蘇科版2024-2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊專練習(xí)2.8有理數(shù)的加法與減法(知識梳理與考點分類講解)(學(xué)生版+解析)

專題2.8有理數(shù)的加法與減法（知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】有理數(shù)的加法1.定義：把兩個有理數(shù)合成一個有理數(shù)的運算叫作有理數(shù)的加法．2.法則：（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；（2）絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（3）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．3.運算律：有理數(shù)加法運算律加法交換律文字語言兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變符號語言a+b＝b+a加法結(jié)合律文字語言三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變符號語言(a+b)+c＝a+(b+c)重點強(qiáng)調(diào)：交換加數(shù)的位置時，不要忘記符號．【知識點二】有理數(shù)的減法1.定義：已知兩個數(shù)的和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算，叫做減法，例如：(-5)+?＝7，求？，減法是加法的逆運算．特別強(qiáng)調(diào)：（1）任意兩個數(shù)都可以進(jìn)行減法運算；（2）幾個有理數(shù)相減，差仍為有理數(shù)，差由兩部分組成：①性質(zhì)符號；②數(shù)字即數(shù)的絕對值．2.法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)，即有：．特別強(qiáng)調(diào)：將減法轉(zhuǎn)化為加法時，注意同時進(jìn)行的兩變，一變是減法變加法；二變是把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)”．【知識點三】有理數(shù)加減混合運算將加減法統(tǒng)一成加法運算，適當(dāng)應(yīng)用加法運算律簡化計算.第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】有理數(shù)的加法運算【例1】（23-24七年級上·新疆克孜勒蘇·階段練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【變式1】（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）下列各式計算正確的是（）A． B．C． D．【變式2】（23-24六年級下·全國·假期作業(yè)）若a是最小的正整數(shù)，b是最大的負(fù)整數(shù)，c的絕對值為3，則的值為．【題型2】有理數(shù)的加法運算律【例2】（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）折項法計算：．【變式1】（23-24七年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）下列變形，運用加法運算律錯誤的是（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24七年級上·全國·課堂例題）計算時，先把減法轉(zhuǎn)化為加法可得，觀察算式我們可以利用“湊整”法，利用加法的運算律將算式轉(zhuǎn)化為．【題型3】有理數(shù)的減法運算【例3】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）計算：；(2)；；(4)．【變式1】已知，，且，則的值為（

）A．和 B．或 C．或7 D．或【變式2】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）計算：（1）．（2）．【題型4】有理數(shù)的加減混合運算【例4】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）計算：；(2)．【變式1】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）下列算式的和為4的是（

）A． B．C． D．【變式2】若，且，則．【題型5】有理數(shù)加減中的簡便運算【例5】（23-24七年級上·河南南陽·階段練習(xí)）計算(1)；(2)；(3)；(4)【變式1】（21-22七年級·全國·假期作業(yè)）嘉琪同學(xué)在計算時，運算過程正確且比較簡便的是（）A． B．C． D．【變式2】（23-24七年級上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）計算：．【題型6】有理數(shù)加減混合運算的應(yīng)用【例6】（23-24六年級下·上海長寧·期中）某校六年級（1）班學(xué)生在勞動課上采摘成熟的白蘿卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的千克數(shù)記作正數(shù)，相等的千克數(shù)記作0，不足的千克數(shù)記作負(fù)數(shù)，稱重后記錄如下：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）012回答下面問題：（1）這10筐白蘿卜，第8筐白蘿卜實際質(zhì)量為多少千克．（2）以每筐25千克為標(biāo)準(zhǔn)，這10筐白蘿卜總計超過或不足多少千克？（3）若白蘿卜每千克售價2元，則售出這10筐白蘿卜可得多少元？【變式1】（23-24七年級上·山西陽泉·期中）下面是小王存折存取記錄的一部分，根據(jù)其中提供的信息，截止2023年8月20日，此張存折的余額為（

）日期存入（）/支出（）余額20230630135002023071520230820A．19450元 B．8550元 C．7650元 D．7550元【變式2】（23-24六年級下·全國·假期作業(yè)）對于任意有理數(shù)，，定義新運算：，則．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·陜西·中考真題）小華探究“幻方”時，提出了一個問題：如圖，將0，，，1，2這五個數(shù)分別填在五個小正方形內(nèi)，使橫向三個數(shù)之和與縱向三個數(shù)之和相等，則填入中間位置的小正方形內(nèi)的數(shù)可以是．（寫出一個符合題意的數(shù)即可）【例2】（2023·湖南常德·中考真題）下面算法正確的是(

) B． C． D．2、拓展延伸【例1】（23-24七年級上·天津靜海·階段練習(xí)）觀察下列各式的特征：；；；，根據(jù)規(guī)律，解決相關(guān)問題：（1）根據(jù)上面的規(guī)律，將下列各式寫成去掉絕對值符號的形式（不能寫出計算結(jié)果）：①_________；②_________；（2）當(dāng)時，_________；當(dāng)時，_________．（3）有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．（4）合理的方法計算：．【例2】（23-24七年級上·河南商丘·期末）有一口深90厘米的枯井，井底有一只青蛙沿著井壁向上往井口跳躍，由于井壁較滑，每次跳躍之后青蛙會下滑一段距離才能穩(wěn)住．下面是青蛙的幾次跳躍和下滑情況（上跳為正，下滑為負(fù)，單位為厘米）．第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次0（1）除起跳點外，青蛙距離井底的最近距離是______厘米；青蛙距離井口的最近距離是______厘米；（2）在這7次跳躍并下滑穩(wěn)定后，此時青蛙距離井口還有多遠(yuǎn)？（3）把每7次跳躍下滑記為一周，若青蛙之后的每周跳躍下滑情況都和第一周相同，那么青蛙在第幾次跳出了井口？專題2.8有理數(shù)的加法與減法（知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】有理數(shù)的加法1.定義：把兩個有理數(shù)合成一個有理數(shù)的運算叫作有理數(shù)的加法．2.法則：（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；（2）絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（3）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．3.運算律：有理數(shù)加法運算律加法交換律文字語言兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變符號語言a+b＝b+a加法結(jié)合律文字語言三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變符號語言(a+b)+c＝a+(b+c)重點強(qiáng)調(diào)：交換加數(shù)的位置時，不要忘記符號．【知識點二】有理數(shù)的減法1.定義：已知兩個數(shù)的和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算，叫做減法，例如：(-5)+?＝7，求？，減法是加法的逆運算．特別強(qiáng)調(diào)：（1）任意兩個數(shù)都可以進(jìn)行減法運算；（2）幾個有理數(shù)相減，差仍為有理數(shù)，差由兩部分組成：①性質(zhì)符號；②數(shù)字即數(shù)的絕對值．2.法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)，即有：．特別強(qiáng)調(diào)：將減法轉(zhuǎn)化為加法時，注意同時進(jìn)行的兩變，一變是減法變加法；二變是把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)”．【知識點三】有理數(shù)加減混合運算將加減法統(tǒng)一成加法運算，適當(dāng)應(yīng)用加法運算律簡化計算.第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】有理數(shù)的加法運算【例1】（23-24七年級上·新疆克孜勒蘇·階段練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了有理數(shù)的加法運算；（1）——（4）根據(jù)有理數(shù)的加法進(jìn)行計算即可求解；（1）解：；（2）解：；（3）解：（4）解：【變式1】（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）下列各式計算正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查有理數(shù)加法法則：1．同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；2．絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；3．一個數(shù)同零相加，仍得這個數(shù)．掌握理數(shù)加法法則是解題的關(guān)鍵．解：A．，原計算錯誤，不符合題意；B．，原計算正確，符合題意；C．，原計算錯誤，不符合題意；D．，原計算錯誤，不符合題意；故選：B．【變式2】（23-24六年級下·全國·假期作業(yè)）若a是最小的正整數(shù)，b是最大的負(fù)整數(shù)，c的絕對值為3，則的值為．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的運算，先確定字母的值，再運算即可．解因為a是最小的正整數(shù)，b是最大的負(fù)整數(shù)，c的絕對值為3，所以，，，故答案為：．【題型2】有理數(shù)的加法運算律【例2】（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）折項法計算：．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的加法運算，首先將帶分?jǐn)?shù)拆分，再按照有理數(shù)加法交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡便計算即可．解：原式．【變式1】（23-24七年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）下列變形，運用加法運算律錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)加法的運算律，熟練掌握交換律，結(jié)合律是解題的關(guān)鍵．解A.，符合交換律，不符合題意；

B.，符合交換律，不符合題意；C.，不符合結(jié)合律，符合題意；

D.，符合結(jié)合律，不符合題意；故選C．【變式2】（23-24七年級上·全國·課堂例題）計算時，先把減法轉(zhuǎn)化為加法可得，觀察算式我們可以利用“湊整”法，利用加法的運算律將算式轉(zhuǎn)化為．【答案】7【分析】先把有理數(shù)加減混合運算統(tǒng)一轉(zhuǎn)化成加法運算，再利用有理數(shù)加法運算律進(jìn)行計算．解：計算時，先把減法轉(zhuǎn)化為加法可得，觀察算式我們可以利用“湊整”法，利用加法的運算律將算式轉(zhuǎn)化為．故答案為：①，②，③，④7，⑤．【點撥】本題主要考查了有理數(shù)加法運算以及加法運算律的知識，熟練掌握相關(guān)運算法則和運算律是解題關(guān)鍵．【題型3】有理數(shù)的減法運算【例3】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）計算：；(2)；；(4)．【答案】(1)(2)10(3)8(4)0【分析】根據(jù)有理數(shù)加減運算法則求解即可得到答案．解（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點撥】本題考查有理數(shù)加減運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解決問題的關(guān)鍵．【變式1】已知，，且，則的值為（

）A．和 B．或 C．或7 D．或【答案】D【分析】本題考查絕對值的性質(zhì)，有理數(shù)的減法．根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出x，y的值，再判斷出x，y的對應(yīng)情況，然后根據(jù)有理數(shù)的減法運算法則進(jìn)行計算即可解答．解：∵，，∴，，∵，∴，∴，或，，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，∴的值為或．故選：D【變式2】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）計算：（1）．（2）．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)減法運算法則和絕對值的意義進(jìn)行計算即可．解：（1）；故答案為：；（2）．故答案為：．【點撥】本題主要考查了有理數(shù)減法運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)減法運算法則，準(zhǔn)確計算．【題型4】有理數(shù)的加減混合運算【例4】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）計算：；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算法則計算即可；（1）解：；（2）解：．【點撥】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．【變式1】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）下列算式的和為4的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算可進(jìn)行求解．解：A、，故不符合題意；B、，故不符合題意；C、，故符合題意；D、，故不符合題意；故選C．【點撥】本題主要考查有理數(shù)的加減混合運算，熟練掌握有理數(shù)的加減運算是解題的關(guān)鍵．【變式2】若，且，則．【答案】0或2/2或0【分析】此題考查的是有理數(shù)的混合運算，絕對值的性質(zhì)，能夠正確的判斷出a、b、c的值是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)絕對值的性質(zhì)和求出a、b、c的值，然后代入求解即可．解：∵，∴；∵，∴；當(dāng)時，；當(dāng)時，．故的值為0或2．故答案為：0或2．【題型5】有理數(shù)加減中的簡便運算【例5】（23-24七年級上·河南南陽·階段練習(xí)）計算(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合計算：（1）根據(jù)有理數(shù)的加法計算法則求解即可；（2）-（4）根據(jù)有理數(shù)的加減混合計算法則求解即可；（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【變式1】（21-22七年級·全國·假期作業(yè)）嘉琪同學(xué)在計算時，運算過程正確且比較簡便的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】原式利用加法交換律和結(jié)合律將分母相同的結(jié)合即可．解：嘉琪同學(xué)在計算時，運算過程正確且比較簡便的是．故選：C．【點撥】此題考查了有理數(shù)的加減混合運算，熟練掌握加法交換律與加法結(jié)合律是解本題的關(guān)鍵．【變式2】（23-24七年級上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）計算：．【答案】/【分析】本題考查有理數(shù)的加法運算，掌握裂項相加是解題的關(guān)鍵．解：，故答案為：．【題型6】有理數(shù)加減混合運算的應(yīng)用【例6】（23-24六年級下·上海長寧·期中）某校六年級（1）班學(xué)生在勞動課上采摘成熟的白蘿卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的千克數(shù)記作正數(shù)，相等的千克數(shù)記作0，不足的千克數(shù)記作負(fù)數(shù)，稱重后記錄如下：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）012回答下面問題：（1）這10筐白蘿卜，第8筐白蘿卜實際質(zhì)量為多少千克．（2）以每筐25千克為標(biāo)準(zhǔn)，這10筐白蘿卜總計超過或不足多少千克？（3）若白蘿卜每千克售價2元，則售出這10筐白蘿卜可得多少元？【答案】(1)千克(2)不足千克(3)元【分析】本題考查了有理數(shù)在實際中的應(yīng)用，有理數(shù)的混合運算．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握負(fù)數(shù)的含義并正確的運算．（1）根據(jù)，計算求解即可；（2）根據(jù)，計算求解，然后作答即可；（3）根據(jù)，計算求解即可．（1）解：千克，答：第8筐白蘿卜實際質(zhì)量為千克．（2）解：千克，答：10筐白蘿卜總計不足千克．（3）元，答：售出這筐白蘿卜可得元．【變式1】（23-24七年級上·山西陽泉·期中）下面是小王存折存取記錄的一部分，根據(jù)其中提供的信息，截止2023年8月20日，此張存折的余額為（

）日期存入（）/支出（）余額20230630135002023071520230820A．19450元 B．8550元 C．7650元 D．7550元【答案】D【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的意義，以及有理數(shù)的加減運算的應(yīng)用，根據(jù)題意列式計算，即可求解．解：，（元）．答：此張存折的余額為7550元．故選：D．【變式2】（23-24六年級下·全國·假期作業(yè)）對于任意有理數(shù)，，定義新運算：，則．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的加減運算，理解的運算方法，列出算式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)的運算方法列出算式，再根據(jù)加減運算進(jìn)行計算即可．解：根據(jù)定義新運算：，可得．故答案為：．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·陜西·中考真題）小華探究“幻方”時，提出了一個問題：如圖，將0，，，1，2這五個數(shù)分別填在五個小正方形內(nèi)，使橫向三個數(shù)之和與縱向三個數(shù)之和相等，則填入中間位置的小正方形內(nèi)的數(shù)可以是．（寫出一個符合題意的數(shù)即可）【答案】0【分析】本題考查有理數(shù)的運算，根據(jù)橫向三個數(shù)之和與縱向三個數(shù)之和相等，進(jìn)行填寫即可得出結(jié)果．解：由題意，填寫如下：，滿足題意；故答案為：0．【例2】（2023·湖南常德·中考真題）下面算法正確的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減法則計算即可．解A、，故A不符合題意；B、，故B不符合題意；C、，故C符合題意；D、，故D不符合題意；故選：C．【點撥】本題主要考查有理數(shù)的加減法，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．2、拓展延伸【例1】（23-24七年級上·天津靜?！るA段練習(xí)）觀察下列各式的特征：；；；，根據(jù)規(guī)律，解決相關(guān)問題：（1）根據(jù)上面的規(guī)律，將下列各式寫成去掉絕對值符號的形式（不能寫出計算結(jié)果）：①_________；②_________；（2）當(dāng)時，_________；當(dāng)時，_________．（3）有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．（4）合理的方法計算：．【答案】(1)①；②(2)；(3)C(4)【分析】絕對值的性質(zhì)：正數(shù)的絕對值等于它本身；負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)；0的絕對值是0，然后根據(jù)有理數(shù)的運算法則判斷式子的符號，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)正確化簡．（1）先比較有理數(shù)的大小，然后結(jié)合絕對值的性質(zhì)即可化簡；（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)即可求解；（3）由數(shù)軸可知，，然后根據(jù)絕對值的性質(zhì)即可求解；（4）根據(jù)絕對值的性質(zhì)和有理數(shù)運算，化簡絕對值并進(jìn)行加減運算，即可獲得答案．