2021-2022學(xué)年北師大版必修5-3.3.1基本不等式-教案4-

根本不等式教學(xué)設(shè)計〔第一課時〕教材分析與學(xué)情分析本節(jié)是北師大版高中數(shù)學(xué)必修5中第三章第3節(jié)根本不等式〔第一課時〕的內(nèi)容。它是在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的根底上展開的，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定根底。要進一步了解不等式的性質(zhì)及運用、研究最值問題是根本不等式必不可少的，在知識體系中它起到承上啟下的作用，同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應(yīng)用，因此它也是對學(xué)生進行情感價值觀教育的優(yōu)良素材，所以應(yīng)重點研究。根本不等式的探究與推導(dǎo)需要學(xué)生觀察、分析、歸納有助于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和探索精神，是培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合意識和提高數(shù)學(xué)能力的良好載體。教學(xué)目標1、知識與能力了解根本不等式的幾何背景，能在教師的引導(dǎo)下探究根本不等式的證明過程，理解根本不等式的幾何解釋，初步掌握根本不等式的簡單應(yīng)用。2、過程與方法通過引導(dǎo)能從“趙爽弦圖〞中抽象出根本不等式，實現(xiàn)對根本不等式幾何背景的初步了解，經(jīng)歷根本不等式幾何解釋的探究過程體會數(shù)形結(jié)合思想的直觀性和重要性，進一步樹立數(shù)形結(jié)合的意識。3、情感、態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學(xué)生嚴謹求實的科學(xué)態(tài)度，體會數(shù)與形的和諧統(tǒng)一，激活學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，提高其探究能力。教學(xué)重點、難點重點：經(jīng)歷根本不等式幾何解釋的探究過程體會數(shù)形結(jié)合思想的直觀性和重要性，初步掌握用根本不等式解決簡單的問題。難點：理解根本不等式的幾何意義教學(xué)設(shè)計思路：〔1〕教法指導(dǎo)：本節(jié)課是通過7個教學(xué)環(huán)節(jié)，強調(diào)教學(xué)過程，在教師的引導(dǎo)下啟動觀察、分析、感知、歸納、探究等思維活動，理解其幾何背景。課堂教學(xué)以學(xué)生為主體、根本不等式為主線、數(shù)形結(jié)合為主導(dǎo)，在學(xué)生原有的認知根底上充分展示根本不等式這一知識的發(fā)生、開展及再創(chuàng)造的過程。〔2〕學(xué)法指導(dǎo)：定理的證明要留給學(xué)生充分的思考空間，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，小組討論與集體交流相結(jié)合，通過類比得到答案，體會合作學(xué)習(xí)的必要性和高效性。通過對根本不等式幾何解釋的探究提高學(xué)生觀察與交流，分析與解決問題的能力，滲透數(shù)學(xué)思想、培養(yǎng)合作意識?！?〕教學(xué)用具：投影儀、白板〔多媒體錄課教室〕教學(xué)過程情境創(chuàng)設(shè)引入課題情境一、引例:用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園，問:這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？(數(shù)學(xué)是源于生活，又應(yīng)用于生活的，學(xué)生很容易猜對結(jié)論，如何印證大家的猜測呢？帶著問題進入課堂)情境二、圖1是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標，此會標是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。探究1：您能通過這個簡單的風(fēng)車造型中得到一些相等和不等關(guān)系嗎?〔師生活動：設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a、b，引導(dǎo)學(xué)生觀察正方形的面積與4個直角三角形的面積之間的關(guān)系，從而抽象出結(jié)論〕探究2：您能說明上式的等號什么時候成立嗎？等號成立時圖形有什么特點？怎樣證明？〔此處展示幾何畫板〕不等式1、〔當(dāng)且僅當(dāng)a=b時“=〞成立〕〔當(dāng)a=b時，中間的正方形EFGH縮為一點〕證明：〔當(dāng)且僅當(dāng)a=b時“=〞成立〕〔曾稱為重要不等式〕追問1：此法稱為什么方法？〔作差法〕當(dāng)且僅當(dāng)作何解釋？此式中令取代a令取代b那么有〔〕從而有不等式2、假設(shè)那么〔當(dāng)且僅當(dāng)a=b時“=〞成立〕追問2：你能否從代數(shù)的角度證明？〔設(shè)計意圖：類比重要不等式的證明，實現(xiàn)數(shù)學(xué)方法的遷移，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。證明過程：略〕我們稱不等式2為根本不等式，其中稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，為a、b的幾何平均數(shù)。因此，根本不等式又被稱為均值不等式。

從代數(shù)的角度看：兩個非負數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)思考：假設(shè)從數(shù)列的角度分析，有何意義？〔設(shè)計意圖：新舊知識的鏈接有益于喚醒學(xué)生的記憶，豐富學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)?！硵?shù)已經(jīng)有了，下面我們來研究形〔過渡自然〕自主探究意義建構(gòu)探究3、你能用幾何圖形對根本不等式進行幾何解釋嗎？如圖,AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a,CB=b,過點C作垂直于AB的弦DC，連接AD、BD1.求CD和圓半徑RCD和圓半徑R有什么關(guān)系?〔師生活動：圖2中哪條線段能表示，哪條線段能表示？你能說出初中學(xué)習(xí)過的射影定理的內(nèi)容嗎？〕由射影定理知：，而，從形的角度看OD>CD，即〔師生活動：學(xué)生思考、分析說理。教師利用多媒體演示C點往O點移動的過程，接著引導(dǎo)學(xué)生思考：“=〞能否成立〕〔此處展示幾何畫板〕試問：“=〞能否成立？〔當(dāng)點C與圓心O重合時，即a=b時等號成立，此時△ADB為等腰直角三角形〕幾何意義：在圓內(nèi)，半徑長不小于半弦長。〔設(shè)計意圖：抓住時機，滲透數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生善于捕捉的暗示信息，從全方位、多角度去理解并掌握所學(xué)知識，提升思維的靈活性?！硨W(xué)以致用深化理解引例:用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園，問:這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？變式：一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少?歸納反思提高歸納反思提高穩(wěn)固理解①②③④，的最小值為2其中正確的序號是----③④即：“一正、二定、三相等〞----“七字口訣〞〔再次強調(diào)“一正、二定、三相等〞，針對④中的函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生引起重視，下一節(jié)課將重點研究〕思考交流協(xié)作互助探究4:函數(shù)f(x)=(a,b>0)是定義在R上的增函數(shù).由f(1)≥f(0)≥f≥f(-1).你能得出什么結(jié)論?答案:≥≥QUOTEab≥.(a>0,b>0)可進一步化為不等式鏈歸納：假設(shè)a、b為正數(shù)，那么〔當(dāng)且僅當(dāng)a=b“=〞成立〕這是一個非常重要的不等式鏈，在解不等式和證明不等式中發(fā)揮很大的作用，所以我們有必要繼續(xù)研究。歸納小結(jié)反思提高1、本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識？2、在解決問題的根底上，你掌握了哪些探求問題的方法和數(shù)學(xué)思想方法？3、你還有什么收獲與感想？〔先由學(xué)生小結(jié)，再在不當(dāng)之處由教師點評進行補充標準〕〔設(shè)計意圖：有利于學(xué)生構(gòu)建自己的知識體系，形成知識的正向遷移，同時培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣和概括能力〕作業(yè)布置分層對待1、書面作業(yè)：習(xí)題3.4A組12、拓展作業(yè)：類比根本不等式的幾何意義的探究方法，你能從幾何的角度解釋以下不等式嗎？----以后還將學(xué)習(xí)上升到n個正數(shù)的情況(設(shè)計意圖：通過訓(xùn)練穩(wěn)固本節(jié)課所學(xué)知識，檢測學(xué)生運用所學(xué)知識解決問題的能力)適當(dāng)引導(dǎo)探索拓展1、你能做出函數(shù)的圖像嗎？2、通過探索，你有何發(fā)現(xiàn)？請用數(shù)學(xué)小論文記錄下你的成果。八、板書設(shè)計一、情境創(chuàng)設(shè)“趙爽弦圖〞三、學(xué)以致用四、思考交流〔當(dāng)且僅當(dāng)a=b“=〞成立〕探究1引例五、歸納小結(jié)探究2探究4六、作業(yè)布置二、自主探究例2七、適當(dāng)拓展探究3課外思考自評與反思數(shù)學(xué)課程標準明確指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動、讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，開展他們的創(chuàng)新意識。〞數(shù)學(xué)探究是學(xué)生學(xué)習(xí)的心理回歸,它有利于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識、把握數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)探究能力。一、提示語的暗示與啟發(fā)，“暗中〞引領(lǐng)學(xué)生去感悟數(shù)學(xué)探究的要素：<1>您能從“趙爽弦圖〞中提煉出正方形的面積與4個全等直角三角形的面積之間的不等關(guān)系嗎？面積何時會相等？<2>數(shù)的大小比擬通常用作差，那代數(shù)式呢？<3>從圖2中您能否借助射影定理找到根本不等式呢？<4>回憶剛剛我們是怎樣獲得這組公式的？<5>接下來您想研究什么？可否歸納出一系列的不等式？關(guān)注活動性、合作性、反思性的學(xué)習(xí)課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)是一種充滿活力的對話的實施，營造出一種活動性、合作性、反思性的學(xué)習(xí)氣氛。本節(jié)課我充分尊重學(xué)生在探究過程中的“自組織性〞，給予學(xué)生廣闊的探究空間，同時既明確學(xué)習(xí)問題和小組達標要求，又注意對小組的監(jiān)控和適時介入，較好的發(fā)揮了指導(dǎo)者、引領(lǐng)者的作用。三、教師要有“用教材教〞而非“教教材〞的意識課本是借助來得出的,而本節(jié)課的設(shè)計是突破教材借助“趙爽弦圖〞讓學(xué)生直觀地猜測構(gòu)造，這樣設(shè)計有利于對學(xué)生思維的開發(fā)，是對教材的再創(chuàng)造。同時宏觀上它也是對學(xué)生進行情感價值觀教育的優(yōu)良素材有利于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)；另外我充分利用學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗，使新經(jīng)驗自然地生長；每個環(huán)節(jié)都有總結(jié)，總結(jié)時屢次強調(diào)“數(shù)形結(jié)合千般好，形數(shù)別離萬事休〞或“形離數(shù)時難入微，數(shù)離形時難直觀〞〔華羅庚語〕，而總結(jié)的內(nèi)容又引發(fā)下一個環(huán)節(jié)，層層推進，環(huán)環(huán)相扣逐步深入。四、數(shù)形結(jié)合為主線、數(shù)學(xué)思想方法是靈魂“數(shù)學(xué)是思維的體操〞數(shù)學(xué)教育是通過對數(shù)學(xué)知識的組織，對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟來實現(xiàn)其價值的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中探究是手段，數(shù)學(xué)思想方法才是靈魂。在本教學(xué)設(shè)計中，處處滲透著豐富的數(shù)學(xué)思想：1、歸納思想：如從趙爽弦圖中歸納出一些不等式。2、類比思想：由數(shù)的大小比擬類比到代數(shù)式的大小比擬。由重要不等式的推導(dǎo)類比歸納出根本不等式的證明等。3、轉(zhuǎn)化思想：求函數(shù)的值域等，可轉(zhuǎn)化為利用根本不等式求解。4、數(shù)形結(jié)合思想：從趙爽弦圖中抽象出根本不等式后，接著追問：如何用代數(shù)的方法證明？你能用幾何圖形2對根本不等式進行幾何解釋嗎？由數(shù)思形，由形得數(shù)貫穿于整個教學(xué)過程，表達了發(fā)現(xiàn)和探究的理念，深化了對根本不等式的理解。缺乏之處：其一，分組交流時，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實際水平，強弱結(jié)合(而非“就近原那么〞)可以最大限度地調(diào)動其積極性