2.2 基本不等式（解析版）

.2基本不等式知識點(diǎn)一基本不等式的理解【【解題思路】基本不等式的理解(1)不等式成立的條件是a，b都是正數(shù)．(2)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：當(dāng)a＝b時，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)的等號成立，即a＝b?eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；僅當(dāng)a＝b時，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等號成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)?a＝b.總結(jié)：一正二定三等【例1-1】（22-23高一上·河南·階段練習(xí)）不等式中，等號成立的條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故選：.【例1-2】（23-24高一上·河南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．最小值為2 B．最大值為2C．最小值為2 D．最大值為2【答案】C【解析】當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立；故選項(xiàng)AB錯誤；任意，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即也即時，等號成立，所以最小值為2，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)趨向于無窮大時，也趨向于無窮大，所以無最大值，故D錯誤.故選：C.【例1-3】（23-24高一上·福建莆田·階段練習(xí)）（多選）下列判斷正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時，，A錯；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，B對；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，則，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，C對；對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，則，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，但，故等號不成立，所以，，D對.故選：BCD.【變式】1．（22-23·福建龍巖·階段練習(xí)）當(dāng)時，函數(shù)（

）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4【答案】A【解析】，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選：A2．（23-24高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等號可以取到的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即，故等號不成立，故A不符合；對于B，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，故等號不成立，故B不符合；對于C，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故C符合；對于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，故等號不成立，故D不符合.故選：C.3．（23-24高一上·福建泉州·階段練習(xí)）下列各式能用基本不等式直接求得最大（?。┲档氖牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】對于選項(xiàng)A，不滿足的要求，所以A不能直接用基本不等式求最大（小）值，故A錯誤；對于選項(xiàng)B，∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以B能直接用基本不等式求最小值，故B正確；對于選項(xiàng)C，∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以C能直接用基本不等式求最小值，故C正確；對于選項(xiàng)D，當(dāng)或時不滿足和是正數(shù)的要求，所以D不能直接用基本不等式求最大（小）值，故D錯誤；故選：BC.知識點(diǎn)二常數(shù)替換型【【解題思路】常數(shù)代換法，常數(shù)代換法解題的關(guān)鍵是通過代數(shù)式的變形，構(gòu)造和式或積式為定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．應(yīng)用此種方法求解最值時，應(yīng)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘求積或相除求商．【例2-1】（23-24重慶·期末）已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等.故的最小值為.故選：B.【例2-2】（23-24高二下·云南昆明·期中）已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，最小值為.故選：B.【例2-3】（23-24高一·重慶·期末）已知均為實(shí)數(shù)且，則的最小值為.【答案】1【解析】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即等號成立，所以的最小值為1.故答案為：1.【例2-4】（23-24高一·浙江麗水·期末）已知，，則的最小值為.【答案】【解析】令，則，且，所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立.故答案為：.【變式】1．（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知，，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立.故選：B.2．（23-24高一下·陜西榆林·階段練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】由正數(shù)，滿足，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以的最小值為．故選：B3．（2024·江蘇揚(yáng)州）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C．6 D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號.故選：D4．（23-24高一·黑龍江雙鴨山·階段練習(xí)）已知，且，則的最小值是【答案】【解析】由可得，，因,則，當(dāng)且僅當(dāng)時等式成立，即時，的最小值是.故答案為：.5．（2024北京）若正實(shí)數(shù)滿足，則最小值為【答案】【解析】由于都為正數(shù)，且．由，當(dāng)且僅當(dāng)，時，即時，等號成立.所以有最小值．故答案為：．6．（23-24高一·浙江紹興·期中）已知，，且，則的最小值為.【答案】【解析】因?yàn)椋援?dāng)且僅當(dāng)，即取等號，所以的最小值為.故答案為：.7．（23-24高一下·山東聊城·階段練習(xí)）若，且，則的最小值為.【答案】/0.8【解析】，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號．故答案為：．8．（23-24高一·遼寧·階段練習(xí)）已知，，則的最小值為.【答案】12【解析】令，則，且，所以．又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立．故答案為：12.知識點(diǎn)三配湊型【【解題思路】拼湊法，拼湊法求解最值，其實(shí)質(zhì)就是先通過代數(shù)式變形拼湊出和或積為常數(shù)的兩項(xiàng)，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值時，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意驗(yàn)證等號成立的條件．【例3-1】（22-23高一上·云南楚雄·階段練習(xí)）函數(shù)的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】A【解析】因?yàn)樗裕?當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立故最小值為，故選：A【例3-2】（22-23高一上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，所以，即y的最大值是.故選：D.【例3-3】（22-23高一上·全國·階段練習(xí)）若，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故選：B.【變式】1．（2023湖南）函數(shù)的最大值為.【答案】/【解析】因?yàn)?，則，所以≤，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最大值為.故答案為：.2．（2023-2024廣東）函數(shù)的最小值為．【答案】【解析】由，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以原函數(shù)的最小值為.故答案為：3．（22-23高一上·湖南益陽·階段練習(xí)）已知，則函數(shù)的最小值是．【答案】【解析】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.所以函數(shù)的最小值是故答案為:.4．（23-24高一上·上海閔行·期中）已知，的最小值為.【答案】【解析】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，此時取得最小值．故答案為：5．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為．【答案】【解析】因?yàn)?，令，則，又因?yàn)?，可得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時，即，即時，等號成立，所以，即的最小值為.故答案為：.知識點(diǎn)四求參數(shù)的取值范圍【【解題思路】分離參數(shù)法：則常將參數(shù)分離后,利用最值轉(zhuǎn)化法求解分離參數(shù)法分離參數(shù)法【例4-1】（23-24高一上·安徽六安·期中）對滿足的任意正實(shí)數(shù)、，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不等式恒成立，，且當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即解得故實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：C【例4-2】（23-24高一下·湖南株洲·開學(xué)考試）（多選）若對于任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，由任意，恒成立，

所以，符合條件有，，，故A、C、D對；，故B錯；故選：ACD【變式】1．（23-24高一上·廣東揭陽·期中）已知，，且，若不等式恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，故，，，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故，最小值是16，由不等式恒成立可得.a的取值范圍是，故選：B.2．（23-24高一上·上?！て谥校θ我鉂M足的正實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】不等式恒成立，即，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即，時等號成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍.故答案為：.3．（23-24高一上·四川宜賓·階段練習(xí)）（多選）已知，，且，若對任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的可能取值為（

）A． B． C．3 D．1【答案】ABC【解析】由，，則，即恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，即，即，解得或.故選：ABC.知識點(diǎn)五基本不等式解決實(shí)際問題【【解題思路】利用基本不等式解決實(shí)際問題的解題思路解實(shí)際問題時，首先審清題意，然后將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)知識(函數(shù)及不等式性質(zhì)等)解決問題．用基本不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：(1)先理解題意，設(shè)變量．設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)．(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題．(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值．(4)正確寫出答案．【例5】（23-24高一上·廣東廣州·期末）某食品企業(yè)為了提高其生產(chǎn)的一款食品的收益，擬在下一年度開展促銷活動，已知該款食品年銷量噸與年促銷費(fèi)用萬元之間滿足函數(shù)關(guān)系式（為常數(shù)），如果不開展促銷活動，年銷量是1噸.已知每一年生產(chǎn)設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬元，每生產(chǎn)1噸食品需再投入32萬元的生產(chǎn)費(fèi)用，通過市場分析，若將每噸食品售價(jià)定為：“每噸食品平均生產(chǎn)成本的1.5倍”與“每噸食品平均促銷費(fèi)的一半”之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的該款食品正好能銷售完.(1)求值；(2)將下一年的利潤（萬元）表示為促銷費(fèi)（萬元）的函數(shù)；(3)該食品企業(yè)下一年的促銷費(fèi)投入多少萬元時，該款食品的利潤最大？（注：利潤銷售收入生產(chǎn)成本促銷費(fèi)，生產(chǎn)成本固定費(fèi)用生產(chǎn)費(fèi)用）【答案】(1)(2)(3)該食品企業(yè)下一年的促銷費(fèi)投入6萬元時，該款食品的利潤最大為萬元.【解析】（1）由題意可知，當(dāng)時，，所以，解得；（2）由于，故，由題意知，當(dāng)年生產(chǎn)噸時，年生產(chǎn)成本為：，當(dāng)銷售噸時，年銷售收入為：，由題意，，即.（3）由（2）知：，即，當(dāng)且僅當(dāng)，又，即時，等號成立.此時，.該食品企業(yè)下一年的促銷費(fèi)投入6萬元時，該款食品的利潤最大為萬元.【變式】1．（23-24高一上·四川成都·期末）如圖所示，一條筆直的河流（忽略河的寬度）兩側(cè)各有一個社區(qū)（忽略社區(qū)的大小），社區(qū)距離上最近的點(diǎn)的距離是社區(qū)距離上最近的點(diǎn)的距離是，且.點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，設(shè).現(xiàn)規(guī)劃了如下三項(xiàng)工程：工程1：在點(diǎn)處修建一座造價(jià)0.1億元的人行觀光天橋；工程2：將直角三角形地塊全部修建為面積至少的文化主題公園，且每平方千米造價(jià)為億元；工程3：將直角三角形地塊全部修建為面積至少的濕地公園，且每平方千米造價(jià)為1億元.記這三項(xiàng)工程的總造價(jià)為億元.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)問點(diǎn)在何處時，最小，并求出該最小值.【答案】(1)(2)當(dāng)點(diǎn)滿足時，最小，最小值為億元.【解析】（1）因?yàn)橹苯侨切蔚貕K全部修建為面積至少的濕地公園，所以，解得：直角三角形地塊全部修建為面積至少的文化主題公園，所以，解得：,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）依題意可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等.所以當(dāng)點(diǎn)滿足時，最小，最小值為億元.2．（23-24高一上·福建·期中）函數(shù)的圖象經(jīng)過第一象限的點(diǎn)，過點(diǎn)分別作軸和軸的垂線，垂足分別為．(1)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值．【答案】(1)(2)【解析】（1）由函數(shù)的圖象經(jīng)過第一象限的點(diǎn)，則，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以的最小值為，因?yàn)楹愠闪?，即恒成立，即恒成立，由，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍.（2）解：由題意，過點(diǎn)分別作軸和軸的垂線，垂足分別為，可得，則四邊形為矩形，所以面積為，因?yàn)?，且，可得，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，解得，所以四邊形面積的最大值為.重難點(diǎn)一利用基本不等式比較大小【【解題思路】運(yùn)用基本不等式比較大小(1)要靈活運(yùn)用基本不等式，特別注意其變形．(2)應(yīng)注意成立的條件，即a＋b≥2eq\r(ab)成立的條件是a>0，b>0，等號成立的條件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，等號成立的條件是a＝b.【例6-1】（22-23高一上·山東青島·期中）設(shè)正實(shí)數(shù)a、b滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】A：由，則，僅當(dāng)時等號成立，故，錯誤；B：由，僅當(dāng)時等號成立，故，正確；C：由，僅當(dāng)時等號成立，故，錯誤；D：由，僅當(dāng)時等號成立，故，錯誤.故選：B【例6-2】（23-24高一上·江蘇無錫·階段練習(xí)）（多選）已知，則下列不等式可能成立，也可能不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，，故，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，A可能成立，也可能不成立，B選項(xiàng)，，因?yàn)?，所以，?dāng)時，，當(dāng)時，，故B可能成立，也可能不成立；C選項(xiàng)，因?yàn)椋裕?，所以，而，故，即，C一定正確；D選項(xiàng)，若，由基本不等式得，兩個等號成立的條件為，但，不妨設(shè)，此時，當(dāng)時，顯然，故可能成立，也可能不成立，D正確.故選：ABD【變式】1．（23-24高一上·湖北武漢·期末）（多選）若，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】A：由題設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，對；B：由題設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，對；C：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，對；D：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，錯.故選：ABC2．（22-23高一上·湖南衡陽·期中）（多選）若，，，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】因?yàn)?，，，對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，故A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，取，，得，故D錯誤.故選：ABC3．（22-23高一上·河南南陽·階段練習(xí)）（多選）已知,則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】解:由題知,當(dāng)時,,故選項(xiàng)A,D錯誤;根據(jù)算術(shù)平均數(shù)大于等于調(diào)和平均數(shù),所以,即,由,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,因?yàn)?所以,此時,故,故選項(xiàng)B正確.因?yàn)?所以,即,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,所以,故選項(xiàng)C正確.故選:BC4．（22-23高一上·廣東茂名·階段練習(xí)）若，且，則在四個數(shù)中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由于，則，又，所以，又，即.故選：ABD重難點(diǎn)二利用基本不等式證明不等式【【解題思路】利用基本不等式證明不等式的解題思路(1)從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)①多次使用基本不等式時，要注意等號能否成立；②累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時注意使用；③對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用．【例7-1】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，證明：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1），因?yàn)?，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以；（2），由（1）有，有，，有，，有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以．【變式】1．（22-23高一上·江西南昌·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足.(1)求的最小值；(2)證明：，【答案】(1)9(2)證明見解析【解析】（1）因?yàn)?，所以，由，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，即的最小值是9；（2）由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故.2．（23-24高一上·甘肅·期末）已知.(1)求證：；(2)若，求的最小值.【答案】(1)證明見解析；(2)8.【解析】（1），則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以.（2）由，且，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)時，取得最小值8.3．（23-24高一上·遼寧大連·階段練習(xí)）對于題目：已知，，且，求最小值．甲同學(xué)的解法：因?yàn)?，，所以，，從而，所以的最小值為．乙同學(xué)的解法：因?yàn)?，，所以．所以的最小值為．丙同學(xué)的解法：因?yàn)?，，所以?1)請對三位同學(xué)的解法正確性作出評價(jià)（需評價(jià)同學(xué)錯誤原因）；(2)為鞏固學(xué)習(xí)效果，老師布置了另外兩道題，請你解決：（i）已知，，且，求的最小值；（ii）設(shè)，，都是正數(shù)，求證：．【答案】(1)甲錯誤，乙、丙正確(2)（i）；（ii）證明見解析【解析】（1）甲錯誤，乙、丙正確，同學(xué)甲的解法中，取等號時，，此時，不符合題目要求，故甲錯誤.乙恒等變換后，直接用基本不等式，滿足基本不等式的使用條件“一正”“二定”“三相等”解法正確.丙用了兩次基本不等式，兩次等能同時取得，解法正確；（2）（i），，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.（ii）因?yàn)椋?，為正?shù)，由基本不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，以上三式相加有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.4．（23-24高一上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知，，且．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）由，所以．所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，由此得證．（2）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，由此得證．單選題1．（2023·重慶）已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，則ab的最大值是（）A． B．2 C．4【答案】D【解析】，等號成立條件是，即時取等號，即當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以ab的最大值是4.故選：D.2．（2024·山西臨汾·三模）若，則的最小值是（

）A．1 B．4 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，取得最小值，故選：D．3．（22-23高一上·北京豐臺·期中）下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，的最小值是C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，的最小值為1【答案】C【解析】對于A，當(dāng)時，，故A錯誤，對于B，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故B錯誤，對于C，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故C正確，對于D，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故D錯誤，故選：C4．（2023春·福建福州）若正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以.所以,當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，當(dāng)時，取得的最小值為.故選：A.5．（23-24高一上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】易知，所以可得；當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；依題意需滿足，所以.故選：D6．（2024四川·樹德中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則函數(shù)的最小值為（

）A．4 B．6 C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?所以.當(dāng)且僅當(dāng)“”即時取“=”.故選：B.7．（2024·遼寧）已知正實(shí)數(shù)x，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，所以，即y的最大值是.故選：D.8．（2024·安徽）已知，滿足，則的最小值是（）A． B． C．2 D．2【答案】D【解析】由，得，而，則有，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以的最小值為2.故選：D多選題9．（23-24高一上·四川眉山·階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．若正實(shí)數(shù)x，y滿足，則B．當(dāng)時，不等式的最小值為3C．不等式恒成立D．存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立【答案】AD【解析】對于A，若正實(shí)數(shù)x，y滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，故A正確；對于B，時，，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，故該題等號不能成立，所以不等式的最小值不為3，故B錯誤；對于C，不等式恒成立的條件是，，比如取，時，不等式不成立，故C錯誤；對于D，當(dāng)為負(fù)數(shù)時，不等式成立，比如取，不等式成立，故D正確.故選：AD.10．（22-23高一上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）（多選題）下列各式中，最小值為2的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】A項(xiàng)，首先要使式子有意義，，當(dāng)時，，故A錯誤；B項(xiàng)，任意，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立.但方程無解，故等號取不到，即，故B錯誤；C項(xiàng)，首先要使式子有意義，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為；D項(xiàng)，首先要使式子有意義，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為.故選：CD.11．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）已知，，且，則下列說法正確的是（

）A．有最小值 B．有最小值C．有最小值 D．有最小值【答案】AB【解析】對于A，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故B正確；對于C，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時取等號，故C錯誤；對于D，有，而由于和不相等，從而它們不能同時為零，所以，故D錯誤.故選：AB.填空題12．（浙江省舟山市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題）已知實(shí)數(shù)，，且，則的最小值為.【答案】/【解析】因?yàn)?，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，取等號，所以的最小值為.故答案為：13．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）已知且，則的最小值為.【答案】【解析】因?yàn)榍?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以的最小值為.故答案為：14．（2023·江西南昌·高一期末）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為___________．【答案】【解析】因?yàn)?，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為.故答案為：.解答題15．（23-24高一上·江西宜春·階段練習(xí)）利用基本不等式求下列式子的最值：(1)若，求的最小值，并求此時x的值；(2)已知x，y＞0，且x+4y=1，求xy的最大值；(3)若，求的最大值．【答案】(1)4，；(2)(3)．【解析】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時取等，故最小值為4，此時；（2），當(dāng)且僅當(dāng)時取等，故最大值為.（3），當(dāng)且僅當(dāng)時取等，故所求最大值為.16．（23-24高一上·山東菏澤·階段練習(xí)）（1）已知，則取得最大值時的值為？（2）函數(shù)的最小值為？（3）已知x，y是正實(shí)數(shù)，且，求的最小值．【答案】（1）；（2）

；（3）．【解析】（1），當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．故取得最大