第61講 隨機(jī)事件與概率、古典概型

第十單元

排列、組合與二項式定理、概率第61講

隨機(jī)事件與概率、古典概型課前基礎(chǔ)鞏固課堂考點探究作業(yè)手冊教師備用習(xí)題1.結(jié)合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點的關(guān)系.2.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義,能結(jié)合實例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運算.3.結(jié)合具體實例，理解古典概型,能計算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率.4.通過實例，理解概率的性質(zhì),掌握隨機(jī)事件概率的運算法則.5.結(jié)合實例，會用頻率估計概率.◆

知識聚焦

◆

基本結(jié)果2.隨機(jī)事件、必然事件與不可能事件

子集

3.事件的關(guān)系和運算定義符號表示包含（或包含于）相等________并事件（或和事件）交事件（或積事件）互斥（或互不相容）互為對立一定發(fā)生

至少有一個同時不能同時發(fā)生

4.古典概型（1）

兩個特征：有限性：樣本空間的樣本點只有_______個；等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性_______.有限相等

10

6.頻率與概率（1）

概率：對隨機(jī)事件發(fā)生______________的度量.可能性大小

穩(wěn)定于

◆

對點演練

◆題組一

常識題

3件中至多有2件一級品

卡片號碼12345678910取到次數(shù)1785769189129則取到卡片號碼為奇數(shù)的頻率為______.0.58

題組二

常錯題◆

索引：對古典概型的特征掌握不牢;對樣本空間或指定事件包含的樣本點個數(shù)計算錯誤;對古典概型的概率計算公式掌握不牢;確定事件間的關(guān)系時出錯,進(jìn)一步導(dǎo)致應(yīng)用概率性質(zhì)出錯.4.下列試驗中，屬于古典概型的是____.①向上拋一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，觀察正面向上的概率；

③[解析]

①中，硬幣質(zhì)地不均勻，不是等可能事件，所以不是古典概型；②④的樣本空間的樣本點不是有限個，不是古典概型；③符合古典概型的特點，是古典概型.故填③.5.博覽會安排了序號分別為1，2，3的三輛車，等可能隨機(jī)前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想，設(shè)計兩種乘車方案.方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的序號大于第一輛車的序號，則乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車.按照方案一、方案二乘坐到序號為3的車包含的樣本點個數(shù)分別是_______.3，2

探究點一

事件的關(guān)系與運算例1（1）

已知6件產(chǎn)品中有3件正品，其余為次品.現(xiàn)從6件產(chǎn)品中任取2件，觀察正品件數(shù)與次品件數(shù)，下列選項中的兩個事件是對立事件的是(

)

DA.恰好有1件次品和恰好有2件次品

B.至少有1件次品和全是次品C.至少有1件正品和至少有1件次品

D.至少有1件次品和全是正品[解析]

對于A，恰好有1件次品和恰好有2件次品互斥，但不是對立事件；對于B，至少有1件次品和全是次品可以同時發(fā)生，不是對立事件；對于C，至少有1件正品和至少有1件次品可以同時發(fā)生，不是對立事件；對于D，至少有1件次品即存在次品，與全是正品是對立事件.故選D.［思路點撥］（1）對每個選項中事件的關(guān)系進(jìn)行分析，選出正確答案.（2）

（多選題）不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍(lán)色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的事件有(

)

BDA.2張卡片不全為紅色

B.2張卡片恰有1張紅色C.2張卡片至少有1張紅色

D.2張卡片都為綠色［思路點撥］（2）依次分析各選項，選擇與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的事件即可.

[總結(jié)反思]互斥事件、對立事件的判定定義法不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件中，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件；對立事件一定是互斥事件集合法

C

（2）

（多選題）某小組有2名男生和3名女生，從中任選2名學(xué)生去參加唱歌比賽，在下列各組事件中，是互斥事件的是(

)

ADA.恰有1名女生和恰有2名女生

B.至少有1名男生和至少有1名女生C.至少有1名女生和全是女生

D.至少有1名女生和全是男生

探究點二

古典概型例2（1）

[2022·新高考全國Ⅰ卷]

從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為(

)

D

［思路點撥］（1）先求出從7個數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)的情況種數(shù)，再求2個數(shù)不互質(zhì)的情況種數(shù)，再根據(jù)對立事件的性質(zhì)求出2個數(shù)互質(zhì)的情況種數(shù)，最后利用古典概型的概率計算公式求解.

（2）

[2023·浙江嘉興模擬]

甲、乙、丙、丁、戊5個人站成一排，則甲、乙均不站在兩端的概率為(

)

A

［思路點撥］（2）先求總的排法種數(shù)，再求甲、乙均不站在兩端的排法種數(shù)，最后求概率.[總結(jié)反思]解決古典概型的概率問題的一般步驟:

變式題（1）

[2023·安徽安慶一中模擬]

連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，則第1次向上的數(shù)字比第2次向上的數(shù)字大的概率為(

)

A

D

（3）

[2023·山西呂梁二模]

現(xiàn)有小趙、小錢、小孫、小李、小劉五人去北京、上海、廣州三地參加研討會，每人只能去一個城市，每個城市至少去一人，則小趙不去北京的概率為_

___.

探究點三

概率的基本性質(zhì)的應(yīng)用

DA.兩個點數(shù)都是偶數(shù)

B.至多有一個點數(shù)是偶數(shù)C.兩個點數(shù)都是奇數(shù)

D.至多有一個點數(shù)是奇數(shù)

［思路點撥］（1）由題意，根據(jù)交事件的運算，結(jié)合概率與事件的關(guān)系，可得答案.

［思路點撥］（2）思路一：分別設(shè)出取到各色球的概率，由事件的關(guān)系和概率的基本性質(zhì)求出概率即可；思路二：設(shè)出紅球的個數(shù)，根據(jù)概率求出各色球的個數(shù)，再求取出各色球的概率即可.

[總結(jié)反思]求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：（1）直接法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和；

0.2

探究點四

頻率與概率

序號頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率1120.6560.562610.522290.45500.52410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506A.試驗次數(shù)相同時，頻率可能不同，說明隨機(jī)事件發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性B.試驗次數(shù)較小時，頻率波動較大，試驗次數(shù)較大時，頻率波動較小，所以試驗次數(shù)越少越好C.隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會隨著試驗次數(shù)的增加而逐漸穩(wěn)定在一個固定值附近D.我們要得到某事件發(fā)生的概率，只需要做一次隨機(jī)試驗，得到事件發(fā)生的頻率即為概率AC根據(jù)以上信息，下面說法正確的有(

)

［思路點撥］（1）根據(jù)頻率與概率的關(guān)系判斷.

AA.0.2

B.0.3

C.0.4

D.0.5

［思路點撥］（2）由題可知10組隨機(jī)數(shù)中表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有2組，即可得到答案.[總結(jié)反思]

教師備用習(xí)題【備選理由】例1考查事件的關(guān)系與運算；例2考查古典概型；例3考查概率的基本性質(zhì).

BD

A

C

作業(yè)手冊◆

基礎(chǔ)熱身

◆1.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，下列事件與事件“至少一枚硬幣正面朝上”互為對立的是(

)

CA.至多一枚硬幣正面朝上

B.只有一枚硬幣正面朝上C.兩枚硬幣反面朝上

D.兩枚硬幣正面朝上[解析]

由對立事件的概念知，“至少一枚硬幣正面朝上”的對立事件為“兩枚硬幣反面朝上”.故選C.123456789101112131415162.某種新型牙膏需要選用兩種不同的添加劑，現(xiàn)有芳香度分別為1，2，3，4的四種添加劑可供選用，則選用的兩種添加劑芳香度之和為5的概率為(

)

B

12345678910111213141516

B

123456789101112131415164.（多選題）已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍(lán)色卡片，從中任取3張卡片，則下列說法正確的是(

)

ABCA.事件“都是紅色卡片”是隨機(jī)事件B.事件“都是藍(lán)色卡片”是不可能事件C.事件“至少有一張紅色卡片”是必然事件D.事件“有1張紅色卡片和2張藍(lán)色卡片”是必然事件12345678910111213141516

12345678910111213141516

0.7

12345678910111213141516

9328124585696834312573930275564887301135據(jù)此估計，該運動員兩次投擲飛鏢恰有一次正中靶心的概率為_

__.

12345678910111213141516

12345678910111213141516◆

綜合提升

◆

D

123456789101112131415168.[2023·廈門二模]

廈門山海健康步道云海線全長約23公里，沿線串聯(lián)“八山三水”（筼筜湖、狐尾山、仙岳山、園山、薛嶺山、虎頭山、金山、湖邊水庫、五緣灣、虎仔山、觀音山）等廈門島中北部重要的生態(tài)節(jié)點.市民甲計劃從“八山三水”這11個景點中隨機(jī)選取相鄰的3個游覽，則選取的景點中有“水”的概率為(

)

C

123456789101112131415169.某學(xué)校為駕駛電動汽車的教職工提供充電便利，在停車場開展充電樁安裝試點.如圖，試點區(qū)域共有十個車位，安裝了三個充電樁，每個充電樁只能給其南北兩側(cè)車位中的一輛電動汽車充電.現(xiàn)有3輛燃油車和2輛電動汽車同時隨機(jī)停入試點區(qū)域（停車前所有車位都空置），則2輛電動汽車能同時充上電的概率為(

)

D

12345678910111213141516

12345678910111213141516

CD

12345678910111213141516

12345678910111213141516

0.95

1234567891011121314151612.四個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著完全相同的硬幣，所有人同時拋擲自己的硬幣.若硬幣正面朝上，則這個人站起來；若硬幣正面朝下，則這個人繼續(xù)坐著.那么沒有相鄰的兩個人站起來的概率為_

___.

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516（1）

某同學(xué)從中任取1個小貓擺件，得到黑貓、白貓、紅貓的概率分別是多少？

12345678910111213141516（2）某同學(xué)從中任取2個小貓擺件，得到的2個小貓擺件顏色不相同的概率是多少？

12345678910111213141516◆

能力拓展

◆15.現(xiàn)對如圖所示的圖形進(jìn)行涂色，有5種不同的顏色可供使用，相鄰區(qū)域所涂顏色不同.在所有的涂色方案中隨機(jī)選擇一種方案，該方案恰好只用到3種顏色的