廣東省廣州市海珠區(qū)中山大學(xué)附中2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年廣東省廣州市海珠區(qū)中山大學(xué)附中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.2022年5月18日是第46個(gè)國際博物館日，今年國際博物館日的宣傳主題是“博物館的力量”，在以下幾幅古代紋樣圖案中，利用中心對(duì)稱進(jìn)行整體構(gòu)圖的是(

)A. B. C. D.2.拋物線的開口方向是(

)A.向上 B.向右 C.向下 D.向左3.方程的根是(

)A. B. C. D.或4.如圖，在中，，，則的度數(shù)為(

)A.

B.

C.

D.5.如圖，弦CD垂直于的直徑AB，垂足為H，且，，則AH的長是(

)A.3

B.5

C.8

D.18

6.2023年某電影上映的第一天票房為2億元，第二天、第三天單日票房持續(xù)增長，三天累計(jì)票房為億元，若第二天、第三天單日票房按相同的增長率增長，設(shè)平均每天票房的增長率為x，則根據(jù)題意，下列方程正確的是(

)A. B.

C. D.7.若拋物線的解析式是：，點(diǎn)，，都在該拋物線上，則，，的大小關(guān)系是(

)A. B. C. D.8.如圖，已知?中，于點(diǎn)E，以點(diǎn)B為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于，把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接若，，則的大小為(

)A. B. C. D.9.二次函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)和，則值等于(

)A.2020 B.2021 C.2022 D.202310.如圖，已知中，，，，，，點(diǎn)D為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段CE，連接ED、BE，點(diǎn)F在直線AF上且，則BE最小值為(

)A.1

B.2

C.3

D.二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為______.12.點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為______.13.已知方程的一根是，方程的另一根為______.14.如圖，四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形，若，則______.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，依此方式，繞點(diǎn)O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2023次得到正方形，如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為______.

16.如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)在y軸上，則下列結(jié)論：

①拋物線的解析式是；

②若函數(shù)值，則x的取值范圍是或；

③若點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；

④連接BC，D為線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)P，則DP有最大值為

其中正確的結(jié)論有______填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)

三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.本小題4分

解方程：18.本小題4分

在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，

將向左平移4個(gè)單位長度得到，點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、、，請(qǐng)畫出；

以原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、、，請(qǐng)畫出19.本小題6分

二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)

求二次函數(shù)的對(duì)稱軸；

當(dāng)A為時(shí)，求此時(shí)二次函數(shù)的表達(dá)式，并求出頂點(diǎn)坐標(biāo).20.本小題6分

已知關(guān)于x的一元二次方程

求證：無論p取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

若方程的兩實(shí)數(shù)根為，，且滿足，試求出p的值.21.本小題8分

如圖，中，，，是由繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的，連接BE、CF相交于點(diǎn)

求證：；

求的度數(shù)．22.本小題10分

如圖，以的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交BC于F，若

連接AO，求證：；

若，，求的半徑.23.本小題10分

某果農(nóng)因地制宜種植一種有機(jī)生態(tài)水果，且該有機(jī)生態(tài)水果產(chǎn)量逐年上升，去年這種水果的畝產(chǎn)量是1000千克.

預(yù)計(jì)明年這種水果的畝產(chǎn)量為1440千克，求這種水果畝產(chǎn)量從去年到明年平均每年的增長率為多少；

某水果店從果農(nóng)處直接以每千克30元的價(jià)格批發(fā)，專營這種水果.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每千克的銷售價(jià)為40元，則每天可售出200千克，若每千克的銷售價(jià)每降低1元，則每天可多售出50千克.設(shè)水果店一天的利潤為w元，當(dāng)每千克的銷售價(jià)為多少元時(shí)，該水果店一天的利潤最大，最大利潤是多少？24.本小題12分

【課本再現(xiàn)】把兩個(gè)全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如圖1的圖案，則______；

【遷移應(yīng)用】如圖2，在正方形ABCD中，E是CD邊上一點(diǎn)不與點(diǎn)C，D重合，連接BE，將BE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至FE，作射線FD交BC的延長線于點(diǎn)G，求證：；

【拓展延伸】在菱形ABCD中，，E是CD邊上一點(diǎn)不與點(diǎn)C，D重合，連接BE，將BE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至FE，作射線FD交BC的延長線于點(diǎn)

①線段CG與BC的數(shù)量關(guān)系是______；

②若，E是CD的三等分點(diǎn)，則的面積為______.

25.本小題12分

已知拋物線，直線l：

直接寫出拋物線C的頂點(diǎn)，請(qǐng)問直線l是否經(jīng)過該點(diǎn)？

若，，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值為，求t的值；

點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，Q為拋物線與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，若線段不含端點(diǎn)P，上至少存在一個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，求k的取值范圍.

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：選項(xiàng)A、B、C都不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重合，所以不是中心對(duì)稱圖形，

選項(xiàng)D能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重合，所以是中心對(duì)稱圖形，

故選：

根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念判斷．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形．

本題考查的是中心對(duì)稱圖形的概念，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．2.【答案】C

【解析】解：由題意，拋物線的，

拋物線開口向下．

故選：

依據(jù)題意，根據(jù)拋物線解析式中即可判斷得解．

本題主要考查了拋物線的圖象與性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并理解是關(guān)鍵．3.【答案】D

【解析】解：，

，

則，

或，

解得或，

故選：

利用因式分解法求解可得．

本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．4.【答案】B

【解析】解：，，

，

故選：

根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．

本題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，三角形內(nèi)角和定理，掌握?qǐng)A周角定理的推論是解題的關(guān)鍵．5.【答案】D

【解析】解：連接OC，

是的直徑，，，，

，，

在中，，

，

故選：

連接OC，根據(jù)垂徑定理求出CH，根據(jù)勾股定理即可得到答案．

本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解題的關(guān)鍵．6.【答案】D

【解析】解：某電影上映的第一天票房為2億元，且平均每天票房的增長率為x，

該電影上映的第二天票房為億元，第三天票房為億元．

根據(jù)題意得：

故選：

根據(jù)第一天的票房及平均每天票房的增長率，可得出該電影上映的第二天票房為億元，第三天票房為億元，結(jié)合三天累計(jì)票房為億元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．

本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．7.【答案】C

【解析】解：，

拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線，

，

，

故選：

由拋物線解析式可得拋物線開口方向及對(duì)稱軸，根據(jù)A，B，C三點(diǎn)與對(duì)稱軸的距離大小關(guān)系求解．

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是能綜合運(yùn)用以上知識(shí)點(diǎn)求出和

根據(jù)平行四邊形對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)，得，，再由，可運(yùn)用三角形外角求出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，可得答案．

【解答】

解：四邊形ABCD是平行四邊形，，

，，

，

，

，

于點(diǎn)E，

，

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，

，

故選9.【答案】D

【解析】解：點(diǎn)和在二次函數(shù)的圖象上，

、b是方程的兩個(gè)根，

，

將代入，

，

，

，

故選：

由題意可得a、b是方程的兩個(gè)根，則有，又由，將所求式子變形為，然后再求值即可．

本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與方程之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10.【答案】D

【解析】解：，，

，

即，

由旋轉(zhuǎn)可知：，，

，

在和中，

，

≌，

，

則當(dāng)時(shí)，CF最小，即BE最小，

，，，，

點(diǎn)C到AD的距離為，

的最小值為，

故選：

首先通過證明≌得到，再根據(jù)垂線段最短將最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)C到AD的距離，最后利用面積法計(jì)算即可．

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，面積法，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，垂線段最短，知識(shí)點(diǎn)較多，解題的關(guān)鍵是能夠通過全等三角形的性質(zhì)將所求線段轉(zhuǎn)化為其他線段．11.【答案】

【解析】解：

，

頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

故答案為：

由拋物線解析式可求得答案．

本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在中，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為12.【答案】

【解析】解：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，

故答案為：

根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反可得答案．

此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律．13.【答案】1

【解析】解：設(shè)方程的另一根為n，

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：，

解得，

即方程的另一根為1，

故答案為：

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可得．

本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．14.【答案】

【解析】解：四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形，

，

，

，

故答案為：

由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)推出，又，求出，由圓周角定理得到

本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，關(guān)鍵是由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)推出，由圓周角定理得到15.【答案】

【解析】解：點(diǎn)A的坐標(biāo)為，

，

四邊形OABC是正方形，

，

連接OB，

四邊形OABC是正方形，

，，

由勾股定理得：，

由旋轉(zhuǎn)得：，

將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，相當(dāng)于將線段OB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，依次得到…，

，，，，，，，…，

發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，所以…7，

點(diǎn)的坐標(biāo)為

故答案為：

根據(jù)圖形可知：點(diǎn)B在以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，由旋轉(zhuǎn)可知：將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，相當(dāng)于將線段OB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)規(guī)律發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，可得結(jié)論．

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，規(guī)律性的探索，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠掌握從特殊到一般探究規(guī)律的方法．16.【答案】①②④

【解析】解：拋物線的頂點(diǎn)在y軸上，

可設(shè)拋物線的解析式為，

由題圖可知，拋物線過點(diǎn)，

，

解得：，

拋物線的解析式為，故①正確；

令中的，得，

解得：，，

點(diǎn)B的坐標(biāo)為，

由函數(shù)圖象可知，若函數(shù)值，則x的取值范圍是或，故②正確；

設(shè)點(diǎn)，

由，，得，

，

，

解得：或，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或，故③錯(cuò)誤；

如圖，

設(shè)直線BC的解析式為，

則，

解得：，

直線BC的解析式為，

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則，

，

，

當(dāng)時(shí)，DP有最大值1，故④正確．

綜上，正確的結(jié)論有①②④．

故答案為：①②④．

根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求得，以此可判斷①；令，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為，觀察函數(shù)圖象可判斷②；設(shè)點(diǎn)，則，解出t值即可判斷③；利用待定系數(shù)求得直線BC的解析式為，進(jìn)而設(shè)，則，于是，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出DP的最大值，以此判斷④．

本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題是解題關(guān)鍵．17.【答案】解：，

移項(xiàng)得：，

整理得：，

或，

解得：或

【解析】移項(xiàng)后提取公因式后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．

本題考查了因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是先移項(xiàng)，然后提取公因式，避免兩邊同除以，這樣會(huì)漏根．18.【答案】解：如圖1，為所求；

如圖2，為所求．

【解析】利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，，再順次連接即可；

利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，，再順次連接即可．

本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，平移變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換，平移變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．19.【答案】解：由題意得：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：

直線

將點(diǎn)代入二次函數(shù)得：，

解得：，

二次函數(shù)的表達(dá)式為：

上式變形得：，

頂點(diǎn)坐標(biāo)為：

【解析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；

用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，然后求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．

本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．20.【答案】證明：方程為：，

，

方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

解：由得，

，，

，

，

，

解得：，

實(shí)數(shù)p的值為

【解析】將原式整理為一元二次方程的一般式，然后根據(jù)根的判別式進(jìn)行解答即可；

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求值即可．

本題考查了一元二次方程根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．21.【答案】證明：是由繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的，

，，，

，即，

，

，

可由繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，

；

解：可由繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，

≌，

，

設(shè)AC與BE相交于O，

，

【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出結(jié)論；

由全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得出答案．

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．22.【答案】證明：連接AO，

，

，

，

，

為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，

，

，

，

；

解：在中，，

，

不合題意舍去或，

的半徑為

【解析】連接AO，由圓的性質(zhì)可得，根據(jù)，可得，由垂徑定理可得，然后借助角關(guān)系轉(zhuǎn)化可得結(jié)論；

在由勾股定理可求解．

本題考查了垂徑定理，圓的相關(guān)性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些性質(zhì)．23.【答案】解：設(shè)這種水果去年到明年每畝產(chǎn)量平均每年的增長率為x，

由題意，得：，

解得：，舍去

答：平均每年的增長率為；

設(shè)每千克的平均銷售價(jià)為m元，由題意得：

，

，

當(dāng)時(shí)，w取得最大值為

答：當(dāng)每千克平均銷售價(jià)為37元時(shí)，一天的利潤最大，最大利潤是2450元．

【解析】設(shè)這種水果去年到明年每畝產(chǎn)量平均每年的增長率為x，由題意得關(guān)于x的一元二次方程，解得x的值并根據(jù)問題的實(shí)際意義作出取舍即可；

設(shè)每千克的平均銷售價(jià)為m元，由題意得關(guān)于m的二次函數(shù)，將其配方，寫成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．

本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，根據(jù)題意正確得出函數(shù)關(guān)系式并明確二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24.【答案】或

【解析】【課本再現(xiàn)】解：四邊形ABCD和四邊形CEFG是全等的矩形，

，，，

≌，

，，

，

，

，

，

故答案為：

【遷移應(yīng)用】證明：過點(diǎn)F作，交CD的延長線于H，

四邊形ABCD是正方形，

，，

，

由旋轉(zhuǎn)得，，

，

，

≌，

，，

，即，

，

，

，

是等腰直角三角形，

；

【拓展延伸】解：①過點(diǎn)F作，與ED的延長線交于點(diǎn)H，

四邊形ABCD是菱形，

，，

由旋轉(zhuǎn)得，，

，

，

≌，

，，，

，

，

，

，

，

，

，

是直角三角形，

，

，

故答案為：；

②當(dāng)時(shí)，，

由①知，，

，

和底邊CE、CD邊上的高相等，

；

當(dāng)時(shí)，，