第二章-投影基礎(chǔ)

第二章投影基礎(chǔ)第一節(jié)正投影法第二節(jié)物體的三視圖第三節(jié)點(diǎn)的投影第四節(jié)直線的投影第五節(jié)平面的投影第六節(jié)基本體的投影第七節(jié)截交線第八節(jié)軸測(cè)投影投影法的分類(lèi)：第一節(jié)正投影法

投影法——就是投射線通過(guò)物體，向選定的面投射，并在該面上得到物體圖形的方法。中心投影法

斜投影法

正投影法

由于正投影法作出的圖形能真實(shí)反應(yīng)物體的大小，度量性好，因此成為繪制工程圖樣的主要方法。正投影的基本性質(zhì)

直線、平面與投影面平行直線、平面與投影面垂直直線、平面與投影面傾斜

真實(shí)性當(dāng)直線或平面與投影面平行時(shí)，直線的投影反映實(shí)長(zhǎng)，平面的投影反映實(shí)形。

積聚性當(dāng)直線或平面與投影面垂直時(shí)，直線的投影積聚成一點(diǎn)，平面的投影積聚成一條直線。

類(lèi)似性當(dāng)直線或平面與投影面傾斜時(shí)，直線的投影長(zhǎng)度變短、平面的投影面積變小，但投影的形狀仍與原來(lái)的形狀相類(lèi)似。第二節(jié)物體的三視圖三視圖的形成

為了完整地表達(dá)物體的形狀，可從幾個(gè)不同方向?qū)ξ矬w進(jìn)行投射，這樣在不同的投影面上得到的幾個(gè)視圖，互相補(bǔ)充，就可把物體表達(dá)清楚，通常用三個(gè)視圖來(lái)表達(dá)。不同物體的一個(gè)相同的視圖

三投影面體系

三投影面的展開(kāi)

三視圖的形成投影面的展開(kāi)

展開(kāi)方法：正面（V面）不動(dòng)，水平面（H面）繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°，側(cè)面（W面）繞OZ軸向右后旋轉(zhuǎn)90°；分別旋轉(zhuǎn)到與正面處在同一平面上.

三視圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

主、俯視圖同時(shí)反映物體的左右長(zhǎng)度，相等且對(duì)正；主、左視圖同時(shí)反映物體的上下高度，相等且平齊；俯、左視圖同時(shí)反映物體的前后寬度，寬度就相等。三視圖的作圖方法和步驟

第三節(jié)點(diǎn)的投影

點(diǎn)的投影有如下規(guī)律：

1．點(diǎn)的Ｖ面投影與Ｈ面投影的連線垂直于ＯＸ軸，即s′s⊥OX；2．點(diǎn)的Ｖ面投影與Ｗ面投影的連線垂直于ＯＺ軸，即s′s″⊥OZ；3．點(diǎn)的Ｈ面投影至ＯＸ軸的距離等于其Ｗ面投影至ＯＺ軸的距離，即ssx=s″sz。第四節(jié)直線的投影

直線的投影一般仍為直線，其各面投影即為直線上兩端點(diǎn)的同面投影的連線。

空間直線及投影

展開(kāi)的投影圖

投影面的平行線指平行于一個(gè)投影面，與另外兩個(gè)投影面傾斜的直線?！骄€平行于H面并與V、W面傾斜的直線；——正平線平行于V面并與H、W面傾斜的直線；——側(cè)平線平行于W面并與H、V面傾斜的直線；

投影特性：在直線所平行的投影面上，其投影反映實(shí)長(zhǎng)并傾斜于投影軸；另外兩個(gè)投影分別平行于相應(yīng)投影軸，且小于實(shí)長(zhǎng)。

投影面垂直線垂直于一個(gè)投影面，并平行于其它兩個(gè)投影面的直線?！U垂線垂直于H面，與V、W面平行的直線；——正垂線垂直于V面，與H、W面平行的直線；——側(cè)垂線垂直于W面，與H、V面平行的直線。

投影特性：在所垂直的投影面上，其投影積聚成點(diǎn)；另外兩個(gè)投影分別垂直于相應(yīng)的投影軸，且反映實(shí)長(zhǎng)。

一般位置直線與三個(gè)投影面都處于傾斜位置的直線。

投影特性其各面投影都與投影軸傾斜，各面投影的長(zhǎng)度均小于實(shí)長(zhǎng)。一般位置直線的投影第五節(jié)平面的投影

投影面平行面平行于一個(gè)投影面同時(shí)垂直于其它兩個(gè)投影面的平面。——水平面平行于H面，垂直于V、W面的平面；——正平面平行于V面，垂直于H、W面的平面；——側(cè)平面平行于W面，垂直于V、H面的平面。

投影特性：在所平行的投影面上，其投影反映實(shí)形；另外兩個(gè)投影積聚成直線且分別平行于相應(yīng)的投影軸。

投影面垂直面垂直于一個(gè)投影面同時(shí)與其它兩個(gè)投影面傾斜的平面，稱(chēng)為投影面垂直面，——鉛垂面垂直于H面，與V、W面傾斜的平面；——正垂面垂直于V面，與H、W面傾斜的平面；——側(cè)垂面垂直于W面，與H、V面傾斜的平面。

投影特性：在所垂直的投影面上，其投影積聚成一傾斜的直線，另外兩個(gè)投影均為縮小的類(lèi)似形。

一般位置平面與三個(gè)投影面都傾斜的平面。投影特性在三個(gè)投影面上的投影都不反映平面實(shí)形，均為縮小的類(lèi)似形。第六節(jié)基本體的投影

投影分析：圖示正六棱柱，上、下底面為六邊形，平行于水平面，前后棱面為矩形平行于正面，另外四個(gè)棱面垂直于水平面。在這種位置下，頂面和底面的水平投影重合，并反映實(shí)形，六個(gè)棱面的水平投影積聚為六邊形的六條邊。

1.棱柱

棱柱的棱線互相平行。常見(jiàn)的棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱等。

平面體的投影

投影分析：圖示正三棱錐，底面為正三角形，平行于水平面，其水平投影反映實(shí)形。三個(gè)側(cè)面為等腰三角形，側(cè)面SAC垂直于W面，另外兩個(gè)側(cè)面均與三個(gè)投影面傾斜。

2.棱錐棱錐的棱線交于一點(diǎn)。常見(jiàn)的棱錐有三棱錐、四棱錐、五棱錐等。回轉(zhuǎn)體的投影

1.圓柱投影分析：

圓柱軸線垂直于水平面，圓柱上、下底面的水平投影反映實(shí)形，正面和側(cè)面投影積聚成直線。圓柱面的水平投影積聚為一圓周，與兩底面的水平投影重合。在正面投影中，矩形的兩條豎線分別是圓柱面最左、最右素線的投影，也是圓柱面前、后分界的轉(zhuǎn)向輪廓線。在側(cè)面投影中，矩形的兩條豎線分別是圓柱面最前、最后素線的投影，也是圓柱面左、右分界的轉(zhuǎn)向輪廓線。圓柱體表面上點(diǎn)的投影已知圓柱面上點(diǎn)M的正面投影m′，求作m和m″。根據(jù)圓柱面水平投影的積聚性可先作出m，由于m′是可見(jiàn)的，則點(diǎn)M必在前半圓柱面上，m必在水平投影圓的前半圓周上。再按投影關(guān)系作出m″。由于M點(diǎn)在右半圓柱面上，所以（m″）不可見(jiàn)。

2.圓錐投影分析：圓錐軸線垂直于水平面。錐底面平行于水平面，水平投影反映實(shí)形，正面和側(cè)面投影積聚成直線。圓錐面的三個(gè)投影都沒(méi)有積聚性，其水平投影與底面的水平投影重合。在正面投影中，三角形的兩腰分別是圓錐面最左、最右素線的投影，也是圓錐面前、后分界的轉(zhuǎn)向輪廓線。側(cè)面投影中的三角形的兩腰分別是圓錐最前、最后素線的投影，也是圓錐面左、右分界的轉(zhuǎn)向輪廓線。2.圓錐

圓錐表面點(diǎn)的投影（a）圓錐表面上的點(diǎn)（b）輔助線法（c）輔助圓法

投影分析：圓球的三個(gè)視圖是大小相等的三個(gè)圓，圓的直徑與球的直徑相等。但這三個(gè)圓是圓球上平行于相應(yīng)投影面的三個(gè)不同位置的最大輪廓圓。正面投影的輪廓圓是前、后兩半球面可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界線，是平行于V面的最大圓的投影；水平投影的輪廓圓是上、下兩半球面可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界線，是平行于H面的最大圓的投影；側(cè)面投影的輪廓圓是左、右半球面可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界線，是平行于W面的最大圓的投影。3.圓球

圓球的表面可看作由一條圓母線繞其直徑回轉(zhuǎn)而成?；倔w的尺寸標(biāo)注1.平面立體一般應(yīng)標(biāo)注長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方向的尺寸。

2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)應(yīng)標(biāo)注底圓直徑和高度尺寸。圓柱、圓錐、圓臺(tái)的直徑尺寸前加注“φ”，圓球在直徑尺寸前加注“Sφ”，當(dāng)把尺寸集中標(biāo)注在非圓視圖上時(shí)，只用一個(gè)視圖即可表示清楚它們的形狀和大小。3.帶切口的幾何體的尺寸注法

帶切口的幾何體，除注出幾何體的尺寸外，還應(yīng)注出確定切口位置的尺寸；帶凹槽的幾何體除注出幾何體的尺寸外，還應(yīng)注出槽的定形尺寸和定位尺寸。

截交線在機(jī)件上常見(jiàn)一些平面與立體表面相交而產(chǎn)生的交線，如下圖所示。當(dāng)立體被平面截?cái)喑蓛刹糠謺r(shí)，其中任何一部分均稱(chēng)為截?cái)囿w，該平面則稱(chēng)為截平面，而截平面與立體表面的交線稱(chēng)為截交線。截交線具有下列性質(zhì)

（1）截交線既在截平面上，又在立體表面上，因此，截交線是截平面與立體表面的共有線，截交線上的點(diǎn)是截平面與立體表面的共有點(diǎn)；（2）由于立體表面是封閉的，因此截交線一般是封閉的平面圖形；（3）截交線的形狀取決于立體表面的形狀和截平面與立體表面的相對(duì)位置。分析：六棱柱被正垂面斜切，所形成的截交線為六邊形。六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)分別為六條棱線與截平面的交點(diǎn)。因此，只要求出截交線六個(gè)頂點(diǎn)的投影，然后依次連接各點(diǎn)的同面投影，即得截交線投影。因?yàn)榱庵母鱾€(gè)棱面都平行或垂直于相應(yīng)的投影面，所以這些平面的投影都具有積聚性，可直接利用積聚性作圖?！纠?】求作斜截六棱柱的投影作圖:①在正面投影中找出Pv與六棱柱棱線的交點(diǎn)1′、2′、3′、4′、5′、6′。②作出上述各點(diǎn)的側(cè)面投影1″、2″、3″、4″、5″、6″和水平投影1.2.3.4.、5、6。③順次連接各點(diǎn)的同面投影，即得截交線的三面投影。④判斷可見(jiàn)性，由于六棱柱最右棱線被截平面和最左棱線遮擋，其側(cè)面投影不可見(jiàn)，在截平面?zhèn)让嫱队胺秶鷥?nèi)應(yīng)畫(huà)成虛線圓柱被平面截切時(shí)，根據(jù)截平面與圓柱軸線的相對(duì)位置，其截交線有三種不同的形狀.

截平面位置與軸線平行、與軸線垂直、與軸線傾斜其軸測(cè)圖、投影圖截交線的形狀分別為矩形、圓、橢圓?！纠?】求作斜切圓柱體的投影

分析圓柱被正垂面斜切，截交線為橢圓，因截平面為正垂面，故截交線的正面投影積聚為一直線，截交線的水平投影與圓柱的水平投影重合為一圓，截交線的側(cè)面投影為橢圓，故只需求出截交線的側(cè)面投影。

①求特殊點(diǎn)特殊點(diǎn)一般是指截交線上的最高、最低、最前、最后、最左、最右點(diǎn)。它們通常是截平面與回轉(zhuǎn)體上的特殊位置素線的交點(diǎn),先求出特殊點(diǎn)以確定截交線投影的大致范圍,對(duì)作圖是很有利的。

②求一般點(diǎn)為了準(zhǔn)確地畫(huà)出橢圓，還必須在特殊點(diǎn)之間求出適量的一般點(diǎn)。一般點(diǎn)的多少可根據(jù)作圖準(zhǔn)確程度的要求而定。

③將所求各點(diǎn)的同面投影依次光滑連接起來(lái)，即為所求截交線的投影（橢圓）?！纠?】求作中間開(kāi)槽圓柱體的投影

分析圓柱被一個(gè)水平面和兩個(gè)側(cè)平面組合切割，因此，可根據(jù)截?cái)嗝嫱队熬哂蟹e聚性和真實(shí)性來(lái)作圖。作圖時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)：

①因圓柱最前、最后素線在開(kāi)槽部位均被切去一段，故側(cè)面投影的外形輪廓線，在開(kāi)槽部位向內(nèi)“收縮”，其收縮程度與槽寬有關(guān)。

②注意區(qū)分槽底側(cè)面投影的可見(jiàn)性，槽底是由兩段直線和兩段圓弧構(gòu)成的平面圖形，其側(cè)面投影積聚成的直線，中間部分（5″6″）是不可見(jiàn)的，應(yīng)畫(huà)成虛線

圓筒開(kāi)槽不僅外表面出現(xiàn)表面交線，其內(nèi)表面亦會(huì)出現(xiàn)表面交線。作圖時(shí)，內(nèi)表面的交線也應(yīng)該求出，其作圖方法、步驟與求外表面交線的方法、步驟完全相同，只是內(nèi)表面的交線不可見(jiàn)，用虛線表示。

【例4】求作斜切圓錐體的投影圓錐被斜切其截平面與圓錐軸線斜交，截交線為一橢圓。因截平面為正垂面，其正面投影有積聚性，所以截交線的正面投影具有積聚性，其水平投影和側(cè)面投影仍為橢圓，需作圖求出。分析：

①求特殊點(diǎn)截交線的橢圓長(zhǎng)軸ⅠⅢ平行于V面，短軸ⅡⅣ垂直于V面，Ⅰ、Ⅲ兩點(diǎn)的正面投影1′、3′位于圓錐的正面投影的外形輪廓線上，并由此可求出其水平投影1.3及側(cè)面投影1″、3″。Ⅱ、Ⅳ兩點(diǎn)的正面投影位于1′3′的中點(diǎn)處，并重影為一點(diǎn)2′（4′）。為了作出Ⅱ、Ⅳ的其他投影，可在圓錐表面上過(guò)Ⅱ、Ⅳ兩點(diǎn)作一平行于水平投影面的圓，并畫(huà)出該圓的三面投影，則Ⅱ、Ⅳ的投影必在該圓的同面投影上，因此即可求出2.4和2″、4″。正面投影中1′3′與軸線的交點(diǎn)5′（6′）即為截交線與圓錐最前、最后素線的交點(diǎn)Ⅴ、Ⅵ的正面投影，由5′（6′）作水平線與圓錐側(cè)面投影外形輪廓線相交得5″、6″，進(jìn)而可求得水平投影5、6。②求一般點(diǎn)一般點(diǎn)可用輔助圓法求出，在正面投影上1′3′范圍內(nèi)，適當(dāng)位置作一水平線與圓錐正面投影的外形輪廓線相交于兩點(diǎn)，以該兩點(diǎn)間的距離為直徑，在水平投影上以圓錐底圓圓心為圓心作圓，然后自正面投影水平線與PV的交點(diǎn)向下作垂線與所作的圓相交，其交點(diǎn)7、8即為截交線上的點(diǎn)Ⅶ、Ⅷ的水平投影，其正面投影7′（8′）與PV重合。根據(jù)7′、7與8′、8求得7″、8″。③依次光滑地連接各點(diǎn)的同面投影，即可得到截交線的水平投影及側(cè)面投影?！纠?】求作正平面截切圓錐的截交線的投影

分析：因截平面P與圓錐軸線平行，所以截交線為雙曲線。又因截平面為正平面，故雙曲線的正面投影反映實(shí)形，其水平投影和側(cè)面投影具有積聚性。

①求特殊點(diǎn)最低點(diǎn)Ⅰ、Ⅴ是截平面與圓錐底圓的交點(diǎn)，其水平投影1.5可直接求出，并由此可求得1′、5′及1″、5″。最高點(diǎn)Ⅲ在最前素線上，故根據(jù)3″可直接求出3和3′。②求一般點(diǎn)可用輔助圓法求出，即在正面投影3′和1′、5′范圍內(nèi)，適當(dāng)位置作一水平線與圓錐正面投影的外形輪廓線相交于兩點(diǎn)，以該兩點(diǎn)間的距離為直徑，在水平投影上以圓錐底圓圓心為圓心作圓，它與截交線的積聚性投影（直線）相交于2和4，據(jù)此求出2′、4′及2″、4″。③依次光滑連接各點(diǎn)的正面投影【例6】求作開(kāi)槽半圓球的投影

分析：由于半圓球被兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的側(cè)平面和一個(gè)水平面截切，所以?xún)蓚€(gè)側(cè)平面與球面的截交線各為一段平行于側(cè)面的圓弧，而水平面與球面的截交線為兩段水平的圓弧，兩個(gè)側(cè)平面與水平面之間的兩條交線均為正垂線。

作圖：首先畫(huà)出完整半圓球的三面投影，再根據(jù)槽寬和槽深尺寸依次畫(huà)出正面、水平面和側(cè)面投影。作圖的關(guān)鍵在于確定圓弧半徑R1和R2。

作圖時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：①因半圓球上平行側(cè)面的圓素線被切去一部分，所以因開(kāi)槽而產(chǎn)生的輪廓線（弓形面的圓弧線）在側(cè)面的投影向內(nèi)“收縮”。顯然，槽越寬、半徑R2越?。徊墼秸?，半徑R2越大。②注意區(qū)分槽底側(cè)面投影的可見(jiàn)性【例6】求作連桿頭的投影

分析：連桿頭是由同軸的小圓柱、圓錐臺(tái)、大圓柱及半球組成，并且前、后被兩個(gè)與軸線對(duì)稱(chēng)的正平面截切，所產(chǎn)生的截交線是由雙曲線（平面與圓錐臺(tái)的截交線）、兩條平行直線（平面與圓柱面的截交線）、及半個(gè)圓（平面與圓球的截交線）組成的封閉平面圖形。由于截平面是正平面，所以整個(gè)截交線的水平投影和側(cè)面投影積聚為直線，因此只需求出截交線的正面投影即可。

作圖：①求特殊點(diǎn)根據(jù)水平投影和側(cè)面投影，可求得截交線上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ五個(gè)特殊點(diǎn)的正面投影1′、2′、3′、4′、5′。②求一般點(diǎn)用輔助圓法求出一般Ⅵ、Ⅶ的正面投影6′、7′。③將各點(diǎn)的正面投影依次光滑地連接起來(lái)，即為所求截交線的正面投影第七節(jié)軸測(cè)投影軸測(cè)投影的形成軸測(cè)圖的基本性質(zhì)（1）物體上與坐標(biāo)軸平行的線段，它的軸測(cè)投影必與相應(yīng)的軸測(cè)軸平行。（2）物體上相互平行的線段，它們的軸測(cè)投影也相互平行。正等測(cè)圖的軸間角、軸向伸縮系數(shù)

斜二測(cè)圖的軸間角、軸向伸縮系數(shù)

正六棱柱的正等測(cè)

例1求作正六棱柱的正等測(cè)分析：由于正六棱柱的前后、左右對(duì)稱(chēng)，可將坐標(biāo)原點(diǎn)建立在上表面正六邊形的中心，這樣便于根據(jù)各點(diǎn)坐標(biāo)畫(huà)出正六邊形的軸測(cè)投影。作圖（1）在視圖中定坐標(biāo)原點(diǎn)O及坐標(biāo)軸OX、OY、OZ；（2）作出軸測(cè)軸O1X1.O1Y1；（3）用各點(diǎn)坐標(biāo)畫(huà)出上表面六邊形的軸測(cè)圖abcdef；（4）由abcdef各點(diǎn)分別沿O1Z1軸方向量取高度，得下表面六邊形各點(diǎn)的軸測(cè)圖；（5）用粗實(shí)線依次連接各可見(jiàn)點(diǎn)，擦去多余圖線。

例2求作墊塊的正等測(cè)分析該形體可用方箱法作圖，即借助一個(gè)長(zhǎng)方體來(lái)畫(huà)軸測(cè)圖的方法。把該形體看成是由一個(gè)長(zhǎng)方體被正垂面切割后，再由鉛垂面切去一角而成。注意：對(duì)于和坐標(biāo)軸不平行的線段，畫(huà)軸測(cè)圖時(shí)不能從正投影圖中直接量取，須按坐標(biāo)定出兩端點(diǎn)然后連線而成。作圖（1）在視圖中確定坐標(biāo)原點(diǎn)及坐標(biāo)軸；（2）根據(jù)長(zhǎng)寬高尺寸畫(huà)出長(zhǎng)方體的正等測(cè)；（3）定出A、B點(diǎn)軸測(cè)投影a、b的位置，畫(huà)出斜面平行四邊形；（4）定出c、d點(diǎn)的位置，畫(huà)出鉛垂面四邊形；（5）擦去多余線條并描深。例3求作圓柱的正等測(cè)

分析：

如圖圓柱體的軸線垂直于H面，上底面和下底面都是水平面。圓的正等測(cè)圖是兩個(gè)大小相等的橢圓。兩橢圓的中心距即柱高，作出兩橢圓的公切線即為圓柱的正等測(cè)。

作圖：

（１）確定坐標(biāo)原點(diǎn)O,使其在上底面圓的中心位置，圓的中心線即為