2024九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)08 銳角三角函數(shù)章末重難點(diǎn)題型（舉一反三）（人教版）含解析

2024九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)專題08銳角三角函數(shù)章末重難點(diǎn)題型【舉一反

【人教版】

，點(diǎn)1銳角三角畫數(shù)定義

考點(diǎn)2網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)值

考點(diǎn)3說角三角函數(shù)的增減性

考點(diǎn)9解直角三角形的應(yīng)用之仰角俯角問題考點(diǎn)4互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系

考慮10解直角三角形的應(yīng)用之方向角問題考點(diǎn)5特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算

0沏分刑

【考點(diǎn)1銳角三角函數(shù)定義】

【方法點(diǎn)撥】銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的銳角三角函數(shù)。

正弦（sin）等于對(duì)邊比斜邊，余弦（cos）等于鄰邊比斜邊正切（tan）等于對(duì)邊比鄰邊;

【例1】（2019秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）在RtAABC中，NC=90。，AB=3BC＞則sinB的值為（）

AIR立c也D2也

2223

【變式1-1］（2019?南海區(qū)模擬）在RtAABC中，ZC=90°,若斜邊AB是直帶邊8c的3倍，貝hanB的值

是t)

A.272B.3D.

3

【變式1-2］（2019春?江岸區(qū)校級(jí)月考）如圖，在RtAABC中,NACB=90°,8_1_48于點(diǎn)。，下列各組

線段的比不能表示sin/BCD的（）

BD口BCCDCD

-------D.--------D.

BCAC~BC~AC

【變式1-3］（2018秋?禪城區(qū)期末）如圖，在RlAABC中，ZACB=90°,C。是斜邊上的高，下列線段

的比值等干cosA的值的有（）個(gè)

⑴四⑵—⑶—（4）—.

DB

【考點(diǎn)2網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)值】

【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解各邊的長(zhǎng)度，有時(shí)還會(huì)運(yùn)用面

積法來求解關(guān)鍵邊的長(zhǎng)度.

【例2】（2018秋?慈溪市期末）如圖，4,B,C是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)），則sinNACH

的值為（）

.5

【變式2-1］（2019秋?柯橋區(qū)期末）由小正方形組成的網(wǎng)格如圖，A,13,C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則NA8C的

正切值為（）

【變式2-2］（2019秋?泉州期末）如圖，在網(wǎng)格圖中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)力、B、C都在格點(diǎn)上,

則ZA4C的正切值是（）

3

【變式2-3］（2019?滕州市校級(jí)模擬）如圖，在2x2正方形網(wǎng)格中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的的面積等于士,

2

則sinNC4B=（)

A.%

2

【考點(diǎn)3銳角三角函數(shù)的增減性】

【方法點(diǎn)撥】當(dāng)角度在0。?90。間變化時(shí)，

正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?/p>

余弦值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?/p>

正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）

【例3】（2019秋?余姚市期末）已知0vav45。，關(guān)于角。的三角函數(shù)的命題有：?0<sina<—,

2

②cosavsina,③sin2a=2sina,④Ovtanavl,其中是真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式3-1］（2019秋?噪州市期末）下列不等式不成立的是（）

A.sin200<sin400<sin70°B.cos200<cos400<cos70°

C.tan20°<tan40°<tan70°D.sin300V8s450vtan600

【變式3-2］（2019秋?雁塔區(qū)校級(jí)月考）比較tan46。，cos29°,sin59。的大小關(guān)系是（）

A.tan460<cos290<sin59°B.tan460<sin590<cos29°

C.sin590<tan460<cos29°D.sin590<cos290<tan460

A

【變式3?3】（2019?江東區(qū)-一模）如圖，A43c是銳角三角形，sinC=,則sin4的取值范圍是（）

B

343

A.0<sin4<-B.—<sinA<1C.-<sin^<-D.-<sinA<1

55555

【考點(diǎn)4互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系】

【方法點(diǎn)撥】互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系:sin（90°-a）=cosa,cos（90°-a）=sina,

【例4】（2019秋?常州期末）如圖，在RtAABC中，ZA=90°,AD±BC,垂足為。.給出下列四個(gè)結(jié)論:

①sina=sinB；@sin/7=sinC；③sinB=cosC；?sina=cosp.其中正確的結(jié)論有.

【變式4-1］（2019秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）在RtAABC中，ZC=90°.cosA=1,則sinB=___.

【變式4-2］（2019春?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）已知銳角a,且sina=cos35。，則。=度.

【變式4-3］（2019?荔灣區(qū)校級(jí)模擬）在RtAABC中，ZC=90°,a,h分別是NA、Nfi的對(duì)邊，如果

sinA:sinB=2:3,那么a:〃等于?

【考點(diǎn)5特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算】

【方法點(diǎn)撥】解決此類問題關(guān)鍵在于熟記特殊角三角函數(shù)值.

【例5】（2018秋?北侖區(qū)期末）計(jì)算：sin60°+cos2450-sin30°?tan60°.

【變式5-1］（2018秋?興化市期末）計(jì)算：

（1）sin230°+sin600-sin2450+cos230°：

（2）tan300+tan450

tan60°.tan45°

【變式5-2］（2019春?市中區(qū)校級(jí)月考）2cos30。+tan300?cos60。-J（1-tan60。打

【變式5-3](2019秋?煙臺(tái)期末)計(jì)算：Sin45°+005300-sin30°(cos450-sin60°)

3-2cos60°

【考點(diǎn)6解直角三角形】

【方法點(diǎn)撥】解直角三角形(R/48GNC=90。)

(1)三邊之間的關(guān)系：a2+b2=(r.

(2)兩銳角之間的關(guān)系：NA+N8=9(r.

(3)邊角之間的關(guān)系

(4)解直角三角形中常見類型：①已知一邊一銳角.②已知兩邊.

【例6】(2018春?臨濟(jì)縣期中)如圖，在A/胸中，4。_1瓦)于點(diǎn)。，空=』，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，tanO=2,

CD2

CE=1,求sinNECB的值和AD的長(zhǎng).

【變式6-l](2018秋?撫寧區(qū)期末)如圖，在中，4)是8。邊上的高，AE是3c邊上的中線，NC=45。,

sinB=—>AD=\.

3

(1)求8c的長(zhǎng)；

(2)求tanNZME的值.

【變式6-2](2019?臨河區(qū)一模)如圖，在等腰RtAABC中，ZC=9O°,4c=6,￡>是AC上一點(diǎn)，若

tan/DBA=-.

5

(1)求AD的長(zhǎng)；

(2)求sinZDBC的值.

【變式6-3］（2018秋?岳麓區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知RtAABC中，ZACB=9O3,8是斜邊A8上的中線,

過點(diǎn)A作AE_LCZ）,Af分別與CD、C8相交于點(diǎn)H、E,AH=2CH.

（1）求sinNCAH的值；

（2）如果8=逐，求死的值.

【考點(diǎn)7作垂線解斜三角形】

【方法點(diǎn)撥】解決此類問題關(guān)鍵在于作垂線將斜三角形分割成兩個(gè)直角三角形，進(jìn)而通過解直角三角形進(jìn)

行求解.

【例7】（2019春?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在AABC中，ZA=30°,tanB=-,AC=60求45的長(zhǎng).

【變式7-1］（2019春?香坊區(qū)校級(jí)月考）如圖，在AA8C'中，AB=2,AC=4,NA=120。，求3C的長(zhǎng).

C

【變式7?2】（2018秋?潛山縣期末）已知.在AAAC中，BC=OAC,N8C4=135。，求tanA的值.

【變式7?3】（2019?渠縣一模）如圖，在AA5C中，NB=450,AC=13應(yīng)，BC=1O,求sinA和AB.

A

【考點(diǎn)8解直角三角形的應(yīng)用之坡度坡角問題】

【方法點(diǎn)撥】坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母。表示.坡度（坡比）：坡面的鉛直高度h和水平

距離1的比叫做坡度，用字母i表示，則i=：=tana,如圖，坡度通常寫成i=h：1的形式.

IT

【例8】（2019春?西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，扶梯45坡比為1:2,滑梯CD被比為1:百.若他=40a，

BC=30m,某人從扶梯上去，經(jīng)過頂部BC，再沿滑梯滑下，共經(jīng)過多少路徑？（結(jié)果精確到0.1⑼（&。1.41,

V5?1.73,右之2.24)

【變式8-1］（2019?岳麓區(qū)校級(jí)二模）今年，五一”假期，某教學(xué)活動(dòng)小組組織一次登山活動(dòng)，他們從山腳下A

點(diǎn)出發(fā)沿斜坡AB到達(dá)B點(diǎn)，再?gòu)?點(diǎn)沿斜坡8c到達(dá)山頂C點(diǎn)，路線如圖所示，斜坡的長(zhǎng)為2OOJF5米,

斜坡5c的長(zhǎng)為200匹米，坡度是1:1,已知A點(diǎn)海拔121米，C點(diǎn)海拔721米

（1）求8點(diǎn)的海拔；

（2）求斜坡45的坡度；

（3）為了方便上下山，若在A到C之間架設(shè)一條鋼纜，求鋼纜4C的長(zhǎng)度.

【變式8?2】（2019?花都區(qū)一模）如圖，水壩的橫斷面是梯形A3C￡>,背水坡A5的坡角NBA。=60°,坡長(zhǎng)

AB=20m,為加強(qiáng)水壩強(qiáng)度，將壩底從A處向后水平延伸到E處，使新的背水坡的坡度為1:2,求AE的

長(zhǎng)度：結(jié)果精確到1米.參考數(shù)據(jù)：＞/2?1.414,73^1.732）

【變式8-3］（2019?無錫一模）某小區(qū)開展了“行車安全，方便居民”的活動(dòng)，對(duì)地下車庫(kù)作了改進(jìn).如圖，

這小區(qū)原地下車庫(kù)的入口處有斜坡AC長(zhǎng)為13米，它的坡度為i=l:2.4,ABLBC,為了居民行車安全,

現(xiàn)將斜坡的坡角改為13。，即NADC=13。（此時(shí)點(diǎn)3、C、。在同一直線上）.

（2）求斜坡改進(jìn)后的起點(diǎn)。與原起點(diǎn)C的距離（結(jié)果精確到0.1米）.

（參考數(shù)據(jù)：sin13°?0.225,cos13°?0.974,tan13°?0.231,cot13°?4.331）

【考點(diǎn)9解直角三角形的應(yīng)用之仰角俯角問題】

【方法點(diǎn)撥】仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫

做俯角，如圖.

【例9】（2019秋?靖江市校級(jí)月考）如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌8,小明與同學(xué)們?cè)谏狡碌钠履_

A處測(cè)得廣告牌底部。的仰角為53。，沿坡面向上走到5處測(cè)得廣告牌頂部。的仰角為45。，已知山坡

的坡度1:石，AB=10米，AE=21米，求廣告牌CD的高度.（測(cè)角器的高度忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：

4

tan53°工—，cos53°?0.60）

3

【變式9-1］（2018秋?宣城期末）已知如圖，斜坡"的坡度為1:2.4,斜坡位的水平長(zhǎng)度為24米在坡頂A

處的同一水平面上有一座古塔8C在斜坡底尸處測(cè)得該塔的塔頂B的仰角為45。，在坡頂A處測(cè)得該塔

的塔頂B的仰角為60°.

求：（1）坡頂A到地面PQ的距離;

（2）古塔8c的高度（結(jié)果保留根號(hào)）.

【變式9-2］（2019?鄧州市二模）如圖（1）,在豫西南鄧州市大十字街西南方，聳立著一座古老建筑-福勝

寺梵塔，建于北宋天圣十年（公元1032年），當(dāng)?shù)孛裰V云：”鄧州有座塔，離天一丈八.”學(xué)完了三角函數(shù)知

識(shí)后，某?！皵?shù)學(xué)社團(tuán)”的劉明和王華決定用自己學(xué)到的知識(shí)測(cè)量“福勝寺梵塔”的高度.如圖（2）,劉明在點(diǎn)

C處測(cè)得塔頂B的仰角為45。，王華在高臺(tái)上的點(diǎn)。處測(cè)得塔頂8的仰角為40。，若高臺(tái)OE高為5米，點(diǎn)

。到點(diǎn)。的水平距離EC為1.3米，且A、C、E三點(diǎn)共線，求該塔的高度.（參考數(shù)據(jù)：sin40°*0.64,

cos40°?0.77,tan40°?0.84,結(jié)果保留整數(shù)）

圖⑴

【變式9-3］（2019?碑林區(qū)校級(jí)三模）我校數(shù)學(xué)社團(tuán)成員想利用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量某廣告牌的寬度（圖中線段

MN的長(zhǎng)）.直線MN垂直于地面，垂足為點(diǎn)尸，在地面A處測(cè)得點(diǎn)M的仰角為60°,點(diǎn)N的仰角為45。，

在這處測(cè)得點(diǎn)M的仰角為30°,姐=5米.且A、R、P三點(diǎn)在一直線上，請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求廣告牌的寬

【考點(diǎn)10解直角三角形的應(yīng)用之方向角問題】

【方法點(diǎn)撥】方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)

方向PA,PB,PC的方位角分別為是40。，135。，245°.

①②

方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90。的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線

OA,OB,OC,OD的方向角分別表示北偏東30。，南偏東45。，南偏西80。，北偏西60。.特別如I：東南方向

指的是南偏東45。，東北方向指的是北偏東45。，西南方向指的是南偏西45。，西北方向指的是北偏西45。.

【例10】（2019秋?道里區(qū)校級(jí)月考）如圖，射線MN表示一艘輪船的航行路線，從M到N的走向?yàn)槟掀珫|

30。，在”的南偏東60°方向上有一點(diǎn)A，A處到M處為100海里.

（1）求點(diǎn)4到航線A/N的距離；

（2）在航線MN上有一點(diǎn)8,且$=15。，若輪船的速度為50海里/時(shí)，求輪船從M處到8處所用時(shí)

間為多少小時(shí)？（結(jié)果保留根號(hào)）

【變式10-1】（2019春?南崗區(qū)校級(jí)月考）如圖，某貨船以24海里/時(shí)的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正

東方向的“處，在點(diǎn)A處測(cè)得某島C在北偏東60。的方向上.該貨船航行30分鐘后到達(dá)7?處，此時(shí)再測(cè)得

該島在北偏東30。的方向上，

(1)求B到C的距離：

(2)如果在。島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁.若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無觸礁危險(xiǎn)？試說明理由

(6*1.732).

【變式10-2】(2019?臺(tái)安縣二模)某海域有A,B,。二艘船正在捕魚作業(yè)，4船突然出現(xiàn)故障，向8,C

兩船發(fā)出緊急求救信號(hào)，此時(shí)C船位于8船的北偏西81。方向，距8船36海里的海域，A船位于B船的北

偏東24。方向，同時(shí)又位于C船的北偏東69。方向.

(1)求NACB的度數(shù)；

(2)8船以每小時(shí)30海里的速度前去救援，問多長(zhǎng)時(shí)間能到出事地點(diǎn)(結(jié)果精確到0.01小時(shí).參考數(shù)據(jù):

1.414,6*1.732).

【變式10-3】(2019?越秀區(qū)校級(jí)一模)如圖，一般捕魚船在A處發(fā)出求救信號(hào)，位于A處正西方向的8處

有一艘救援艇決定前去數(shù)援，但兩船之間有大片暗礁，無法直線到達(dá).救援艇決定馬上調(diào)整方向，先向北

偏東600方以每小時(shí)30海里的速度航行，同時(shí)捕魚船向正北低速航行.30分鐘后，捕魚船到達(dá)距離A處1.5

海里的。處，此時(shí)救援艇在C處測(cè)得。處在南偏東53。的方向上.

（2）捕魚船繼續(xù)低速向北航行，救援艇決定再次調(diào)整航向，沿CE方向前去救援，并且捕魚船和救援艇同

4

達(dá)時(shí)到七處，若兩船航速不變，求NE8的正弦值.（參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.8,cos53°?0.6,Um53°?-）

專題08銳角三角函數(shù)章末重難點(diǎn)題型【舉一反三】

【人教版】

《豆方芍點(diǎn)1

考點(diǎn)6解亶角三角形

考點(diǎn)7作垂線解斜三角形

考點(diǎn)8解直角三角形的應(yīng)用之坡度坡角問題

考點(diǎn)9解直角三角形的應(yīng)用之仰角俯角問邈

考點(diǎn)10解直角三角形的應(yīng)用之方向角問題

K典為分刑

【考點(diǎn)1銳角三角函數(shù)定義】

【方法點(diǎn)撥】銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的銳角三角函數(shù)。

正弦（sin）等于對(duì)邊比斜邊，余弦（cos）等于鄰邊比斜邊正切（tan）等于對(duì)邊比鄰邊；

【例I】（2019秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）在RlAABC中，ZC=90°,AB=38C,貝UsinB的值為（）

A.1B.巫C.在D.逑

2223

【分析】設(shè)8C為x,根據(jù)題意用x表示出AB,根據(jù)勾股定理求出BC,運(yùn)用正弦的定義解答即可.

【答案】解：設(shè)為弟則4B=3x,

由勾股定理得，AC=4AB?-BC2=Y(3x)2—X2=2g，

?3掾誓爭(zhēng)，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理的應(yīng)用，在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比

斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊.

【變式1-1］（2019?南海區(qū)模擬）在RlAABC中，ZC=90°,若斜邊AB是直角邊的3倍，則lanB的值

是t)

B.2夜B.3D-I

【分析】根據(jù)勾股定理求出AC,根據(jù)正切的概念計(jì)算即可.

【答案】解：設(shè)及=斯貝ljAB=3x,

由勾股定理得，AC={AB?-BC2=2、仞t.

則34=絲=2加,

BC

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理的應(yīng)用，在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊

比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊.

【變式1-2］（2019春?江岸區(qū)校級(jí)月考）如圖，在RtAABC中,ZACT=90°,于點(diǎn)。，下列各組

線段的比不能表示sin/BCD的（)

BC

D.---------

BCACC?黑。?冬

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N8CO=NA,再解直角三角形得出即可.

【答案】解：???CO_LAB,

：.^CDA=ZCDB=90°，

VZACfi=90°，

/.ZBCD+ZACD=90°，N4+4CQ=90

:./BCD=NA,

t嘿喂

即只有選項(xiàng)。錯(cuò)誤，選項(xiàng)A、B、。都正確,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，能熟記銳角三角函數(shù)的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意:

在RlZ\4CB中，ZC=90°，則siM=區(qū),cosA=-^-,tan4=-^-,COL4=-^-.

ABABACBC

【變式1-3］（2018秋?禪城區(qū)期末）如圖，在RtAABC中，NAC8=90。，8是斜邊AB上的高，下列線段

的比值等于cosA的值的有（）個(gè)

BD

(3)

⑴然⑵隼~BC

A.IB.2C.3D.4

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系的定義分析得出答案.

【答案】解：???在中，NACB=90°,CO是斜邊A5上的高,

AZA+ZACD=90°,ZACD+ZBCD=90°，

:./1A=ZBCD,

2噴嚏喂

故(1),(2),(4)正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確把握銳角三角函數(shù)定義是解題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)2網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)值】

【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解備邊的長(zhǎng)度，有時(shí)還會(huì)運(yùn)用面

積法來求解關(guān)鍵邊的長(zhǎng)度.

【例2】（2018秋?慈溪市期末）如圖，A,B,C是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)），則sinNACB

的值為（）

【分析】由勾股定理可求AC,8c的長(zhǎng)，由三角形的面積公式可求8。的長(zhǎng)，即可求sin/ACB的值.

【答案】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,過點(diǎn)5作5O_LAC于。，過點(diǎn)8作于點(diǎn)尸，

V5MBC=2X7-A-x1X3卷X1X2X4=5

由勾股定理可知：AC=V1+49=5V2?

,?』AC?B￡>=5,

2

:.BD=&,

由勾股定理可知：BC=V1+9=V1O?

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練運(yùn)用面積法求5。的長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2019秋?柯橋區(qū)期末）由小E方形組成的網(wǎng)格如圖，A,B,C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則NABC的

正切值為（）

【分析】作CD_LAB于點(diǎn)。，利用勾股定理計(jì)算出C。和8。，然后再求CQ：BO可得答案.

【答案】解：如圖，作CO-LAB于點(diǎn)D,則8=加，

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是明確題意，構(gòu)造直角三角形，利用銳角

三角函數(shù)解答問題.

【變式2?2】（2019秋?泉州期末）如圖，在網(wǎng)格圖中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上,

則ZBAC的正切值是（）

【分析】如圖，根據(jù)勾股定理可求B。，AD,再根據(jù)正切的定義可求NB4C的正切值.

【答案】解：如圖，在RtZ\A￡>8中,

AD=?]2+1BD—yj2^+2^=V2?

則/8AC的正切值是尊=2.

AD

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求得BD,AD.

3

【變式2-3]（2019?滕州市校級(jí)模擬）如圖，在2x2正方形網(wǎng)格中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的AABC的面積等于士,

2

貝iJsinNC43=（)

A.3G3

B.J------D.2

25

【分析】根據(jù)勾股定理，可得4C、AB.的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式，可得8的長(zhǎng)，根據(jù)正弦函

數(shù)的定義，可得答案.

由勾股定理，得

AB=AC=y[^,BC=V2.

由等腰三角形的性質(zhì)，得

BE=LC=返.

22

由勾股定理，得

AE=[AB2-BE2=^^'

由三角形的面積，得

22

&X平訴

即CD=----」_=上”.

V55

375

s\nZCAB=^-=-^=^-,

ACV55

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，利用了勾股定理，利用三角形的面積公式得出CD的長(zhǎng)是解

題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)3銳角三角函數(shù)的增減性】

【方法點(diǎn)撥】當(dāng)角度在0。?90。間變化時(shí)，

正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）

余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?/p>

正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?/p>

【例3】（2019秋?余姚市期末）已知0<a<45。，關(guān)于角a的三角函數(shù)的命題有：①0<sina<正，

2

②cosavsina,@sin2a=2sina,④Octanavl,其中是真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)銳角函數(shù)的正弦是增函數(shù)，余弦是減函數(shù)，正切是增函數(shù)，可得答案.

【答案】解：由0<a<45°,得

0Vsina〈Y2,故①正確；

2

cosa>sina,故②錯(cuò)誤；

sin2a=2sinacosa<2sina?故③錯(cuò)誤；

0<tana<1,故④正確；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角函數(shù)的增減性，熟記銳角函數(shù)的正弦是增函數(shù)，余弦是減函數(shù)，正切是增函數(shù)

是解題關(guān)鍵.

【變式3-1］（2019秋?竦州市期末）下列不等式不成立的是（）

A.sin200<sin400<sin70°B.cos200<cos400<cos70°

C.lan200<tan400<tan70°D.sin300V8s45。vtan60。

【分析】根據(jù)銳角正弦函數(shù)隨角的增大而增大，余弦隨角的增大而減小，正切隨角的增大而增大，可得

答案.

【答案】解：A、隨角的增大而增大，故4不符合題意；

比余弦隨角的增大而減小，故△符合題意：

C、正切隨角的增大而增大，故O不符合題意；

D、sin30°<cos45°<tan600,故。不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，銳角正弦函數(shù)隨角的增大而增大，余弦隨角的增大而減小,

正切隨角的增大而增大.

【變式3-2］（2019秋?雁塔區(qū)校級(jí)月考）比較tan46。，cos29°,sin59。的大小關(guān)系是（）

A.tan460<cos290<sin59°B.tan460<sin590<cos29°

C.sin590<tan460<cos29°D.sin590<cos290<tan46°

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的增減性，以及互余的兩個(gè)角之間的關(guān)系即可作出判斷.

【答案】解：???8S29°=sin61°>sin59°

cos290>sin590

又'??tan46°>tan45°>1,cos29°<1

/.sin590<cos29°<tan46°

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的增減性熟記銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3］（2019?江東區(qū)一模）如圖，是銳角三角形，sinC=1，則sinA的取值范圍是（）

A.0<sinA<—B.—<sinA<1C.—<sin>4<—D.—<sin/\<l

55555

【分析】作A〃_LBC于”，如圖，根據(jù)正弦定義得到sinC=&l=a，則可設(shè)44=4x,AC=5x,利用勾

AC5

股定理得到C〃=3x,所以sinN/MC=曳=W,由于/”ACVNBACV90°,然后根據(jù)正弦函數(shù)為增函

AC5

數(shù)即可得到sinNBAC的范圍.

【答案】解：作于從如圖，

在RtZ\ACH中，sinC=^=且，

AC5

設(shè)AH=4x,AC=5x,

所以C//=V(5X)2-(4X)2=3XT

所以sinZHAC=^-=^-

AC5

VZ/MC<ZBAC<90°，

—VsinNBACVL

5

故選：D.

BHC

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性：銳角三角函數(shù)值都是正值；當(dāng)角度在0°?90°間變化時(shí),

正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?；余弦值隨著角度的增天（或減?。┒鴾p小（或增大）;

當(dāng)角度在0°WNAW90。間變化時(shí)，OWsinAWL12cos420.

【考點(diǎn)4互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系】

【方法點(diǎn)撥】互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系：sin（9（T-a尸cosa,cos（9（）o-a尸sina,

【例4】（2019秋?常州期末）如圖，在RtAABC中，NA=90°，AD±BC,垂足為O.給出下列四個(gè)結(jié)論:

①sina=sin8；②sin￡=sinC；③sinB=cosC：?sina=cosp.其中正確的結(jié)論有.

【分析】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)NA=90°,ADLBC,可得Na=N&Zp=ZC,再

利用銳角三角函數(shù)的定義可列式進(jìn)行逐項(xiàng)判斷.

【答案】解：VZA=90°,AD±BC,

.,.Za+Zp=90°,ZB+Zp=90°,ZB+ZC=90°,

/.Za=ZB,Zp=ZC,

?'.sina=sinB,故①正確；

sin3=sinC,故②正確；

???在RtAAfiC中sin8=幽，cosC=—,

AsinB=cosC?故③正確:

Vsina=sinS,cosZp=cosC?

.,.sina=cosZp.故④正確：

故答案為①②③④.

【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角的三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握互余兩角的三角函數(shù)間的關(guān)系.

【變式4-1］（2019秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）在RtAABC中，NC=90。，cosA=-,則sin3=

3

【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系就可以求解.

【答案】解：:在△48C中，ZC=90°,

AZA+Zfi=90°，

.\sinB=cosA=—.

3

故答案為：1.

3

【點(diǎn)睛】本題考查互為余角的兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，一個(gè)角的余弦等于它余角的正弦.

【變式4-2］（2019春?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）已知銳角a,且sina=cos35。，貝Ua=—度.

【分析】對(duì)于任意銳角4,有siM=cos（90°-A）,可得結(jié)論.

【答案】解：?.,sina=cos35°,

???a=90°-35°=55°,

故答案為：55.

【點(diǎn)睛】此題考查互余兩角的三角函數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系解答.

【變式4.3】（2019?荔灣區(qū)校級(jí)模擬）在RtAABC中，ZC=90°,a,b分別是N4、々的對(duì)邊，如果

sinA:sin8=2:3,那么a:〃等于.

【分析】根據(jù)正弦的定義得到siM=2sinB=l,再由siM：sinB=2：3得到旦1=2：3,然后利用

CCCC

比例性質(zhì)化簡(jiǎn)即可.

【答案】解：在RtAABC中，ZC=90°,a,力分別是/A、NB的對(duì)邊，c為NC對(duì)的邊，

.*.sia4=—,sinB=—,

cc

VsinA：sin8=2：3,

，亙：上=2：3,

cc

/?d：b=2：3.

故答案為2：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系：在直角三角形中，N4+N8=90°時(shí)，正余弦之間的關(guān)

系為：①一個(gè)角的正弦值等于這個(gè)角的余角的余弦值，即sinA=（90°-ZA）;②一個(gè)角的余弦值等于

這個(gè)角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-ZA）.也考查了銳角三角函數(shù)的定義.

【考點(diǎn)5特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算】

［方法點(diǎn)撥】解決此類問題關(guān)鍵在于熟記特殊角三角函數(shù)值.

說角asinacowtana

￡顯皂

30°223

立在

45。1

22

￡

V3

6/22

【例5】（2018秋?北侖區(qū)期末）計(jì)算：sin600+cos2450-sin30°.tan600.

【分析】首先代入特殊角的三角函數(shù)值，再計(jì)算乘方，后算乘除，最后算加減即可.

【答案】解：原式=1+工?工乂次，

222

=返+工.亞，

222

——.

2

【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是掌握30°、45。、60°角的各種三角函數(shù)值.

【變式5-1］（2018秋?興化市期末）計(jì)算：

（1）sin230°+sin600-sin2450+cos230°：

（2）tan30°+tan45°

tan600“an45°

【分析】（1）直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出答案;

（2）直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出答案.

【答案】解：（1）原式=（1）2+返-（返）2+（返）2

?2222

L1

-

2+

/1/21

1,12

一

鼻

（2）原式=，一返.

V3X13

【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

【變式5-2]（2019春?市中區(qū)校級(jí)月考）28s30。+tan300?cos60。-"（校tan60。＞

【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入原式，根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算法則計(jì)算.

【答案】解：原式=2X返+返義工-后1

232

=退+1.

6

【點(diǎn)睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

sin450+cos30°

【變式5-3]（2019秋?煙臺(tái)期末）計(jì)算:-sin30°(cos45°-sin60°)

3-2cos60°

【分析】依據(jù)30°、45°、60。角的各種三角函數(shù)值，即可得到計(jì)算結(jié)果.

【答案】解:（返一返）

22

=2/2W3_V22/3

--4~-4-

4

=運(yùn)

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，其應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，二是具有三

角函數(shù)的特點(diǎn)，在解直角三角形中應(yīng)用較多.

【考點(diǎn)6解直角三角形】

【方法點(diǎn)撥】解直角三角形（/?必48。,/。=90。）

（4）三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2.

（5）兩銳角之間的關(guān)系：ZA+ZB=90c.

（6）邊角之間的關(guān)系

（4）解直角三角形中常見類型：①已知一邊一銳角.②已知兩邊.

【例6】（2018春?臨洪縣期中）如圖，在A4瓦）中，AC_L8￡＞于點(diǎn)C,生，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，tan￡＞=2,

CD2

CE=\,求sinNR%的值和AD的長(zhǎng).

BD

【分析】利用已知表示出BC,CD的長(zhǎng)，再利用勾股定理表示出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出sinZECB的值和

AQ的長(zhǎng).

【答案】解：?.?AC_L8。，

???/AC8=N4CD=90°.

???點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，CE=1,

：?BE=CE=1,AB=2CE=2,

：?/B=/ECB.

??BC=3

*CD工

；?設(shè)3C=3x,CD=2x.

在RtZXACO中，tanO=2,

?.AC-—乙?，

CD

：.AC=4x.在RtZ\ACB中，

由勾股定理得AB={AC?+BC2=5X,

，由iNECB=sinB=￡=9.

AB5

由A8=2,得x=2,

5

22=2=2x=

/MD=VAC2+CD2=7(4x)+(2x)^^f-^-

【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形，正確表示出A8的長(zhǎng)以及銳角三角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.

【變式6-11(2018秋?撫寧區(qū)期末)如圖，在AA8C中，4)是8C邊上的高，AE是BC邊上的中線，NC=45。，

sin￡?=-,AD=\.

3

(1)求3C的長(zhǎng)；

(2)求tanNZiAE的值.

【分析】(1)先由三角形的高的定義得出NAOB=NADC=90°,再解RtAADC,得出。。=1；解Rt

△QB,得出A4=3,根據(jù)勾股定理求出8。=2加,然后根據(jù)8c=8ZH0C即可求解;

(2)先由三角形的中線的定義求出CE的值，則。E=CE-CQ,然后在RtZXAOE中根據(jù)正切函數(shù)的定

義即可求解.

【答案】解：(1)在△ABC中,TA。是8c邊上的高,

???/AO8=NADC=90°.

在△AOC中，VZADC=90°,ZC=45°,AD=1,

：.DC=AD=\.

在AAOB中，VZADB=90°，sinB=—,40=1,

3

：.AB=-^=3>

sinB

D=22=2,

*e?^7AB-AD^2

:.BC=BD+DC=2^J'2+1；

(2)YAE是8c邊上的中線，

???CE=LC=V^+L

22

：,DE=CE-CD=4^--1=V2-—?

22

tanZDAE=%=退=避-!

AD12

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，三角形的高、中線的定義，勾股定理，難度中等，分別解RtZXAOC

與RtZXAOB,得出OC=1,A3=3是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2](2019?臨河區(qū)一模)如圖，在等腰RtAABC中，NC'=90。，4c=6,"是AC上一點(diǎn)，若

tanZDBA=-.

5

(1)求AD的長(zhǎng)；

(2)求sin/DBC的值.

【分析1(1)過點(diǎn)。作O”_LA8于點(diǎn)從根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及銳角三角形函數(shù)的

定義即可求出答案.

(2)由(1)可求出CQ=4.根據(jù)勾股定理可求出△。的長(zhǎng)度，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出

答案.

【答案】解：(1)過點(diǎn)。作?！盻LAB于點(diǎn)”，

???等腰三角形ABC,ZC=90°

，/A=45°,

：.AH=DH,

設(shè)AH=xt

:?DH=x,

VtanZDA?A=X

5

???8〃=5JV,

AB—6x,

VAC=6,

.??由勾股定理可知：AB=6班,

**x=yj~Q.1

:.AH=DH=?

由勾股定理可知：/1D=2；

(2)由于40=2

：.DC=4,

由勾股定理可知：。4=2后,

???sinNDBC=2席/誓,

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)以及解直角三角形，本題屬于中

等題型.

【變式6-3](2018秋?岳麓區(qū)校級(jí)期中)如圖，已知RtAABC中，NACB=903CD是斜邊A8上的中線,

過點(diǎn)A作AE_LCD,AE分別與CD、