【分段方法在數(shù)學(xué)探析實(shí)例中的應(yīng)用技巧探究9600字（論文）】

分段方法在數(shù)學(xué)分析實(shí)例中的應(yīng)用技巧研究內(nèi)容摘要數(shù)學(xué)中的分段方法本質(zhì)上是數(shù)學(xué)方法論中劃歸方法之中的一種;數(shù)學(xué)分析則是一門研究極限過程的理論和變量計(jì)算方法的科學(xué).本文總結(jié)了數(shù)學(xué)分析實(shí)例中分段方法的應(yīng)用技巧,首先把分段方法劃分為區(qū)間分段和數(shù)值分段方法這兩大類,再依據(jù)不同類型的問題所給條件及結(jié)論將區(qū)間分段和數(shù)值分段方法劃分成嵌套式分段,定義式分段和均等分段,同時(shí)將數(shù)值分段方法劃分作函數(shù)值分段和待定式中項(xiàng)的分段并對(duì)其進(jìn)行了應(yīng)用分析.本文得出了區(qū)間分段方法多用于定義及定理的表述過程,它有助于理論知識(shí)內(nèi)涵的準(zhǔn)確表達(dá);而數(shù)值分段方法多用于極限及積分具體問題的解答與證明,它將題目中需要求解的問題拆解成熟悉的知識(shí)點(diǎn),以便于問題的解決.【關(guān)鍵詞】區(qū)間分段數(shù)值分段極限積分分段方法目錄TOC\o"1-3"\h\u88451.引言 1214392.分段方法和數(shù)學(xué)分析的分層釋義 123732.1分段方法 1227352.1.1區(qū)間及區(qū)間分段的含義 1306082.1.2數(shù)值及數(shù)值分段的含義 166942.2數(shù)學(xué)分析的釋義 12642.2.1極限 2160992.2.2變量計(jì)算方法 2211173.實(shí)例中的技巧淺析 25423.1區(qū)間分段 2322923.1.1嵌套式分段 2191403.1.2定義式分段 4159943.1.3均等分段 7172843.2數(shù)值分段 933453.2.1函數(shù)值分段 9314533.2.2待判定式子中項(xiàng)的分段 1153333.3分段方法在實(shí)例中的綜合應(yīng)用 1553174.結(jié)束語 17924參考文獻(xiàn) 181.引言分段,分割與分解詞義相近,在本文中將統(tǒng)一使用分段一詞來表達(dá)這幾個(gè)詞匯.在解決某一問題時(shí),先通過分段處理將整個(gè)問題部分化,逐個(gè)探究每個(gè)部分,理解其間聯(lián)系,解析問題的本質(zhì),以便于最終統(tǒng)籌處理,從而解決問題.這同樣顯示出了分段的重要性以及必要性,化繁為簡,各個(gè)擊破.當(dāng)談及分段的概念,最先被想到的應(yīng)該是分段函數(shù),通過對(duì)不同區(qū)間段進(jìn)行細(xì)致的區(qū)分,從而更加準(zhǔn)確地表達(dá)出函數(shù)的本質(zhì),這是在中學(xué)期間所學(xué)到的最典型的一種分段方法的應(yīng)用.在大學(xué)期間,數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)過程中,分段方法的出現(xiàn)率和使用率也非常高,這一方法貫穿于多種數(shù)學(xué)定理、公式、定義、習(xí)題等的證明過程中,并且可用它解決的問題數(shù)量多且分布零散.在參考的多篇論文中,學(xué)者們已經(jīng)將分段的方法及技巧作了初步分析,提出過"分段估值"、"小區(qū)間法"、"化無窮為有限的分段方法"、"重疊區(qū)間分段法"、"利用對(duì)稱性分段"等的一系列概念,但都是零零散散討論了幾個(gè)小部分的技巧.在本文中,"區(qū)間分段"與"數(shù)值分段"將涵蓋前者已經(jīng)提到的那些分段技巧,并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了相應(yīng)的實(shí)例分析,以增強(qiáng)技巧的實(shí)用性.2.分段方法和數(shù)學(xué)分析的分層釋義2.1分段方法分段,在漢語詞典中的釋義是：將一篇文章分成各個(gè)不同的部分；在紡織準(zhǔn)備工作（如取經(jīng)、卷紗、漿紗）中把經(jīng)紗分成的各部分.此處用到了第一個(gè)釋義的引申義：按時(shí)間或區(qū)域分成幾個(gè)部分.需要說明的是,分段方法就其本質(zhì)而言是數(shù)學(xué)方法論中的劃歸方法之中的一種.在解決數(shù)學(xué)問題的過程中,常常是將待解決的問題通過轉(zhuǎn)化,歸結(jié)為較熟悉的問題來解決,因?yàn)檫@樣就可以充分調(diào)動(dòng)和運(yùn)用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法于問題的解決.這種問題之間的轉(zhuǎn)化歸結(jié)起來就是劃歸方法REF_Ref27883\w\h[5].本文所提出的區(qū)間分段及數(shù)值分段都屬于分段方法.2.1.1區(qū)間及區(qū)間分段的含義區(qū)間,是數(shù)軸上一種最常用的點(diǎn)集.它有三大類:閉區(qū)間,開區(qū)間,半開區(qū)間(半閉區(qū)間).區(qū)間即是數(shù)軸上的線段或射線或整個(gè)數(shù)值REF_Ref305\w\h[4].區(qū)間分段,即是按照某種方式將整體區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間.2.1.2數(shù)值及數(shù)值分段的含義數(shù)值是一個(gè)漢語詞匯,指的是用數(shù)目表示的一個(gè)量的多少.數(shù)值分段,即是按照量的多少對(duì)未知問題進(jìn)行劃分.2.2數(shù)學(xué)分析的釋義數(shù)學(xué)分析是分析學(xué)中最古老最基本的分支,一般指以微積分學(xué)和無窮級(jí)數(shù)一般理論為主要內(nèi)容，并包括它們的理論基礎(chǔ)(實(shí)數(shù),函數(shù)和極限的基本理論)的一個(gè)較為完整的數(shù)學(xué)學(xué)科.數(shù)學(xué)分析的研究對(duì)象是函數(shù),基本方法是極限的方法REF_Ref305\w\h[4].此處引用徐利治老先生在《數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講》一書中寫到的對(duì)數(shù)學(xué)分析的闡述：數(shù)學(xué)分析,就其內(nèi)容性質(zhì)來說,是一門研究極限過程的理論與變量計(jì)算方法的科學(xué)；其中極限過程的內(nèi)部規(guī)律性是變量計(jì)算方法的理論根據(jù),變量計(jì)算的形式法則又是極限過程內(nèi)部規(guī)律性的外在表現(xiàn)REF_Ref20203\w\h[1].2.2.1極限首先"極限"概念是數(shù)學(xué)分支微積分學(xué)的基礎(chǔ)概念.廣義的"極限"是可以指"無限靠近而且永遠(yuǎn)不能到達(dá)"的意思.而在數(shù)學(xué)中的"極限"定義是伴隨分析基礎(chǔ)嚴(yán)密化的過程不斷完善的.最終"極限"的嚴(yán)格概念由柯西和魏爾斯特拉斯等人嚴(yán)格闡述REF_Ref31298\w\h[3].公元前5世紀(jì),古希臘芝諾悖論就涉及到極限問題,例如二分說,追龜說,飛箭靜止說等.歐多克索斯窮竭法也使用了極限概念.中國春秋戰(zhàn)國時(shí)代的莊子提出"一尺之棰"說,認(rèn)識(shí)到"日取其半"而能"萬世不竭".劉徽的割圓術(shù)又指出,到"不可割"時(shí)能"與圓合體",這些都是極限方法的萌芽REF_Ref31298\w\h[3].最先對(duì)分析算數(shù)化做出貢獻(xiàn)的是捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾(B.Bolzano,1781~1848).他對(duì)極限變量有深入理解,并給出函數(shù)連續(xù)的算數(shù)定義:如果在區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)x處,只要w的絕對(duì)值充分小,就能使差的絕對(duì)值任意小,則稱在該區(qū)間上連續(xù).分析嚴(yán)密化的代表人物之一是法國數(shù)學(xué)家柯西(A.-L.Cauchy,1789~1857).1821年他的《分析教程》(Coursd’analyse)出版,其中對(duì)變量,極限,無窮小量,函數(shù)連續(xù)等都作出了較為嚴(yán)格的定義.在書中,極限定義為當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無限趨近于一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小,這個(gè)定值叫做所有其他值的極限.分析基礎(chǔ)嚴(yán)密化的完成者是德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯(K.T.W.Weierstrass,1815~1897).他將嚴(yán)格的論證引進(jìn)分析學(xué),建立了實(shí)數(shù)理論,用遞增有界序列定義無理數(shù),給出了數(shù)集的上下極限,極限點(diǎn),和連續(xù)函數(shù)等與現(xiàn)代定義一致的嚴(yán)格定義.其中,函數(shù)連續(xù)定義為:如果給定任何一個(gè)正數(shù)ε,都存在一個(gè)δ(>0),使得對(duì)于區(qū)間內(nèi)的所有x,都有則稱處連續(xù)REF_Ref31298\w\h[3].這個(gè)定義,借助不等式,通過ε和δ之間的關(guān)系,定量且具體地刻劃了兩個(gè)"無限過程"間的聯(lián)系.因此,這樣的定義是目前比較嚴(yán)格的定義,它可以作為科學(xué)論證的基礎(chǔ),至今仍在數(shù)學(xué)分析書籍中使用.在該定義中,涉及到的僅僅是‘?dāng)?shù)及其大小關(guān)系’,此外只是用給定、存在、任何等詞語,已經(jīng)擺脫了"趨近"一詞,不再求助于運(yùn)動(dòng)的直觀.(但是理解極限概念不能夠拋棄'運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)'去理解,否則容易導(dǎo)致'把常量概念不科學(xué)地進(jìn)入到微積分'領(lǐng)域里).2.2.2變量計(jì)算方法變量,指的是在某一個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中數(shù)值變化的量.同樣,借助徐利治老先生的書籍,變量的計(jì)算方法可以廣義地了解為變量解析的方法,它并不專指微積分學(xué)中的一些簡易運(yùn)算方法.例如,較復(fù)雜的解析式的估算法則（近似算法與漸進(jìn)分析等）,變量間相對(duì)的比較法則（不等式與階的結(jié)算法則等）,不同形態(tài)的極限之間的聯(lián)系法則（無窮級(jí)數(shù)與無窮乘積的相互轉(zhuǎn)化；線積分與重積分的連結(jié)法則—如格林公式等）,各種類型的極限計(jì)算法則以及二重極限的換序法則等都無不屬于廣義的變量計(jì)算法則REF_Ref31298\w\h[3].3.實(shí)例中的技巧淺析3.1區(qū)間分段區(qū)間分段主要是指對(duì)函數(shù)值定義域進(jìn)行分段,再推廣之后可以表示對(duì)整數(shù)集,一維區(qū)間，二維區(qū)域及高維區(qū)域的分段.此處泛指推廣之后的區(qū)間分段.3.1.1嵌套式分段嵌套式分段,即借助區(qū)間套逐漸逼近某一個(gè)固定的值,從而得到一系列區(qū)間的分段技巧.以下為確界原理中的嵌套分段解析.（嵌套式分段示意圖）例題1（確界原理）設(shè)S為非空數(shù)集,若S有上界,則S必有上確界；若S有下界,則S必有下確界.分析：本定理需要從上（下）界中找出上（下）確界,我們可以根據(jù)上確界（下確界）的定義來分段尋找,即找出最小上界（最大下界）,在此處可以借助十進(jìn)制的思想,逐步縮小上確界的存在范圍,直至找到準(zhǔn)確結(jié)果.在華東師范大學(xué)編著的數(shù)學(xué)分析上冊(cè)課本中,我們可以找到本原理的前半部分證明,那么此處我將類似地給出下確界的證明如下：證明：首先不妨設(shè)S含有負(fù)數(shù),即存在,有.由題目中的S有下界,因此可以找到負(fù)整數(shù),滿足：對(duì)于任意的,有存在,使得.再對(duì)上面找出來的半開半閉區(qū)間進(jìn)行十等分,得到分點(diǎn)：則可找到0到9中的一個(gè)整數(shù),滿足要求：對(duì)于任意的,有存在,使得.延續(xù)上面對(duì)新找到的區(qū)間再次十等分,則存在0到9中的一個(gè)整數(shù),有下列條件成立：對(duì)于任意的,有存在,使得.接著對(duì)前一步得到的半開半閉區(qū)間作十等分,繼續(xù)該步驟若干次,可知:對(duì)于任意的,有:存在,使得.若將上述操作無限進(jìn)行,可以得出負(fù)實(shí)數(shù).下證,即根據(jù)下確界定義要求只需證：顯然,由前面的區(qū)間假設(shè)過程有第一個(gè)條件成立,否則與假設(shè)相矛盾,則只需要驗(yàn)證第二個(gè)條件即可.先假設(shè),則存在負(fù)實(shí)數(shù)的k位過剩近似使得即得到這說明第二個(gè)條件也成立,故有小結(jié):嵌套式分段技巧的概念來源于區(qū)間套定義,它主要應(yīng)用于函數(shù)有界情況下尋找確界以及實(shí)數(shù)的完備性理論中六個(gè)基本定理的等價(jià)性證明過程.3.1.2定義式分段定義式分段,即依據(jù)定義及定理,借助某一固定值以及任意小來確定需要分段的區(qū)間.3.1.2.1N分段和δ分段（1）在數(shù)學(xué)分析涉及到分段方法的極限部分,首先應(yīng)是數(shù)列極限、函數(shù)極限的定義.（定義1）數(shù)列極限定義：設(shè)為數(shù)列,A為定數(shù).若對(duì)任給的正數(shù)ε,總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí)有REF_Ref24207\w\h[2].在該定義中,利用N對(duì)待判定的數(shù)列進(jìn)行分段處理,并對(duì)數(shù)列N項(xiàng)之后的部分加以限制,從而達(dá)到對(duì)數(shù)列性質(zhì)的準(zhǔn)確表述.這便是N分段的由來及第一個(gè)應(yīng)用.（定義2）函數(shù)極限定義：設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)x0的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義,A為定數(shù),若對(duì)于任給的,存在正數(shù),使得當(dāng)時(shí)有,稱函數(shù)f當(dāng)x趨于x0時(shí)以A為極限REF_Ref24207\w\h[2].在此定義中,利用δ對(duì)待估值的自變量區(qū)間分段,并借助相互控制的思想將函數(shù)值局限在某個(gè)范圍內(nèi),從而精確表達(dá)極限思想.此處是δ分段的出處及首次應(yīng)用.類似地,函數(shù)連續(xù)以及一致連續(xù)定義也是利用δ對(duì)自變量區(qū)間分段,不同點(diǎn)在于連續(xù)時(shí),δ的取值除依賴于ε外,還與點(diǎn)x的選取有關(guān)；而一致連續(xù)僅要求δ與ε有關(guān).（2）由數(shù)列極限和函數(shù)極限延伸出的數(shù)列極限問題及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)問題中,N分段也經(jīng)常被應(yīng)用.（定義3）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂定義:若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂于S(即),(其中),則稱此數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,稱S為此數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，記作或者REF_Ref24207\w\h[2].（定義4）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂定義:若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂于S(x)(即),(其中),則稱此函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,稱S(x)為此函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，記作即REF_Ref24207\w\h[2].在數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂定義中也都借助了N分段對(duì)收斂性進(jìn)行了準(zhǔn)確表述.（3）一致連續(xù)問題中的δ分段應(yīng)用例題2（有限開區(qū)間上一致連續(xù)函數(shù)在端點(diǎn)處的性質(zhì)）設(shè)f(x)在(A,b)連續(xù),則f(x)在(A,b)一致連續(xù)的充要條件為與均存在（有限）；設(shè)f(x)在連續(xù),且（有限）,則f(x)在一致連續(xù).分析：本題是一道典型的依據(jù)定義中的δ分段巧妙處理區(qū)間的習(xí)題.有限開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是否一致連續(xù)取決于函數(shù)在端點(diǎn)附近的狀態(tài),開區(qū)間上的一致連續(xù)函數(shù)可以延拓到閉區(qū)間上的（一致）連續(xù)函數(shù),從而有限區(qū)間上的一致連續(xù)函數(shù)一定是有界的.那么本例題的關(guān)鍵就回歸到對(duì)端點(diǎn)處及無窮遠(yuǎn)處函數(shù)值的處理,合理劃分區(qū)間,借助康托定理進(jìn)行證明一致連續(xù).證：必要性.由于f(x)在(A,b)一致連續(xù),故對(duì)任給的,存在,使得,有于是有,就有因此由柯西準(zhǔn)則可知存在,同理可證得也存在.充分性.由于與都存在,于是可定義函數(shù)函數(shù)則有所給條件可知f(x)在[A,b]連續(xù),由康托定理可得f(x)在[A,b]一致連續(xù),從而在(A,b)上也一致連續(xù),即f(x)在(A,b)一致連續(xù).由于,同時(shí)再依據(jù)柯西準(zhǔn)則可以得出來：于是,對(duì)任意的,當(dāng)時(shí),x',x"或者都屬于,或者都屬于,再結(jié)合前面的討論可以得出一定有這說明f(x)在一致連續(xù).小注:本題是一道典型的依據(jù)定義中的δ分段巧妙處理區(qū)間的習(xí)題,證明過程中出現(xiàn)的,同時(shí)需要注意在問題區(qū)間分段討論過程中必須保證所有情況都有涉及到,因此重疊區(qū)間的使用必不可少.3.1.2.2無窮點(diǎn)分段和瑕點(diǎn)分段無窮點(diǎn)分段和瑕點(diǎn)分段都出自于反常積分概念.函數(shù)f在上的無窮限反常積分可定義為:無界函數(shù)f在上的反常積分可定義為:上述對(duì)反常積分收斂的定義借助極限對(duì)積分區(qū)域分段,得到無窮遠(yuǎn)點(diǎn)及瑕點(diǎn)的鄰近區(qū)間與正常區(qū)間,從而達(dá)到對(duì)收斂性的精確表達(dá).3.1.2.3T分段T分段是針對(duì)定積分問題提出的對(duì)積分區(qū)間進(jìn)行分段的方法,具體應(yīng)用時(shí)需要根據(jù)問題做出不同的分段處理.（1）(定義5)定積分的定義:設(shè)f是定義在的一個(gè)函數(shù).J是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).若對(duì)于任給的,存在正數(shù),使得對(duì)的任何分割T以及在其上任意選取的點(diǎn)集,只要就有則稱函數(shù)f在區(qū)間上可積或黎曼可積,數(shù)J稱為f在上的定積分或黎曼積分,記作REF_Ref24207\w\h[2].（2）積分定義中的無限均等T分段通過無窮分段,定積分概念以及曲線積分,曲面積分,二重積分,三重積分等的定義得以提出并嚴(yán)格表述.最初學(xué)習(xí)定積分時(shí),是從求曲邊梯形的面積和求變力作功這兩個(gè)問題出發(fā),然后將解題關(guān)鍵歸結(jié)到一個(gè)特定形式的合式逼近,并引出在科學(xué)技術(shù)中解決同類問題所用的思想方法"分割,近似求和,取極限",最后再引申出定積分的定義.此處的"分割",是分段的同義替換,利用定積分的定義,且針對(duì)不同的問題作不同的分段處理,得到了實(shí)際應(yīng)用中所需要幾個(gè)必備公式：平面圖形的面積公式,由平行截面求體積的公式,平面曲線的弧長公式以及旋轉(zhuǎn)曲面的面積公式.前面所提及的這幾個(gè)公式僅僅是最簡單的平面上一元函數(shù)定積分的應(yīng)用,之后再次對(duì)多元函數(shù)進(jìn)行探索,引申出了多元函數(shù)的積分問題,通過多樣化的T分段,得到了含參量積分,第一型曲線積分,第二型曲線積分,二重積分,三重積分,第一型曲面積分和第二型曲面積分這一多元化的積分體系.同時(shí),在各種積分概念的提出過程中,多樣的T分段定義法也相應(yīng)地決定了多樣的計(jì)算方法,反過來,多樣化的計(jì)算角度也將其中蘊(yùn)涵的分段方法的優(yōu)勢(shì)表現(xiàn)出來.最簡單的一元函數(shù)定積分一般是對(duì)平面直線作分段得到的,它計(jì)算時(shí)依據(jù)函數(shù)表達(dá)形式的不同會(huì)有不同的表示,當(dāng)寫作時(shí)是對(duì)x或者y進(jìn)行積分,尋找上下積分限,當(dāng)寫作參數(shù)方程時(shí)是對(duì)參數(shù)t進(jìn)行積分,當(dāng)寫作極坐標(biāo)方程時(shí)是對(duì)θ進(jìn)行積分.多元函數(shù)積分需要分情況說明,二元函數(shù)曲線積分是對(duì)平面曲線進(jìn)行分段得到的,三元曲線積分則是對(duì)空間曲線進(jìn)行分段得到.并且第二型曲線積分較第一型曲線積分而言加入了方向因素,這兩種曲線積分一般情況下都是需要在參數(shù)方程的基礎(chǔ)上套公式來計(jì)算的.二重積分本質(zhì)上解決的是求曲頂柱體的體積這一幾何問題.首先要求二元函數(shù)定義在可求面積的有界閉區(qū)域上,然后通過直線網(wǎng)（簡化模型最簡單的方法）對(duì)平面閉區(qū)域進(jìn)行分割,得到一個(gè)個(gè)的小立方柱體,再近似求和取極限.它在計(jì)算時(shí)一般需要依據(jù)平面圖形的特點(diǎn)來分情況進(jìn)行：,最后化為累次積分進(jìn)行計(jì)算.對(duì)于被積函數(shù)十分復(fù)雜的情況下,可以采用變量替換的方法,達(dá)到簡化被積函數(shù)或簡化積分區(qū)域的效果.三重積分是由空間立體求質(zhì)量問題引申出的一類積分,它則是對(duì)三維空間上的可求體積的有界閉域進(jìn)行分割,并對(duì)定義其上的作近似處理求和并取極限.它的計(jì)算類似于二重積分,化為累次積分逐個(gè)求解,關(guān)鍵在于對(duì)單個(gè)積分上下限的選取,同樣的也可以用換元法簡化計(jì)算.最后是曲面積分,它是在二重積分對(duì)平面區(qū)域分割的基礎(chǔ)上再次深入得到.正如其名稱所言,它是對(duì)空間中可求面積的曲面分割,并對(duì)其定義上的三元函數(shù)近似處理求和,最后求極限的積分.第二型曲面積分同樣加入了方向因素,兩類曲面積分計(jì)算時(shí)都需要借助二重積分實(shí)現(xiàn).小結(jié):N分段,δ分段和T分段作為區(qū)間分段方法多用于定義的表述中.3.1.3均等分段均等分段，即按照平均分割的原則將整個(gè)區(qū)間分成大小相等的多個(gè)小區(qū)間的方法.例題3變化的區(qū)間轉(zhuǎn)化為相對(duì)固定的區(qū)間設(shè)函數(shù)f(x)在上一致連續(xù),且對(duì)任意固定的,都有證明分析：通過分段法將變化的x轉(zhuǎn)化為有限個(gè)的樣子（這里是和x有關(guān)的整數(shù)）,然后利用絕對(duì)值放縮結(jié)合一致連續(xù)加以證明.證明：由條件中f(x)在上一致連續(xù)有,,存在,使得,有現(xiàn)在對(duì)[0,1]作分割,將其平均分割為份,并設(shè)分割點(diǎn)為,則每小段長度相等且小于δ.那么對(duì)于任意的x>0,取正整數(shù),就有由上面對(duì)[0,1]所作的分割,可有對(duì)每一個(gè),都存在對(duì)應(yīng)的使得也就是,再利用一致連續(xù)的定義,就有同時(shí),利用已知,對(duì)于任意的,都有于是對(duì)于以上的,使得當(dāng)時(shí),有現(xiàn)在取,那么當(dāng)時(shí),就有由上述條件可以有,當(dāng)時(shí),,此時(shí)就會(huì)有這說明例題4周期函數(shù)的一致連續(xù)性（化無窮為有限）若f(x)是R上以t為周期的連續(xù)函數(shù),則f(x)在R上一致連續(xù).分析：首先對(duì)某一個(gè)周期上的函數(shù)一致連續(xù)性進(jìn)行判斷,再依據(jù)周期函數(shù)的特點(diǎn)把其余范圍內(nèi)的函數(shù)與已判斷的區(qū)域作聯(lián)系,從而得到整個(gè)R上的結(jié)論.證明：由于f(x)為連續(xù)函數(shù),則f(x)在[0,2t]連續(xù),進(jìn)而一致連續(xù),所以,使得對(duì)任意的,有對(duì)任意的,不妨設(shè),當(dāng)時(shí),又有存在整數(shù)n,因此可以使得另外設(shè)即,且有,于是這說明f(x)在R上一致連續(xù).例題5積分不等式問題中的合理分段設(shè)f(x)在可導(dǎo),且對(duì)任意的,證明對(duì)任意的正整數(shù)n,有分析：首先需要知道積分是函數(shù)求和的極限,同時(shí)也必須知道積分可以寫成積分和的形式（對(duì)積分區(qū)間n等分,再利用區(qū)間可加性）,在小區(qū)間上可以利用積分第一中值定理得到關(guān)于不等式左端的形式.證明：,由拉格朗日中值定理可以有,,使得從而則命題得證.小結(jié):平均分段這種區(qū)間分段方法多用于處理無限區(qū)間上函數(shù)性質(zhì)的探索,尤其是處理周期函數(shù)，積分不等式及計(jì)算時(shí)經(jīng)常會(huì)被使用.3.2數(shù)值分段數(shù)值本意為量的多少,此處包括兩層含義:函數(shù)值和問題中的待定式.3.2.1函數(shù)值分段這種方法是說解決問題過程中將函數(shù)值性質(zhì)不好（無窮大，任意小等與正常值差別太大）的點(diǎn)分離出來，得到函數(shù)值正常有界與函數(shù)值異常兩部分，再將分別對(duì)應(yīng)的點(diǎn)放到兩個(gè)新的區(qū)間中，即得到轉(zhuǎn)化后的新區(qū)間分段.例題5黎曼函數(shù)的本質(zhì)問題記黎曼函數(shù)則有.解答：,由滿足即的正整數(shù)q最多只有有限個(gè),從而對(duì)應(yīng)的既約真分?jǐn)?shù)也只有有限個(gè),將這有限個(gè)點(diǎn)分別設(shè)為,則,限制,則有.并且顯然有,從而.(黎曼函數(shù)圖像)現(xiàn)在,,我們分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí),取則,都有,從而有,即.若存在j使得,此時(shí)可以取則都有,從而有,即.綜上所述,有.小結(jié)：該問題的解答過程中應(yīng)用了函數(shù)值分段的思想,根據(jù)所需求的函數(shù)值范圍,去掉不好的點(diǎn),并對(duì)留下來的點(diǎn)再次進(jìn)行取鄰域,求極限,從而得出本題結(jié)論.例題6黎曼函數(shù)的可積性問題證明黎曼函數(shù)R(x)在[0,1]可積,且分析：由黎曼函數(shù)符合函數(shù)值大于ε的點(diǎn)只有有限多個(gè),可以將這有限個(gè)點(diǎn)所在的區(qū)間長度限制為足夠小,而其余區(qū)間的振幅都小于ε,則整體可以達(dá)到足夠小.證明：對(duì)任意給定的,在[0,1]上滿足的有理點(diǎn)只有有限個(gè),而在無理點(diǎn)處恒有函數(shù)值為0,即有滿足條件在上的點(diǎn)有且只有有限個(gè),并設(shè)為現(xiàn)在對(duì)[0,1]作分割,使得,并把t中所有的小區(qū)間分為與兩類.其中為包含中的點(diǎn)的所有小區(qū)間,其個(gè)數(shù)（因?yàn)槊總€(gè)點(diǎn)至多屬于兩個(gè)區(qū)間）；而為t中所有其余不含中的點(diǎn)的小區(qū)間.由于R(x)在上的振幅,于是而R(x)在上的振幅,于是將兩部分合并,可知即R(x)在[0,1]可積.由已證得R(x)在[0,1]可積,有當(dāng)取全為無理點(diǎn)時(shí),便得到,再依據(jù)積分定義式有至此命題得證.小結(jié):通過對(duì)函數(shù)值進(jìn)行分段從而得到新的區(qū)間分段的方法一般用于對(duì)黎曼函數(shù)性質(zhì)的探索.類似地,解決黎曼函數(shù)這種特殊的函數(shù)問題時(shí)多會(huì)用到這種方法.3.2.2待判定式子中項(xiàng)的分段待判定式子（即表示題目中要求計(jì)算的等式或者需要證明的不等式）作等價(jià)移項(xiàng)之后,對(duì)式子進(jìn)行分項(xiàng)處理,得到與條件中已知的分式值相關(guān)的信息,就是對(duì)待判定式子作項(xiàng)的分段的含義.（1）數(shù)列極限例題7平均值定理（柯西命題）定理內(nèi)容：已知.則有；分析：根據(jù)已知極限證明另一個(gè)極限,首先依據(jù)定義寫出已知,再找出要證明極限與所給條件的數(shù)值關(guān)系,然后找出符合定義要求的N,得出極限成立即可.關(guān)鍵之處在于建立關(guān)系,找定義中存在的那個(gè)N（一般不固定）.這道題是一道比較典型的利用定義并合理對(duì)所求不等式進(jìn)行分項(xiàng)處理,分段估值的數(shù)列極限證明題.證明：a.當(dāng)A是有限數(shù)時(shí),由,對(duì)任意的,存在正整數(shù)n,使得時(shí),有,對(duì)于以上固定的n,可以有.于是,對(duì)于以上的ε,存在正整數(shù),使得時(shí),有.因此,時(shí),就有由ε的任意性,說明結(jié)論成立.b.當(dāng)時(shí),對(duì)任意的,由可知存在,使得時(shí),有,固定,由于,.所以存在,使得時(shí),有,.于是又有時(shí),這說明.c.當(dāng)時(shí),可知,從而由第二部分證明可以得出,于是.綜上所述,結(jié)論成立.由平均值不等式有a.當(dāng)時(shí),由于題目中,可以有,因此再依據(jù)第一問中的結(jié)論有,,從而有,最后由迫斂性得b.當(dāng)時(shí),只需要將寫作或0,同樣利用第一問可以得出結(jié)論成立.（2）帶有定積分的極限例題8分段積分求極限分析：用分段積分,首先需要明確在那些點(diǎn)有問題,從而明確如何做分段.解答：,有,所以有于是于是時(shí),有這說明數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)綜合問題例題9借助阿貝爾變換實(shí)現(xiàn)的對(duì)所求值分段已知收斂,證明：對(duì)任意的嚴(yán)格單調(diào)遞增趨近于的正數(shù)列有注：（Stolz公式）已知嚴(yán)格單調(diào)遞增趨于正無窮,且（其中A是有限數(shù)或正無窮或負(fù)無窮）,則.證明：由于存在,則可以根據(jù)阿貝爾變換公式以及Stolz公式作如下變形：小結(jié)：本題利用了極端重要的阿貝爾變換方法對(duì)所求數(shù)列進(jìn)行拆項(xiàng)分段,這種方法在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中特別重要,尤其多用于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的相關(guān)練習(xí).（4）含參量積分的極限例題10已知f(x)在有定義且在任意有限區(qū)間可積,,則分析：由所需要證的結(jié)論出發(fā),我們可以發(fā)現(xiàn)利用逆向思維,則可以證明即僅需證明可以對(duì)進(jìn)行分段得到兩個(gè)分式和,前者當(dāng)時(shí),有分母趨近于正無窮,分子有限,故可以任意??；后者當(dāng)時(shí),也可達(dá)到任意小.證明：由條件所給的,有對(duì)于固定的M,顯然有則存在,使得x>N時(shí)，有因此,又有至此,得證,即有命題得證.小結(jié):在3.2.2小節(jié)中提到的對(duì)待判定等式及不等式進(jìn)行拆項(xiàng)分段的方法是在數(shù)學(xué)分析每一類問題中都會(huì)用到的.借助逆向思維,從結(jié)論出發(fā)思考,這種分段方法難度最大,需要綜合對(duì)定義,定理以及各種經(jīng)典的等式和不等式的分析，在對(duì)待判定式子合理移項(xiàng)的基礎(chǔ)上,選取恰當(dāng)?shù)牟鸱贮c(diǎn)才可以達(dá)到最終簡化問題的效果.3.3分段方法在實(shí)例中的綜合應(yīng)用在前兩個(gè)小結(jié)中的實(shí)例淺析過程中，很容易可以發(fā)現(xiàn):實(shí)際處理問題時(shí)，需要多種分段方法技巧的綜合使用，其中數(shù)值分段方法下的待判定式子中項(xiàng)的分段方法最為重要，重疊區(qū)間與定義式分段方法使用率很高。最后，通過對(duì)一個(gè)例題的深度解析，體會(huì)一次分段方法的具體使用過程。例題11