余弦定理、正弦定理1-(人教A版2019必修第二冊(cè))

余弦定理、正弦定理1

知識(shí)剖析

1正弦定理

①正弦定理

b

氤=2R(其中R是三角形外接圓半徑)

sinAsinB

②變形

-------a-+--b-+--c-------------a----------b-------c----

(1)sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC

(2)化邊為角

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

a：b：c=sinA:sinB；sinC,

—a—s-i-n-A-,—b=--s-in--B-a-=s-i-n-A-

bsinBcsinCcsinC

(3)化角為邊

sinA=—,sinB=—,sinC=-sinAasinBbsinAa

2R2R2RsinBb'sinCc'sinCc

③正弦定理的“齊次角邊互換”

a-sinB+c-sinC=b-sinC

：bctc\

ZCL------1-c----=b,—:

：2R2R2R：

ab+cc=bc

等式(*)中含有三個(gè)式子(a?sEB、c-sinC>b-sinC),每個(gè)式子中都有一個(gè)sin值，并且它們的次數(shù)都是

1,則可以把s加8、sinC直接轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的邊b、cl

同理a?sinB+c?sinC=b,sinC=sinA-sinB+sinC?sinC=sinB?sinC.

思考以下轉(zhuǎn)化是否正確

(1)asinB+c-sinC=b=>ab+cc=b(錯(cuò))，

(2)sinA-sinB+sinB?sinC=sin2A^a-b+b-c=a2(對(duì))

④利用正弦定理可以解決下列兩類(lèi)三角形的問(wèn)題

(1)已知兩個(gè)角及任意一邊，求其他兩邊和另一角；

Eg在AABC,內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別是a,b,c,B=30°,4=45°,b=2,則邊a=

(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他兩個(gè)角及另一邊.

EgABC,內(nèi)角4,8,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,4=60。，c=&,a=73,則角C=.

(三角形中有一組對(duì)邊和對(duì)角就可考慮正弦定理)

⑤三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題

已知兩邊匕和其中一邊的對(duì)角4不能確定三角形的形狀，此時(shí)三角形解可能是無(wú)解、一解、兩解，要分

類(lèi)討論.

4是銳角4是直角或鈍角

a>ba<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba>ba<b

CA

三0，/:修/*

\A/

?????..ABBlBj飛

ABA

一解無(wú)解一解兩解一解無(wú)解

Eg求滿足a=5,b=4,4=60。的三角形△ABC個(gè)數(shù).

方法1利用正弦定理求解

由正弦定理可得：鼻=義，貝UsinB=當(dāng)，

stn600smB5

a>b,且力為銳角，二8有一解，故三角形只有一解;

方法2圖像法

先做出角N&48=60°,過(guò)點(diǎn)C作CO1BC,此時(shí)可知CO=273<5,以C為圓心，5為半徑畫(huà)個(gè)圓弧，由于

b=4<a=5,顯然圓弧與射線48交于一個(gè)點(diǎn)，如圖可知滿足題意的三角形只有一個(gè)！

2面積公式

1,1,1

S^=-absinC--bcsinA--acsinB

BC乙乙乙

3余弦定理

①余弦定理

2=Z>2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a24-ft2-2abcosC

②變形

b2+c2—a2a2+c2—b2a2+b2—c2

cosA=------------,cosB=--------------,cosC=-----------

2bc2ac2ab

③利用余弦定理可以解決下列兩類(lèi)三角形的問(wèn)題

(1)已知三邊，可求三個(gè)角；

Eg在△力BC中，若a=4,匕=3,c=貝4角。=.

(2)已知兩邊和一角，求第三邊和其他兩個(gè)角.

Eg在△ABC中，A=30°,b=V3,c=1,則。=.(角4為兩邊的夾角)

在AA3C中，4=30。/=3百，a=3,則邊c=.(角4不為兩邊的夾角)

④三角形類(lèi)型的判斷

乙222；

?4=2=b+c=a

乙b+ca222；

?4>?2=2cbocsA=~<0nb+c<a

13222

?Z.A<-2=>c2bocsA—z°>0=>b+c>a.

⑤射影定理

a=c-cosB4-b-cosC

b=a-cosC+c,cosA

c=b-cosA+a-cosB

經(jīng)典例題

【題型一】正弦定理、余弦定理解單個(gè)三角形

【典題1】在△48。中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,若a=2,b=272,且三角形有兩解，則角4的

取值范圍是.

【解析】方法1Q<b,二AVB,A為銳角，

sinA=-a=V2sinB=V2sinAV1=sinA<—2,

/.0<<-.

4

方法2幾何法

如圖,4C=2V2,以C為圓心2為半徑作0C,則0c上任一點(diǎn)（0C與直線4C交點(diǎn)除外河為點(diǎn)B構(gòu)成△力BC,

當(dāng)A8與。C相切時(shí)，A8=2,NBAC=K當(dāng)A8與OC相交時(shí)，^BAC<p因?yàn)槿切斡袃山猓灾?/p>

44

線AB與。C應(yīng)相交，???0<LBAC<

4

【點(diǎn)撥】方法二想法與用加比4VQVb（三角形有2個(gè)解可得）這個(gè)結(jié)論一致的，但不太贊成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)去套結(jié)

論解題，應(yīng)理解結(jié)論的推導(dǎo)方法.

【典題2】在△A8C中，角A,B，。的對(duì)邊分別是Q,b,c，且面積為S,若bcosC+ccosB=2acosA,S=二(52+

a2-c2),則角8等于—?

【解析】方法1bcosC+ccosB=2acosA,

由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA,(把邊化為角)

即+C)=2sinAcosAnsinA=2sinAcosA,(sin(R+C)=sirtA)

sinAH0,???cosA=故4=-n,

23

222

vS=-(b+a—c),A-absinC=-x2abxcosC,

41J24

：?sinC=cosCC=-,

t4

C57r

.?.B=-?

12

方法2bcosC+ccosB=2acosA

222222222

■L.a+b-ca+c-bb+c-a

由余弦定理可得人+c.=2oa?（把角化邊）

化簡(jiǎn)得be=/+c2—小C0SA=1,4=17t

接著同方法1

【點(diǎn)撥】

①對(duì)于一有角有邊的等式，可利用正弦定理或余弦定理化簡(jiǎn)為只含角或只含邊的等式;

②在三角形中sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=—cosC.

【典題3】△ABC的內(nèi)角小B、C的對(duì)邊分別為Q、人c,若。=2/。=$且5也。+5譏（8—4）-25E2力=

0,則下列選項(xiàng)不一定成立的是（）

A.b=2aB.△ABC的周長(zhǎng)為2+2國(guó)

C.△43。的面積為^^D.△ABC的外接圓半徑為

【解析】??,sinC+sin(B-A)-2sin2A=0,

???sinQ4+B)+stn(B-A)-2sin2A=0,化簡(jiǎn)得cosa(s+B-2sinA)=0,

cosA=0或siziB-2sinA=0,

(1)當(dāng)cosA=0,4=，時(shí),由乙C=g得B='

RL2代473

...C=2,-b=—,a=~,

(2)當(dāng)sinB—2sinA=。時(shí)，由正弦定理得b=2a,

vc=2,々C=(二由余弦定理得=a2+b2-labcosC,

則4=a?+4Q2_2ax2QxT，解得Q=竽，則匕=殍，

此時(shí)滿足/=M+c2,即B=1，

對(duì)于A,當(dāng)A時(shí)，Q=2b,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)4=￡或8==時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=2+2V5,故8正確；

22

對(duì)于C,當(dāng)8=］時(shí)，△/的面積S=：ac=^,

當(dāng)4=1時(shí)，5=^兒=等，故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)4=］或8=三時(shí)，由正弦定理得2/?=就=苧，得/?=竽，故。正確,

綜上可得，命題正確的BCD,錯(cuò)誤的為A故選：A.

鞏固練習(xí)

1(★)在△48C中，AB=近,BC=陋,4=60。，則角C的值為.

【答案】￡

4

【解析】由正弦定理可得，名=芻，

sinCsinA

故鄉(xiāng)=誓，即sinC=￥，

sinC*22

2

因?yàn)?8VBC,故CV4,且C為三角形內(nèi)角，

故c=I

4

2(*)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若a=3,A=30°,b=373,則c值為.

【答案】3或6,

【解析】由余弦定理可得a?=b2+c2-2bccosA,

即9=27+c?—9c,BPc2-9c4-18=0,解得c=3或c=6,

3(*)在△48C中，若si幾4:smB:si?iC=2：d7:3,則△力的最大內(nèi)角與最小內(nèi)角的和為.

【答案】立

【解析】因?yàn)閟inAsEB:si?iC=2:77:3,由正弦定理可得a:b:c=2:V7:3,

設(shè)Q=2匕b=V7k,c=3k,k>0三角形中由大邊對(duì)大角可得C角最大，4角最小，

由余弦定理可得cosB==妹=1,因?yàn)锽e(0/TT),

所以B=E,所以A+C=TT—B=2兀

33

4(★)【多選題】已知△ABC的內(nèi)角4,B,。所對(duì)的邊分別為Q,b,c,根據(jù)下列條件解三角形，有兩解的是

()

A.a=V2,b=2,B=120°B.Q=2=V5,8=45。

C.b=3,c=V5,8=60。D.Q=2V3,b=V10,B=60°

【答案】BD

【解析】對(duì)于A，：a=V2,b=2,B=120°,△ABC是鈍角三角形，只有一解；

對(duì)于8,a=2,b=V3,8=45。，由正弦定理得一戛=—三，解得sinA=嚕，

sin45°y/3

又<L>b,且4W(O,71),所以A有個(gè)值，三角形有兩解；

對(duì)于C,b=3,c=V3,B=60°,由正弦定理得.解得sinC二；,

sin60°smC2

由b>c,所以B>C,所以C=30。，三角形只有一解；

對(duì)于。，a=2V3,b=710,B=60°,由正弦定理得法=惡，解得siM=義，

slnAsfn60°vio

又b<a,所以A>60。，所以A有兩個(gè)，直，三角形有兩解.

故選：BD.

5(**)【多選題】下列命題中，正確的是()

A.在44BC中，A>B,則sim4>sinB

B.在銳角△ABC中，不等式s譏A>ccsB恒成立

C.在△A8C中，若acosA=8cosB,則△A8C必是等腰直角三角形

D.在△A8C中，若8=60。，b2=ac,則△ABC必是等邊三角形

【答案】ABD

【解析】對(duì)于4由4>B,可得：a>b,利用正弦定理可得：sinR>sin8,正確；

對(duì)于8,在銳角△ABC中，A,Be(0,鄉(xiāng)，

vZ+5>7*'g>力>?-B>0,sinA>sin(^-B)=cosB,

因此不等式sim4>cosB恒成立，正確

對(duì)于C,在△48C中，由acos<=bcosB,利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB,

:.sin2A=sin2Bf

vA,8€(0,n),:.24=2B或24=2n~2Bt

???A=8或A+B=，

??.△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命題，C錯(cuò)誤.

對(duì)于。，由于8=60°,b2=ac,

2

222

由余弦定理可得：b=ac=a+c—acf可得(a—c)=0,

解得Q=C,可得4=C=B=60。，故正確.

故選：ABD.

6(**)【多選題】在△ABC中，已知伍+6):①+。):(6+。)=6:5:4,給出下列結(jié)論中正確結(jié)論是()

A.由已知條件，這個(gè)三角形被唯一確定B.△ABC一定是鈍三角形

C.sinA.sinB'.sinC=7:5:3D.若b+c=8,則△ABC的面積是等

【答案】BC

【解析】；(a+b)：(c+a)：(5+c)=6:5:4,

.?.設(shè)a+b=6k,c+a=5k,b+c=4k,(k>0),

得。=2匕b=-k,c=-k,

222

則a:bic=7:5:3,

則sin4:si〃B:si7iC=7:5:3,故。正確，

由于三角形ABC的邊長(zhǎng)不確定，則三隹形不確定，故人錯(cuò)誤，

‘?！?也薩=畢善：=一3<0,則4是鈍角，

即A4BC是鈍角三角形，故8正確，

若b+c=8,貝吟k+/=4k=8,

則2=2,即b=5,c=3,A=120°,

的面積S=^bcsinA=1x5x3xy=竽.故。錯(cuò)誤，

故選：BC.

7(★★)在△力BC中，角4,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,若Q?+c?-爐+2bccosA-2c=0,c-cosA=

b(l-cosC)，且。=守則。=;AABC的面積S=.

【答案】1,

【解析】利用余弦定理整理化簡(jiǎn)a?十c2—b2十ZbccosA-2c=0,,

即可得到：a?4-c2—b24-2bc?--——2c=0,

2bc

即可求出2c2—2c=0,可得c=l,

再由ccos4=b(l—cosC),結(jié)合正弦定理可得：sinCcosA=sinB(l—cosC),

則：sinB=sinCcosA+sinBcosC=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

sinB=sinA,或cosC=0,C=：,〔舍去)，

當(dāng)si7iB=si7M,可得4=8,三角形ABC為等腰三角形，

利用余弦定理1=—2Q2cos拳可得。2=：,

2

可得：ShABC=^asin^=^.

故答案為：1，條

M★★★)已知△ABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.且as譏(A+8)=cs譏等.

(1)求A；(2)若△ABC的面積為百，周長(zhǎng)為8,求a.

【答案】⑴g⑵今

34

【解析】(I)△4BC中，asin(A+8)=csin手，

Aasin(n-C)=csin(^—今，:.asinC=ccosg；

由正弦定理得sbiRsEC=sinCcos-,

2

...sinA=cos-2,ER2sin-2cos-2=cos-2：

又AW(0,7T),cos*0*2sin=1?即5譏1=(

??-7=p解得4=3；

N63

(H)Zi4BC的面積為百，周長(zhǎng)為8,

???^bcsinA—?bc=V3,

???be=4,...①a+b+c=8,...②

222

由余弦定理得:a=b+c—bcf...(5)

b2+c2+2bc=(8-a)2

由①②③組成方程組，可得：be=4，

b2+c2=a2+4

可得：（8—a）=a2+12,解得：a=y.

【題型二】多個(gè)三角形問(wèn)題

【典題1】在A4BC中，。是48邊上一點(diǎn)，AD=2DB,DC1AC,DC=W,BC=布,

貝=

【解析】如圖，設(shè)BD=x,則AD=2x,引入變量）

在中，可得COSA='4：2-3,

2x

在Rt/kABC中，由余弦定理可得

7=9x2+（4x2—3）—2?3x?V4x2—3cosA,

7=13x2—3—6x-V4x2—3x

'"2"x一'

即7=6+%2,解得％=1,

AB=3.

【點(diǎn)撥】

①題目中出現(xiàn)類(lèi)似AD=20B的倍數(shù)關(guān)系，可設(shè)未知數(shù)（比如設(shè)BD=X）;

②本題其實(shí)是對(duì)于同一角力在△力CD和△ABC共用了兩次余弦定理，得到了一條》的方程最終求解成功.另一

思路：Z.BDC+Z.ADC=7T=COSLBDC=-cosZ-ADC=>弓舒=一［，解得丫=1?利用”同一角、鄰補(bǔ)角互

補(bǔ)，對(duì)角互補(bǔ)'’等，在兩個(gè)三角形里用正弦或余弦定理建立方程求解，這是在多三角形題目中常用技巧.

【典題2】在平面四邊形48CD中，乙4=WB=NC=75。，BC=2,則AB的取值范圍是

【解析】方法1如圖所示，延長(zhǎng)B4,CD交于點(diǎn)E,

則在A4DE中，/-DAE=105°,Z.E=30\Z-ADE=45°,

（在^AOE三個(gè)內(nèi)角都已知，故三邊成比例）

設(shè)AE=—XtDE="+戊x,CD=m,

224EA

i\

；BC=2,△BCE是等腰三角形，過(guò)點(diǎn)E作鳳?的垂線可得

（四:'色%+m）sinl5°=1,即+m=>J6+V2,

???m〉0,0<x<4,

VBE=CE：.AB=4x+mTxW3Tx,

422

二AB的取值范圍是（述一VLV6+V2）.

方法2尺規(guī)作圖法

如下圖，作出底邊BC=2的等腰三角形E8C,8=C=75。，￡

與AB形成75。夾角的直線（圖中虛線）在平面內(nèi)移動(dòng)，、'爪功

分別交EB、EC于A、D,/\

則四邊形48CD即為滿足題意的四邊形；、/\

當(dāng)直線移動(dòng)時(shí)，運(yùn)用極限思想，干、、、、、

①直線接近點(diǎn)C時(shí)，43趨近最小值，為V5-魚(yú)；/

B

②直線接近點(diǎn)￡時(shí)，A8趨近最大值，為6+0：

??.AB的取值范圍是（述一VLV6+V2）.

【點(diǎn)撥】方法1通過(guò)輔助線得到兩個(gè)三角形，引入變量再解三角形，有些復(fù)雜；

那方法2是怎么想到的呢？

下面我們?cè)囋囘\(yùn)用“構(gòu)圖法”找思路

①先思考滿足“乙4=Z5=ZC=75°.BC=2"的四邊形是否確定了呢？肯定不是，要不出題者讓你求A8長(zhǎng)

度了.我們?cè)囋嚒俺咭?guī)作圖”，如圖一，先畫(huà)出線段BC=2,再作角乙8=/。=75。，那接著作乙4=75。，

沒(méi)其他條件限制，點(diǎn)A的位置無(wú)法確定，它可以移動(dòng)；

②當(dāng)點(diǎn)人在射線BF上移動(dòng)，如圖二，易知4在線段上或在線段BE外是無(wú)法得到點(diǎn)。構(gòu)造出四邊形4BCD,

故<BA<BE；

③在AB/liC和ABCE中利用正弦定理求出-0,BE=后+企，利用極限的位置就得到死一

或VABV述+但

這方法在幾何中很常用，可確定題中哪些量是變量哪些是不變量，更便于尋找解題思路.

【典題3】如圖，等腰直角三角形力8c中，Z-ACB=90°,力B=4,點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),

KtanzP/lF=i,tan^PBA=\.

（1）求乙4P8；⑵求PC.

【解析】（1）設(shè)NP4B=Nl,Z,PBA=Z2,

由tanzA=tanz.2=-

32

可知立必1=曙，coszl=甯,sg=￡,如42=空

（sinxscosx>tanx三者知一得二）

???cos〃PB=—cosQl+Z2）=sinzlsM2—coszlcos〃=嘿'弓一黑、等=一孝

?"PH哼

(2)在AP/8中，利用正弦定理可得4P=鬻詈二字,

依題意易得Z&48=-,AC=2四,

4

???cosz.PAC=cos（：—zl）=y（coszl+sinzl）=等.

在AAPC中，利用余弦定理得

PC2=AP2+AC2-2AP-AC-COSLPAC=y+8-2x^x2V2x^=1.

PC=等.

【點(diǎn)撥】

①解題中要明確什么量是確定或不確定的，比如已知￡mNP4B="tam-PBA=p意味著角4P48和

是確定的(只是具體多少度不知道)，再加上48=4,由三角形的7L4S型可知三角形P4B是確定了，那可求

Z.APB.4P,在等腰三角形ABC中48=4,則AABC確定，這可求邊長(zhǎng)AC、乙PAC,則△P4C確定,可求PC.

這樣解題中能夠作到“心中有數(shù)”！

②處理多個(gè)三角形問(wèn)題，要大膽在各三角形中嘗試用正弦余弦定理，利用綜合法分析法進(jìn)行推理分析！

鞏固練習(xí)

1(★★)已知的內(nèi)角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a=2b,△的面積為4sin乙4CB,邊

上的中線CO氏為n，則△ABC的周長(zhǎng)為

【答案】10

【解析】；由題意可得：S.ABC=^absinz.ACB=^x2bxbsinz.ACB=4sinz.ACB,

解得b=2,

a=2b=4,CD=y/6,

,??由余弦定理可得cos4=b2f_。2=

2bC2xbx-

二解得c=4,

.,.△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=10.

故答案為：10.

2(**)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)切分別為a,b,c.已知c=2,b=1,cosC=^.則△ABC的中線40

4

的長(zhǎng)為.

【答案展

【解析】如圖所示,

△力6c中，c=2,b=1,cos6=

4

由余弦定理得，c2=a2+b2-2accosC,即4=a2+1—2ax1x

4

整理得2a2—a—6=0,解得a=2或a=—g(舍去)；

所以CD=ga=1,

由余弦定理得，71D2=12+12-2xlxlxi=1,解得40=爭(zhēng)

所以△A8C的中線的長(zhǎng)為冬

故答案為：y.

3(**)已知4ABC中，AB=3,BC=5,。為線段AC上一點(diǎn)，AB1BD,"=三，則AC=,△ABC的

CD4

面積是.

【答案】V58,\

【解析】設(shè)AD=3x,CD=4x,

在AABC中，由余弦定理可知25=49/+9—2?3?7%」，可知％=等,

X7

可得：AC=7x=x^58，可得：sinz.A=^=,

可得:S.ABC=\bcsinA=1-3?V58?焉=點(diǎn)

故答案為：V58,I

4(★★★)在AABC中，LC=90°,M是BC邊上一點(diǎn)，且滿足麗=2而，若sin4B4M=機(jī)

貝iJsin^BAC=.

【答案】w

【解析】記乙84M=8,則sin。=

設(shè)BC=3,因扇=2病，所以BM=LMC=2,

設(shè)C4=3由NC=90