D、k＜-2或k＞-2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由于二次型的矩陣為，A正定，則順序主子式大于零，即=4一k2＞0，一2＜k＜2，=k2(4一k2)＞0，k≠0且-2＜k＜2，所以k的取值范圍是一2＜k＜0或0＜k＜2．12、設(shè)矩陣，則A、a＝－1，b＝3，c＝0，d＝3B、a＝－1，b＝3，c=1，d＝33C、a＝3，b＝－1，c＝1，d＝3D、a＝3，b＝－l，c＝0，d＝3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：矩陣相等，要求對應(yīng)位置的每一個元素都要相等，則從而得a＝3，b＝－1，c＝0，d＝3，故選D項．13、設(shè)A，B，A+B，A-1+B-1均為n階可逆矩陣，則(A-1+B-1)-1=()A、A-1+B-1B、A+BC、A(A+B)-1．BD、(A+B)-1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由于(A-1+B-1)A(A+B)-1B=(A-1A+B-1A)(A+B)-1B=(B-1B+B-1A)(A+B)-1B=B-1(A+B)(A+B)-1．B=B-1．B=I，所以(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B．答案為C。14、齊次線性方程組的解的個數(shù)為()A、有惟一的零解B、有無窮多個解C、無解D、不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：齊次線性方程系數(shù)矩陣A的秩為：r(A)=3＜4，故齊次線性方程組有無窮多個解．答案為B。15、下列命題中錯誤的是A、一個非零向量線性無關(guān)B、任意一個含零向量的向量組線性相關(guān)C、由4個三維向量組成的向量組線性相關(guān)D、由3個四維向量組成的向量組線性無關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：很顯然A、B、C正確，舉例法．設(shè)α1＝(1，2，3，4)T，α2＝(1，0，4，5)T，α3＝(1，-2．5．6)T．故r(A)＝2，顯然α1，α2，α3線性相關(guān)，故D項錯誤．16、矩陣A＝的非零特征值為A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由｜λE－A｜＝＝0，得λ1＝0，λ2＝λ3＝2，故A的非零特征值為2．17、設(shè)行列式=0，則k的值為()A、一3或2B、2C、0D、一2或3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：=k2一2一k一4=k2一k一6一(k+2)(k一3)=0，所以k=一2或k=3．18、行列式=()A、48B、84C、一48D、一84標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：=6×23=48．答案為A。19、λ1，λ2都是n階矩陣A的特征值，λ1≠λ2，且x1與x2分別是對應(yīng)于λ1與λ2的特征向量，當(dāng)______時，x=k1x1+k2x2必是A的特征向量．()A、k1≠0且k2≠0B、k1≠0而k2=0C、k1=0且k2=0D、k1.k2=0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：A的特征向量不能是零向量，所以k1，k2不同時為零，所以C，D不對；x1，x2是兩個不同的方程組的解，兩個方程的兩個非零向量解之和，不再是其中一個方程的解．所以A的特征向量不是A選項．選項B，因為k2=0，k1≠0，x=k1x2仍然是A的特征向量．20、設(shè)則以矩陣A為對應(yīng)的二次型是()A、f(x1，x2，x3)=x12+2x2x3B、f(x1，x2，x3)=x12+x22=x32C、f(x1，x2，x3)=x32+2x1x2D、f(x1，x2，x3)=x22+2x1x3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：A的主對角線元素1對應(yīng)x22系數(shù)；a13=1，a31=1，之和對應(yīng)系數(shù)2．答案為D.二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、行列式的代數(shù)余子式A22﹦______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：22、若A＝，則A－1＝______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：23、若方程組，僅有零解，則常數(shù)k取值為______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：k≠1且k≠－2知識點解析：由齊次線性方程組僅有零解，則∣A∣＝≠0，得k≠－1且k≠－2．24、設(shè)A為n階方陣且｜A｜=3，則｜(3AT)-1｜=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：｜(3AT)-1｜=25、設(shè)A、B均為3階矩陣，｜A｜=3，｜B｜=一2，則｜一2A1．B-1｜=_________。FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：12知識點解析：｜一2ATB-1｜=(一2)．｜AT｜．｜B-1｜=一8×｜A｜×=12．26、齊次線性方程組有非零解，則a=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：8知識點解析：齊次線性方程組有非零解=0，即a=8．27、已知矩陣相似，則x=_______，y=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0，1知識點解析：因A～B，故tr(A)=tr(B)，故2+x=2+y一1．又因A～B，故|A|=|B|，故一2=-2y，故y=1，x=028、已知三階矩陣A的特征值分別為1、一1、2，則｜A一5E｜=________.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一72知識點解析：A的特征值分別為1、一1、2，則A一5E的特征值分別為一4，一6，一3．故｜A一5E｜=一72．29、的根為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：f(x)=3x+6+12—27+4x+2=7x一7=0,x=1．30、齊次線性方程組FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：k(3，一2，1)T，其中k為任意常數(shù)知識點解析：原方程．以z為自由變量，基礎(chǔ)解系為(3，一2，1)T，則=k(3，一2，1)T，k為常數(shù)．三、計算題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)31、已知向量組α1=，又β滿足3(α1—β)+2(α3+β)一5(α2+β)，求β．標(biāo)準(zhǔn)答案：3α1一3β+2α3+2β=5α2+5β，6β=3α1一5α2+2α3，知識點解析：暫無解析32、已知線性方程組(1)討論λ為何值時，方程組無解、有唯一解、有無窮多個解；(2)在方程組有無窮多個解時，求出方程組的通解(要求用其一個特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由增廣矩陣(A，b)＝，得當(dāng)λ≠1時，r(A，b)＝r(A)＝3，方程組有唯一解．當(dāng)λ＝1時，r(A，b)＝r(A)＝1<3，方程組有無窮多解．因無論λ為何值方程組不存在r(A，b)≠r(A)，所以無論λ為何值此方程組都有解．(2)當(dāng)λ＝1時，(A，b)→，得x1＋x2＋x3＝1，且r(A，b)＝r(A)＝1，令x2＝0，x3＝0，可求得特解η*＝而原方程的導(dǎo)出組Ax＝0，在λ＝1時有x1＋x2＋x3＝0，即x1＝－x2－x3，又因r(A)＝1，故基礎(chǔ)解系中有3－r(A)＝2個自由解向量，分別令，可求得基礎(chǔ)解系為，所以原方程組的通解為知識點解析：暫無解析33、a、b的值使線性方程組有無窮多解，并求出通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：對增廣矩陣作初等行變換，有由此可見，當(dāng)a=b=0時，增廣矩陣的秩=系數(shù)矩陣的秩=2＜未知量個數(shù)，方程組有無窮多解，并且當(dāng)a=b=0時，線性方程組的同解方程組為所以方程組通解為知識點解析：暫無解析34、設(shè)求A的特征值及其對應(yīng)的特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：矩陣A的特征多項式為得特征值λ1=λ2=λ3=1．對于特征值λ1=λ2=λ3=1，解齊次線性方程組(E—A)x=0，即求得基礎(chǔ)解系，所以矩陣A屬于特征值1的全部特征向量為k1α1+k2α2=，其中k1，k2是不全為零的任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析已知線性方程組35、討論λ為何值時，方程組無解、有惟一解、有無窮多個解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將線性方程組的增廣矩陣作初等行變換當(dāng)λ=一2時，r(A)=2，，方程組無解；當(dāng)λ≠一2且λ≠1時，，方程組有惟一解；當(dāng)λ=1時，，方程組有無窮多個解．知識點解析：暫無解析36、在方程組有無窮多個解時，求出方程組的通解(要求用其一個特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)λ=1時,同解方程組為x1=一2一x2一x3．對應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齊次方程組的一個特解η=(一2．0，0)T，所以原方程組的通解為x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2為任意常數(shù))．知識點解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)37、設(shè)n階實對稱矩陣A為正定矩陣，B為n階實矩陣，證明：BTAB為正定矩陣的充分必要條件是｜B｜≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：如果｜B｜≠0．則齊次線性方程組BX=0僅有零解，所以對一切非零向量X有Y=BX也是非零向量．而A正定，因此XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)=YTAY＞0即BTAB正定．反之，如果BTAB正定，則｜BTAB｜＞0所以｜BT｜｜A｜．｜B｜=｜A｜．｜B｜T＞0，當(dāng)然有｜B｜≠0．知識點解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第4套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)矩陣A=(2，1，3)T，B=(一1，2)，則AB=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：2、與矩陣相似的對角矩陣為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：=(λ一1)2(λ一2)一2(λ一1)=(λ一1)[λ2一3λ+2—2]=λ(λ一1)(λ一3)，所以特征值為λ1=0，λ2=1，λ3=3，而相似矩陣有相同的特征值，所以應(yīng)選C．3、下列矩陣與矩陣乘法可交換的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：4、設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則下面向量組中線性無關(guān)的是()A、α1+α2，α2+α3，α3一α1B、α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3C、α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1D、α1+α2+α3，2α1—3α2+22α3，3α1+5α2—5α3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：選項A，由于(α1+α2)一(α2+α3)+(α3一α1)=0，所以該向量組線性相關(guān)．選項B，由于(α1+α2)+(α2+α3)=α1+2α2，所以該向量組線性相關(guān)．選項C，令k1(α1+2α2)+k2(2α2+3α3)+k3(3α3+α1)=0，由向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，故故該向量組線性無關(guān)．選項D，令β1=α1+α2+α3，β2=2α1一3α2+22α3，β3=3α1+5α2—5α3，有(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)因為，所以該向量組線性相關(guān)．5、設(shè)則以矩陣A為對應(yīng)的二次型是()A、f(x1，x2，x3)=x12+2x2x3B、f(x1，x2，x3)=x12+x22=x32C、f(x1，x2，x3)=x32+2x1x2D、f(x1，x2，x3)=x22+2x1x3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：A的主對角線元素1對應(yīng)x22系數(shù)；a13=1，a31=1，之和對應(yīng)系數(shù)2．答案為D.二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、行列式=0的根為_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：0和一a1一a2一a3一a4知識點解析：將第2，3，4列加到第1列后得=(a1+a2+a3+a4+x)=(a1+a2+a3+a4+x)=(a1+a2+a3+a4+x)x3=0，所以x=0和x=一a1—a2一a3一a4．7、設(shè)，則A的屬于特征值0的特征向量是_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，2，3)T知識點解析：用定義Ax=λx來判斷，這里λ=0，故計算Ax的值，使Ax=0的向量x就是A的屬于特征值0的特征向量．當(dāng)x=(1，2，3)T時，有Ax=0．8、若A為6階方陣，齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中解向量的個數(shù)為2，則r(A)=_________.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識點解析：矩陣A為6階方陣，基礎(chǔ)解系中的解向量個數(shù)為2，則r(A)=6—2=4．9、設(shè)α1，α2，α3是四元非齊次線性方程組Ax=b的3個解向量，且r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T，c表示任意常數(shù)，則線性方程組Ax=b的通解x=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，2，3，4)T+C(2，3，4，5)T，C為任意常數(shù)知識點解析：因r(A)=3，未知量個數(shù)為4，故與Ax=b相對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的解空間是一維的，又因α1是Ax=b的一個特解，故其通解形如x=于是有又由已知得10、設(shè)A是三階矩陣，其行列式|A|=5，則|(5A*)-1|=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：11、行列式FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：a2(a2—1)知識點解析：12、FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：211知識點解析：依據(jù)行列式計算法則：原式=一2×(一2)×(一2)×(一2)×(一2)+3×3×3×3×3=一32+243=211．13、若線性相關(guān)，則t=_____．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：8知識點解析：由于α1，α2，α3線性相關(guān)，因此行列式|α1，α2，α3|==t一8=0，所以t=8．14、設(shè)向量線性相關(guān)，則a=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一10知識點解析：α與β線性相關(guān)，因此對應(yīng)分量成比例，所以，所以a=一10．15、設(shè)n階實對稱矩陣A的特征值分別為1，2，…，n，則當(dāng)t______時，tE—A是正定的．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：t＞n知識點解析：tE—A的特征值為t一1，t一2，…，t—n．若tE—A是正定的，則t一1＞0，t一2＞0，…，t—n＞0，所以當(dāng)t＞n時，tE—A是正定的．三、計算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、求解下列線性方程組．(1)(2)標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)系數(shù)矩陣取x3，x4，x5為自由未知量，得故通解即為x=k1ε1+k2ε2+k3ε3，其中k1，k2，k3為任意常數(shù)．(2)增廣矩陣取x2，x5為自由未知量，并令x2=x5=0，得特解為η=(一5，0，0，一4，0)T．再分別取x2=1，x5=0和x2=0，x5=1，得基礎(chǔ)解系ε1=(-3，1，0，0，0)T，ε2=(3，0，0，2，1)T，故方程組的通解x=η+k1ξ1+k2ξ2，其中k1，k2為任意實數(shù)。知識點解析：暫無解析17、已知向量組α1=(t，2，1)，α2=(2，t，0)，α3=(1，一1，1)，試求出t為何值時向量α1，α2，α3線性相關(guān)或線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：故當(dāng)t≠一2，3時，α1，α2，α3線性無關(guān)．當(dāng)t=一2，3時，α1，α2，α3線性相關(guān)．知識點解析：暫無解析18、求方程組的通解，并求還滿足方程5x1+3x2+6x3一x4=一1的全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：取x3，x4為自由未知量，并令x3=x4=0，得特解η=(1，一2，0，0)T，另可得對應(yīng)齊次性線性方程組的基礎(chǔ)解系為ε1=(一9，1，7，0)T，ε2=(1，一1，0，2)T．故原方程組的解即為x=η+k1ε1+k2ε2，k1，k2任?。衷鰪V矩陣這表示適合原方程組的解也全部是方程5x1+3x2+6x3一x4=一1的解．知識點解析：暫無解析19、設(shè)有三維列向量問k為何值時，①β可由α1，α2，α3線性表示，且表達式唯一；②β可由α1，α2，α3線性表示，但表達式不唯一；③β不能由α1，α2，α3線性表示．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)k1α1+k2α2+k3α3=β，則系數(shù)行列式①故當(dāng)k≠0，k≠1時，上述方程有唯一解．故β可由α1，α2，α3唯一線性表示．知識點解析：暫無解析20、設(shè)有線性方程組問m，k為何值時，方程組有唯一解?有無窮多解?在有無窮多組解時，求出一般解．標(biāo)準(zhǔn)答案：系數(shù)矩陣的行列式為故當(dāng)m≠一1時，方程組有唯一解．又增廣矩陣即當(dāng)m=一1，k=1時方程有無窮多解．取x3為自由未知量，并令x3=0，得特解知識點解析：暫無解析21、設(shè)向量組α1，α2，α3線性相關(guān)，向量組α2，α3，α4線性無關(guān)．(1)α1能否由α2，α3線性表示?證明你的結(jié)論．(2)α4能否由α1，α2，α3線性表示?證明你的結(jié)論．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)能．證明：α2，α3，α4線性無關(guān)，故α2，α3也線性無關(guān)．又α1，α2，α3線性相關(guān)，故存在不全為零的數(shù)k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0．且k1≠0(否則k2=k3=0)．故即α1能由α2，α3線性表示．(2)不能．證明：假設(shè)α4能由α1，α2，α3線性表示，于是向量組α1，α2，α3與α1，α2，α3，α4等價，得秩(α1，α2，α3)=秩(α1，α2，α3，α4)=秩(α2，α3，α4)=3，得α1，α2，α3線性無關(guān)，矛盾，故α4不能由α1，α2，α3線性表示．知識點解析：暫無解析22、A為m×n矩陣，秩為m；B為n×(n-m)矩陣，秩為n-m；又知AB=0，α是滿足條件Aα=0的一個n維列向量，證明：存在唯一個n一m維列向量β使得α=Bβ．標(biāo)準(zhǔn)答案：證明：B為n×(n—m)矩陣，且秩為n—m，故方程Bx=0只有零解，先假設(shè)Bx=a有解，假設(shè)Bx=α有兩個不同解β1，β2，則有Bβ1=α，Bβ2=α，故B(β1一β2)=0得β1=β2．故Bx=α在有解的情形只有唯一解．下證Bx=α有解：由AB=0，A的秩為m，可知Ax=0的基礎(chǔ)解系含n一m個解向量，而B的秩為n—m，這表示B的n—m個列向量即構(gòu)成Ax=0的基礎(chǔ)解系，設(shè)B的這n一m個列向量分別為α1，α2，…，αn-m，又Aα=0故可將α表示成α=k1α1+…+kn-mαn-m，令β=(k1，k2，…，kn-m)T．即Bβ=(α1，α2…，αn-m)=(k1α1+k2α2+…+kn-mαn-m)=α．所以Bβ=α有解，即存在唯一的β使得Bβ=α，得證．知識點解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)23、設(shè)λ1，λ2是方陣A的特征根，λ1≠λ2，η1，…，ηr是A的對應(yīng)于λ1的線性無關(guān)的特征向量，ε1，…，ε5是A的對應(yīng)于λ2的線性無關(guān)的特征向量，證明η1，…，ηr，ε1，…，εs線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：證明：由題意Aηi=λ1ηi(i=1，…，r)，Aεi=λ2εi(i=1，…，s)．設(shè)k1η1+…+krηr+l1ε1+…+lsεs=0……(*)左乘A得λ1(k1η1+…+krηr)+λ2(l1ε1+…+lsεs)=0①(*)式再兩邊同乘以λ1，得λ1(k1η1+…+krηr)+λ1(l1ε1+…+lsεs)=0②①一②得(λ2一λ1)(l1ε1+…+lsεs)=0，由λ2≠λ1，可知，l1ε1+…+lsεs=0，又ε1，ε2，…，εs線性無關(guān)，所以l1=…=ls=0，代入(*)式可得k1=…=kr=0，與假設(shè)相反故η1，…，ηr，ε1，…，εs線性無關(guān)，得證．知識點解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第5套一、單選題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、若A，B均為n階方陣，且AB=0，則()A、A=0或B=0B、A+B=0C、｜A｜=0或｜B｜=0D、｜A｜+｜B｜=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：AB=0→｜AB｜→0→｜A｜．｜B｜=0→｜A｜=0或｜B｜=0．答案為C2、已知是齊次線性方程組Ax=0的兩個解，則矩陣A可為()A、(5，一3，一1)B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：將四個選項代入驗證Ax=0是否成立即可．答案為A。3、已知三階矩陣A與B相似，且已知A的特征值為1，2，4，則｜B－1｜﹦A、1／8B、8C、1／7D、7標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：相似矩陣必有相同的特征值，因A～B，則A與B有相同的特征值，即B的特征值為1，2，4，則｜B｜＝，即｜B｜＝1×2×4＝8，而｜B-1｜＝，故選A．4、如果A，B是同階對稱矩陣，則A.B()A、是對稱矩陣B、是非對稱矩陣C、是反對稱矩陣D、不一定是對稱矩陣標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：設(shè)A與B均為對稱矩陣但A.B=不是對稱矩陣．答案選D。5、設(shè)λ0是n階矩陣A的特征值，且齊次線性方程組(λ0E-A)x=0的基礎(chǔ)解系為η1和η2，則A的屬于λ0的全部特征向量是()A、η1和η2B、C1η1+C2η2+C2(C1，C2為任意常數(shù))C、C1η1+C2η2(C1，C2為不全為零的任意常數(shù))D、η1或η2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：對任意常數(shù)C1，C2，都有(λ0E—A)(C1η1+C2η2)=C1(λ0E—A)η1+C2(λ0E—A)η2=0．即有A(C1η1+C2η2)=λ0(C1η1+C2η2)．但又由于零向量不是特征向量．故屬于λ0的全部特征向量即為C1η1+C2η2，(C12+C22≠0)，故選C．6、若n階方陣A滿足A2一2A一3I=0，且矩陣A可逆則A-1=()A、A一2IB、2I一AC、一(A—2I)D、(A一2I)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由于A(A一2I)=3I，因此A[(A一2I]=I，所以A-1=(A一2I)．答案為D。7、設(shè)A，B是n(≥2)階可逆方陣，k是一實常數(shù)且不為零，下列等式不成立的是()A、(AB)-1=B-1A-1B、(kA)-1=k-1A-1C、(A’)-1=(A-1)’，A’表示A的轉(zhuǎn)置陣D、(AB)-1=A-1B-1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：本題考查矩陣求逆陣運算法則．選項A、B、C均正確，選項D中(AB)-1=B-1A-1．答案為D。8、設(shè)A，B是n(≥2)階可逆方陣，k是一實常數(shù)且不為零，下列等式不成立的是()A、(AB)-1=B-1A-1B、(kA)-1=k-1A-1C、(A’)-1=(A-1)’，A’表示A的轉(zhuǎn)置陣D、(AB)-1=A-1B-1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：本題考查矩陣求逆陣運算法則．選項A、B、C均正確，選項D中(AB)-1=B-1A-1．答案為D。9、以下各線性方程組中，解空間的基是α1=(1，一1，1，一1，1)T，α2=(1，1，0，0，3)T，α3=(3，1，1，一1，7)T，α4=(0，2，一1，1，2)T的方程組是()A、B、C、x1一x2—2x3=0D、x1+x2+2x4=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因5一r(A)=4，故r(A)=1．于是，只可能為C或D。因一眼就能看出，A、B中兩方程的系數(shù)都不成比例，故r(A)=r(B)=2．再把解代人驗證：因α1滿足C，不滿足D，故選C。答案為C。10、設(shè)α1，α2，α3，線性無關(guān)，向量β1可由α1，α2，α3線性表示，而向量β2不可由α1，α2，α3線性表示，則對任意常數(shù)k必有()A、α1，α2，α3，kβ1+β2線性相關(guān)B、α1，α2，α3，β1+kβ2線性無關(guān)C、α1，α2，α3，β1+kβ2線性相關(guān)D、α1，α2，α3，kβ1+β2線性無關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由于β2不可由α1．α2，α3線性表示，說明α1，α2，α3．β2線性無關(guān)．設(shè)k1α1+k2α2+k3α3+k4(kβ1+β2)=0，由已知可知β1=m1α1+m2α2+m3α3代入上式整理得(k1+k4m1k)α1+(k2+k4m2k)α2+(k3+k4m3k)α3+k4β2=0．由β2不可由α1，α2，α3線性表示得k1+k4m1k=0，k2+k4m2k=0，k3+k4m3k=0，k4=0,顯然k1=k2=k3=k4=0．故選項D成立，至于B，C選項，當(dāng)k=0時線性相關(guān)，當(dāng)k≠0時線性無關(guān)．11、設(shè)矩陣，則A、a＝－1，b＝3，c＝0，d＝3B、a＝－1，b＝3，c=1，d＝33C、a＝3，b＝－1，c＝1，d＝3D、a＝3，b＝－l，c＝0，d＝3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：矩陣相等，要求對應(yīng)位置的每一個元素都要相等，則從而得a＝3，b＝－1，c＝0，d＝3，故選D項．12、設(shè)A，B，A+B，A-1+B-1均為n階可逆矩陣，則(A-1+B-1)-1()A、A-1+B-1B、A+B.C、A(A+B)-1.BD、(A+B)-1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由于(A-1+B-1)A(A+B)-1B=(A-1A+B-1A)(A+B)-1B=(B-1B+B-1A)(A+B)-1B=B-1(A+B)(A+B)-1.B=B-1.B=I，所以(A-1+B-1)13、已知線性方程組則下列判斷正確的是()A、λ=2時,方程組有無窮多組解B、λ=一3時方程組無解C、λ=3時方程組有無窮多組解D、λ≠2時方程組有惟一解標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：對方程組的增廣矩陣進行初等變換，依次將第一行、第二行和第三行加到第四行上：這時就可發(fā)現(xiàn)若λ=一3，則矩陣最后一行前面4個數(shù)等于0，而最后一個數(shù)等于4，用方程式表示將得到0=4，這表明方程組無解，故應(yīng)該選B。14、設(shè)A=(aij)是s×r矩陣，B=(bij)是r×s矩陣，如果BA=Ir，則必有()A、r＞sB、r≤sC、r≥sD、r＜s標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由于r=r(Ir)=r(BA)≤min{r(B),r(A)}，故得r(B)≥r，且r(A)≥r，故r≤s．15、設(shè)矩陣A＝，則A中A、所有三階子式都為零B、所有二階子式都不為零C、存在一個三階子式不為零D、所有二階子式都為零標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：暫無解析16、設(shè)2階矩陣A=，則A*=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由伴隨矩陣的定義即得．答案為A。17、設(shè)A，B，A+B以及A-1+B-1均為n階可逆矩陣，則(A-1+B-1)-1=()A、A-1+B-1B、A(A+B)-1BC、(A+B)-1D、A+B標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：一一代入，可發(fā)現(xiàn)只有選項B滿足條件．因(A-1+B-1)[A(A+B)-1B]=E(A+B)-1B+B-1A(A+B)-1B=B-1B(A+B)-1B+B-1A(A+B)-1B=B-1(B+A)(A+B)-1B=B-1.B=E．18、n個未知量的齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣A的秩為r，則方程組有非零解的充要條件是()A、r＞nB、r＜nC、r=nD、r≥n標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：當(dāng)r＜n時，Ax=0有n—r≥1個自由未知量，因此有非零解；反之，Ax=0有非零解，則Ax=0至少有一個自由未知量，因此n—r≥1，所以n＞r．19、下列矩陣與矩陣乘法可交換的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：20、設(shè)A，B為n階方陣，則下列各式一定成立的是()A、(A+B)2=A2+2AB+B2B、(A+B)2=A2+AB+BA+B2C、(A+B)(A-B)=A-B2D、(A-B)(A+B)=A2一B2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：矩陣乘法不滿足交換律．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、矩陣的非零特征值是_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：λ=4知識點解析：A的特征多項式為22、實對稱矩陣A滿足A3+A2+A=3I，則A=_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：I知識點解析：設(shè)矩陣A的特征值為λ，則有λ3+λ2+λ=3，即(λ一1)(λ2+2λ+3)=0．由于實對稱矩陣的特征值是實數(shù)，故λ2+2λ+3=(λ+1)2+2＞0，由此可得A只有惟一的三重特征值1，即存在可逆矩陣P，使得P-1;AP=I，于是有A=PIP-1=I．23、若n元線性方程組有解，且其系數(shù)矩陣的秩為r，則當(dāng)________時，方程組有唯一解；當(dāng)_____時，方程組有無窮多解．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：r=n，r＜n知識點解析：當(dāng)r=n時，方程組有唯一解；當(dāng)r＜n時，方程組有無窮多解．24、設(shè)則Ax=0的通解為_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：x=k(1，1，1)T知識點解析：則基礎(chǔ)解系ξ1=(1，1，1)T，通解為x=kξ1，其中k為任意常數(shù)．25、已知是正定矩陣，則a滿足的條件是_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：a＞1知識點解析：3A為正定矩陣，故A的順序主子式均大于零，得△1=2＞0，△2=8＞0，故a＞1．26、設(shè)三階矩陣A的特征值為1，4，6，對應(yīng)的特征向量分別為p1=，則矩陣A=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：根據(jù)特征值和特征向量的定義，有→(Ap1，Ap2，Ap3)=(p1，4p2，6p3)，即A(p1，p2，p3)=(p1，4p2，6p3)，27、設(shè)矩陣則3AT—BT=_______.FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：28、設(shè)向量組α1＝(0，3，1，2)T，α2＝(1，－2，2，0)T，α3＝(1，－1，2，4)T，α4＝(3，0，7，14)T，則該向量組的極大無關(guān)組是_______．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：α1，α2，α3(或α1，α2，α4)知識點解析：，故可得α1，α2，α3(或α1，α2，α4)為此向量的一個極大無關(guān)組．29、設(shè)矩陣則ATB________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：30、若矩陣．則二次型xTAx=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：x12+2x22+5x32+2x1x2—4x2x3知識點解析：因為．所以由二次型的定義可知f(x)=x12+2x22+5x32+2x1x2—4x2x3．三、計算題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)31、求向量組α1＝(2，3，1)T，α2＝(1，－1，3)T，α3＝(3，2，4)T的一個極大無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組表示出來．標(biāo)準(zhǔn)答案：，故此向量組的一個極大無關(guān)組為α1，α2(或α1，α3)，且α3＝α1＋α2(或α2＝α3－α1)．知識點解析：暫無解析32、求矩陣A＝的秩．標(biāo)準(zhǔn)答案：對A施行初等行變換將其化成階梯形：知識點解析：暫無解析33、設(shè)求A的特征值及其對應(yīng)的特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：矩陣A的特征多項式為得特征值λ1=λ2=λ3=1．對于特征值λ1=λ2=λ3=1，解齊次線性方程組(E—A)x=0，即求得基礎(chǔ)解系，所以矩陣A屬于特征值1的全部特征向量為k1α1+k2α2=，其中k1，k2是不全為零的任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析已知線性方程組34、討論λ為何值時，方程組無解、有惟一解、有無窮多個解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將線性方程組的增廣矩陣作初等行變換當(dāng)λ=一2時，r(A)=2，，方程組無解；當(dāng)λ≠一2且λ≠1時，，方程組有惟一解；當(dāng)λ=1時，，方程組有無窮多個解．知識點解析：暫無解析35、在方程組有無窮多個解時，求出方程組的通解(要求用其一個特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)λ=1時,同解方程組為x1=一2一x2一x3．對應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齊次方程組的一個特解η=(一2．0，0)T，所以原方程組的通解為x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2為任意常數(shù))．知識點解析：暫無解析36、設(shè)矩陣，求一個正交矩陣P，使P-1AP為對角矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：矩陣A的特征多項式為得A的特征值λ1=5，λ2=4，λ3=一2．對于特征值λ1=5，求解方程組(5E—A)x=0，5E—A=得屬于特征值λ1=5的一個特征向量e1=(1，0，0)T．同理，可得屬于λ2=4，λ3=一2的特征向量分別為η2=(0，1，1)T，η3=(0，一1，1)T，其單位特征向量分別為故所求正交矩陣可取為知識點解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)37、設(shè)n階實對稱矩陣A為正定矩陣，B為n階實矩陣，證明：BTAB為正定矩陣的充分必要條件是｜B｜≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：如果｜B｜≠0．則齊次線性方程組BX=0僅有零解，所以對一切非零向量X有Y=BX也是非零向量．而A正定，因此XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)=YTAY＞0即BTAB正定．反之，如果BTAB正定，則｜BTAB｜＞0所以｜BT｜｜A｜．｜B｜=｜A｜．｜B｜T＞0，當(dāng)然有｜B｜≠0．知識點解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第6套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、=0的根為()A、a1+a2+a3+a4B、0，a1+a2+a3+a4C、a1．a(chǎn)2．a(chǎn)3．a(chǎn)4，0D、0，一a1—a2—a3—a4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：2、3、4列加到第一列，答案為D。2、如果A，B是同階對稱矩陣，則A．B()A、是對稱矩陣B、是非對稱矩陣C、是反對稱矩陣D、不一定是對稱矩陣標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：設(shè)A=，A與B均為對稱矩陣但A．B=不是對稱矩陣，答案選D．3、設(shè)n(n≥3)階矩陣A=若矩陣A的秩為n一1，則a必為()A、1B、C、一1D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由r(A)=n一1．必｜A｜=0．若a=1，則r(A)=1，故必a≠1．=(1一a)n—1(1一n+na)=(1—a)n—1[1一n)a]因a≠1，故僅當(dāng)a=時，｜A｜=0且r(A)=n—1(即｜An—1｜≠0)．答案為B。4、n元線性方程組Ax=0有非零解的充要條件是()A、方程個數(shù)m＜nB、方程個數(shù)m＞nC、方程個數(shù)m=nD、秩(A)＜n標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：對于線性方程組Ax=0來說，若r(A)＜n→Ax=0有非零解(充分條件)；同樣，若Ax=0有非零解→r(A)＜n(必要條件)．答案為D。5、若可逆矩陣A有特征值λ=2，則(A2)-1必有特征值()A、4B、C、D、一標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由于A=2是A的特征值．∴λ=4是λ2特征值，所以是(A2)-1的特征值．答案為B。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、函數(shù)f(x)=中，x3的系數(shù)為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：只有主對角線上都含有x項，由行列式的性質(zhì)得2x×(一x)×(一x)=2x3，x3的系數(shù)為2．7、設(shè)A==________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：｜A｜=1利用公式A-1==A*，8、設(shè)矩陣A=，則ATB________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：9、設(shè)向量組I的秩為r1，向量組Ⅱ的秩為r2，且Ⅰ可由Ⅱ表出，則r1、r2的關(guān)系為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：r1≤r2知識點解析：向量組Ⅰ可由Ⅱ表出，故向量組Ⅰ的秩≤向量組Ⅱ的秩，即r1≤r2．10、設(shè)矩陣A=，則齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系含有解向量個數(shù)為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：由此得r(A)=2，所以AX=0的自由未知量有4—2=2個，基礎(chǔ)解系中含有2個解向量．11、三元非齊次線性方程組Ax=b的r(A)=2，且α1=(1，2，2)T，α2=(3，2，1)T是Ax=b的兩個解，則Ax=b的通解為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：(c為任意常數(shù))知識點解析：r(A)=2知三元非齊次方程Ax=b的基礎(chǔ)解系只有一個解向量，α1=(1，2，2)t，α2=(3，2，1)t是Ax=b的兩個解，故α1一α2=(一2，0，1)t是Ax=0的一個解向量，故Ax=b的通解為(c為任意常數(shù))．12、已知3階矩陣A的3個特征值為1，2，3，則｜A｜=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：36知識點解析：∵λi=｜A｜而λ1=1，λ2=2，λ3=3∴｜A｜=1×2×3=6∴AA*=｜A｜E∴AA*=6E兩邊同時求行列式有，｜AA*｜=｜6E｜=63→｜A｜｜A*｜=63∴｜A*｜=36．13、若A～B=，則｜A｜=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：72知識點解析：A～=72．14、設(shè)向量α=(1，1，1)，則它的單位化向量為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：根據(jù)單位向量定義可知：｜｜α｜｜=1為單位向量．∴α=(1，1，1)的單位化向量為．15、f(x1，x2，x3)=(k+1)x12+kx22+(k一2)x32為正定二次型，則k________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：k＞2知識點解析：它是正定二次型當(dāng)且僅當(dāng)它的所有系數(shù)都是正數(shù)．∴k＞2．三、計算題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)16、計算D=．標(biāo)準(zhǔn)答案：將第一行乘一1加到其余各行上，形成三線型，最后得結(jié)果為(1+x+2x+3x+4x)．知識點解析：暫無解析17、設(shè)A=，求A2+B2一AB—BA．標(biāo)準(zhǔn)答案：A2+B2一AB一BA=(A2—AB)一(BA—B2)=A(A—B)一B(A—B)=(A—B)2=知識點解析：暫無解析18、設(shè)A=，AB=A+2B，求B．標(biāo)準(zhǔn)答案：由AB=A+2B可得(A—2E)B=A，故B=(A一2E)-1A=。知識點解析：暫無解析19、已知α1=(1，0，2，3)，α2=(1，1，3，5)，α3=(1，一1，a+2，1)，α4=(1，2，4，a+8)，β=(1，1，b+3，5)，問當(dāng)a，b為何值時，β不能表示為α1，α2，α3，α4的線性組合?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)β=x1α1+x2α2+x3α3+x4α4，不難求得有線性方程組對這個線性方程組的增廣矩陣進行初等變換若a+1=0而b≠0，則方程組無解．因此當(dāng)a=一1，b≠0時，β不能表示為α1，α2，α3，α4的線性組合．知識點解析：暫無解析20、a、b的值使線性方程組，有無窮多解，并求出通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：對增廣矩陣作初等行變換，有由此可見，當(dāng)a=b≠0時，增廣矩陣的秩=系數(shù)矩陣的秩=2＜未知量個數(shù)，方程組有無窮多解，并且當(dāng)a=b=0時，線性方程組的同解方程組為所以方程組通解為(k為任意實數(shù))．知識點解析：暫無解析21、求A=的特征值及特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)特征值為λ1=λ2=0，λ3=3．屬于λ1=λ2=0的特征向量滿足于是全部的特征向量為k1(k1，k2為不全為零的實數(shù))．屬于λ3=3的特征向量滿足于是全部的特征向量為(k≠0為任意實數(shù))．(2)特征值為λ1=一1，λ2=λ3=1，屬于λ1=一1的特征向量滿足于是全部的特征向量為(k≠0為任意實數(shù))．屬于λ2=λ3=1的特征向量滿足x1一x3=0，于是全部的特征向量為k1(k1，k2為不全為零的實數(shù))．知識點解析：暫無解析22、設(shè)對稱矩陣A=，求正交矩陣P使PTAP為對角矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為矩陣A是對稱矩陣，所以其特征值都是實數(shù)，且對應(yīng)的特征向量都線性無關(guān)，先求出特征值，然后求出相應(yīng)的特征向量，最后把特征向量正交單位化就可以求出正交矩陣．(1)首先求特征值．｜λI一A｜==λ2(λ一4)，特征值為λ1=0(三重)，λ2=4．(2)其次求特征向量．當(dāng)λ1=0時，求(λ1I—A)x=0的基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系為α1=(一1，1，0，0)T，α2=(一1，0，1，0)T，α3=(一1，0，0，1)T，將α1，α2，α3正交化，得β1一α1=(一1，1，0，0)T，再將β1，β2，β3單位化，得當(dāng)λ2=4時．求(λ2I一A)x=0的基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系為α4=(1，1，1，1)T，將α4=(1，1，1，1)T單位化，得η4=(1，1，1，1)T．(3)令P=(η1，η2，η3，η4)，則有PTAP=知識點解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)23、已知向量β=(一1，2，s)可由α1=(1，一1，2)，α2=(0，1，一1)，α3=(2，一3，t)惟一地線性表示，求證：t≠5．標(biāo)準(zhǔn)答案：α1，α2，α3是3個3維向量，如果它們線性無關(guān)，則任意一個3維向量均可惟一地由它們線性表示．反之，若它們線性相關(guān)，則或者不能表示，或者表示不惟一，而α1，α2，α3要線性無關(guān)，由它們組成的矩陣必須是非奇異矩陣，即≠0通過計算得t≠5．知識點解析：暫無解析全國自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷第7套一、單選題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)A是m×n階矩陣，B是n×m階矩陣(m≠n)，則下列運算結(jié)果是n階方陣的是()A、A．BB、AT．BTC、BT．ATD、(A+B)T標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由矩陣乘法的運算定義和矩陣轉(zhuǎn)置的定義可知AT．BT是n階方陣．答案為B。2、設(shè)A是3階反對稱矩陣，即AT=一A，則｜A｜=()A、0B、1C、±1D、0或l標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由于｜A｜=｜AT｜=｜—A｜=(一1)3｜A｜=一｜A｜，所以｜A｜=0．答案為A。3、設(shè)A是n階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，則()A、AA*=｜A｜B、AA*｜A｜nC、A*A=｜A｜ID、A*A=｜A｜nI標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：A．A*=｜A｜I．答案為C。4、若齊次線性方程組只有零解，則A應(yīng)為()A、λ=一1B、λ≠一1C、λ=1D、λ≠1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：齊次線性方程組Ax=0只有零解→｜A｜≠0｜A｜==1一λ+2λ=λ+1故λ≠一1時題中齊次線性方程組只有零解．答案為B。5、二次型f=x*Ax經(jīng)過滿秩線性變換x=Py可化為二次型y*By，則矩陣A與B()A、一定合同B、一定相似C、即相似又合同D、即不相似也不合同標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：f=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=yTBy，即B=PTAP，所以矩陣A與B一定合同．只有當(dāng)P是正交矩陣時，由于PT=P-1，所以A與B既相似義合同．答案為A。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、已知齊次線性方程組有非零解，則λ的值為_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：λ=1或λ=一2知識點解析：由于齊次線性方程度組有非零解．因此系數(shù)行列式=(λ+2)(λ一1)2=0，所以λ=1或λ=一2．7、設(shè)矩陣A=，則A+2B=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：A+2B=。8、設(shè)A=，B為三階非零矩陣，且AB=O，則t=_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：一3知識點解析：AB=0，故r(A)+r(B)≤3又∵zb為三階非零矩陣，故r(B)≥1所以r(A)＜3，｜A｜=0｜A｜==7(t一8)+77=7t+21=0t=一3．9、設(shè)向量α1=(1，1，1)T，α2=(1，1，0)T，α3=(1，0，0)T，β=(0，1，1)T，則β由α1，α2，α3線性表示的表示式為_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：β=α1+0α2—α3知識點解析：設(shè)線性方程組為x1α1+x2α2+x3α3=β，對它的增廣矩陣施行初等變換，得：(A，α)=(α1，α2，α3，β)==(T，d)．顯然x1α1+x2α2+x3α3=β的同解方程組Tx=d就是它的惟