第二章-投影基礎(chǔ)

第二章投影基礎(chǔ)第一節(jié)正投影法第二節(jié)物體的三視圖第三節(jié)點的投影第四節(jié)直線的投影第五節(jié)平面的投影第六節(jié)基本體的投影第七節(jié)截交線第八節(jié)軸測投影投影法的分類：第一節(jié)正投影法

投影法——就是投射線通過物體，向選定的面投射，并在該面上得到物體圖形的方法。中心投影法

斜投影法

正投影法

由于正投影法作出的圖形能真實反應(yīng)物體的大小，度量性好，因此成為繪制工程圖樣的主要方法。正投影的基本性質(zhì)

直線、平面與投影面平行直線、平面與投影面垂直直線、平面與投影面傾斜

真實性當(dāng)直線或平面與投影面平行時，直線的投影反映實長，平面的投影反映實形。

積聚性當(dāng)直線或平面與投影面垂直時，直線的投影積聚成一點，平面的投影積聚成一條直線。

類似性當(dāng)直線或平面與投影面傾斜時，直線的投影長度變短、平面的投影面積變小，但投影的形狀仍與原來的形狀相類似。第二節(jié)物體的三視圖三視圖的形成

為了完整地表達物體的形狀，可從幾個不同方向?qū)ξ矬w進行投射，這樣在不同的投影面上得到的幾個視圖，互相補充，就可把物體表達清楚，通常用三個視圖來表達。不同物體的一個相同的視圖

三投影面體系

三投影面的展開

三視圖的形成投影面的展開

展開方法：正面（V面）不動，水平面（H面）繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°，側(cè)面（W面）繞OZ軸向右后旋轉(zhuǎn)90°；分別旋轉(zhuǎn)到與正面處在同一平面上.

三視圖之間的對應(yīng)關(guān)系

主、俯視圖同時反映物體的左右長度，相等且對正；主、左視圖同時反映物體的上下高度，相等且平齊；俯、左視圖同時反映物體的前后寬度，寬度就相等。三視圖的作圖方法和步驟

第三節(jié)點的投影

點的投影有如下規(guī)律：

1．點的Ｖ面投影與Ｈ面投影的連線垂直于ＯＸ軸，即s′s⊥OX；2．點的Ｖ面投影與Ｗ面投影的連線垂直于ＯＺ軸，即s′s″⊥OZ；3．點的Ｈ面投影至ＯＸ軸的距離等于其Ｗ面投影至ＯＺ軸的距離，即ssx=s″sz。第四節(jié)直線的投影

直線的投影一般仍為直線，其各面投影即為直線上兩端點的同面投影的連線。

空間直線及投影

展開的投影圖

投影面的平行線指平行于一個投影面，與另外兩個投影面傾斜的直線?！骄€平行于H面并與V、W面傾斜的直線；——正平線平行于V面并與H、W面傾斜的直線；——側(cè)平線平行于W面并與H、V面傾斜的直線；

投影特性：在直線所平行的投影面上，其投影反映實長并傾斜于投影軸；另外兩個投影分別平行于相應(yīng)投影軸，且小于實長。

投影面垂直線垂直于一個投影面，并平行于其它兩個投影面的直線?！U垂線垂直于H面，與V、W面平行的直線；——正垂線垂直于V面，與H、W面平行的直線；——側(cè)垂線垂直于W面，與H、V面平行的直線。

投影特性：在所垂直的投影面上，其投影積聚成點；另外兩個投影分別垂直于相應(yīng)的投影軸，且反映實長。

一般位置直線與三個投影面都處于傾斜位置的直線。

投影特性其各面投影都與投影軸傾斜，各面投影的長度均小于實長。一般位置直線的投影第五節(jié)平面的投影

投影面平行面平行于一個投影面同時垂直于其它兩個投影面的平面?！矫嫫叫杏贖面，垂直于V、W面的平面；——正平面平行于V面，垂直于H、W面的平面；——側(cè)平面平行于W面，垂直于V、H面的平面。

投影特性：在所平行的投影面上，其投影反映實形；另外兩個投影積聚成直線且分別平行于相應(yīng)的投影軸。

投影面垂直面垂直于一個投影面同時與其它兩個投影面傾斜的平面，稱為投影面垂直面，——鉛垂面垂直于H面，與V、W面傾斜的平面；——正垂面垂直于V面，與H、W面傾斜的平面；——側(cè)垂面垂直于W面，與H、V面傾斜的平面。

投影特性：在所垂直的投影面上，其投影積聚成一傾斜的直線，另外兩個投影均為縮小的類似形。

一般位置平面與三個投影面都傾斜的平面。投影特性在三個投影面上的投影都不反映平面實形，均為縮小的類似形。第六節(jié)基本體的投影

投影分析：圖示正六棱柱，上、下底面為六邊形，平行于水平面，前后棱面為矩形平行于正面，另外四個棱面垂直于水平面。在這種位置下，頂面和底面的水平投影重合，并反映實形，六個棱面的水平投影積聚為六邊形的六條邊。

1.棱柱

棱柱的棱線互相平行。常見的棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱等。

平面體的投影

投影分析：圖示正三棱錐，底面為正三角形，平行于水平面，其水平投影反映實形。三個側(cè)面為等腰三角形，側(cè)面SAC垂直于W面，另外兩個側(cè)面均與三個投影面傾斜。

2.棱錐棱錐的棱線交于一點。常見的棱錐有三棱錐、四棱錐、五棱錐等?；剞D(zhuǎn)體的投影

1.圓柱投影分析：

圓柱軸線垂直于水平面，圓柱上、下底面的水平投影反映實形，正面和側(cè)面投影積聚成直線。圓柱面的水平投影積聚為一圓周，與兩底面的水平投影重合。在正面投影中，矩形的兩條豎線分別是圓柱面最左、最右素線的投影，也是圓柱面前、后分界的轉(zhuǎn)向輪廓線。在側(cè)面投影中，矩形的兩條豎線分別是圓柱面最前、最后素線的投影，也是圓柱面左、右分界的轉(zhuǎn)向輪廓線。圓柱體表面上點的投影已知圓柱面上點M的正面投影m′，求作m和m″。根據(jù)圓柱面水平投影的積聚性可先作出m，由于m′是可見的，則點M必在前半圓柱面上，m必在水平投影圓的前半圓周上。再按投影關(guān)系作出m″。由于M點在右半圓柱面上，所以（m″）不可見。

2.圓錐投影分析：圓錐軸線垂直于水平面。錐底面平行于水平面，水平投影反映實形，正面和側(cè)面投影積聚成直線。圓錐面的三個投影都沒有積聚性，其水平投影與底面的水平投影重合。在正面投影中，三角形的兩腰分別是圓錐面最左、最右素線的投影，也是圓錐面前、后分界的轉(zhuǎn)向輪廓線。側(cè)面投影中的三角形的兩腰分別是圓錐最前、最后素線的投影，也是圓錐面左、右分界的轉(zhuǎn)向輪廓線。2.圓錐

圓錐表面點的投影（a）圓錐表面上的點（b）輔助線法（c）輔助圓法

投影分析：圓球的三個視圖是大小相等的三個圓，圓的直徑與球的直徑相等。但這三個圓是圓球上平行于相應(yīng)投影面的三個不同位置的最大輪廓圓。正面投影的輪廓圓是前、后兩半球面可見與不可見的分界線，是平行于V面的最大圓的投影；水平投影的輪廓圓是上、下兩半球面可見與不可見的分界線，是平行于H面的最大圓的投影；側(cè)面投影的輪廓圓是左、右半球面可見與不可見的分界線，是平行于W面的最大圓的投影。3.圓球

圓球的表面可看作由一條圓母線繞其直徑回轉(zhuǎn)而成。基本體的尺寸標(biāo)注1.平面立體一般應(yīng)標(biāo)注長、寬、高三個方向的尺寸。

2.圓柱、圓錐、圓臺應(yīng)標(biāo)注底圓直徑和高度尺寸。圓柱、圓錐、圓臺的直徑尺寸前加注“φ”，圓球在直徑尺寸前加注“Sφ”，當(dāng)把尺寸集中標(biāo)注在非圓視圖上時，只用一個視圖即可表示清楚它們的形狀和大小。3.帶切口的幾何體的尺寸注法

帶切口的幾何體，除注出幾何體的尺寸外，還應(yīng)注出確定切口位置的尺寸；帶凹槽的幾何體除注出幾何體的尺寸外，還應(yīng)注出槽的定形尺寸和定位尺寸。

截交線在機件上常見一些平面與立體表面相交而產(chǎn)生的交線，如下圖所示。當(dāng)立體被平面截斷成兩部分時，其中任何一部分均稱為截斷體，該平面則稱為截平面，而截平面與立體表面的交線稱為截交線。截交線具有下列性質(zhì)

（1）截交線既在截平面上，又在立體表面上，因此，截交線是截平面與立體表面的共有線，截交線上的點是截平面與立體表面的共有點；（2）由于立體表面是封閉的，因此截交線一般是封閉的平面圖形；（3）截交線的形狀取決于立體表面的形狀和截平面與立體表面的相對位置。分析：六棱柱被正垂面斜切，所形成的截交線為六邊形。六邊形的六個頂點分別為六條棱線與截平面的交點。因此，只要求出截交線六個頂點的投影，然后依次連接各點的同面投影，即得截交線投影。因為六棱柱的各個棱面都平行或垂直于相應(yīng)的投影面，所以這些平面的投影都具有積聚性，可直接利用積聚性作圖?！纠?】求作斜截六棱柱的投影作圖:①在正面投影中找出Pv與六棱柱棱線的交點1′、2′、3′、4′、5′、6′。②作出上述各點的側(cè)面投影1″、2″、3″、4″、5″、6″和水平投影1.2.3.4.、5、6。③順次連接各點的同面投影，即得截交線的三面投影。④判斷可見性，由于六棱柱最右棱線被截平面和最左棱線遮擋，其側(cè)面投影不可見，在截平面?zhèn)让嫱队胺秶鷥?nèi)應(yīng)畫成虛線圓柱被平面截切時，根據(jù)截平面與圓柱軸線的相對位置，其截交線有三種不同的形狀.

截平面位置與軸線平行、與軸線垂直、與軸線傾斜其軸測圖、投影圖截交線的形狀分別為矩形、圓、橢圓?！纠?】求作斜切圓柱體的投影

分析圓柱被正垂面斜切，截交線為橢圓，因截平面為正垂面，故截交線的正面投影積聚為一直線，截交線的水平投影與圓柱的水平投影重合為一圓，截交線的側(cè)面投影為橢圓，故只需求出截交線的側(cè)面投影。

①求特殊點特殊點一般是指截交線上的最高、最低、最前、最后、最左、最右點。它們通常是截平面與回轉(zhuǎn)體上的特殊位置素線的交點,先求出特殊點以確定截交線投影的大致范圍,對作圖是很有利的。

②求一般點為了準(zhǔn)確地畫出橢圓，還必須在特殊點之間求出適量的一般點。一般點的多少可根據(jù)作圖準(zhǔn)確程度的要求而定。

③將所求各點的同面投影依次光滑連接起來，即為所求截交線的投影（橢圓）?！纠?】求作中間開槽圓柱體的投影

分析圓柱被一個水平面和兩個側(cè)平面組合切割，因此，可根據(jù)截斷面投影具有積聚性和真實性來作圖。作圖時，應(yīng)注意兩點：

①因圓柱最前、最后素線在開槽部位均被切去一段，故側(cè)面投影的外形輪廓線，在開槽部位向內(nèi)“收縮”，其收縮程度與槽寬有關(guān)。

②注意區(qū)分槽底側(cè)面投影的可見性，槽底是由兩段直線和兩段圓弧構(gòu)成的平面圖形，其側(cè)面投影積聚成的直線，中間部分（5″6″）是不可見的，應(yīng)畫成虛線

圓筒開槽不僅外表面出現(xiàn)表面交線，其內(nèi)表面亦會出現(xiàn)表面交線。作圖時，內(nèi)表面的交線也應(yīng)該求出，其作圖方法、步驟與求外表面交線的方法、步驟完全相同，只是內(nèi)表面的交線不可見，用虛線表示。

【例4】求作斜切圓錐體的投影圓錐被斜切其截平面與圓錐軸線斜交，截交線為一橢圓。因截平面為正垂面，其正面投影有積聚性，所以截交線的正面投影具有積聚性，其水平投影和側(cè)面投影仍為橢圓，需作圖求出。分析：

①求特殊點截交線的橢圓長軸ⅠⅢ平行于V面，短軸ⅡⅣ垂直于V面，Ⅰ、Ⅲ兩點的正面投影1′、3′位于圓錐的正面投影的外形輪廓線上，并由此可求出其水平投影1.3及側(cè)面投影1″、3″。Ⅱ、Ⅳ兩點的正面投影位于1′3′的中點處，并重影為一點2′（4′）。為了作出Ⅱ、Ⅳ的其他投影，可在圓錐表面上過Ⅱ、Ⅳ兩點作一平行于水平投影面的圓，并畫出該圓的三面投影，則Ⅱ、Ⅳ的投影必在該圓的同面投影上，因此即可求出2.4和2″、4″。正面投影中1′3′與軸線的交點5′（6′）即為截交線與圓錐最前、最后素線的交點Ⅴ、Ⅵ的正面投影，由5′（6′）作水平線與圓錐側(cè)面投影外形輪廓線相交得5″、6″，進而可求得水平投影5、6。②求一般點一般點可用輔助圓法求出，在正面投影上1′3′范圍內(nèi)，適當(dāng)位置作一水平線與圓錐正面投影的外形輪廓線相交于兩點，以該兩點間的距離為直徑，在水平投影上以圓錐底圓圓心為圓心作圓，然后自正面投影水平線與PV的交點向下作垂線與所作的圓相交，其交點7、8即為截交線上的點Ⅶ、Ⅷ的水平投影，其正面投影7′（8′）與PV重合。根據(jù)7′、7與8′、8求得7″、8″。③依次光滑地連接各點的同面投影，即可得到截交線的水平投影及側(cè)面投影?！纠?】求作正平面截切圓錐的截交線的投影

分析：因截平面P與圓錐軸線平行，所以截交線為雙曲線。又因截平面為正平面，故雙曲線的正面投影反映實形，其水平投影和側(cè)面投影具有積聚性。

①求特殊點最低點Ⅰ、Ⅴ是截平面與圓錐底圓的交點，其水平投影1.5可直接求出，并由此可求得1′、5′及1″、5″。最高點Ⅲ在最前素線上，故根據(jù)3″可直接求出3和3′。②求一般點可用輔助圓法求出，即在正面投影3′和1′、5′范圍內(nèi)，適當(dāng)位置作一水平線與圓錐正面投影的外形輪廓線相交于兩點，以該兩點間的距離為直徑，在水平投影上以圓錐底圓圓心為圓心作圓，它與截交線的積聚性投影（直線）相交于2和4，據(jù)此求出2′、4′及2″、4″。③依次光滑連接各點的正面投影【例6】求作開槽半圓球的投影

分析：由于半圓球被兩個對稱的側(cè)平面和一個水平面截切，所以兩個側(cè)平面與球面的截交線各為一段平行于側(cè)面的圓弧，而水平面與球面的截交線為兩段水平的圓弧，兩個側(cè)平面與水平面之間的兩條交線均為正垂線。

作圖：首先畫出完整半圓球的三面投影，再根據(jù)槽寬和槽深尺寸依次畫出正面、水平面和側(cè)面投影。作圖的關(guān)鍵在于確定圓弧半徑R1和R2。

作圖時應(yīng)注意以下兩點：①因半圓球上平行側(cè)面的圓素線被切去一部分，所以因開槽而產(chǎn)生的輪廓線（弓形面的圓弧線）在側(cè)面的投影向內(nèi)“收縮”。顯然，槽越寬、半徑R2越??；槽越窄，半徑R2越大。②注意區(qū)分槽底側(cè)面投影的可見性【例6】求作連桿頭的投影

分析：連桿頭是由同軸的小圓柱、圓錐臺、大圓柱及半球組成，并且前、后被兩個與軸線對稱的正平面截切，所產(chǎn)生的截交線是由雙曲線（平面與圓錐臺的截交線）、兩條平行直線（平面與圓柱面的截交線）、及半個圓（平面與圓球的截交線）組成的封閉平面圖形。由于截平面是正平面，所以整個截交線的水平投影和側(cè)面投影積聚為直線，因此只需求出截交線的正面投影即可。

作圖：①求特殊點根據(jù)水平投影和側(cè)面投影，可求得截交線上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ五個特殊點的正面投影1′、2′、3′、4′、5′。②求一般點用輔助圓法求出一般Ⅵ、Ⅶ的正面投影6′、7′。③將各點的正面投影依次光滑地連接起來，即為所求截交線的正面投影第七節(jié)軸測投影軸測投影的形成軸測圖的基本性質(zhì)（1）物體上與坐標(biāo)軸平行的線段，它的軸測投影必與相應(yīng)的軸測軸平行。（2）物體上相互平行的線段，它們的軸測投影也相互平行。正等測圖的軸間角、軸向伸縮系數(shù)

斜二測圖的軸間角、軸向伸縮系數(shù)

正六棱柱的正等測

例1求作正六棱柱的正等測分析：由于正六棱柱的前后、左右對稱，可將坐標(biāo)原點建立在上表面正六邊形的中心，這樣便于根據(jù)各點坐標(biāo)畫出正六邊形的軸測投影。作圖（1）在視圖中定坐標(biāo)原點O及坐標(biāo)軸OX、OY、OZ；（2）作出軸測軸O1X1.O1Y1；（3）用各點坐標(biāo)畫出上表面六邊形的軸測圖abcdef；（4）由abcdef各點分別沿O1Z1軸方向量取高度，得下表面六邊形各點的軸測圖；（5）用粗實線依次連接各可見點，擦去多余圖線。

例2求作墊塊的正等測分析該形體可用方箱法作圖，即借助一個長方體來畫軸測圖的方法。把該形體看成是由一個長方體被正垂面切割后，再由鉛垂面切去一角而成。注意：對于和坐標(biāo)軸不平行的線段，畫軸測圖時不能從正投影圖中直接量取，須按坐標(biāo)定出兩端點然后連線而成。作圖（1）在視圖中確定坐標(biāo)原點及坐標(biāo)軸；（2）根據(jù)長寬高尺寸畫出長方體的正等測；（3）定出A、B點軸測投影a、b的位置，畫出斜面平行四邊形；（4）定出c、d點的位置，畫出鉛垂面四邊形；（5）擦去多余線條并描深。例3求作圓柱的正等測

分析：

如圖圓柱體的軸線垂直于H面，上底面和下底面都是水平面。圓的正等測圖是兩個大小相等的橢圓。兩橢圓的中心距即柱高，作出兩橢圓的公切線即為圓柱的正等測。

作圖：

（１）確定坐標(biāo)原點O,使其在上底面圓的中心位置，圓的中心線即為