【迭代法解決非線性方程的幾種方法淺析5900字（論文）】

迭代法解決非線性方程的幾種方法淺析摘要非線性方程的求解一直是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中的一個(gè)重要組成部分，具有非常重要的意義，其中迭代法是解決非線性方程的最常用的方法。迭代法是一種逐次遞推逼近的過(guò)程，具有收斂速度快、可重復(fù)性操作強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。而由于迭代公式選取的不同，我們最終得到的迭代公式也是不同的，它們的迭代速度不同，計(jì)算精度也不同，則每種迭代方法適應(yīng)的情況也不同。本文選取了基礎(chǔ)的五種迭代法進(jìn)行討論，在基礎(chǔ)知識(shí)的鋪墊下，通過(guò)舉例對(duì)比，分析每種迭代方法的迭代速度、計(jì)算精度及適應(yīng)情況。最后對(duì)全文進(jìn)行總結(jié)。關(guān)鍵詞：非線性方程；迭代法；牛頓迭代法；二分法；拋物線法；弦截法；不動(dòng)點(diǎn)迭代法目錄TOC\o"1-3"\h\u3431摘要 I10084一、研究背景及意義 222523二、相關(guān)概念 494741、基礎(chǔ)知識(shí) 4108132、常見(jiàn)的幾種迭代法 6316242.1不動(dòng)點(diǎn)迭代法 6130222.2牛頓迭代法 7247442.3二分法 870632.4弦截法 9138582.5拋物線法 95528三、數(shù)值舉例 1111735四、總結(jié) 143363參考文獻(xiàn) 1521330附錄 16327611、不動(dòng)點(diǎn)迭代法程序 16148742、牛頓法程序 17210963、二分法程序 18247314、拋物線法程序 19284445、弦截法程序 20一、研究背景及意義本文討論的是求解非線性方程，一般非線性方程寫為，在科學(xué)和工程計(jì)算中存在大量這樣的方程，其中還含有一類多項(xiàng)式方程，其中，這類方程也稱為代數(shù)方程。除了代數(shù)方程外，還有一類方程稱為超越方程，例如等。求解代數(shù)方程是一個(gè)很重要的問(wèn)題，早在公元前幾世紀(jì)就有數(shù)學(xué)家對(duì)此進(jìn)行研究。16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡丹和他的學(xué)生都對(duì)三次代數(shù)方程求解進(jìn)行了研究，求出了三次和四次代數(shù)方程的求解公式。以此為契機(jī)，歐拉、高斯等數(shù)學(xué)家又全身心投入到研究五次方程的求根公式的工作中去，但是很長(zhǎng)時(shí)間都沒(méi)有什么進(jìn)展。等到19世紀(jì)伽羅華又得出了五次以上的代數(shù)方程不存在求解公式。同樣的，超越方程比較復(fù)雜，存在解的情況也相對(duì)復(fù)雜，所以較為普遍的解決方法是求這類方程的近似根，這個(gè)時(shí)候就有了迭代法的出現(xiàn)。迭代法是一種逐次遞推逼近的過(guò)程，是求解方程根的一種重要方法，也非常常用，通過(guò)近幾年的研究，已經(jīng)有了很多種迭代公式，這些迭代公式運(yùn)用時(shí)，最重要的是要判斷它的收斂性，并了解它的收斂速度，簡(jiǎn)單迭代法具有線性收斂速度。后來(lái)為了提升迭代速度，很多數(shù)學(xué)家研究了能夠使迭代法加速的方法，其中Aitken加速方法最為有名，它可以使收斂速度加快，但它的弊端是對(duì)于只有局部收斂的簡(jiǎn)答迭代法，對(duì)初始值的選取要求比較高。而在幾種迭代法中，最常用的是牛頓迭代法，牛頓迭代法是牛頓在17世紀(jì)中期提出的一種求解非線性方程近似根的方法，該方法使用函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)的前面幾項(xiàng)來(lái)進(jìn)行迭代，尋找方程的根。因?yàn)檩^復(fù)雜的方程大多沒(méi)有求根公式，所以就無(wú)法求精確根，那么求方程的近似根就非常重要。雖然牛頓法收斂速度快，但是牛頓法迭代時(shí)，除了計(jì)算本身的函數(shù)值之外，還需要計(jì)算在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的值，一旦某一步計(jì)算錯(cuò)誤，就會(huì)造成很大的影響，于是針對(duì)此問(wèn)題，提出了不需要計(jì)算導(dǎo)數(shù)，收斂速度較高的弦截法，該方法則是以弦代替牛頓法中的切線。在此之后又產(chǎn)生了拋物線法，該方法是通過(guò)插值多項(xiàng)式進(jìn)行迭代，能夠很大程度的提高方程的收斂速度，以便快速求得結(jié)果，收斂階甚至可以達(dá)到1.839。非線性問(wèn)題的應(yīng)用非常廣泛，涉及的方面包括生產(chǎn)、農(nóng)業(yè)、經(jīng)濟(jì)等，20世紀(jì)中期就有許多國(guó)內(nèi)外的專家對(duì)其進(jìn)行研究，并得出很多重要結(jié)論，近幾年更是成為了專家們研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。解非線性方程組常用的牛頓法及各種改進(jìn)牛頓法，除了基礎(chǔ)的牛頓法外，還有國(guó)內(nèi)的許多作者如：雍龍泉[1]總結(jié)的五階、九階牛頓迭代法，并得出“即使高階的牛頓法，也只有初始點(diǎn)與根很靠近時(shí)，高階收斂性才能很好地體現(xiàn)出來(lái)”的結(jié)論；陳娟與何斯日古楞[2]構(gòu)造的拋物線性化二重迭代法，利用二重弦截法的思想，構(gòu)造一種二重拋物線性化迭代格式，所得到的格式收斂性高于牛頓法；陶昱西與王曉鋒[3]構(gòu)造的基于史蒂芬森的最優(yōu)四階收斂的無(wú)記憶迭代法等。國(guó)外對(duì)此的研究也有很多重要的成果，如：Weerakoonh和Fernando[16]借助不同的積分準(zhǔn)則改進(jìn)牛頓迭代法，主要考慮積分，利用矩形逼近準(zhǔn)則重新改進(jìn)，得到改進(jìn)的三階收斂迭代公式：，其中；Homeier[17]利用函數(shù)的反函數(shù)替換，得到，改進(jìn)積分公式得到三階收斂的牛頓迭代公式：；Darvishi和Barati[18]利用Adomian分解法得到了一種超三階收斂的迭代方法：；JishengKou[19]與多位學(xué)者基于牛頓迭代法給出了很多優(yōu)先的六階迭代法求解非線性方程，大大提高了運(yùn)算的準(zhǔn)確性。相關(guān)概念1、基礎(chǔ)知識(shí)迭代法是一種廣泛應(yīng)用的方法，分為精確迭代和近似迭代，通常需要計(jì)算機(jī)進(jìn)行輔助計(jì)算，具有計(jì)算速度快、可重復(fù)性強(qiáng)等特點(diǎn)。與直接求解不同，迭代法不是通過(guò)已有的有限步驟運(yùn)算求得方程組的解，而是從某些初始向量出發(fā)，用構(gòu)造出的公式逐次計(jì)算近似解向量，從而得到向量序列。定義1.1：設(shè)迭代過(guò)程收斂于方程的根，如果迭代誤差當(dāng)時(shí)成立下列漸進(jìn)關(guān)系式則稱該迭代過(guò)程是P階收斂的。定義1.2：設(shè)迭代序列收斂階為，每步計(jì)算量為，則稱為迭代序列的效率指數(shù)。定義1.3：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處存在階導(dǎo)數(shù)，則存在的一個(gè)鄰域，對(duì)于該鄰域中的任一點(diǎn)，均有下式成立定理1.1（收斂性）：設(shè)在區(qū)間上具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且滿足下面兩個(gè)條件：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）存在正常數(shù)，使得對(duì)任意，有。那么①方程在上有唯一根②對(duì)任意，迭代公式收斂，且③對(duì)任意的，有④對(duì)任意的，有⑤在實(shí)際計(jì)算中，對(duì)于給定的允許誤差，當(dāng)L較小時(shí)，常以前后兩次迭代近似值，滿足來(lái)終止迭代。定義1.4（牛頓插值多項(xiàng)式）：函數(shù)在個(gè)互不相同的節(jié)點(diǎn)，，...，處的函數(shù)值分別是，則稱為關(guān)于節(jié)點(diǎn)的一階商差（也稱均差）。為關(guān)于節(jié)點(diǎn)的二階差商。為關(guān)于節(jié)點(diǎn)的n階差商。2、常見(jiàn)的幾種迭代法2.1不動(dòng)點(diǎn)迭代法定義2.1：設(shè)是連續(xù)函數(shù)，為了了解方程類似線性方程組迭代法的構(gòu)造，把方程變換成為等價(jià)的方程，其中是連續(xù)函數(shù)。若是的零點(diǎn)，即，則有，稱為的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，由可以構(gòu)造迭代公式，，稱為一種不動(dòng)點(diǎn)迭代法，稱為迭代函數(shù)。由迭代公式產(chǎn)生的序列，如果滿足，則是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即為方程的一個(gè)根。定理2.1：設(shè)，且滿足，則在上一定存在不動(dòng)點(diǎn)，若滿足條件，又存在常數(shù)，使（利普希茨條件），則在的不動(dòng)點(diǎn)是唯一的。定理2.2：設(shè)任意的實(shí)迭代函數(shù)在閉區(qū)間上滿足下列條件：（1）；（2）存在利普希茨正常數(shù)，使得則對(duì)于任意的初始值，都有不動(dòng)點(diǎn)所產(chǎn)生的序列收斂于的不動(dòng)點(diǎn)且其誤差形式為：。定理2.3：假定是方程的根，且在的某一鄰域內(nèi)，并滿足，則不動(dòng)點(diǎn)迭代，收斂階數(shù)為。定理2.4（局部收斂定理）：設(shè)是方程的根，在的某一鄰域連續(xù)，且，則必存在的一個(gè)鄰域，對(duì)任意選取的初值，迭代公式產(chǎn)生的數(shù)列收斂于方程的根。2.2牛頓迭代法定義2.2：設(shè)方程已有一個(gè)近似值，如果存在且連續(xù)，由泰勒展開式得，其中在和之間，因?yàn)椋绻?，可得，將右?cè)略去，剩下的兩項(xiàng)就做為一個(gè)新的近似值，記為，即。定理2.5：假定是方程的單根，且函數(shù)次連續(xù)可導(dǎo)，則當(dāng)趨于時(shí)，牛頓法收斂，收斂階數(shù)大于等于2.定理2.6：假定是方程的（至少為2的整數(shù)）重根，且函數(shù)任意階連續(xù)可導(dǎo)，則當(dāng)趨于時(shí)，牛頓法收斂，且僅為線性收斂。定理2.7（局部收斂定理）：設(shè)是方程的根，若（1）函數(shù)在的鄰域內(nèi)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)；（2）在的鄰域內(nèi)，則存在的某個(gè)鄰域，對(duì)于任意初始值，由牛頓迭代法產(chǎn)生的數(shù)列收斂于根。使用牛頓迭代法需要選取正確的初始值，從公式可得，用和分別表示和與根的誤差，則，左右同時(shí)除以得。利用在處的一階泰勒公式和在處的零階泰勒公式，其中在和之間，則得到。在處我們可以計(jì)算的值，但無(wú)法計(jì)算和的值，加入在附近變化不大，也就是說(shuō)，，只要，則有。所以，要使牛頓迭代法收斂，則誤差必須減少，也就是必須要求，即要求。2.3二分法定義2.3：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且，根據(jù)零點(diǎn)定理得非線性方程在區(qū)間上至少有一個(gè)實(shí)根。取，令是區(qū)間的中點(diǎn)，則。如果是給定任意小的正數(shù)，且迭代準(zhǔn)則為，則是方程的一個(gè)近似值。如果，且，則區(qū)間上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，令，；如果，則區(qū)間上至少有非線性方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，令，。于是，我們可以將區(qū)間繼續(xù)取中點(diǎn)，即將區(qū)間或者等分，得到中點(diǎn)：，即或者。以此類推往復(fù)，我們得到了一個(gè)序列：，當(dāng)區(qū)間西航渡小于給定的精確度時(shí)，則終止此過(guò)程。最后，這個(gè)區(qū)間內(nèi)的任何一點(diǎn)都是方程的近似值，我們一般取端點(diǎn)或者取中點(diǎn)作為方程的一個(gè)近似值。等分區(qū)間產(chǎn)生的序列必將收斂于方程的一個(gè)根，記為，并得到誤差估計(jì)公式：。2.4弦截法利用已求函數(shù)值，，...來(lái)回避導(dǎo)數(shù)值的求解，這種方法稱為弦截法。假定，是方程的近似根，以，為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造的一次插值多項(xiàng)式為。把的解作為的解的新的近似解，于是。引入記號(hào)；；則上式可以記為。該方法稱為弦截法。實(shí)際上，有弦截法求得的就是弦線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。定理2.8：假定是方程的根，且在根的鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，并要滿足下述條件對(duì)任意的，有；對(duì)任意的，有。，其中表示重根數(shù)。那么對(duì)于任意的初始值，由弦截法所產(chǎn)生的序列都將按階收斂到根。其中是方程的正根。2.5拋物線法假定，，是方程的三個(gè)近似根，以，，為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造的插值多項(xiàng)式，并適當(dāng)選取的一個(gè)零點(diǎn)作為新的近似根，這種方式確定的迭代過(guò)程稱為拋物線法。推導(dǎo)公式如下：以，，為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造的插值多項(xiàng)式：將的兩個(gè)零點(diǎn)作為的解的新的近似根，于是有，其中。定理2.9：設(shè)在根的某個(gè)鄰域內(nèi)有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)，一階導(dǎo)數(shù)全部不為0，如果選取的初始值無(wú)限接近根，則由迭代公式所得到的序列收斂到方程的根，并且收斂階大約為1.839.三、數(shù)值舉例例1：求解在[1,2]內(nèi)的一個(gè)根。不動(dòng)點(diǎn)迭代法牛頓法二分法拋物線法弦截法11.35720901.3478141.3247101.3247192941.3247179521.33086111.325231.32588421.324741.32493931.324751.32476061.32472671.32471981.32471891.324718使用不動(dòng)點(diǎn)迭代法時(shí)，選取，即，得到迭代公式，需迭代9次，最終得出結(jié)果1.324718。牛頓法的計(jì)算公式為，取，迭代3次后得到結(jié)果1.3247。使用二分法時(shí)，通過(guò)14次對(duì)有根區(qū)間進(jìn)行對(duì)分后取得結(jié)果1.3247。拋物線法是在經(jīng)歷了10次迭代之后得到結(jié)果。弦截法則是將牛頓法的迭代公式變換為，經(jīng)過(guò)4次迭代后得到結(jié)果。該問(wèn)題更適合使用牛頓法。例2：求在區(qū)間[1,2]上的一個(gè)根。不動(dòng)點(diǎn)迭代法牛頓法二分法拋物線法弦截法12.00000002.4737162.094672.0945496882.0945514822.08008412.156432.09235122.096642.09421732.094652.09450142.0946...2.09454482.094551使用不動(dòng)點(diǎn)迭代法時(shí)，選取，即，得到迭代公式，需迭代8次，最終得出結(jié)果2.094551。牛頓法的計(jì)算公式為，取，迭代4次后得到結(jié)果2.0946。使用二分法時(shí)，通過(guò)16次對(duì)有根區(qū)間進(jìn)行對(duì)分后取得結(jié)果2.0946。拋物線法則是經(jīng)過(guò)7次迭代后得到結(jié)果。弦截法則是將牛頓法的迭代公式變換為，經(jīng)過(guò)8次迭代后得到結(jié)果。該問(wèn)題使用牛頓法迭代次數(shù)最少。例3：求方程的根。不動(dòng)點(diǎn)迭代法牛頓法二分法拋物線法弦截法10.07073700.500170.7390890.739150.7390851320.99749910.755230.54240520.755240.85647030.739150.65510940.739160.792982360.739086使用不動(dòng)點(diǎn)迭代法時(shí)，選取，即，得到迭代公式，需迭代36次，最終得出結(jié)果0.739086。牛頓法的計(jì)算公式為，取，迭代4次后得到結(jié)果0.7391。使用二分法時(shí)，通過(guò)17次對(duì)有根區(qū)間進(jìn)行對(duì)分后取得結(jié)果0.73908。拋物線法則是經(jīng)過(guò)9次迭代后得到結(jié)果。弦截法則是將牛頓法的迭代公式變換為，經(jīng)過(guò)5次迭代后得到結(jié)果。使用牛頓法求解更快。例4：求在上的一個(gè)根。不動(dòng)點(diǎn)迭代法牛頓法二分法拋物線法弦截法11.34840001141.3652091.365230141.3652300121.36737611.454531.36495721.368941.36526531.365251.36522641.365261.36523171.365230使用不動(dòng)點(diǎn)迭代法時(shí)，選取，即，得到迭代公式，需迭代7次，最終得出結(jié)果1.365230。牛頓法的計(jì)算公式為，取，迭代4次后得到結(jié)果1.3652。使用二分法時(shí)，通過(guò)14次對(duì)有根區(qū)間進(jìn)行對(duì)分后取得結(jié)果1.365203。拋物線法則是經(jīng)過(guò)9次迭代后得到結(jié)果。弦截法則是將牛頓法的迭代公式變換為，經(jīng)過(guò)4次迭代后得到結(jié)果。使用牛頓法和弦截法的迭代次數(shù)最少。四、總結(jié)不動(dòng)點(diǎn)迭代法和牛頓法都可以計(jì)算重根，但對(duì)于不動(dòng)點(diǎn)迭代法來(lái)說(shuō)，把轉(zhuǎn)化為等價(jià)方程有許多種方法，如何選擇迭代函數(shù)很大程度上會(huì)決定收斂的速度，甚至?xí)斐傻讲皇諗?，所以選擇正確的迭代函數(shù)是非常重要的。而對(duì)于牛頓法來(lái)說(shuō)，它具有平方收斂的速度，可以通過(guò)較少次數(shù)的迭代就能獲得精確解，但是牛頓法必須選擇充分接近方程在隔根區(qū)間內(nèi)的根做為初始值，否則可能使結(jié)果發(fā)散，同時(shí)在計(jì)算重根時(shí)，它是局部收斂的。而牛頓迭代法因?yàn)檫€需要計(jì)算導(dǎo)數(shù)值，所以就算計(jì)算的速度快，但是計(jì)算量大幅增加，這時(shí)我們就可以選擇弦截法，這種方法在解決復(fù)雜的方程時(shí)，相比較起來(lái)不需要計(jì)算導(dǎo)數(shù)，節(jié)省了很大的計(jì)算量。但與此同時(shí)該方法的收斂速度也會(huì)下降，高于不動(dòng)點(diǎn)迭代法，低于牛頓法，而且該方法在應(yīng)用時(shí)，需要選取兩個(gè)初始值，這兩個(gè)初始值必須充分靠近方程的根，否則最終得出的結(jié)果有可能發(fā)散。而拋物線法更適用于求解多項(xiàng)式，更方便求解復(fù)根，并且可以一次求出一對(duì)根，它的收斂階高于不動(dòng)點(diǎn)迭代法，但是該方法對(duì)初始值的選取要求較高，若三個(gè)初始值選取的不合適，就有可能得出與準(zhǔn)確值出入較大的錯(cuò)誤結(jié)果，甚至導(dǎo)致迭代序列不收斂。二分法則是無(wú)論理解起來(lái)還是應(yīng)用起來(lái)都相對(duì)簡(jiǎn)單，并且安全可靠。處理復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，由于該方法需要迭代的次數(shù)過(guò)多，并不方便用來(lái)直接求解，在實(shí)際應(yīng)用中，二分法往往會(huì)用在其他方法之前那，因?yàn)樵摲椒梢酝ㄟ^(guò)計(jì)算或畫圖來(lái)確定根的大致區(qū)間，方便后的計(jì)算，并且二分法只能用來(lái)求單根，不能求重根。參考文獻(xiàn)雍龍泉.非線性方程的三種牛頓迭代方法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2020,23(01):76-79.陳娟,何斯日古楞.非線性方程的拋物線性化二重迭代法[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2019,35(10):1-2.陶昱西,王曉鋒.一種高效的求解非線性方程的史蒂芬森型迭代法[J].渤海大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2019,40(04):348-357.朱芳,石滿紅.一類求非線性方程的改進(jìn)迭代算法[J].南陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2016,15(09):14-18.李洋洋.非線性方程的迭代解法研究[D].合肥工業(yè)大學(xué),2012.曲建民.求解非線性方程的拋物線迭代法[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2006(04):304-308.汪天友,劉木靜,孫芳琴.非線性方程迭代法近似求根及程序?qū)崿F(xiàn)[J].貴陽(yáng)金筑大學(xué)學(xué)報(bào),2005(03):117-119.薛霜.非線性方程迭代解法的研究[D].合肥工業(yè)大學(xué),2014.付宏偉,曾梅蘭,繆彬彬.非線性方程求根的不動(dòng)點(diǎn)迭代法的數(shù)值實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)[J].湖北工程學(xué)院學(xué)報(bào),2020,40(03):81-83.柳輝.解非線性方程的牛頓迭代法及其應(yīng)用[J].重慶工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007(08):95-98.張禾瑞、郝炳新.《高等代數(shù)》（第五版）[M].高等教育出版社.樂(lè)經(jīng)良、向隆萬(wàn)、李世棟等.《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》（第二版）[M].高等教育出版社.王公俊.非線性方程迭代方法的研究[D].合肥工業(yè)大學(xué),2012.趙春陽(yáng),牛振波.幾種具有高階收斂速度的改進(jìn)牛頓迭代法[J].科技創(chuàng)新與應(yīng)用,2013(27):284-285.黃芳芳,湯玉榮.求解非線性方程的三種新的迭代法[J].山東工業(yè)技術(shù),2019(12):229-230.S.Weerakoon,T.G.I.Fernando.AvariantofNewton’smethodwithacceleratedthird-orderconvergence[J].AppliedMathematicsLetters,2000,13(8).HommeierHHH.OnNewton-typemethodswithcubicconvergence[J].JournalofComeputational&AppliedMathematies,2005,176(2):425-432.DarvishiMT,BaeatiA.Athird-orderNewton-typemethodtosolvesystemsofnonlinearequations[J].AppliedMathematicsandComputation,2007,187(2):630-635.KouJisheng,WangXiuhua.Six-ordervariantsofChebyshev-Halleymethodsforsolvingnon-linearequations[J].AppliedMathematicsandComputation,2007,190(2):1839-1843.李聲鋒.求解方程的一類迭代方法及其應(yīng)用[D].合肥工業(yè)大學(xué),2007.附錄1、不動(dòng)點(diǎn)迭代法程序clearclcx=1.5;esp=1e-6;N=100;y=zeros(N,1);fort=1:Nx=fun(x);y(t)=x;fprintf('第%d次,x=%f\n',t,x);ift>1ifabs(y(t)-y(t-1))<espbreak;endendendfunctionx=fun(x)x=(x+1).^(1./3);end2、牛頓法程序functionx=manewton(fun,dfun,x0,ep,N)ifnargin<5N=500;endif