數(shù)學(xué)實驗：實驗十一 非線性方程（組）求解

實驗十一非線性方程（組）求解

一只蝴蝶在巴西扇動翅膀，有可能在美國的德克薩斯引起一場龍卷風(fēng)嗎？1.方程求根的Matlab指令及幾種編程解法2.非線性方程組求解3.Logistic方程與混沌4.什么是混沌？實驗內(nèi)容1、方程近似根的求法f=inline('表達(dá)式');%定義數(shù)值函數(shù)方法１－－－－利用MATLAB指令c=fzero(f,[a,b])求f在區(qū)間[a,b]的零點c=fzero(f,x0)求f在x0附近的零點具體調(diào)用格式為實驗問題:分析：該問題可以轉(zhuǎn)化為下列方程求根.

開普勒方程

近似解.f=inline('x-0.5*sin(x)-1');c=fzero(f,[0,2])方法１－－－－利用MATLAB指令輸出：c=1.4987

顯然該方程為一元非線性方程，沒有現(xiàn)成的求解公式.查看matlab后臺程序editfzero.m方法２－－“二分法”f=inline('x-0.5*sin(x)-1');fplot(f,[0,2]);grid首先畫圖，觀察出解的范圍然后利用二分法求解二分法簡介分析：條件：得到第n個區(qū)間終止條件：clear;clc;f=inline('x-0.5*sin(x)-1');a=0;b=2;r=1.0e-5;N=log((b-a)/r)/log(2);k=0;whilek<=fix(N)+1k=k+1;c=(a+b)/2;

ifabs(f(c))==0

break;

elseiff(c)*f(b)<0a=c;

elseb=c;

endfprintf('k=%d,x=%.5f\n',k,c);end程序：方法３－－－－迭代法（１）牛頓切線迭代法分析：條件：關(guān)于牛頓切線法有下面收斂性定理定理clear;f=inline('

x-0.5*sin(x)-1');df=inline('1-0.5*cos(x)');d2f=inline('0.5*sin(x)');a=1;b=2;dlt=1.0e-5;iff(a)*d2f(a)>0x0=a;else

x0=b;endm=min(abs(df(a)),abs(df(b)));k=0;whileabs(f(x0))>m*dltk=k+1;x1=x0-f(x0)/df(x0);x0=x1;fprintf('k=%d,x=%.5f\n',k,x0);end程序：（２）一般迭代法——迭代格式——迭代序列——迭代初值——迭代函數(shù)在方程有實根的情況下，可以通過轉(zhuǎn)換方程的形式，構(gòu)造相應(yīng)的迭代，產(chǎn)生迭代序列來求方程的近似根。如何構(gòu)造迭代函數(shù)使得產(chǎn)生的迭代序列收斂?例題構(gòu)造迭代格式取初值迭代序列構(gòu)造迭代格式取初值迭代序列實驗考察如何構(gòu)造迭代函數(shù)定理如果在[a,b]上連續(xù)且滿足則迭代格式對任意初值迭代序列收斂.如果(2)存在正的常數(shù)h，對用一般迭代法求解開普勒方程令迭代函數(shù)為顯然所以，迭代格式收斂2、非線性方程組求解考慮非線性方程組向量形式為求解非線性方程組的命令[x,fval]=fsolve(fun,x0)fun是函數(shù)或m-文件，x0為迭代初值，返回的是解向量x和解向量對應(yīng)的f(x)值。例求解functionf=group(x)f=[4*x(1)^2+9*x(2)^2-16*x(1)-54*x(2)+61;x(1)*x(2)-2*x(1)+1];[x,fval]=fsolve('group',[00])

若取初值為[-2,2]，會收斂到不同的解。3、Logistic方程與混沌在生物學(xué)中，有一個刻畫生物種群個體總量增長情況的著名的方程——邏輯斯諦（Logistic）方程：其中xn為某生物群體的第n代的個體總數(shù)與該群體所能達(dá)到的最大保有量時的個體數(shù)之比。選定初值和比例系數(shù)r的值后，由方程就能生成一個數(shù)列：這個數(shù)列的極限是否存在？設(shè)Mn表示生物種群在第n代的個體總量，經(jīng)過繁衍第n+1代的個體總量為Mn+1，怎么建立種群增長模型呢？19世紀(jì)中葉荷蘭生物學(xué)家Verhulst得出結(jié)論：種群的繁殖與種群的規(guī)模成正比，同時，種群生活在一定的環(huán)境中，在資源給定的情況下，個體數(shù)目越多，每一個個體獲得的資源越少，這將抑制其生育率，增大死亡率。因此，種群的繁殖與可生存的容納量成正比，即

考察迭代格式(Logistic方程

)初值1.當(dāng)參數(shù)r取值分別為1.2，2.5，3.2，3.5，3.8考察其迭代序列的收斂情況clc;clf;x=0.1;y=[];r=1.2;%改變?nèi)≈档玫较鄳?yīng)的圖形holdonaxis([010001])fori=1:100x=r*x*(1-x);y=[y,x];plot(i,x,'r.','markersize',10)fprintf('x(%d)=%.10f\n',i,x);endt=1:100;plot(t,y,'k-');grid程序結(jié)果顯示：當(dāng)比例系數(shù)r為1和3之間的任意一個值時，按照上面的迭代格式產(chǎn)生的迭代序列是收斂的，且收斂結(jié)果與迭代初值無關(guān)。2.將參數(shù)r取0，0.3，0.6，0.9，1.2，…，3.9的迭代序列收斂情況放置到同一坐標(biāo)系中觀察其變化clear;clc;holdonaxis([0,4,0,1]);gridforr=0:0.3:3.9x=[0.1];

fori=2:150x(i)=r*x(i-1)*(1-x(i-1));

endpause

fori=101:150plot(r,x(i),‘r.’,'markersize',10);%取這些迭代序列的后50個迭代值

endtext(r-0.1,max(x(101:150))+0.05,['\it{r}=',num2str(r)])end程序結(jié)果分析：（1）當(dāng)r<3.0時，每個r對應(yīng)的50個迭代值凝聚在一點，這表明對這些r取值所產(chǎn)生的迭代序列是收斂的。（2）當(dāng)r為3、3.3時，對應(yīng)的50個迭代值凝聚在兩個點，表明r所對應(yīng)的迭代序列不收斂，但凝聚在兩個點附近。（3）當(dāng)r由3.3到3.6再到3.9越來越大時，對應(yīng)的50個迭代值凝聚的點也越來越多，表明r對應(yīng)的迭代序列變化情況逐漸復(fù)雜，軌道分岔也越來越多，但會不會還是按照一支分叉為兩支的變化規(guī)律來變化呢？3.現(xiàn)在對取值在2.7到3.9之間進(jìn)行加密迭代并作圖，取步長為0.005時

參數(shù)r的微小變化引起結(jié)果巨大的變化clear;clf;holdonaxis([2.7,4,0,1]);gridforr=2.7:0.005:3.9x=[0.1];

fori=2:150x(i)=r*x(i-1)*(1-x(i-1));

endpause(0.01)fprintf('r=%.3f\n',r)

fori=101:150plot(r,x(i),'k.');

endend程序再次加密r取值進(jìn)行實驗，（１）是否由４支分叉為８支，并依次類推呢？（２）這些分叉點處r的取值，是否有規(guī)律？混沌現(xiàn)象特別地，軌道由1條分差為2條、由2條分叉為4條、再由4條分叉為8條等等，這種現(xiàn)象稱為倍周期現(xiàn)象。4在r取為3.8時，初值為0.1時運行1中的程序，迭代序列會出現(xiàn)沒有呈現(xiàn)周期性的取值情形，而是一種紊亂狀態(tài)。在r不變，初值有0.005的增加時，迭代序列分布和上面分布會發(fā)生很大變化，即初值發(fā)生微小變化時，結(jié)果發(fā)生很大變化。這就是數(shù)學(xué)研究中常說的“蝴蝶效應(yīng)”，也被稱為“混沌”。

方程中r是一個與環(huán)境因素有關(guān)的參數(shù)，因此在某些特定條件下，某些種群的繁殖會出現(xiàn)難以預(yù)料的混沌現(xiàn)象，甚至出現(xiàn)“生物災(zāi)難”。clc;clf;y1=[];r=3.8;holdonaxis([010001])figure(1)x=0.1;fori=1:100x=r*x*(1-x);y1=[y1,x];gridplot(i,x,'r.','markersize',10)endt=1:100plot(t,y1,'k-');figure(2)y2=[];x=0.1005;fori=1:100x=r*x*(1-x);y2=[y2,x];gridplot(i,x,'r.','markersize',10)holdonendt=1:100plot(t,y2,'k-');混沌（譯自英文Chaos）的原意是指無序和混亂的狀態(tài)。這些表面上看起來無規(guī)律、不可預(yù)測的現(xiàn)象，實際上有它自己的規(guī)律?；煦鐚W(xué)的任務(wù)：就是尋求混沌現(xiàn)象的規(guī)律，加以處理和應(yīng)用。

60年代混沌學(xué)的研究熱悄然興起，滲透到物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、力學(xué)、氣象學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、社會學(xué)等諸多領(lǐng)域，成為一門新興學(xué)科。4、什么是混沌？科學(xué)家給混沌下的定義是：混沌是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機的不規(guī)則運動，一個確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性一不可重復(fù)、不可預(yù)測，這就是混沌現(xiàn)象。進(jìn)一步研究表明，混沌是非線性動力系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象。牛頓確定性理論能夠充分處理的多為線性系統(tǒng)，而線性系統(tǒng)大多是由非線性系統(tǒng)簡化來的。因此，在現(xiàn)實生活和實際工程技術(shù)問題中，混沌是無處不在的！混沌的特征

1.差之毫厘，失之千里、牽一發(fā)而動全身。一個小小初始條件的差異可以嚴(yán)重影響系統(tǒng)長期的大變化。

2.對初始條件的敏感性。對原本西方的科學(xué)基本理念來說，「如果你正在計算臺面上的一顆撞球，就不用去理會室外一片樹葉的掉落。很輕微的影響可以被忽略，事物進(jìn)行總會殊途同歸，任意的小干擾，并不致于膨脹到任意大的后果?！?960年，美國麻省理工學(xué)院教授洛倫茲研究“長期天氣預(yù)報”問題時，在計算機上用一組簡化模型模擬天氣的演變。他原本的意圖是利用計算機的高速運算來提高長期天氣預(yù)報的準(zhǔn)確性。但是，事與愿違，多次計算表明，初始條件的極微小差異，均會導(dǎo)致計算結(jié)果的很大不同。

由于氣候變化是十分復(fù)雜的，所以在預(yù)測天氣時，輸入的初始條件不可能包含所有的影響因素（通常的簡化方法是忽略次要因素，保留主要因素），而那些被忽略的次要因素卻可能對預(yù)報結(jié)果產(chǎn)生重大影響，導(dǎo)致錯誤的結(jié)論。由此，洛倫茲認(rèn)定，盡管擁有高速計算機和精確的測量數(shù)據(jù)（溫度、風(fēng)速、氣壓等），也難以獲得準(zhǔn)確的長期天氣預(yù)報。３蝴蝶效應(yīng)

1979年12月，洛倫茲在華盛頓的美國科學(xué)促進(jìn)會的一次講演中提出：一只蝴蝶在巴西扇動翅膀，有可能會在美國的德克薩斯引起一場龍卷風(fēng)。他的演講和結(jié)論給人們留下了極其深刻的印象。從此以后，所謂“蝴蝶效應(yīng)”之說就不脛而走，名聲遠(yuǎn)揚了。

從科學(xué)的角度來看，“蝴蝶效應(yīng)”反映了混沌運動的一個重要特征：系統(tǒng)的長期行為對初始條件的敏感依賴性。

經(jīng)典動力學(xué)的傳統(tǒng)觀點認(rèn)為：系統(tǒng)的長期行為對初始條件是不敏感的，即初始條件的微小變化對未來狀態(tài)所造成的差別也是很微小的?？苫煦缋碚撓騻鹘y(tǒng)觀點提出了挑戰(zhàn)?；煦缋碚撜J(rèn)為在混沌系統(tǒng)中，初始條件的十分微小的變化經(jīng)過不斷放大，對其未來狀態(tài)會造成極其巨大的差別。

一則西方寓言：丟失一個釘子