彈性力學(xué)優(yōu)化算法：差分進(jìn)化(DE)：彈性力學(xué)優(yōu)化案例研究

彈性力學(xué)優(yōu)化算法：差分進(jìn)化(DE)：彈性力學(xué)優(yōu)化案例研究1彈性力學(xué)優(yōu)化的重要性在工程設(shè)計(jì)與分析領(lǐng)域，彈性力學(xué)優(yōu)化扮演著至關(guān)重要的角色。它不僅幫助工程師在滿足結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和穩(wěn)定性要求的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)材料和成本的最優(yōu)化，還能在設(shè)計(jì)階段預(yù)測(cè)和避免潛在的結(jié)構(gòu)失效。隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，復(fù)雜的優(yōu)化問題變得越來越可行，其中差分進(jìn)化算法(DE)因其簡單性和高效性，在解決彈性力學(xué)優(yōu)化問題中展現(xiàn)出巨大潛力。1.1彈性力學(xué)優(yōu)化的應(yīng)用場(chǎng)景結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)：橋梁、建筑、飛機(jī)等結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)，通過優(yōu)化結(jié)構(gòu)形狀和尺寸，減少材料使用，同時(shí)保證結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和穩(wěn)定性。材料選擇：在多種材料中選擇最合適的，以達(dá)到最佳的性能與成本比。故障預(yù)測(cè)：通過優(yōu)化分析，預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)在特定載荷下的應(yīng)力分布，避免過載和疲勞損傷。2差分進(jìn)化算法簡介差分進(jìn)化算法(DE)是一種基于群體的優(yōu)化算法，最初由RainerStorn和KennethPrice在1995年提出。它模仿了自然進(jìn)化過程中的選擇、交叉和變異機(jī)制，適用于解決連續(xù)優(yōu)化問題。DE算法的簡單性和易于實(shí)現(xiàn)使其在工程優(yōu)化領(lǐng)域，尤其是彈性力學(xué)優(yōu)化中，得到了廣泛應(yīng)用。2.1DE算法的基本步驟初始化種群：隨機(jī)生成一定數(shù)量的個(gè)體，每個(gè)個(gè)體代表一個(gè)可能的解決方案。變異：通過隨機(jī)選擇種群中的個(gè)體并進(jìn)行差分操作，生成變異向量。交叉：將變異向量與原個(gè)體進(jìn)行交叉操作，生成試驗(yàn)向量。選擇：比較試驗(yàn)向量與原個(gè)體的適應(yīng)度，選擇更優(yōu)的個(gè)體進(jìn)入下一代。迭代：重復(fù)變異、交叉和選擇過程，直到滿足停止條件。2.2DE算法的參數(shù)種群大?。和ǔ１硎緸镹，影響算法的搜索能力和計(jì)算效率。縮放因子：記為F，控制變異向量的步長。交叉概率：記為CR，決定原個(gè)體與變異向量交叉的程度。2.3DE算法示例下面通過一個(gè)簡單的示例來展示DE算法的實(shí)現(xiàn)過程。假設(shè)我們有一個(gè)彈性力學(xué)優(yōu)化問題，目標(biāo)是最小化一個(gè)由兩個(gè)參數(shù)控制的結(jié)構(gòu)的重量，同時(shí)保證其在特定載荷下的應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力。importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportminimize

#定義目標(biāo)函數(shù)

defobjective(x):

#假設(shè)的彈性力學(xué)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

#x[0]和x[1]分別代表結(jié)構(gòu)的兩個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)

#返回結(jié)構(gòu)的重量

returnx[0]**2+x[1]**2

#定義約束函數(shù)

defconstraint(x):

#假設(shè)的應(yīng)力約束函數(shù)

#x[0]和x[1]分別代表結(jié)構(gòu)的兩個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)

#返回應(yīng)力與許用應(yīng)力的差值，小于0表示滿足約束

return100-(x[0]+x[1])**2

#定義差分進(jìn)化算法的參數(shù)

bounds=[(0,10),(0,10)]#參數(shù)的邊界

strategy='best1bin'#策略類型

maxiter=100#最大迭代次數(shù)

popsize=20#種群大小

tol=0.01#容忍度

#使用scipy庫中的差分進(jìn)化算法求解

result=minimize(objective,bounds=bounds,method='differential_evolution',

options={'maxiter':maxiter,'popsize':popsize,'tol':tol,'disp':True},

constraints={'type':'ineq','fun':constraint})

#輸出結(jié)果

print("最優(yōu)解：",result.x)

print("最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值：",result.fun)2.3.1代碼解釋目標(biāo)函數(shù)：objective(x)定義了我們?cè)噲D最小化的結(jié)構(gòu)重量。約束函數(shù)：constraint(x)確保結(jié)構(gòu)在特定載荷下的應(yīng)力不超過許用應(yīng)力。算法參數(shù)：bounds定義了設(shè)計(jì)參數(shù)的范圍，strategy選擇了差分進(jìn)化的策略，maxiter和popsize分別控制了最大迭代次數(shù)和種群大小，tol設(shè)定了算法的收斂標(biāo)準(zhǔn)。求解過程：使用scipy.optimize.minimize函數(shù)，選擇differential_evolution方法進(jìn)行優(yōu)化，同時(shí)通過options參數(shù)傳遞算法的具體配置。結(jié)果輸出：result.x和result.fun分別表示最優(yōu)解和最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值。通過上述示例，我們可以看到差分進(jìn)化算法在解決彈性力學(xué)優(yōu)化問題中的應(yīng)用。在實(shí)際工程中，目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)將根據(jù)具體問題進(jìn)行詳細(xì)定義，以確保算法能夠準(zhǔn)確地找到滿足所有工程要求的最優(yōu)解。3差分進(jìn)化(DE)算法原理3.1DE算法的基本概念差分進(jìn)化（DifferentialEvolution,DE）算法是一種基于群體智能的優(yōu)化算法，由RainerStorn和KennethPrice在1995年提出。它主要用于解決連續(xù)優(yōu)化問題，通過模擬自然進(jìn)化過程中的變異、交叉和選擇操作，來尋找最優(yōu)解。DE算法的核心優(yōu)勢(shì)在于其簡單性和易于實(shí)現(xiàn)，同時(shí)在處理高維復(fù)雜優(yōu)化問題時(shí)表現(xiàn)出良好的魯棒性和收斂性。3.1.1算法流程初始化群體：隨機(jī)生成一定數(shù)量的個(gè)體，每個(gè)個(gè)體代表解空間中的一個(gè)點(diǎn)。變異操作：通過隨機(jī)選擇群體中的個(gè)體并進(jìn)行差分操作，生成變異向量。交叉操作：將變異向量與原個(gè)體進(jìn)行交叉操作，生成試驗(yàn)向量。選擇操作：比較試驗(yàn)向量與原個(gè)體的適應(yīng)度，選擇更優(yōu)的個(gè)體進(jìn)入下一代。迭代更新：重復(fù)變異、交叉和選擇操作，直到滿足停止條件。3.2DE算法的變異策略變異是DE算法中的關(guān)鍵步驟，用于生成新的解向量。常見的變異策略包括：DE/rand/1：從群體中隨機(jī)選擇三個(gè)不同的個(gè)體，計(jì)算它們之間的差分向量，并將這個(gè)差分向量加到另一個(gè)隨機(jī)選擇的個(gè)體上，生成變異向量。DE/best/1：使用當(dāng)前群體中適應(yīng)度最好的個(gè)體與兩個(gè)隨機(jī)個(gè)體的差分向量進(jìn)行變異。DE/rand-to-best/1：將一個(gè)隨機(jī)個(gè)體與當(dāng)前群體中適應(yīng)度最好的個(gè)體之間的差分向量加到另一個(gè)隨機(jī)個(gè)體上，生成變異向量。3.2.1代碼示例：DE/rand/1策略importnumpyasnp

defde_rand_1(population,F):

"""

DE/rand/1變異策略

:parampopulation:當(dāng)前群體

:paramF:縮放因子

:return:變異向量

"""

n,d=population.shape

#隨機(jī)選擇三個(gè)不同的個(gè)體

idxs=np.random.choice(n,size=3,replace=False)

x1,x2,x3=population[idxs]

#計(jì)算變異向量

mutant=x1+F*(x2-x3)

returnmutant3.3DE算法的交叉和選擇操作3.3.1交叉操作交叉操作用于生成試驗(yàn)向量，通常采用二進(jìn)制交叉（BinomialCrossover）或指數(shù)交叉（ExponentialCrossover）。二進(jìn)制交叉是最常用的，它以一定的概率將變異向量的元素與原個(gè)體的元素進(jìn)行交換。3.3.2代碼示例：二進(jìn)制交叉defbinomial_crossover(mutant,target,CR):

"""

二進(jìn)制交叉

:parammutant:變異向量

:paramtarget:目標(biāo)個(gè)體

:paramCR:交叉概率

:return:試驗(yàn)向量

"""

d=len(target)

#隨機(jī)選擇一個(gè)維度進(jìn)行強(qiáng)制交叉

idx=np.random.randint(d)

trial=np.copy(target)

foriinrange(d):

ifnp.random.rand()<CRori==idx:

trial[i]=mutant[i]

returntrial3.3.3選擇操作選擇操作用于決定試驗(yàn)向量是否替換原個(gè)體。如果試驗(yàn)向量的適應(yīng)度優(yōu)于原個(gè)體，則試驗(yàn)向量進(jìn)入下一代；否則，原個(gè)體保留。3.3.4代碼示例：選擇操作defselection(trial,target,fitness_func):

"""

選擇操作

:paramtrial:試驗(yàn)向量

:paramtarget:目標(biāo)個(gè)體

:paramfitness_func:適應(yīng)度函數(shù)

:return:選擇后的個(gè)體

"""

iffitness_func(trial)<fitness_func(target):

returntrial

else:

returntarget3.3.5完整DE算法示例defdifferential_evolution(fitness_func,bounds,pop_size=50,F=0.8,CR=0.9,max_iter=100):

"""

差分進(jìn)化算法

:paramfitness_func:適應(yīng)度函數(shù)

:parambounds:解空間的邊界

:parampop_size:群體大小

:paramF:縮放因子

:paramCR:交叉概率

:parammax_iter:最大迭代次數(shù)

:return:最優(yōu)解和最優(yōu)適應(yīng)度值

"""

#初始化群體

population=np.random.uniform(bounds[0],bounds[1],size=(pop_size,len(bounds)))

best_individual=population[0]

best_fitness=fitness_func(best_individual)

for_inrange(max_iter):

new_population=[]

foriinrange(pop_size):

#變異操作

mutant=de_rand_1(population,F)

#交叉操作

trial=binomial_crossover(mutant,population[i],CR)

#選擇操作

selected=selection(trial,population[i],fitness_func)

new_population.append(selected)

#更新最優(yōu)解

iffitness_func(selected)<best_fitness:

best_individual=selected

best_fitness=fitness_func(selected)

population=np.array(new_population)

returnbest_individual,best_fitness3.3.6適應(yīng)度函數(shù)示例：Sphere函數(shù)defsphere_function(x):

"""

Sphere函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù)

:paramx:解向量

:return:適應(yīng)度值

"""

returnnp.sum(x**2)3.3.7運(yùn)行DE算法#定義解空間的邊界

bounds=(-5,5)

#調(diào)用差分進(jìn)化算法

best_solution,best_fitness=differential_evolution(sphere_function,bounds)

print(f"最優(yōu)解:{best_solution},最優(yōu)適應(yīng)度值:{best_fitness}")通過上述代碼示例，我們可以看到DE算法如何通過變異、交叉和選擇操作來優(yōu)化解空間中的個(gè)體，最終找到最優(yōu)解。這種算法在處理復(fù)雜優(yōu)化問題時(shí)，尤其是那些具有多個(gè)局部最優(yōu)解的問題時(shí)，表現(xiàn)出了強(qiáng)大的搜索能力。4彈性力學(xué)優(yōu)化基礎(chǔ)4.1彈性力學(xué)基本方程在彈性力學(xué)中，我們主要關(guān)注的是材料在受到外力作用時(shí)的變形和應(yīng)力分布?；痉匠贪ㄆ胶夥匠?、幾何方程和物理方程，它們共同描述了結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為。4.1.1平衡方程平衡方程描述了在任意點(diǎn)上，作用力和反作用力的平衡狀態(tài)。在三維空間中，平衡方程可以表示為：???其中，σx,σy,σz4.1.2幾何方程幾何方程描述了變形與位移之間的關(guān)系。在小變形假設(shè)下，幾何方程可以簡化為：???γγγ其中，u,v,w是位移分量，?x4.1.3物理方程物理方程，也稱為本構(gòu)方程，描述了應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系。對(duì)于線彈性材料，物理方程遵循胡克定律：σσστττ其中，E是彈性模量，G是剪切模量。4.2結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論概述結(jié)構(gòu)優(yōu)化是在滿足特定約束條件下，尋找結(jié)構(gòu)的最佳設(shè)計(jì)參數(shù)，以達(dá)到特定目標(biāo)（如最小化結(jié)構(gòu)重量、最大化結(jié)構(gòu)剛度等）的過程。結(jié)構(gòu)優(yōu)化可以分為尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化和拓?fù)鋬?yōu)化。4.2.1尺寸優(yōu)化尺寸優(yōu)化是在給定的結(jié)構(gòu)形狀和拓?fù)湎拢{(diào)整結(jié)構(gòu)的尺寸參數(shù)（如截面尺寸、厚度等），以達(dá)到優(yōu)化目標(biāo)。例如，對(duì)于一個(gè)梁，我們可以通過調(diào)整其截面尺寸來最小化其重量，同時(shí)確保其剛度滿足要求。4.2.2形狀優(yōu)化形狀優(yōu)化是在給定的結(jié)構(gòu)拓?fù)湎?，調(diào)整結(jié)構(gòu)的幾何形狀，以達(dá)到優(yōu)化目標(biāo)。例如，對(duì)于一個(gè)飛機(jī)機(jī)翼，我們可以通過調(diào)整其翼型和翼展來最小化空氣阻力，同時(shí)確保其承載能力。4.2.3拓?fù)鋬?yōu)化拓?fù)鋬?yōu)化是在給定的結(jié)構(gòu)邊界條件下，調(diào)整結(jié)構(gòu)的材料分布，以達(dá)到優(yōu)化目標(biāo)。例如，對(duì)于一個(gè)框架結(jié)構(gòu)，我們可以通過調(diào)整其材料分布來最小化其重量，同時(shí)確保其強(qiáng)度和剛度滿足要求。4.2.4優(yōu)化算法優(yōu)化算法是實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化的關(guān)鍵。常見的優(yōu)化算法包括梯度法、遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法和差分進(jìn)化算法等。差分進(jìn)化算法是一種基于群體的優(yōu)化算法，它通過迭代更新群體中的個(gè)體來尋找最優(yōu)解。差分進(jìn)化算法具有全局搜索能力和較強(qiáng)的魯棒性，適用于解決復(fù)雜的優(yōu)化問題。4.2.5示例：尺寸優(yōu)化假設(shè)我們有一個(gè)矩形截面的梁，其長度為10m，寬度為0.1m，高度為0.2m。我們希望通過調(diào)整其高度來最小化其重量，同時(shí)確保其最大撓度不超過0.01m。我們可以使用差分進(jìn)化算法來解決這個(gè)問題。importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportminimize

#定義目標(biāo)函數(shù)

defobjective_function(height):

#計(jì)算梁的重量

weight=10*0.1*height*7850

#計(jì)算梁的最大撓度

max_deflection=(5*1000*(10**4))/(384*210*10**9*(0.1*height**3))

#如果最大撓度超過限制，增加懲罰項(xiàng)

ifmax_deflection>0.01:

weight+=1000000

returnweight

#定義約束條件

defconstraint(height):

max_deflection=(5*1000*(10**4))/(384*210*10**9*(0.1*height**3))

return0.01-max_deflection

#定義差分進(jìn)化算法的參數(shù)

bounds=[(0.1,0.5)]

constraints=({'type':'ineq','fun':constraint})

#使用差分進(jìn)化算法進(jìn)行優(yōu)化

result=minimize(objective_function,bounds=bounds,constraints=constraints,method='differential_evolution')

#輸出優(yōu)化結(jié)果

print("優(yōu)化后的高度：",result.x[0])

print("優(yōu)化后的重量：",result.fun)在這個(gè)例子中，我們首先定義了目標(biāo)函數(shù)和約束條件。目標(biāo)函數(shù)計(jì)算了梁的重量和最大撓度，如果最大撓度超過限制，我們?cè)黾恿艘粋€(gè)懲罰項(xiàng)。然后，我們定義了差分進(jìn)化算法的參數(shù)，包括搜索范圍和約束條件。最后，我們使用差分進(jìn)化算法進(jìn)行了優(yōu)化，并輸出了優(yōu)化結(jié)果。通過這個(gè)例子，我們可以看到，差分進(jìn)化算法可以有效地解決結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，特別是當(dāng)優(yōu)化問題具有復(fù)雜的約束條件時(shí)。5彈性力學(xué)優(yōu)化算法：差分進(jìn)化(DE)應(yīng)用5.1DE算法的參數(shù)設(shè)置在差分進(jìn)化算法中，有幾個(gè)關(guān)鍵參數(shù)需要設(shè)置，以確保算法的高效性和準(zhǔn)確性。這些參數(shù)包括：種群規(guī)模(PopulationSize):通常表示為NP，它決定了算法中同時(shí)處理的解的數(shù)量。種群規(guī)模的選擇依賴于問題的復(fù)雜度，一般建議在10到100之間?？s放因子(ScalingFactor):表示為F，用于控制差分向量的步長。F的值通常在0到2之間，一個(gè)合理的初始值是0.5或0.8。交叉概率(CrossoverProbability):表示為CR，決定了個(gè)體接受變異操作的程度。CR的值通常在0到1之間，一個(gè)常見的選擇是0.5或0.9。5.1.1示例代碼#導(dǎo)入必要的庫

importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportdifferential_evolution

#定義目標(biāo)函數(shù)

defobjective_function(x):

#這里可以是彈性力學(xué)優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)

#例如，最小化結(jié)構(gòu)的重量

returnx[0]**2+x[1]**2

#設(shè)置DE算法的參數(shù)

bounds=[(0,10),(0,10)]#變量的邊界

result=differential_evolution(objective_function,bounds,maxiter=1000,popsize=20,mutation=(0.5,1),recombination=0.7)

#輸出結(jié)果

print("最優(yōu)解:",result.x)

print("最優(yōu)值:",result.fun)5.2彈性力學(xué)優(yōu)化問題建模彈性力學(xué)優(yōu)化問題通常涉及結(jié)構(gòu)的尺寸、形狀或拓?fù)鋬?yōu)化，以達(dá)到特定的性能目標(biāo)，如最小化重量、成本或應(yīng)力，同時(shí)滿足一定的約束條件。建模步驟包括：定義設(shè)計(jì)變量:這些變量可以是結(jié)構(gòu)的尺寸、材料屬性或幾何形狀。建立目標(biāo)函數(shù):目標(biāo)函數(shù)反映了優(yōu)化的目標(biāo)，如結(jié)構(gòu)的總重量。確定約束條件:包括應(yīng)力、位移、頻率等約束，確保結(jié)構(gòu)的安全性和功能性。選擇優(yōu)化算法:在本例中，我們選擇差分進(jìn)化算法。5.2.1示例數(shù)據(jù)假設(shè)我們正在優(yōu)化一個(gè)簡單的梁結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)變量為梁的寬度w和高度h，目標(biāo)是最小化梁的重量，同時(shí)確保梁的應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力。#定義設(shè)計(jì)變量

w=1.0#梁的寬度

h=1.0#梁的高度

#目標(biāo)函數(shù)：最小化梁的重量

defminimize_weight(x):

w,h=x

returnw*h*length*density

#約束條件：確保梁的應(yīng)力不超過許用應(yīng)力

defstress_constraint(x):

w,h=x

stress=force*length/(w*h**2)

returnstress-allowable_stress5.3DE算法求解彈性力學(xué)優(yōu)化問題差分進(jìn)化算法通過迭代過程，逐步改進(jìn)種群中的個(gè)體，以找到優(yōu)化問題的最優(yōu)解。在每一代中，算法執(zhí)行以下步驟：變異:生成新的個(gè)體，通過組合現(xiàn)有個(gè)體的差異。交叉:通過隨機(jī)選擇，決定新個(gè)體的哪些部分將被保留。選擇:評(píng)估新個(gè)體和原個(gè)體，保留更優(yōu)的個(gè)體。5.3.1示例代碼#定義差分進(jìn)化算法的參數(shù)

bounds=[(0.1,5),(0.1,5)]#梁的寬度和高度的邊界

result=differential_evolution(minimize_weight,bounds,constraints=[{'type':'ineq','fun':stress_constraint}],maxiter=1000,popsize=20,mutation=(0.5,1),recombination=0.7)

#輸出結(jié)果

print("最優(yōu)解:",result.x)

print("最優(yōu)值:",result.fun)通過上述步驟，差分進(jìn)化算法能夠有效地解決彈性力學(xué)中的優(yōu)化問題，找到滿足所有約束條件下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。6彈性力學(xué)優(yōu)化算法案例研究：差分進(jìn)化(DE)6.1平面梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化6.1.1原理與內(nèi)容平面梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化是彈性力學(xué)領(lǐng)域中常見的問題，其目標(biāo)是通過調(diào)整梁的幾何參數(shù)（如截面尺寸、材料屬性等）來最小化結(jié)構(gòu)的重量，同時(shí)確保結(jié)構(gòu)的剛度和穩(wěn)定性滿足設(shè)計(jì)要求。差分進(jìn)化（DifferentialEvolution,DE）算法是一種高效的全局優(yōu)化算法，特別適用于解決此類多參數(shù)、非線性優(yōu)化問題。6.1.1.1差分進(jìn)化算法在平面梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的應(yīng)用差分進(jìn)化算法通過迭代過程，逐步改進(jìn)種群中個(gè)體的適應(yīng)度，最終找到最優(yōu)解。在平面梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，每個(gè)個(gè)體代表一組可能的梁參數(shù)，適應(yīng)度函數(shù)通常定義為結(jié)構(gòu)的重量，而約束條件則包括梁的剛度和穩(wěn)定性要求。6.1.2示例：平面梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化假設(shè)我們有一個(gè)平面梁結(jié)構(gòu)，需要優(yōu)化其截面尺寸（寬度和高度）以最小化重量，同時(shí)確保其剛度滿足特定要求。我們使用Python和scipy.optimize.differential_evolution函數(shù)來實(shí)現(xiàn)這一優(yōu)化。6.1.2.1數(shù)據(jù)樣例梁的長度：L=10.0（米）材料密度：rho=7850（千克/立方米）載荷：P=1000（牛頓）剛度要求：K_min=100000（牛頓/米）6.1.2.2代碼示例importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportdifferential_evolution

#定義適應(yīng)度函數(shù)

deffitness(x):

w,h=x#截面寬度和高度

volume=w*h*L#體積

weight=rho*volume#重量

I=w*h**3/12#截面慣性矩

stiffness=E*I/L**3#剛度

#確保剛度滿足要求

ifstiffness<K_min:

returnnp.inf

returnweight

#定義約束條件

bounds=[(0.01,1.0),(0.01,1.0)]#截面寬度和高度的邊界

#運(yùn)行差分進(jìn)化算法

result=differential_evolution(fitness,bounds)

#輸出結(jié)果

optimal_width,optimal_height=result.x

optimal_weight=fitness(result.x)

print(f"Optimalwidth:{optimal_width:.3f}m")

print(f"Optimalheight:{optimal_height:.3f}m")

print(f"Optimalweight:{optimal_weight:.3f}kg")6.1.2.3解釋在上述代碼中，我們首先定義了適應(yīng)度函數(shù)fitness，它計(jì)算給定截面尺寸下的梁重量，并檢查剛度是否滿足要求。如果剛度不足，函數(shù)返回?zé)o窮大，表示該解不可行。然后，我們定義了截面寬度和高度的邊界，并使用differential_evolution函數(shù)運(yùn)行優(yōu)化。最后，我們輸出了優(yōu)化后的寬度、高度和重量。6.2維框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化6.2.1原理與內(nèi)容三維框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化涉及調(diào)整框架中多個(gè)梁和柱的尺寸，以在滿足結(jié)構(gòu)剛度和穩(wěn)定性要求的同時(shí)，最小化結(jié)構(gòu)的總重量或成本。差分進(jìn)化算法可以處理這種多變量、多約束的優(yōu)化問題，通過隨機(jī)搜索和迭代改進(jìn)找到最優(yōu)解。6.2.1.1差分進(jìn)化算法在三維框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的應(yīng)用在三維框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，差分進(jìn)化算法的每個(gè)個(gè)體代表框架中所有梁和柱的尺寸。適應(yīng)度函數(shù)可能需要考慮結(jié)構(gòu)的總重量、成本或能量消耗，而約束條件則包括結(jié)構(gòu)的剛度、穩(wěn)定性以及可能的建筑規(guī)范要求。6.2.2示例：三維框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化考慮一個(gè)簡單的三維框架結(jié)構(gòu)，由多個(gè)梁和柱組成，目標(biāo)是優(yōu)化所有梁和柱的截面尺寸，以最小化結(jié)構(gòu)的總重量，同時(shí)確保結(jié)構(gòu)的剛度滿足要求。6.2.2.1數(shù)據(jù)樣例框架的尺寸：length=10.0（米），width=5.0（米），height=3.0（米）材料密度：rho=7850（千克/立方米）載荷：P=1000（牛頓）剛度要求：K_min=100000（牛頓/米）6.2.2.2代碼示例importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportdifferential_evolution

#定義適應(yīng)度函數(shù)

deffitness(x):

#x是一個(gè)包含所有梁和柱尺寸的向量

n_beams=12#假設(shè)有12個(gè)梁

n_columns=4#假設(shè)有4個(gè)柱

beam_width,beam_height=x[:n_beams].reshape(-1,2).T

column_width,column_height=x[n_beams:].reshape(-1,2).T

#計(jì)算梁和柱的體積

beam_volume=beam_width*beam_height*length

column_volume=column_width*column_height*height

#計(jì)算總重量

total_weight=rho*(np.sum(beam_volume)+np.sum(column_volume))

#計(jì)算剛度

beam_I=beam_width*beam_height**3/12

column_I=column_width*column_height**3/12

beam_stiffness=E*beam_I/length**3

column_stiffness=E*column_I/height**3

#確保所有梁和柱的剛度滿足要求

ifnp.any(beam_stiffness<K_min)ornp.any(column_stiffness<K_min):

returnnp.inf

returntotal_weight

#定義約束條件

bounds=[(0.01,1.0)]*12*2+[(0.01,1.0)]*4*2#梁和柱尺寸的邊界

#運(yùn)行差分進(jìn)化算法

result=differential_evolution(fitness,bounds)

#輸出結(jié)果

optimal_dimensions=result.x

optimal_weight=fitness(optimal_dimensions)

print(f"Optimaldimensions:{optimal_dimensions}")

print(f"Optimaltotalweight:{optimal_weight:.3f}kg")6.2.2.3解釋在這個(gè)例子中，我們定義了一個(gè)更復(fù)雜的適應(yīng)度函數(shù)，它考慮了框架中所有梁和柱的尺寸。我們首先將輸入向量x分解為梁和柱的尺寸，然后計(jì)算每個(gè)梁和柱的體積和剛度。如果任何梁或柱的剛度不滿足要求，函數(shù)返回?zé)o窮大。最后，我們通過differential_evolution函數(shù)運(yùn)行優(yōu)化，并輸出了優(yōu)化后的尺寸和總重量。通過這些案例研究，我們可以看到差分進(jìn)化算法在解決彈性力學(xué)中的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題時(shí)的強(qiáng)大能力。它能夠處理復(fù)雜的多變量優(yōu)化問題，并在滿足各種約束條件下找到最優(yōu)解。7結(jié)果分析與討論7.1優(yōu)化結(jié)果的驗(yàn)證在應(yīng)用差分進(jìn)化(DE)算法進(jìn)行彈性力學(xué)結(jié)構(gòu)優(yōu)化后，驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果的準(zhǔn)確性是至關(guān)重要的步驟。這不僅包括檢查優(yōu)化后的設(shè)計(jì)是否滿足所有約束條件，還涉及與初始設(shè)計(jì)或理論預(yù)測(cè)進(jìn)行對(duì)比，以評(píng)估優(yōu)化的有效性。7.1.1檢查約束條件假設(shè)我們優(yōu)化了一個(gè)彈性梁的截面尺寸，以最小化其在特定載荷下的最大撓度，同時(shí)確保材料強(qiáng)度和穩(wěn)定性約束得到滿足。驗(yàn)證過程可能包括：#假設(shè)優(yōu)化后的梁截面尺寸為：width,height

#載荷和材料屬性

load=1000#N

material_strength=200#MPa

#梁的長度和支撐條件

length=2#m

support='fixed-fixed'

#計(jì)算最大撓度

max_deflection=calculate_max_deflection(width,height,load,length,support)

#檢查材料強(qiáng)度約束

ifmax_stress(width,height,load)>material_strength:

print("材料強(qiáng)度約束未滿足")

#檢查穩(wěn)定性約束

ifbuckling_load(width,height)<load:

print("穩(wěn)定性約束未滿足")7.1.2與理論預(yù)測(cè)對(duì)比我們還可以將優(yōu)化結(jié)果與基于彈性力學(xué)理論的預(yù)測(cè)進(jìn)行對(duì)比，以確保算法的正確性。例如，使用解析解或有限元分析(FEA)來驗(yàn)證優(yōu)化后的梁的最大撓度是否與理論值相符。#使用有限元分析驗(yàn)證最大撓度

deffea_max_deflection(width,height,load,length,support):

#FEA代碼實(shí)現(xiàn)

pass

#比較優(yōu)化結(jié)果與FEA結(jié)果

theoretical_deflection=0.005#假設(shè)的理論值

fea_deflection=fea_max_deflection(width,height,load,length,support)

ifabs(max_deflection-fea_deflection)/fea_deflection<0.05:

print("優(yōu)化結(jié)果與FEA結(jié)果一致")

else:

print("優(yōu)化結(jié)果與FEA結(jié)果有較大差異，需進(jìn)一步檢查")7.2優(yōu)化前后性能對(duì)比性能對(duì)比是評(píng)估優(yōu)化效果的關(guān)鍵。通過比較優(yōu)化前后的關(guān)鍵性能指標(biāo)，如最大撓度、重量、成本等，可以直觀地展示優(yōu)化帶來的改進(jìn)。7.2.1最大撓度對(duì)比#優(yōu)化前的梁截面尺寸

initial_width=0.1

initial_height=0.2

#計(jì)算優(yōu)化前的最大撓度

initial_max_deflection=calculate_max_deflection(initial_width,initial_height,load,length,support)

#打印對(duì)比結(jié)果

print(f"優(yōu)化前最大撓度:{initial_max_deflection}m")

print(f"優(yōu)化后最大撓度:{max_deflection}m")

print(f"撓度減少百分比:{(initial_max_deflection-max_deflection)/initial_max_deflection*100}%")7.2.2重量和成本對(duì)比除了撓度，我們還可能關(guān)心優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)重量和成本是否有所降低。這需要我們定義一個(gè)函數(shù)來計(jì)算這些指標(biāo)，并與優(yōu)化前的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。#計(jì)算梁的重量和成本

defcalculate_weight_and_cost(width,height):

#假設(shè)每立方米材料的重量和成本

material_density=7850#kg/m^3

material_cost=2000#元/m^3

#計(jì)算體積

volume=width*height*length

#計(jì)算重量和成本

weight=volume*materi