【分段方法在數(shù)學探析實例中的應用技巧探究9600字（論文）】

分段方法在數(shù)學分析實例中的應用技巧研究內(nèi)容摘要數(shù)學中的分段方法本質(zhì)上是數(shù)學方法論中劃歸方法之中的一種;數(shù)學分析則是一門研究極限過程的理論和變量計算方法的科學.本文總結(jié)了數(shù)學分析實例中分段方法的應用技巧,首先把分段方法劃分為區(qū)間分段和數(shù)值分段方法這兩大類,再依據(jù)不同類型的問題所給條件及結(jié)論將區(qū)間分段和數(shù)值分段方法劃分成嵌套式分段,定義式分段和均等分段,同時將數(shù)值分段方法劃分作函數(shù)值分段和待定式中項的分段并對其進行了應用分析.本文得出了區(qū)間分段方法多用于定義及定理的表述過程,它有助于理論知識內(nèi)涵的準確表達;而數(shù)值分段方法多用于極限及積分具體問題的解答與證明,它將題目中需要求解的問題拆解成熟悉的知識點,以便于問題的解決.【關(guān)鍵詞】區(qū)間分段數(shù)值分段極限積分分段方法目錄TOC\o"1-3"\h\u88451.引言 1214392.分段方法和數(shù)學分析的分層釋義 123732.1分段方法 1227352.1.1區(qū)間及區(qū)間分段的含義 1306082.1.2數(shù)值及數(shù)值分段的含義 166942.2數(shù)學分析的釋義 12642.2.1極限 2160992.2.2變量計算方法 2211173.實例中的技巧淺析 25423.1區(qū)間分段 2322923.1.1嵌套式分段 2191403.1.2定義式分段 4159943.1.3均等分段 7172843.2數(shù)值分段 933453.2.1函數(shù)值分段 9314533.2.2待判定式子中項的分段 1153333.3分段方法在實例中的綜合應用 1553174.結(jié)束語 17924參考文獻 181.引言分段,分割與分解詞義相近,在本文中將統(tǒng)一使用分段一詞來表達這幾個詞匯.在解決某一問題時,先通過分段處理將整個問題部分化,逐個探究每個部分,理解其間聯(lián)系,解析問題的本質(zhì),以便于最終統(tǒng)籌處理,從而解決問題.這同樣顯示出了分段的重要性以及必要性,化繁為簡,各個擊破.當談及分段的概念,最先被想到的應該是分段函數(shù),通過對不同區(qū)間段進行細致的區(qū)分,從而更加準確地表達出函數(shù)的本質(zhì),這是在中學期間所學到的最典型的一種分段方法的應用.在大學期間,數(shù)學分析的學習過程中,分段方法的出現(xiàn)率和使用率也非常高,這一方法貫穿于多種數(shù)學定理、公式、定義、習題等的證明過程中,并且可用它解決的問題數(shù)量多且分布零散.在參考的多篇論文中,學者們已經(jīng)將分段的方法及技巧作了初步分析,提出過"分段估值"、"小區(qū)間法"、"化無窮為有限的分段方法"、"重疊區(qū)間分段法"、"利用對稱性分段"等的一系列概念,但都是零零散散討論了幾個小部分的技巧.在本文中,"區(qū)間分段"與"數(shù)值分段"將涵蓋前者已經(jīng)提到的那些分段技巧,并在此基礎(chǔ)上進行了相應的實例分析,以增強技巧的實用性.2.分段方法和數(shù)學分析的分層釋義2.1分段方法分段,在漢語詞典中的釋義是：將一篇文章分成各個不同的部分；在紡織準備工作（如取經(jīng)、卷紗、漿紗）中把經(jīng)紗分成的各部分.此處用到了第一個釋義的引申義：按時間或區(qū)域分成幾個部分.需要說明的是,分段方法就其本質(zhì)而言是數(shù)學方法論中的劃歸方法之中的一種.在解決數(shù)學問題的過程中,常常是將待解決的問題通過轉(zhuǎn)化,歸結(jié)為較熟悉的問題來解決,因為這樣就可以充分調(diào)動和運用已有的知識、經(jīng)驗和方法于問題的解決.這種問題之間的轉(zhuǎn)化歸結(jié)起來就是劃歸方法REF_Ref27883\w\h[5].本文所提出的區(qū)間分段及數(shù)值分段都屬于分段方法.2.1.1區(qū)間及區(qū)間分段的含義區(qū)間,是數(shù)軸上一種最常用的點集.它有三大類:閉區(qū)間,開區(qū)間,半開區(qū)間(半閉區(qū)間).區(qū)間即是數(shù)軸上的線段或射線或整個數(shù)值REF_Ref305\w\h[4].區(qū)間分段,即是按照某種方式將整體區(qū)間分成若干個小區(qū)間.2.1.2數(shù)值及數(shù)值分段的含義數(shù)值是一個漢語詞匯,指的是用數(shù)目表示的一個量的多少.數(shù)值分段,即是按照量的多少對未知問題進行劃分.2.2數(shù)學分析的釋義數(shù)學分析是分析學中最古老最基本的分支,一般指以微積分學和無窮級數(shù)一般理論為主要內(nèi)容，并包括它們的理論基礎(chǔ)(實數(shù),函數(shù)和極限的基本理論)的一個較為完整的數(shù)學學科.數(shù)學分析的研究對象是函數(shù),基本方法是極限的方法REF_Ref305\w\h[4].此處引用徐利治老先生在《數(shù)學分析的方法及例題選講》一書中寫到的對數(shù)學分析的闡述：數(shù)學分析,就其內(nèi)容性質(zhì)來說,是一門研究極限過程的理論與變量計算方法的科學；其中極限過程的內(nèi)部規(guī)律性是變量計算方法的理論根據(jù),變量計算的形式法則又是極限過程內(nèi)部規(guī)律性的外在表現(xiàn)REF_Ref20203\w\h[1].2.2.1極限首先"極限"概念是數(shù)學分支微積分學的基礎(chǔ)概念.廣義的"極限"是可以指"無限靠近而且永遠不能到達"的意思.而在數(shù)學中的"極限"定義是伴隨分析基礎(chǔ)嚴密化的過程不斷完善的.最終"極限"的嚴格概念由柯西和魏爾斯特拉斯等人嚴格闡述REF_Ref31298\w\h[3].公元前5世紀,古希臘芝諾悖論就涉及到極限問題,例如二分說,追龜說,飛箭靜止說等.歐多克索斯窮竭法也使用了極限概念.中國春秋戰(zhàn)國時代的莊子提出"一尺之棰"說,認識到"日取其半"而能"萬世不竭".劉徽的割圓術(shù)又指出,到"不可割"時能"與圓合體",這些都是極限方法的萌芽REF_Ref31298\w\h[3].最先對分析算數(shù)化做出貢獻的是捷克數(shù)學家波爾查諾(B.Bolzano,1781~1848).他對極限變量有深入理解,并給出函數(shù)連續(xù)的算數(shù)定義:如果在區(qū)間內(nèi)任一點x處,只要w的絕對值充分小,就能使差的絕對值任意小,則稱在該區(qū)間上連續(xù).分析嚴密化的代表人物之一是法國數(shù)學家柯西(A.-L.Cauchy,1789~1857).1821年他的《分析教程》(Coursd’analyse)出版,其中對變量,極限,無窮小量,函數(shù)連續(xù)等都作出了較為嚴格的定義.在書中,極限定義為當一個變量逐次所取的值無限趨近于一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小,這個定值叫做所有其他值的極限.分析基礎(chǔ)嚴密化的完成者是德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯(K.T.W.Weierstrass,1815~1897).他將嚴格的論證引進分析學,建立了實數(shù)理論,用遞增有界序列定義無理數(shù),給出了數(shù)集的上下極限,極限點,和連續(xù)函數(shù)等與現(xiàn)代定義一致的嚴格定義.其中,函數(shù)連續(xù)定義為:如果給定任何一個正數(shù)ε,都存在一個δ(>0),使得對于區(qū)間內(nèi)的所有x,都有則稱處連續(xù)REF_Ref31298\w\h[3].這個定義,借助不等式,通過ε和δ之間的關(guān)系,定量且具體地刻劃了兩個"無限過程"間的聯(lián)系.因此,這樣的定義是目前比較嚴格的定義,它可以作為科學論證的基礎(chǔ),至今仍在數(shù)學分析書籍中使用.在該定義中,涉及到的僅僅是‘數(shù)及其大小關(guān)系’,此外只是用給定、存在、任何等詞語,已經(jīng)擺脫了"趨近"一詞,不再求助于運動的直觀.(但是理解極限概念不能夠拋棄'運動趨勢'去理解,否則容易導致'把常量概念不科學地進入到微積分'領(lǐng)域里).2.2.2變量計算方法變量,指的是在某一個運動過程中數(shù)值變化的量.同樣,借助徐利治老先生的書籍,變量的計算方法可以廣義地了解為變量解析的方法,它并不專指微積分學中的一些簡易運算方法.例如,較復雜的解析式的估算法則（近似算法與漸進分析等）,變量間相對的比較法則（不等式與階的結(jié)算法則等）,不同形態(tài)的極限之間的聯(lián)系法則（無窮級數(shù)與無窮乘積的相互轉(zhuǎn)化；線積分與重積分的連結(jié)法則—如格林公式等）,各種類型的極限計算法則以及二重極限的換序法則等都無不屬于廣義的變量計算法則REF_Ref31298\w\h[3].3.實例中的技巧淺析3.1區(qū)間分段區(qū)間分段主要是指對函數(shù)值定義域進行分段,再推廣之后可以表示對整數(shù)集,一維區(qū)間，二維區(qū)域及高維區(qū)域的分段.此處泛指推廣之后的區(qū)間分段.3.1.1嵌套式分段嵌套式分段,即借助區(qū)間套逐漸逼近某一個固定的值,從而得到一系列區(qū)間的分段技巧.以下為確界原理中的嵌套分段解析.（嵌套式分段示意圖）例題1（確界原理）設S為非空數(shù)集,若S有上界,則S必有上確界；若S有下界,則S必有下確界.分析：本定理需要從上（下）界中找出上（下）確界,我們可以根據(jù)上確界（下確界）的定義來分段尋找,即找出最小上界（最大下界）,在此處可以借助十進制的思想,逐步縮小上確界的存在范圍,直至找到準確結(jié)果.在華東師范大學編著的數(shù)學分析上冊課本中,我們可以找到本原理的前半部分證明,那么此處我將類似地給出下確界的證明如下：證明：首先不妨設S含有負數(shù),即存在,有.由題目中的S有下界,因此可以找到負整數(shù),滿足：對于任意的,有存在,使得.再對上面找出來的半開半閉區(qū)間進行十等分,得到分點：則可找到0到9中的一個整數(shù),滿足要求：對于任意的,有存在,使得.延續(xù)上面對新找到的區(qū)間再次十等分,則存在0到9中的一個整數(shù),有下列條件成立：對于任意的,有存在,使得.接著對前一步得到的半開半閉區(qū)間作十等分,繼續(xù)該步驟若干次,可知:對于任意的,有:存在,使得.若將上述操作無限進行,可以得出負實數(shù).下證,即根據(jù)下確界定義要求只需證：顯然,由前面的區(qū)間假設過程有第一個條件成立,否則與假設相矛盾,則只需要驗證第二個條件即可.先假設,則存在負實數(shù)的k位過剩近似使得即得到這說明第二個條件也成立,故有小結(jié):嵌套式分段技巧的概念來源于區(qū)間套定義,它主要應用于函數(shù)有界情況下尋找確界以及實數(shù)的完備性理論中六個基本定理的等價性證明過程.3.1.2定義式分段定義式分段,即依據(jù)定義及定理,借助某一固定值以及任意小來確定需要分段的區(qū)間.3.1.2.1N分段和δ分段（1）在數(shù)學分析涉及到分段方法的極限部分,首先應是數(shù)列極限、函數(shù)極限的定義.（定義1）數(shù)列極限定義：設為數(shù)列,A為定數(shù).若對任給的正數(shù)ε,總存在正整數(shù)N,使得當n>N時有REF_Ref24207\w\h[2].在該定義中,利用N對待判定的數(shù)列進行分段處理,并對數(shù)列N項之后的部分加以限制,從而達到對數(shù)列性質(zhì)的準確表述.這便是N分段的由來及第一個應用.（定義2）函數(shù)極限定義：設函數(shù)f在點x0的某個空心鄰域內(nèi)有定義,A為定數(shù),若對于任給的,存在正數(shù),使得當時有,稱函數(shù)f當x趨于x0時以A為極限REF_Ref24207\w\h[2].在此定義中,利用δ對待估值的自變量區(qū)間分段,并借助相互控制的思想將函數(shù)值局限在某個范圍內(nèi),從而精確表達極限思想.此處是δ分段的出處及首次應用.類似地,函數(shù)連續(xù)以及一致連續(xù)定義也是利用δ對自變量區(qū)間分段,不同點在于連續(xù)時,δ的取值除依賴于ε外,還與點x的選取有關(guān)；而一致連續(xù)僅要求δ與ε有關(guān).（2）由數(shù)列極限和函數(shù)極限延伸出的數(shù)列極限問題及函數(shù)項級數(shù)問題中,N分段也經(jīng)常被應用.（定義3）數(shù)項級數(shù)收斂定義:若數(shù)項級數(shù)的部分和數(shù)列收斂于S(即),(其中),則稱此數(shù)項級數(shù)收斂,稱S為此數(shù)項級數(shù)的和，記作或者REF_Ref24207\w\h[2].（定義4）函數(shù)項級數(shù)收斂定義:若函數(shù)項級數(shù)的部分和數(shù)列收斂于S(x)(即),(其中),則稱此函數(shù)項級數(shù)收斂,稱S(x)為此函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)，記作即REF_Ref24207\w\h[2].在數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)收斂定義中也都借助了N分段對收斂性進行了準確表述.（3）一致連續(xù)問題中的δ分段應用例題2（有限開區(qū)間上一致連續(xù)函數(shù)在端點處的性質(zhì)）設f(x)在(A,b)連續(xù),則f(x)在(A,b)一致連續(xù)的充要條件為與均存在（有限）；設f(x)在連續(xù),且（有限）,則f(x)在一致連續(xù).分析：本題是一道典型的依據(jù)定義中的δ分段巧妙處理區(qū)間的習題.有限開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是否一致連續(xù)取決于函數(shù)在端點附近的狀態(tài),開區(qū)間上的一致連續(xù)函數(shù)可以延拓到閉區(qū)間上的（一致）連續(xù)函數(shù),從而有限區(qū)間上的一致連續(xù)函數(shù)一定是有界的.那么本例題的關(guān)鍵就回歸到對端點處及無窮遠處函數(shù)值的處理,合理劃分區(qū)間,借助康托定理進行證明一致連續(xù).證：必要性.由于f(x)在(A,b)一致連續(xù),故對任給的,存在,使得,有于是有,就有因此由柯西準則可知存在,同理可證得也存在.充分性.由于與都存在,于是可定義函數(shù)函數(shù)則有所給條件可知f(x)在[A,b]連續(xù),由康托定理可得f(x)在[A,b]一致連續(xù),從而在(A,b)上也一致連續(xù),即f(x)在(A,b)一致連續(xù).由于,同時再依據(jù)柯西準則可以得出來：于是,對任意的,當時,x',x"或者都屬于,或者都屬于,再結(jié)合前面的討論可以得出一定有這說明f(x)在一致連續(xù).小注:本題是一道典型的依據(jù)定義中的δ分段巧妙處理區(qū)間的習題,證明過程中出現(xiàn)的,同時需要注意在問題區(qū)間分段討論過程中必須保證所有情況都有涉及到,因此重疊區(qū)間的使用必不可少.3.1.2.2無窮點分段和瑕點分段無窮點分段和瑕點分段都出自于反常積分概念.函數(shù)f在上的無窮限反常積分可定義為:無界函數(shù)f在上的反常積分可定義為:上述對反常積分收斂的定義借助極限對積分區(qū)域分段,得到無窮遠點及瑕點的鄰近區(qū)間與正常區(qū)間,從而達到對收斂性的精確表達.3.1.2.3T分段T分段是針對定積分問題提出的對積分區(qū)間進行分段的方法,具體應用時需要根據(jù)問題做出不同的分段處理.（1）(定義5)定積分的定義:設f是定義在的一個函數(shù).J是一個確定的實數(shù).若對于任給的,存在正數(shù),使得對的任何分割T以及在其上任意選取的點集,只要就有則稱函數(shù)f在區(qū)間上可積或黎曼可積,數(shù)J稱為f在上的定積分或黎曼積分,記作REF_Ref24207\w\h[2].（2）積分定義中的無限均等T分段通過無窮分段,定積分概念以及曲線積分,曲面積分,二重積分,三重積分等的定義得以提出并嚴格表述.最初學習定積分時,是從求曲邊梯形的面積和求變力作功這兩個問題出發(fā),然后將解題關(guān)鍵歸結(jié)到一個特定形式的合式逼近,并引出在科學技術(shù)中解決同類問題所用的思想方法"分割,近似求和,取極限",最后再引申出定積分的定義.此處的"分割",是分段的同義替換,利用定積分的定義,且針對不同的問題作不同的分段處理,得到了實際應用中所需要幾個必備公式：平面圖形的面積公式,由平行截面求體積的公式,平面曲線的弧長公式以及旋轉(zhuǎn)曲面的面積公式.前面所提及的這幾個公式僅僅是最簡單的平面上一元函數(shù)定積分的應用,之后再次對多元函數(shù)進行探索,引申出了多元函數(shù)的積分問題,通過多樣化的T分段,得到了含參量積分,第一型曲線積分,第二型曲線積分,二重積分,三重積分,第一型曲面積分和第二型曲面積分這一多元化的積分體系.同時,在各種積分概念的提出過程中,多樣的T分段定義法也相應地決定了多樣的計算方法,反過來,多樣化的計算角度也將其中蘊涵的分段方法的優(yōu)勢表現(xiàn)出來.最簡單的一元函數(shù)定積分一般是對平面直線作分段得到的,它計算時依據(jù)函數(shù)表達形式的不同會有不同的表示,當寫作時是對x或者y進行積分,尋找上下積分限,當寫作參數(shù)方程時是對參數(shù)t進行積分,當寫作極坐標方程時是對θ進行積分.多元函數(shù)積分需要分情況說明,二元函數(shù)曲線積分是對平面曲線進行分段得到的,三元曲線積分則是對空間曲線進行分段得到.并且第二型曲線積分較第一型曲線積分而言加入了方向因素,這兩種曲線積分一般情況下都是需要在參數(shù)方程的基礎(chǔ)上套公式來計算的.二重積分本質(zhì)上解決的是求曲頂柱體的體積這一幾何問題.首先要求二元函數(shù)定義在可求面積的有界閉區(qū)域上,然后通過直線網(wǎng)（簡化模型最簡單的方法）對平面閉區(qū)域進行分割,得到一個個的小立方柱體,再近似求和取極限.它在計算時一般需要依據(jù)平面圖形的特點來分情況進行：,最后化為累次積分進行計算.對于被積函數(shù)十分復雜的情況下,可以采用變量替換的方法,達到簡化被積函數(shù)或簡化積分區(qū)域的效果.三重積分是由空間立體求質(zhì)量問題引申出的一類積分,它則是對三維空間上的可求體積的有界閉域進行分割,并對定義其上的作近似處理求和并取極限.它的計算類似于二重積分,化為累次積分逐個求解,關(guān)鍵在于對單個積分上下限的選取,同樣的也可以用換元法簡化計算.最后是曲面積分,它是在二重積分對平面區(qū)域分割的基礎(chǔ)上再次深入得到.正如其名稱所言,它是對空間中可求面積的曲面分割,并對其定義上的三元函數(shù)近似處理求和,最后求極限的積分.第二型曲面積分同樣加入了方向因素,兩類曲面積分計算時都需要借助二重積分實現(xiàn).小結(jié):N分段,δ分段和T分段作為區(qū)間分段方法多用于定義的表述中.3.1.3均等分段均等分段，即按照平均分割的原則將整個區(qū)間分成大小相等的多個小區(qū)間的方法.例題3變化的區(qū)間轉(zhuǎn)化為相對固定的區(qū)間設函數(shù)f(x)在上一致連續(xù),且對任意固定的,都有證明分析：通過分段法將變化的x轉(zhuǎn)化為有限個的樣子（這里是和x有關(guān)的整數(shù)）,然后利用絕對值放縮結(jié)合一致連續(xù)加以證明.證明：由條件中f(x)在上一致連續(xù)有,,存在,使得,有現(xiàn)在對[0,1]作分割,將其平均分割為份,并設分割點為,則每小段長度相等且小于δ.那么對于任意的x>0,取正整數(shù),就有由上面對[0,1]所作的分割,可有對每一個,都存在對應的使得也就是,再利用一致連續(xù)的定義,就有同時,利用已知,對于任意的,都有于是對于以上的,使得當時,有現(xiàn)在取,那么當時,就有由上述條件可以有,當時,,此時就會有這說明例題4周期函數(shù)的一致連續(xù)性（化無窮為有限）若f(x)是R上以t為周期的連續(xù)函數(shù),則f(x)在R上一致連續(xù).分析：首先對某一個周期上的函數(shù)一致連續(xù)性進行判斷,再依據(jù)周期函數(shù)的特點把其余范圍內(nèi)的函數(shù)與已判斷的區(qū)域作聯(lián)系,從而得到整個R上的結(jié)論.證明：由于f(x)為連續(xù)函數(shù),則f(x)在[0,2t]連續(xù),進而一致連續(xù),所以,使得對任意的,有對任意的,不妨設,當時,又有存在整數(shù)n,因此可以使得另外設即,且有,于是這說明f(x)在R上一致連續(xù).例題5積分不等式問題中的合理分段設f(x)在可導,且對任意的,證明對任意的正整數(shù)n,有分析：首先需要知道積分是函數(shù)求和的極限,同時也必須知道積分可以寫成積分和的形式（對積分區(qū)間n等分,再利用區(qū)間可加性）,在小區(qū)間上可以利用積分第一中值定理得到關(guān)于不等式左端的形式.證明：,由拉格朗日中值定理可以有,,使得從而則命題得證.小結(jié):平均分段這種區(qū)間分段方法多用于處理無限區(qū)間上函數(shù)性質(zhì)的探索,尤其是處理周期函數(shù)，積分不等式及計算時經(jīng)常會被使用.3.2數(shù)值分段數(shù)值本意為量的多少,此處包括兩層含義:函數(shù)值和問題中的待定式.3.2.1函數(shù)值分段這種方法是說解決問題過程中將函數(shù)值性質(zhì)不好（無窮大，任意小等與正常值差別太大）的點分離出來，得到函數(shù)值正常有界與函數(shù)值異常兩部分，再將分別對應的點放到兩個新的區(qū)間中，即得到轉(zhuǎn)化后的新區(qū)間分段.例題5黎曼函數(shù)的本質(zhì)問題記黎曼函數(shù)則有.解答：,由滿足即的正整數(shù)q最多只有有限個,從而對應的既約真分數(shù)也只有有限個,將這有限個點分別設為,則,限制,則有.并且顯然有,從而.(黎曼函數(shù)圖像)現(xiàn)在,,我們分兩種情況進行討論：當時,取則,都有,從而有,即.若存在j使得,此時可以取則都有,從而有,即.綜上所述,有.小結(jié)：該問題的解答過程中應用了函數(shù)值分段的思想,根據(jù)所需求的函數(shù)值范圍,去掉不好的點,并對留下來的點再次進行取鄰域,求極限,從而得出本題結(jié)論.例題6黎曼函數(shù)的可積性問題證明黎曼函數(shù)R(x)在[0,1]可積,且分析：由黎曼函數(shù)符合函數(shù)值大于ε的點只有有限多個,可以將這有限個點所在的區(qū)間長度限制為足夠小,而其余區(qū)間的振幅都小于ε,則整體可以達到足夠小.證明：對任意給定的,在[0,1]上滿足的有理點只有有限個,而在無理點處恒有函數(shù)值為0,即有滿足條件在上的點有且只有有限個,并設為現(xiàn)在對[0,1]作分割,使得,并把t中所有的小區(qū)間分為與兩類.其中為包含中的點的所有小區(qū)間,其個數(shù)（因為每個點至多屬于兩個區(qū)間）；而為t中所有其余不含中的點的小區(qū)間.由于R(x)在上的振幅,于是而R(x)在上的振幅,于是將兩部分合并,可知即R(x)在[0,1]可積.由已證得R(x)在[0,1]可積,有當取全為無理點時,便得到,再依據(jù)積分定義式有至此命題得證.小結(jié):通過對函數(shù)值進行分段從而得到新的區(qū)間分段的方法一般用于對黎曼函數(shù)性質(zhì)的探索.類似地,解決黎曼函數(shù)這種特殊的函數(shù)問題時多會用到這種方法.3.2.2待判定式子中項的分段待判定式子（即表示題目中要求計算的等式或者需要證明的不等式）作等價移項之后,對式子進行分項處理,得到與條件中已知的分式值相關(guān)的信息,就是對待判定式子作項的分段的含義.（1）數(shù)列極限例題7平均值定理（柯西命題）定理內(nèi)容：已知.則有；分析：根據(jù)已知極限證明另一個極限,首先依據(jù)定義寫出已知,再找出要證明極限與所給條件的數(shù)值關(guān)系,然后找出符合定義要求的N,得出極限成立即可.關(guān)鍵之處在于建立關(guān)系,找定義中存在的那個N（一般不固定）.這道題是一道比較典型的利用定義并合理對所求不等式進行分項處理,分段估值的數(shù)列極限證明題.證明：a.當A是有限數(shù)時,由,對任意的,存在正整數(shù)n,使得時,有,對于以上固定的n,可以有.于是,對于以上的ε,存在正整數(shù),使得時,有.因此,時,就有由ε的任意性,說明結(jié)論成立.b.當時,對任意的,由可知存在,使得時,有,固定,由于,.所以存在,使得時,有,.于是又有時,這說明.c.當時,可知,從而由第二部分證明可以得出,于是.綜上所述,結(jié)論成立.由平均值不等式有a.當時,由于題目中,可以有,因此再依據(jù)第一問中的結(jié)論有,,從而有,最后由迫斂性得b.當時,只需要將寫作或0,同樣利用第一問可以得出結(jié)論成立.（2）帶有定積分的極限例題8分段積分求極限分析：用分段積分,首先需要明確在那些點有問題,從而明確如何做分段.解答：,有,所以有于是于是時,有這說明數(shù)項級數(shù)綜合問題例題9借助阿貝爾變換實現(xiàn)的對所求值分段已知收斂,證明：對任意的嚴格單調(diào)遞增趨近于的正數(shù)列有注：（Stolz公式）已知嚴格單調(diào)遞增趨于正無窮,且（其中A是有限數(shù)或正無窮或負無窮）,則.證明：由于存在,則可以根據(jù)阿貝爾變換公式以及Stolz公式作如下變形：小結(jié)：本題利用了極端重要的阿貝爾變換方法對所求數(shù)列進行拆項分段,這種方法在數(shù)學分析的學習中特別重要,尤其多用于數(shù)項級數(shù)的相關(guān)練習.（4）含參量積分的極限例題10已知f(x)在有定義且在任意有限區(qū)間可積,,則分析：由所需要證的結(jié)論出發(fā),我們可以發(fā)現(xiàn)利用逆向思維,則可以證明即僅需證明可以對進行分段得到兩個分式和,前者當時,有分母趨近于正無窮,分子有限,故可以任意??；后者當時,也可達到任意小.證明：由條件所給的,有對于固定的M,顯然有則存在,使得x>N時，有因此,又有至此,得證,即有命題得證.小結(jié):在3.2.2小節(jié)中提到的對待判定等式及不等式進行拆項分段的方法是在數(shù)學分析每一類問題中都會用到的.借助逆向思維,從結(jié)論出發(fā)思考,這種分段方法難度最大,需要綜合對定義,定理以及各種經(jīng)典的等式和不等式的分析，在對待判定式子合理移項的基礎(chǔ)上,選取恰當?shù)牟鸱贮c才可以達到最終簡化問題的效果.3.3分段方法在實例中的綜合應用在前兩個小結(jié)中的實例淺析過程中，很容易可以發(fā)現(xiàn):實際處理問題時，需要多種分段方法技巧的綜合使用，其中數(shù)值分段方法下的待判定式子中項的分段方法最為重要，重疊區(qū)間與定義式分段方法使用率很高。最后，通過對一個例題的深度解析，體會一次分段方法的具體使用過程。例題11