2024年浙江省寧波市鄞州中學(xué)強基招生數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024年浙江省寧波市鄞州中學(xué)強基招生數(shù)學(xué)試卷一、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分。1.若xy≠?1，且4x2+9x+3=03y22.11+2+11+2+33.已知正實數(shù)a，b，c滿足a+b+c=6，則a2+184.已知函數(shù)y=|x2+2x?a+3|，當(dāng)?2≤x≤1時，y有最大值5，則a5.已知△ABC中，BC上的一點D，2BD=CD，∠DAC=30°，則∠ABD的最大值為______．6.若點T為線段BC中點，AT⊥DT，且AT=2，DT=1，AB//CD，BC=13，則ABCD=7.如圖，在△ABC中，G，E分別在AB，AC上，連結(jié)BE交AF于O，若BOOE=92G，O，C共線，△GEF的面積為11，則△OBC的面積為______．8.已知整數(shù)x，y，z滿足xy+yz+zx=118，則x2+y9.已知x，y，z是大于1的正整數(shù)，且(x+1y)(y+1z)(z+110.已知EA、EC為圓O的兩條切線，連結(jié)DE交圓于點B，若BC=6，AB=3，∠ABD=30°，則BD=______．二、解答題：本題共2小題，共16分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。11.(本小題8分)

已知P(3,4)，矩形OAPB的A，B頂點分別在x軸，y軸上，反比例函數(shù)y=kx(x>0,k>0)與矩形的BP，AP分別交于D，C，△COD的面積為4.5．

(1)判斷并證明直線CD與AB的關(guān)系．

(2)求k的值．

(3)若E，F(xiàn)分別為直線AB和反比例函數(shù)上的動點，M為EF中點，求12.(本小題8分)

如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，D是垂心，O是外心，延長AD交BC于E，OH⊥BC于H．

(1)求證：2OH=AD．

(2)證明：B，O，D，C四點共圓．

(3)若BE=2CE=2，求DE．

參考答案1.?32.202320253.18

4.1或7

5.90°

6.3

7.30

8.118

9.12

10.411.解：(1)如圖1，

CD//AB，理由如下：

由題意得，

C(3,k3)，D(k4,4)，

∴BD=k4，AC=k3，

∴PD=PB?BD=3?k4=12?k4，PC=PA?AC=4?k3=12?k3，

∴PDPC=34，

∴PDPC=PBPA，

∵∠P=∠P，

∴△PCD∽△PAB，

∴∠PDC=∠PBA，

∴CD/?/AB；

(2)如圖2，

作DG⊥OA于G，

∵S△AOC=S△DOG=12k，

∴S△COD=S四邊形AOCD?S△AOC=(S△DOG+S梯形ACDG)?S△AOC=S梯形ACDG，

∴12(AC+DG)?PD=4.5，

∴(4+k3)?(3?k4)=9，

∴k1=6，k2=?6(舍去)，

∴k=6；

(3)如圖2，

取點A′(?3,0)，B′(0,?4)，

則直線A′B′與直線AB關(guān)于O對稱，

連接EO，并延長交A′B′于H，連接FH，

則OE=OH，

∵M是EF的中點，

∴OM=12FH，

∴當(dāng)FH最小時，OM最小，

作直線QH//AB，交y軸與Q，且使QR12.解：(1)根據(jù)題意，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓O，延長BO交圓于點F，延長BD交AC于點M，連接OC，CD，AF，F(xiàn)C，

∵BF是直徑，

∴FA⊥AB，F(xiàn)C⊥BC，

∵D為垂心，

∴BD⊥AC，CD⊥AB，AD⊥BC，

∴FA//CD，F(xiàn)C//AD，

∴AFCD是平行四邊形，

∴AF=CD，

∵∠BAC=60°，OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=30°，

∴OH=12OB，

設(shè)半徑為r，BM=32r，

∴BC=3r，

又∵OH=12CF，

∴AD=2OH；

(2)∵D為垂心，

∴BD⊥AC，CD⊥AB，AD⊥BC，

∴∠ACD=30°，

∴∠CDM=60°，

∴∠BDC=120°，

∵∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，

∴B、C、D、O四點共圓；

(3)設(shè)DE=x，

∵BE=2CE=2，

∴CE=1，

∵在直角△B