大題規(guī)范1 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

解題幫快速破解規(guī)范解答大題規(guī)范1函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題，難度較大，從其在2023年新高考卷Ⅰ中的位置來看，

難度有所下降，說明難度定位更靈活.從近幾年的命題情況來看，常涉及的背景函數(shù)有：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、分式函

數(shù)、三次函數(shù)、三角函數(shù).涉及的命題點有：求切線方程，判斷單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)

間、極值、最值、參數(shù)范圍，零點問題，證明不等式問題，不等式恒成立問題等.常

涉及的數(shù)學(xué)思想有：函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸

思想等.解題時，無論是單調(diào)性、極值、最值問題還是不等式問題，一般需要先求出函數(shù)的

導(dǎo)數(shù)，然后通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性來求解，因此掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)

系尤為重要.求解過程中，注意內(nèi)容書寫的規(guī)范性和完整性.

(2)思路一

思路二

(1)因為

f

(

x

)＝

a

(e

x

＋

a

)－

x

，所以f'(

x

)＝

a

e

x

－1，

(1分)

正確求導(dǎo)是關(guān)鍵.當(dāng)

a

≤0時，f'(

x

)＜0，所以函數(shù)

f

(

x

)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減；

(2分)

注意單調(diào)區(qū)間的范圍.當(dāng)

a

＞0時，令f'(

x

)＜0，得

x

＜－lna

，令f'(

x

)＞0，得

x

＞－lna

，所以函數(shù)

f

(

x

)在(－∞，－lna

)上單調(diào)遞減，在(－lna

，＋∞)上單調(diào)遞增.

(4分)

有一處不等式解錯，但單調(diào)性判斷對，這一步只給1分.綜上可得：當(dāng)

a

≤0時，函數(shù)

f

(

x

)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)

a

＞0時，函數(shù)

f

(

x

)在(－∞，－lna

)上單調(diào)遞減，在(－lna

，＋∞)上單調(diào)遞增.

(5分)

下結(jié)論不可少，否則，就會失去結(jié)論分.(2)解法一(最值法)由(1)得，當(dāng)

a

＞0時，函數(shù)

f

(

x

)＝

a

(e

x

＋

a

)－

x

的最小值為

f

(－lna

)＝

a

(e－lna

＋

a

)＋lna

＝1＋

a

2＋lna

，

(6分)

第(1)問中沒有別的條件，其結(jié)論可以在第(2)問中合理使用.

解法二(分析法)當(dāng)

a

＞0時，由(1)得，

f

(

x

)min＝

f

(－lna

)＝1＋

a

2＋lna

，

(6分)

第(1)問沒有別的條件，其結(jié)論可以在第(2)問中合理利用.

構(gòu)造函數(shù)

u

(

a

)＝lna

－(

a

－1)(

a

＞0)，

所以函數(shù)

u

(

a

)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(0，1)上單調(diào)遞增，所以

u

(

a

)≤

u

(1)＝0，即lna

≤

a

－1，

(9分)

根據(jù)函數(shù)

u

(

a

)的單調(diào)性，可得出

u

(

a

)的最大值.

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的答題策略1.定義域優(yōu)先.在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性時，要先確定函數(shù)的定義域，求單調(diào)區(qū)

間必須在定義域內(nèi)進(jìn)行.2.正確運用公式與法則.熟練利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式與法則，正確求導(dǎo)是解題

的關(guān)鍵.注意對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的運用.3.分類討論做到不重不漏.分類討論是難點，需明晰分類的標(biāo)準(zhǔn)，要做到合理分類，

不重不漏.4.會構(gòu)造函數(shù).正確構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷新構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的性質(zhì)

求解.5.會轉(zhuǎn)化.會把不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，會分離參數(shù)或用分析法轉(zhuǎn)化，簡

化后求解.

[12分]已知函數(shù)

f

(

x

)＝

x

2－

a

(lnx

－

a

).