高中數(shù)學(xué)第七章復(fù)數(shù)章小結(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)

第七章復(fù)數(shù)章小結(jié)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的三角形式*

2.內(nèi)容解析

本章通過解方程引入了復(fù)數(shù)，進(jìn)而研究復(fù)數(shù)的表示和運(yùn)算，以及它們的幾何

意義，將實(shí)數(shù)系擴(kuò)充成復(fù)數(shù)系.

教科書從解方程入手，通過總結(jié)數(shù)系不斷擴(kuò)充的過程，特別是從有理數(shù)集擴(kuò)

充到實(shí)數(shù)集的過程，總結(jié)了數(shù)系擴(kuò)充的一般規(guī)則，即擴(kuò)充后的數(shù)系與原數(shù)系中的

運(yùn)算協(xié)調(diào)一致，且保持運(yùn)算律不變，進(jìn)而通過類比規(guī)定了復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)相

等的概念，將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集.在數(shù)學(xué)史上，實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集，是一

個(gè)漫長而曲折的過程，顯示了人類理性思維的強(qiáng)大作用.對數(shù)系擴(kuò)充的學(xué)習(xí)，有

助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

復(fù)數(shù)本質(zhì)上是一對有序數(shù)對，因此復(fù)數(shù)集c與復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集

合是一一對應(yīng)的，與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量組成的集合也是——對應(yīng)的，

這就是復(fù)數(shù)的兩種幾何

意義.復(fù)數(shù)幾何意義的學(xué)習(xí)有助于提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

引入一類數(shù)，就要研究它的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算中，加法、乘法運(yùn)算是核

心，減法、除法運(yùn)算分別是它們的逆運(yùn)算.教科書類比實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算法則得到

了復(fù)數(shù)的加法法則和乘法法則以及相應(yīng)的運(yùn)算律，通過減法和加法、乘法和除法

互為逆運(yùn)算，得到了復(fù)數(shù)的減法和除法法則以及相應(yīng)的運(yùn)算律.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的

加減運(yùn)算的幾何意義，就是相應(yīng)平面向量的加減運(yùn)算.對復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的學(xué)習(xí)有

助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).

由復(fù)數(shù)的向量表示可以進(jìn)一步得到復(fù)數(shù)的三角表示，進(jìn)而研究復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)

算的三角表示及其幾何意義.復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示形式簡潔，在很多情況

下可以簡化復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算；其幾何意義就是平面向量的旋轉(zhuǎn)、伸縮，因此，

可以方便地解決很多平面向量和平面幾何問題.對復(fù)數(shù)三角表示的學(xué)習(xí)有助于提

升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

數(shù)系通常包括兩個(gè)要素，一是組成數(shù)系的數(shù)，二是數(shù)系中的運(yùn)算及運(yùn)算律;

另外，數(shù)系的擴(kuò)充過程也很關(guān)鍵.因此，本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn)是：數(shù)系的擴(kuò)充過程,

復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其幾何意義，復(fù)數(shù)的加、減、乘、除四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)加、減運(yùn)

算的幾何意義.特別需要指出的是，復(fù)數(shù)的三角表示將復(fù)數(shù)、平面向量和三角函

數(shù)三者緊密相連，這種形式在復(fù)數(shù)體系中乃至整個(gè)數(shù)學(xué)中具有極為重要的地位,

但鑒于《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》將其定位為選學(xué)內(nèi)容，不作為考試要求，因

此不將它作為本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn).但建議一旦選學(xué)復(fù)數(shù)的三角表示，也應(yīng)將復(fù)數(shù)的

三角表示式、復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義列為本章復(fù)習(xí)的教學(xué)重點(diǎn).

二'目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

(1)通過方程的解，認(rèn)識復(fù)數(shù).

(2)理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義.

(3)掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式表示式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意

義.

(4)通過復(fù)數(shù)的幾何意義，了解復(fù)數(shù)的三角表示，了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與

三角表示之間的關(guān)系，了解復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義.

2.目標(biāo)解析

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

(1)能夠說出復(fù)數(shù)系擴(kuò)充的規(guī)則和過程，會解復(fù)數(shù)系范圍內(nèi)的一元二次方

程.

(2)能夠說出復(fù)數(shù)的幾何意義，會利用復(fù)數(shù)的幾何意義解決相關(guān)問題.

(3)能熟練運(yùn)用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義解決有關(guān)

復(fù)數(shù)的計(jì)算問題.

(4)選學(xué)"復(fù)數(shù)的三角表示"的同學(xué)，要能夠運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角表示乘除運(yùn)

算的運(yùn)算法則和幾何意義解決相關(guān)運(yùn)算問題.

三、教學(xué)問題診斷分析

理解并掌握實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系所遵循的規(guī)則，是培養(yǎng)學(xué)生理性思維的重要

抓手，但學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能不易理解，也不太重視，因此，復(fù)習(xí)教學(xué)中，要

回顧并梳理從自然數(shù)到復(fù)數(shù)的擴(kuò)充過程，進(jìn)一步理解其"擴(kuò)充規(guī)則"，感受理性

思維在數(shù)系擴(kuò)充中發(fā)揮的重要作用.

復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算與平面向量加、減運(yùn)算的聯(lián)系，復(fù)數(shù)三角表示式

以及復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算與平面向量、三角函數(shù)的聯(lián)系是本章的重點(diǎn)內(nèi)容，也是難

點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生在利用幾何意義解決問題時(shí)可能不太熟練，要通過典型例題的講解,

分析幾何意義的本質(zhì)，舉一反三，突破難點(diǎn).

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

(-)復(fù)數(shù)的概念

問題1:數(shù)系是怎樣逐步擴(kuò)充的?請對"自然數(shù)一整數(shù)一有理數(shù)——

實(shí)數(shù)——復(fù)數(shù)"的數(shù)系擴(kuò)充過程進(jìn)行整理.

師生活動：學(xué)生梳理并口述數(shù)系擴(kuò)充的過程，教師用PPT呈現(xiàn).

j自然數(shù)

產(chǎn)理數(shù)｛::'負(fù)隹數(shù)

r實(shí)數(shù)｛工“分?jǐn)?shù)

復(fù)數(shù)｛(無理敷

i虎數(shù)

追問1:數(shù)系擴(kuò)充的規(guī)則是什么？你能說說數(shù)學(xué)史上數(shù)系擴(kuò)充的歷程嗎？

師生活動：師生共同回顧歸納數(shù)系擴(kuò)充的規(guī)則：數(shù)集擴(kuò)充后，在新數(shù)集中規(guī)

定的加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算，與原來數(shù)集中規(guī)定的加法和乘法運(yùn)算協(xié)調(diào)一致，并且

加法和乘法都滿足交換律和結(jié)合律，乘法對加法滿足分配律.學(xué)生口述歷史上數(shù)

系擴(kuò)充的歷程，教師補(bǔ)充完善，并指出理性思維在數(shù)系擴(kuò)充過程中發(fā)揮了強(qiáng)大作

用.

設(shè)計(jì)意圖：梳理復(fù)數(shù)擴(kuò)充的過程和規(guī)則，體會理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中發(fā)揮的

作用.

追問2:復(fù)數(shù)是怎么規(guī)定的？實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)之間有什么區(qū)別和

聯(lián)系？

追問3:復(fù)數(shù)相等是怎么規(guī)定的？什么是共犯復(fù)數(shù)？

師生活動：學(xué)生思考回答，教師反饋補(bǔ)充,追問1和追問2的答案通過PPT

進(jìn)行呈現(xiàn).

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)鞏固復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，體會理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中發(fā)揮的作

用.

問題2:復(fù)數(shù)的幾何意義是什么？實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)幾何意義的區(qū)別是什么？復(fù)數(shù)

的模是什么？

師生活動：學(xué)生思考口答，教師用PPT展示.

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步明確復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)以及平面向量三者一一對應(yīng)的關(guān)

系，體會復(fù)數(shù)與向量的聯(lián)系性.

例1.實(shí)數(shù)?為何值時(shí),復(fù)數(shù)二=（標(biāo)-3上-4）+（標(biāo)-5k-6）i是：，

（D實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)；（4）0.P

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生一起分析，學(xué)生自主完成，教師進(jìn)行反饋評價(jià).，

分析：因?yàn)镼為實(shí)數(shù)，所以/-34和M-5t-6均為實(shí)數(shù)，由復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)、虛數(shù)和究

虛數(shù)的條件可以確定上的值.，

解：（1）當(dāng)籍—52-6=0,即2=6或方=-1時(shí)，二是實(shí)數(shù).”

（2）當(dāng)V-5Ar-6wO,即言6且e*-1時(shí)，二是虛數(shù).教

二一3無一4=0,

（3）當(dāng).，；./即齊=4時(shí)，二是純虛數(shù).

2-5/t-6#0,

雷-3t-4=0,

（4）當(dāng):即上=—1時(shí)，二是0."

2-5方-6=0,

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)鞏固復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的概念.

練習(xí)：

1.設(shè)ZEC,在復(fù)平面內(nèi)Z對應(yīng)的點(diǎn)為Z,則滿足條件23平3的點(diǎn)Z的集

合是什么？

答案：以原點(diǎn)O為圓心，以2及3為半徑的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)，包括圓環(huán)

的邊界.

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)鞏固復(fù)數(shù)的幾何意義.

（二）復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

問題3:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則是怎么規(guī)定的？滿足什么運(yùn)算律？

問題4:復(fù)數(shù)代數(shù)形式加減運(yùn)算的幾何意義是什么？

追問：你對復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算與向量的加、減運(yùn)算的一致性有什么

體會？

師生活動：學(xué)生思考回答，教師補(bǔ)充完善，答案通過PPT進(jìn)行呈現(xiàn).

例2.1是虛數(shù)單位，則二的值為.~

31+1

師生活動：學(xué)生自主完成，教師評價(jià)反饋.答案為：拒.，

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)鞏固復(fù)數(shù)模的概念，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則.P

練習(xí)：

2.若(l-i)+(2+3i)=a+bi(a,beR,i是虛數(shù)單位),則a,b的值分別等于

().

(A)3,-2(B)3,2(C)3,-3(D)-1,4

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)鞏固復(fù)數(shù)相等的充要條件，復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算法則.答案

為B.

3.設(shè)二i=3-4i,二2=-2+3i,則二i+二2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()?。

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限~

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)鞏固加法運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)加法的幾何意義，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法

答案為D.，

33210

4.計(jì)算：(1)()一立(2)[(l+2i).i+(—)]-(^-).P

221+iy/2

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)鞏固復(fù)數(shù)代數(shù)表示式四則運(yùn)算法則，提升學(xué)生的運(yùn)算求解能

力.

師生活幼：學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視，及時(shí)指出學(xué)生解題時(shí)出現(xiàn)的問題，對

基礎(chǔ)較弱的學(xué)生進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo).完成后，生生互評，教師點(diǎn)評.答案為：(1)

-1；(2)-9i.

例3.設(shè)。是原點(diǎn)，向量與，而對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2-3i,-3+2i,那么向量及對

應(yīng)的復(fù)額是().，

(A)-5+5i(B)-5-5i(C)5+5i(D)5-5i

師生活動：學(xué)生自主完成，教師評價(jià)反饋.教師強(qiáng)調(diào)復(fù)數(shù)和平面向量之間

的聯(lián)系性，復(fù)數(shù)的運(yùn)算問題可以轉(zhuǎn)化為平面向量的運(yùn)算問題去解決，反過來，平

面向量的運(yùn)算問題也可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的運(yùn)算問題去解決.答案為D.

設(shè)計(jì)意圖；幫助學(xué)生進(jìn)一步理解復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)和相應(yīng)的平面向量的

一一對應(yīng)關(guān)系，復(fù)習(xí)鞏固復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算的幾何意義.

例4.在復(fù)平面上，正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+i,

2-3i.求另外兩個(gè)頂點(diǎn)C,D對應(yīng)的復(fù)數(shù).

師生活動：師生共同分析，學(xué)生自主完成，同時(shí)請學(xué)生到黑板上板演，之后

生生、師生之間進(jìn)行反饋點(diǎn)評、修改完善.

uuu

解：設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)。對應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi,OD=(x,y).，

根據(jù)題意，得，

HIMULUUUL

==(2,-3)-(1,1)=(1,-4),。

ULMUUttUU1

AD=OD-OA=(A->),)-(l>l)=(x-1,y-1).。

turnia.il

因?yàn)?DJ_48,所以(一丫-1)1一4(］，-1)=0.“

因?yàn)椴?)卜卜3卜JT7,所以J(x_l)2+(y—l)2=拒.P

X=-3,x=5,

所以《c或4P

v=0y=2.

所以，點(diǎn)。對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-31或5+2i.。

UU0

所以，0=(-4,-1)或(4,1).2

uuaUUWUUBUlMuuu

又因?yàn)閍c=xo,^OC-OB=AD,“

UUIBUU*ULU

所以O(shè)C—AD+OB—(—2,—4)或(6,—2),

所以，點(diǎn)C,D對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為-2-4i,-3i;或6-2i,5+2i.

設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)鞏固復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算幾何意義和復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的運(yùn)算法則，

提升學(xué)生綜合運(yùn)用知識分析問題、解決問題的能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

(三)復(fù)數(shù)的三角表示(備注：此部分為選學(xué)內(nèi)容，可根據(jù)學(xué)情自主安排)

問題5:什么是復(fù)數(shù)的三角形式？它與復(fù)數(shù)的幾何意義之間有什么聯(lián)系？復(fù)

數(shù)的代數(shù)形式與三角形式之間有什么關(guān)系？

問題6:復(fù)數(shù)三角表示乘法運(yùn)算的運(yùn)算法則是什么，用文字語言如何描述？

問題7:復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義分別是什么？利用復(fù)數(shù)的乘

除運(yùn)算的幾何意義能夠解決什么問題？

師生活動：教師利用PPT給出問題，學(xué)生根據(jù)問題回歸課本，回顧所學(xué)知

識.

設(shè)計(jì)意圖：通過問題串，引導(dǎo)學(xué)生回顧復(fù)數(shù)三角表示的基礎(chǔ)知識，將知識系

統(tǒng)化、條理化.

例5.把復(fù)數(shù)二i和二，對應(yīng)的向量為，礪分別繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)△和任

1243

后，這兩個(gè)向量完全重合，已知二2=-1-有，求復(fù)數(shù)二i的代數(shù)表示式.，

師生活動：師生共同分析解題思路，可利用復(fù)數(shù)乘法三角表示的幾何意義求解.之后

學(xué)生獨(dú)立完成，教師反饋訂正.。

解：由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，得

/71..兀、/5TL..5兀、

^(008-4-18111—)=r2(cos—4-1S1D—)

又二2=-1->^=235e+isin色)，"

47r..4兀、."571..5兀、

2(8S---F1sin——)(cos—+1sin—)

所以二1=--------------------------------=2[cos(37r--)+isin(37t--)]"

7L..7T44

cos—+1sin—

44

設(shè)計(jì)意圖：鞏固復(fù)數(shù)乘法的幾何意義、復(fù)數(shù)的三角表示和代數(shù)表示的互化以

及復(fù)數(shù)三角表示的乘、除運(yùn)算的相關(guān)知識，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

練習(xí)：

5.復(fù)數(shù)嗚的輻角主值是（）.

(A)-(B)—(C)—(D)—.

4444

設(shè)計(jì)意圖：鞏固復(fù)數(shù)的三角表示和輻角主值概念.答案為D.

6.在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)3-/對應(yīng)的向量繞原點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)6O0，求與所

得的向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)(用代數(shù)形式表示).川

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)數(shù)鞏固復(fù)數(shù)除法的幾何意義，利用復(fù)數(shù)除法的幾何意義解決平面向量的旋

轉(zhuǎn)問題，提升學(xué)生分析問題解決問題的能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).答案為-2&i.。

(四)歸納總結(jié)、布置作業(yè)

師生活動:請學(xué)生用思維導(dǎo)圖梳理復(fù)數(shù)一章的基礎(chǔ)知識和解決問題的基本方

法.并進(jìn)行展示交流.

布置作業(yè)：教科書復(fù)習(xí)參考題2復(fù)習(xí)鞏固第1,2,3,4,5題.

五、目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)

1.若i為虛數(shù)單位，如下圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)二，則表示復(fù)數(shù)三的點(diǎn)是().

1+1

y

(A)E~Fll"7

?---------?---

(C)G2°H

(D)H，第1題，

設(shè)計(jì)意圖:本題主要評價(jià)學(xué)生對復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則的掌握程度和對復(fù)數(shù)幾何

意義的理解程度，同時(shí)評價(jià)數(shù)形結(jié)合的思想方法.答案為D.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足(z-1)i=l+i，貝(Jz=().

(A)-2-i(B)-2+i

(C)2-i(D)2+i

設(shè)計(jì)意圖:本題主要評價(jià)學(xué)生對復(fù)數(shù)代數(shù)表示式四則運(yùn)算法則和運(yùn)算律的掌

握程度，同時(shí)評價(jià)數(shù)