第八章 第8講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)直線與圓錐曲線的

位置關(guān)系2023新高考卷ⅡT5；2022新高考卷

ⅡT10；2022全國卷甲T15；2020新高考

卷ⅡT21本講每年必考，命

題熱點(diǎn)為直線與圓

錐曲線相交的弦

長(zhǎng)、中點(diǎn)弦問題，

以及直線與圓錐曲

線的綜合應(yīng)用，常

與向量、圓等知識(shí)

綜合命題，難度中

等偏上.弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦問題2023全國卷乙T11；2023全國卷甲T20；

2023天津T12；2022新高考卷ⅠT16；

2022新高考卷ⅡT16；2020新高考卷

ⅠT13；2020全國卷ⅡT19；2019全國卷

ⅠT19切線及切點(diǎn)弦問題2021全國卷乙T21命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)直線與

圓錐曲

線的綜

合應(yīng)用2023新高考卷ⅡT10；2023新高考卷ⅡT21；2023

全國卷乙T20；2023北京T19；2022新高考卷

ⅠT11；2022新高考卷ⅠT21；2022新高考卷

ⅡT21；2022全國卷乙T20；2022全國卷甲T20；

2021新高考卷ⅠT21；2021新高考卷ⅡT20；2020

新高考卷ⅠT22；2020全國卷ⅠT20；2019全國卷

ⅡT21；2019全國卷ⅢT21在2025年高考備考時(shí)應(yīng)

重視和直線與圓錐曲線

的位置關(guān)系相關(guān)的典型

題型的研究，注意培養(yǎng)

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).在解題

時(shí)，要充分利用數(shù)形結(jié)

合、轉(zhuǎn)化與化歸等思

想.

1.直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，消去

y

(或

x

)，得到關(guān)于

x

(或

y

)的一元二次方

程，設(shè)其判別式為Δ，則①

?有兩個(gè)交點(diǎn)

?相交；Δ＝0?有一個(gè)交點(diǎn)?相

切；②

?無交點(diǎn)?相離.注意

直線與雙曲線方程聯(lián)立消元后，得出的方程中二次項(xiàng)系數(shù)為零時(shí)，直線與雙

曲線漸近線平行，兩者有且只有一個(gè)交點(diǎn)；二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)，利用判別式進(jìn)行

判斷.Δ＞0

Δ＜0

2.弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦(1)弦長(zhǎng)公式

(2)中點(diǎn)弦

3.切線與切點(diǎn)弦所在直線的方程圓錐曲線的方程y2＝2px(p＞0)過曲線上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程y0y＝p(x0＋x)過曲線外一點(diǎn)P(x0，y0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦所在直線的方程y0y＝p(x0＋x)

A.相交B.相切C.相離D.無法判斷

A1234

A.8，6B.4，3

B12343.已知直線

l

：

y

＝

x

－1與拋物線

y

2＝4

x

交于

A

，

B

兩點(diǎn)，則線段

AB

的長(zhǎng)是

(

C

)A.2B.4C.8D.16

C1234

D1234

C訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

2(答案不唯一)

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7方法技巧(1)直線與橢圓的位置關(guān)系問題可直接轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.(2)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.(3)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線相切或直線與拋物線的對(duì)稱軸平行

(或重合).(4)對(duì)于過定點(diǎn)的直線，可以根據(jù)定點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線與圓錐曲線的

位置關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7訓(xùn)練1

(1)[2023天津高考]過原點(diǎn)

O

的一條直線與圓

C

：(

x

＋2)2＋

y

2＝3相切，交曲線

y

2＝2

px

(

p

＞0)于點(diǎn)

P

，若｜

OP

｜＝8，則

p

的值為

?.

6

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7命題點(diǎn)2

弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦問題角度1

弦長(zhǎng)問題

13

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7例3

[2023成都市模擬]已知拋物線

C

：

y

2＝2

px

(

p

＞0，

p

≠4)，過點(diǎn)

A

(2，0)且斜率

為

k

的直線與拋物線

C

相交于

P

，

Q

兩點(diǎn).(1)設(shè)點(diǎn)

B

在

x

軸上，分別記直線

PB

，

QB

的斜率為

k

1，

k

2，若

k

1＋

k

2＝0，求點(diǎn)

B

的坐標(biāo)；

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7方法技巧(1)使用弦長(zhǎng)公式時(shí)注意對(duì)直線斜率的討論.(2)直線經(jīng)過特殊點(diǎn)(如焦點(diǎn)、原點(diǎn)等)或斜率特殊時(shí)，利用圓錐曲線的定義或數(shù)形結(jié)

合來求弦長(zhǎng).訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7角度2

中點(diǎn)弦問題

A.(1，1)B.(－1，2)C.(1，3)D.(－1，－4)

D訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7方法技巧點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問題的步驟(1)設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)：

A

(

x

1，

y

1)，

B

(

x

2，

y

2)；(2)將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入圓錐曲線方程中并兩式作差，得到關(guān)于直線

AB

的斜率和線

段

AB

的中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式；(3)將已知條件代入關(guān)系式并化簡(jiǎn)求解.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7訓(xùn)練2

(1)已知

F

為拋物線

C

：

y

2＝4

x

的焦點(diǎn)，過

F

作兩條互相垂直的直線

l

1，

l

2，

直線

l

1與

C

交于

A

，

B

兩點(diǎn)，直線

l

2與

C

交于

D

，

E

兩點(diǎn)，則｜

AB

｜＋｜

DE

｜的

最小值為(

A

)A.16B.14C.12D.10A訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7方法技巧(1)曲線的切線方程可以利用判別式求解，也可以利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.(2)“代一半，留一半”是曲線的切線方程與切點(diǎn)弦所在直線方程相關(guān)結(jié)論的記

憶口訣.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7訓(xùn)練3

[2023山西運(yùn)城模擬]過點(diǎn)

P

作拋物線

C

：

x

2＝4

y

的切線

l

1，

l

2，切點(diǎn)分別為

M

，

N

，若△

PMN

的重心坐標(biāo)為(3，4)，則

P

點(diǎn)坐標(biāo)為(

A

)A.(3，－3)B.(1，2)C.(2，1)D.(－3，3)A訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7(2)設(shè)

P

為第一象限內(nèi)

E

上的動(dòng)點(diǎn)，直線

PD

與直線

BC

交于點(diǎn)

M

，直線

PA

與直線

y

＝－2交于點(diǎn)

N

，求證：

MN

∥

CD

.

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7方法技巧(1)解答直線與圓錐曲線相交的題目時(shí)，常用到“設(shè)而不求”的方法，即聯(lián)立直線和

圓錐曲線的方程，消去

y

(或

x

)得一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合

題設(shè)條件，建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系求解；(2)涉及直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊

情形.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

(1)求

C

的方程；

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

A.(3，7)B.[3，7]C.(1，9)D.[1，9]

B訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7解法二由“蒙日?qǐng)A”定理可得，點(diǎn)

P

的軌跡方程為

C

1：

x

2＋

y

2＝4，所以要使圓

C

2：(

x

－3)2＋(

y

－4)2＝

r

2(

r

＞0)上總存在點(diǎn)

P

滿足題意，則圓

C

1與

C

2有交點(diǎn)，所

以｜2－

r

｜≤｜

C

1

C

2｜≤2＋

r

，又｜

C

1

C

2｜＝5，所以3≤

r

≤7，故選B.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

性質(zhì)1：

PA

⊥

PB

.

性質(zhì)2：(1)

C

，

O

，

D

三點(diǎn)共線；(2)

CD

∥

AB

；

性質(zhì)3：

PO

平分橢圓的切點(diǎn)弦

AB

.

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3例4例5訓(xùn)練4例6訓(xùn)練5例7

C123456

A.1條B.2條C.3條D.4條C123456

123456

A.kAB·kOM＝－1B.若M(1，1)，則直線l的方程為2x＋y－3＝0BD123456

123456

1234564.

[命題點(diǎn)3/多選/2023重慶市調(diào)研質(zhì)量抽測(cè)]設(shè)

O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，

F

為拋物線

C

：

x

2＝2

py

(

p

＞0)的焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)

F

且傾斜角為θ的直線

l

與拋物線

C

交于

M

，

N

兩點(diǎn)(點(diǎn)

M

在第二象限)，當(dāng)θ＝30°時(shí)，｜

MF

｜＝2，則下列說法正確的是(

ABD

)A.p＝3C.存在直線l，使得∠OMF＋∠ONF＞90°D.分別過點(diǎn)M，N且與拋物線相切的兩條直線互相垂直ABD123456

123456

123456

123456

123456

123456

(1)求橢圓的方程和離心率

e

；

123456

(2)已知點(diǎn)

P

是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，直線

A

2

P

交

y

軸于點(diǎn)

Q

，若三角形

A

1

PQ

的面積是三角形

A

2

FP

的面積的二倍，求直線

A

2

P

的方程.123456

123456

A.±1A1234567891011121314

1234567891011121314

A.(2，＋∞)B.(1，2]C.(1，2)D.[2，＋∞)

A1234567891011121314

12345678910111213143.[2024南昌市模擬]已知拋物線

C

：

x

2＝4

y

的焦點(diǎn)為

F

，

P

是拋物線

C

在第一象限

內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)

P

作

C

的準(zhǔn)線的垂線，垂足為

M

，

FM

的中點(diǎn)為

N

，若直線

PN

經(jīng)過

點(diǎn)(0，－3)，則直線

PN

的斜率為(

C

)A.1B.2D.3

C1234567891011121314

12345678910111213144.[多選/2024牡丹江月考]已知直線

l

：

x

＝

ty

＋2與拋物線

C

：

y

2＝8

x

交于

A

，

B

兩

點(diǎn)，若線段

AB

的中點(diǎn)是

M

(

m

，2)，則(

AB

)B.m＝3C.｜AB｜＝8D.點(diǎn)(－2，2)在以AB為直徑的圓內(nèi)AB1234567891011121314

1234567891011121314

A.直線AB與OM垂直B.若點(diǎn)M坐標(biāo)為(1，1)，則直線方程為2x＋y－3＝0BD1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

(1)求橢圓

C

的標(biāo)準(zhǔn)方程；

1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314(2)若

b

＝1，過點(diǎn)

F

作與直線

AB

平行的直線

l

，

l

與

C

交于

P

，

Q

兩點(diǎn)，求直線

OP

的斜率與直線

OQ

的斜率的乘積.

1234567891011121314

B.2B1234567891011121314

123456789101112131410.[多選]在平面直角坐標(biāo)系

xOy

中，點(diǎn)

A

(－1，0)在拋物線

C

：

y

2＝2

px

(

p

＞0)的

準(zhǔn)線上，過拋物線

C

的焦點(diǎn)

F

作直線

l

交

C

于

P

，

Q

兩點(diǎn)，點(diǎn)

B

(2，0)，則下列結(jié)論

正確的是(

BCD

)C.∠PAB＝∠QABD.∠OPB＋∠OQB＜180°BCD1234567891011121314[解析]由題可知，拋物線

C

的準(zhǔn)線方程為

x

＝－1，所以

p

＝2，則

F

(1，0)，拋物

線

C

：

y

2＝4

x

.設(shè)

P

(

x

1，

y

1)，

Q

(

x

2，

y

2)，直線

l

的方程為

x

＝

ty

＋1，(巧設(shè)直線方

程，可避免分類討論，也可以將