35-第三章習(xí)題課(概率統(tǒng)計)

第三章多維隨機變量及其分布習(xí)題課三習(xí)題課三歸納第三章的概念、理論與方法等內(nèi)容，在“例題分類解析”部分，講解了：二維隨機變量及其分布的概念及性質(zhì)；二維離散型隨機變量的分布律；二維連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)；邊緣分布律與條件分布律;

隨機變量落入平面區(qū)域內(nèi)的概率計算；

兩個隨機變量的獨立性的判定；

兩個隨機變量函數(shù)的概率分布.三、學(xué)習(xí)與研究方法.習(xí)題課三內(nèi)容簡介：

本章重點：1.二維隨機變量分布函數(shù)的概念和性質(zhì)；2.邊緣分布的概念；3.條件分布的概念；4.隨機變量的獨立性；5.簡單隨機變量函數(shù)的概率分布.本章難點：

1.二維連續(xù)型隨機變量的概率計算；

2.連續(xù)型隨機變量邊緣概率密度的計算；

3.隨機變量的獨立性的判定和應(yīng)用問題；

4.簡單隨機變量函數(shù)的概率分布的計算.

一、主要內(nèi)容歸納1.分布函數(shù)F(x,y)及其性質(zhì)表3-1二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)及其性質(zhì)二維離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為性質(zhì):(1)≥0;(2)分布函數(shù):表3-2二維離散型隨機變量及其性質(zhì)2.二維離散型隨機變量及其性質(zhì)表3-3二維連續(xù)型隨機變量及其性質(zhì)設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y).性質(zhì):

(1)f(x,y)≥0;

(2)

(3)

,(x,y)為f(x,y)的連續(xù)點;

(4)

分布函數(shù):

3.二維連續(xù)型隨機變量及其性質(zhì)離散型隨機變量二維隨機變量(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律為二維隨機變量(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律為二維隨機變量(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為二維隨機變量(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)為表3-4邊緣分布4.二維隨機變量的邊緣分布二維隨機變量(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度為二維隨機變量(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為二維隨機變量(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為二維隨機變量(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)為連續(xù)型隨機變量5.二維隨機變量的條件分布表3-5條件分布離散隨機變量二維隨機變量(X,Y)在條件下X的條件分布律為二維隨機變量(X,Y)在條件下Y的條件分布律為xiX=二維隨機變量(X,Y)在條件Y=y下X的條件概率密度為條件分布函數(shù)為

二維隨機變量(X,Y)在條件X=x下Y的條件概率密度為條件分布函數(shù)為連續(xù)型隨機變量

3-6隨機變量的獨立性隨機變量X與Y相互獨立的充分必要條件是:f(x,y)=fX(x)fY(y)在平面上幾乎處處成立,其中f(x,y),fX(x),fY(y)分別是(X,Y)的概率密度和邊緣密度.連續(xù)型隨機變量隨機變量X與Y相互獨立的充分必要條件是:對于(X,Y)的所有可能取值(xi,yj)均成立.離散型隨機變量若對任意的數(shù)x,y,

滿足F(x,y)=Fx(x)FY(y),則稱隨機變量X與Y相互獨立.其中F(x,y),FX(x),FY(y)分別是(X,Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù).定義6.隨機變量的獨立性表3-7常見兩個隨機變量函數(shù)的分布設(shè)X,Y為連續(xù)型隨機變量,Z=X+Y的分布函數(shù)為≤≤Z}

設(shè)X,Y為離散型隨機變量,

Z=X+Y的分布律為或Z=X+Y

7.簡單隨機變量函數(shù)的分布N的分布函數(shù)為

，其中X,Y相互獨立.N=min{X,Y}

M的分布函數(shù)為

其中X,Y相互獨立.

M=max{X,Y}Z=X+Y的概率密度為若X,Y相互獨立,則有8.重要結(jié)論表3-8重要結(jié)論1.二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布,而且都不依賴于參數(shù)ρ.2.一般地,單由關(guān)于X和Y的邊緣分布不能唯一確定X和Y的聯(lián)合分布.

3.對于二維正態(tài)隨機變量(X,Y),X和Y相互獨立的充要條件是參數(shù)ρ=0.4.有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.

9.重要二維分布及其性質(zhì)表3-9重要二維分布及其性質(zhì)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為其中SG表示平面區(qū)域G的面積.

均勻分布二維隨機變量(X,Y)的概率密度

其中.記作二維正態(tài)分布的性質(zhì):

1.

2.

正態(tài)分布

二、例題分類解析1.二維隨機變量及其分布的概念和性質(zhì)

例1設(shè)二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為求:(1)常數(shù)A,B,C;(2)

(X,Y)的概率密度.解(1)由分布函數(shù)的性質(zhì)有令x=0,y=0,由此解得故有(2)(X,Y)的概率密度為

注：本題考查了分布函數(shù)的性質(zhì)在確定其表達式中待定參數(shù)的應(yīng)用,考查了分布函數(shù)和概率密度之間的運算關(guān)系.求分布函數(shù)表達式中的待定常數(shù)是一個常見問題.此例的解法具有通用性.2.二維離散型隨機變量的分布律設(shè)某班車起點站上客人數(shù)X服從參數(shù)為的泊松分布,每位乘客中途下車的概率為p(0<p<1),且中途下車與否相互獨立.以Y表示在中途下車的人數(shù).求:(1)在發(fā)車時有n個乘客的條件下,中途有m人下車的概率;(2)二維隨機變量(X,Y)的概率分布.

例2

由于乘客下車與否相互獨立,所以第一個問題可看成是一個n重伯努利試驗問題涉及到條件概率;第二個問題中的兩個隨機變量都是離散型的,同時涉及到概率乘法公式分析(1)解0≤m≤n,n=0,1,2,….(2)二維隨機變量(X,Y)的概率分布為≤m≤n,n=0,1,2,….

例3

甲、乙兩人獨立地各進行兩次射擊.假設(shè)甲的命中率為0.2,乙的命中率為0.5,以X和Y分別表示甲和乙的命中次數(shù).試求X和Y的聯(lián)合概率分布.分析由于X和Y相互獨立,所以此題目用到二項分布.X服從參數(shù)為n=2,p=0.2的二項分布,Y服從參數(shù)為n=2,p=0.5的二項分布.它們的概率分布分別為解X012P{X=i}0.640.320.04Y012P{Y=j}0.250.50.25由于X和Y的獨立,可得X和Y的聯(lián)合概率分布為

YX01200.160.320.1610.080.160.0820.010.020.01

3.連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)

例4

已知隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度為求X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y).分析本題涉及聯(lián)合分布函數(shù)為分段形式的計算,即計算二重積分解根據(jù)定義X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)(2)當x>1且y>1時,有(3)當0≤x≤1且0≤y≤1時,有≤x,Y≤y}=

在計算中應(yīng)注意區(qū)域的劃分和f(x,y)的分段表達式.

(1)當x<0或y<0時,有;(4)當0≤x≤1且y>1時,有(5)當x>1且0≤y≤1時,有故X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為4.邊緣分布律和條件分布律

例5

設(shè)隨機變量X和Y相互獨立,下表列出了二維隨機變量(X,Y)的分布律及其關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分數(shù)值,試將其余數(shù)值填入表中空白處.1x2

x1

y3y2y1YX解所以有首先,

由于在此基礎(chǔ)上利用X和Y的獨立性,有于是再次,利用X和Y的獨立性,有于是最后,利用X和Y的獨立性,有因此得到下表y3y2y1x1

YX

1x2

例6

設(shè)二維隨機變量(X,Y)在圓域x2+y2≤1上服從均勻分布.求:

(1)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度;

(2)條件概率密度.分析由于(X,Y)服從均勻分布,所以解由題設(shè)知,(X,Y)的聯(lián)合概率密度為(1)當x<-1或x>1時,由于f(x,y)=0,所以當-1≤x≤1時,于是關(guān)于X的邊緣概率密度為利用對稱性,可得關(guān)于Y的邊緣概率密度為(2)因為,注意到當時,f(x,y)才不為零,時,有

因此,當

類似地,可以求得在條件“X=x”下,當-1<x<1時Y的條件概率密度.即在條件“Y=y”下,當-1<y<1時X的條件概率密度為5.隨機變量落入平面區(qū)域內(nèi)的概率例7

已知隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度為求P{X<Y}.解由概率密度求概率的計算公式,可得練習(xí): 計算概率P{2X+1<Y},P{X+Y<1}.6.兩個隨機變量的獨立性的例子例8

設(shè)(X,Y)的分布律為問當α,β取何值時,X與Y相互獨立?β

α

(2,3)(2,2)(2,1)(1,3)(1,2)(1,1)(X,Y)Pij

分析:首先,由分布律求得邊緣分布律解1β+α+p.j

+α+β

β

α

21pi.321YX對所有的i,j都要成立.因此又涉及計算邊緣分布律.離散型隨機變量的獨立性需要考慮充要條件故可得方程組解得pij=pi.p.j(i=1,2;j=1,2,3).由于邊緣分布滿足相互獨立的等價條件為

,又X,Y經(jīng)檢驗,此時,對于所有的i=1,2;j=1,2,3均有pij=pi.p.j成立.因此當X與Y相互獨立.

例9

一電子儀器由兩個部件構(gòu)成,

X和Y分別表示兩個部件的壽命(單位:千小時),已知X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為問X和Y是否獨立?(2)求兩個部件的壽命都超過100小時的概率α.由于題設(shè)給出的是聯(lián)合分布函數(shù),所以獨立性只需檢驗因此，需要計算X和Y的分布函數(shù).是否成立.分析解

(1)X和Y的分布函數(shù)分別為由于F(x,y)=FX(x)FY(y),所以X和Y相互獨立.(2)

例10

設(shè)相互獨立的兩個隨機變量X和Y具有同一分布律,且X的分布律為PX10求隨機變量Z=max{X,Y}的分布律.7.兩個隨機變量函數(shù)的分布這是一個離散型隨機變量函數(shù)的分布律的問題.Z的可能取值為0,1,然后再分析Z取這些值的概率.分析解由題設(shè)知,Z的可能取值為0,1.Y}=0,即意味著X=0,Y=0.又由于X和Y相互獨立,所以

Z=max{X,由對立條件的概率得出故Z=max{X,Y}的分布律為P10Z均勻

分布，試求Z=X+Y的概率密度(計算結(jié)果用標準正態(tài)分布函數(shù)(Z)表示).

例11

設(shè)隨機變量X與Y相互獨立,X服從正態(tài)分布,Y服從區(qū)間上的Z=X+Y的分布是一種非常重要的分布.因X與Y相互獨立,故可使用卷積公式直接計算其概率密度.本題目還需熟悉均勻分布和正態(tài)分布的概率密度.分析解由題意知,X的概率密度為Y的概率密度為由卷積公式知,Z的概率密度為作變量代換，可得

例12

設(shè)X與Y相互獨立,且服從參數(shù)為的指數(shù)分布,求:(1)U=max{X,Y}的概率密度;(2)V=min{X,Y}的概率密度.直接利用表3-7中公式計算即可.分析

X和Y的概率密度和分布函數(shù)分別為解(1)由于X與Y相互獨立,U=max{X,Y}的分布求導(dǎo),可得U的概率密度函數(shù)為(2)由于X與Y相互獨立,V=min{X,Y}的分布函求導(dǎo),可得V的概率密度為數(shù)為

例13

假設(shè)一電路裝有三個同種電氣元件,其工作狀態(tài)相互獨立,且無故障工作時間都服從參數(shù)為λ>0的指數(shù)分布.當三個元件都無故障時電路正常工作,否則整個電路不能正常工作.試求電路正常工作的時間T的概率分布.記Xi(i=1,2,3)表示第i個元件無故障工作時間,則T=min{X1,X2,X3}.實際上可以看作三個元件串聯(lián)時構(gòu)成的電路系統(tǒng).分析記Xi(i=1,2,3)表示第i個元件無故障工作的時間,則X1,X2,X3相互獨立同分布,其分布函數(shù)為解設(shè)T的分布函數(shù)為G(t).由于T=min{X1,X2,X3},當t>0時,≤t}當t≤0時,G(t)=0;所以故即T服從參數(shù)為3λ的指數(shù)分布.求隨機變量Z=X+2Y的分布函數(shù).例14

設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為(1)當z≤0時，,F(z)=0;因聯(lián)合概率密度已知,只需按分布函數(shù)的定義計算即可.分析解Z的分布函數(shù)為≤z}=

≤

(2)當z>0時,故例15

設(shè)隨機變量X,Y相互獨立,其概率密度分別為求隨機變量的概率密度.由于隨機變量X,Y相互獨立,所以(X,Y)的概率密度為由于隨機變量X,Y相互獨立,所以X,Y的聯(lián)合概率密度易得.這就變成了求隨機變量函數(shù)的分布問題.見例14題型.分析解Z的分布函數(shù)為≤

下面來計算這個二重積分.(1)當≤0時,即z