宜賓市普通高中2019級第二次診斷測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案

宜賓市普通高中2019級第二次診斷測試?yán)砜茢?shù)學(xué)（考試時間：120分鐘全卷滿分：150分）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將答題卡交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．集合，，則A． B． C． D．2．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是A． B． C． D．3．為落實黨中央的“三農(nóng)”政策，某市組織該市所有鄉(xiāng)鎮(zhèn)干部進(jìn)行了一期“三農(nóng)”政策專題培訓(xùn)，并在培訓(xùn)結(jié)束時進(jìn)行了結(jié)業(yè)考試.右圖是該次考試成績隨機抽樣樣本的頻率分布直方圖．則下列關(guān)于這次考試成績的估計錯誤的是A．眾數(shù)為82.5B．中位數(shù)為85C．平均數(shù)為86D．有一半以上干部的成績在80～90分之間4．已知雙曲線的兩個頂點為，雙曲線上任意一點（與不重合）都滿足，的斜率之積為，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．5．物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓（IssacNewton）提出了物體在常溫下溫度變化的冷卻模型：設(shè)物體的初始溫度是(單位：℃)，環(huán)境溫度是(單位：℃)，且經(jīng)過一定時間（單位：min）后物體的溫度(單位：℃)滿足（為正常數(shù)）.現(xiàn)有一杯100℃熱水，環(huán)境溫度℃，冷卻到40℃需要，那么這杯熱水要從℃繼續(xù)冷卻到℃，還需要的時間為A． B． C． D．6．在中，，，的對邊分別是，，，已知，且，，則A． B． C． D． 7．已知點，，以為直徑的圓與直線交于兩點，則的面積為A． B． C． D．8．已知，將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)，則使得是偶函數(shù)的的最小值是A． B． C． D．9．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A． B．C． D．10．已知函數(shù)，設(shè)，，，則的大小關(guān)系為A． B． C． D．11．已知點，拋物線的焦點是，過的直線交拋物線于,兩點，點是線段的中點，若，則直線的斜率為A． B． C． D．12．三棱錐滿足，，，則三棱錐體積的最大值為A． B． C． D．二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分。13．已知，則曲線在點處的切線方程為.14．在平行四邊形中，已知，，，，則.15．2022年冬奧會在北京、延慶、張家口三個區(qū)域布局賽場，北京承辦所有冰上項目，延慶和張家口承辦所有雪上項目.現(xiàn)在組委會招聘了甲在內(nèi)的4名志愿者，準(zhǔn)備分配到上述3個賽場參與賽后維護(hù)服務(wù)工作，要求每個賽場至少分到一名志愿者，則志愿者甲正好分到北京賽場的概率為.16．在數(shù)列中，，，且滿足，則.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17－21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分..（12分）鐵路作為交通運輸?shù)闹匾M成部分，是國民經(jīng)濟(jì)的大動脈，在我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展中發(fā)揮著重要的作用．近年來，國家持續(xù)加大對鐵路行業(yè)尤其是對高速鐵路的投資力度，鐵路行業(yè)得到了快速發(fā)展且未來仍具有較大的增長潛力．下圖是我國2017至2021年鐵路營業(yè)里程折線圖．（1）為了使運算簡單，用表示年份數(shù)與2016的差，用表示各年的營業(yè)里程數(shù)，由折線圖易知與具有較強的線性關(guān)系，試用最小二乘法求關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測2022年營業(yè)里程為多少萬公里；（2）從2017至2021年的五個營業(yè)里程數(shù)中隨機抽取兩個數(shù)，求所取得的兩個數(shù)中，至少有一個超過14的概率．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:，．.（12分）在=1\*GB3①，=2\*GB3②，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.問題：已知數(shù)列的前項和為，滿足.記數(shù)列的前項和為.（1）求的通項公式；（2）求證：.注：如果兩個條件都選擇作答，則按照第一個解答評分.19.（12分）如圖1，在梯形中，，，垂足為，，．將沿翻折到，如圖2所示．為線段的中點，且．（1）求證：；（2）設(shè)為線段上任意一點，當(dāng)平面與平面所成銳二面角最小時，求的長．20.（12分）已知橢圓的左右焦點分別為，，為的上頂點，且．（1）求的方程； （2）過坐標(biāo)原點作兩直線，分別交于，和，兩點，直線，的斜率分別為，．是否存在常數(shù)，使時，四邊形的面積為定值？如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由．21.（12分）已知函數(shù)，函數(shù)．（1）若，求的最大值；（2）若恒成立，求的取值范圍．選考題22．（10分）[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．直線的極坐標(biāo)方程為，動點在直線上，將射線按逆時針旋轉(zhuǎn)得到射線，射線上一點滿足，設(shè)點的軌跡為曲線．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）直線的極坐標(biāo)方程為，與曲線相交于點（與不重合），若的頂點也在曲線上，求面積的最大值，并求這時點的直角坐標(biāo)．23．（10分）[選修4-5：不等式選講]已知，．（1）求的最大值；（2）求證：．

宜賓市高2019級二診考試數(shù)學(xué)（理工類）參考答案說明：一、本解答給出了一種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可比照評分意見制訂相應(yīng)的評分細(xì)則．二、對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半，如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分．三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．一、選擇題題號123456789101112答案ABCBCDCADADA二、填空題13．14．15．16．三、解答題12．解：設(shè)，，過作，由題意，當(dāng)三棱錐的體積最大時，必定有面面，即就是三棱錐的最大高，在中，，又，，又，令，由，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，即時，17．解（1）由題意：的取值為：1,2,3,4,5，，，…………………2分………5分，………………6分，……………………7分2022年的營業(yè)里程數(shù)為（萬公里）…………8分（2）在12.7,13.1,14.0,14.9,15.3五個數(shù)中，有2個超過14萬公里，有3個沒有超過14萬公里，設(shè)取得的兩個數(shù)中，至少有一個超過14萬公里為事件A，則由題意知：，即所求概率為．……………12分18．選擇=1\*GB3①解：（1）由有當(dāng)時，，解得…………………1分當(dāng)時，，………………2分所以，即，兩邊各項同除以得，…………………4分……………………6分（2）由（1）知，已知……………………8分…………………9分…………………10分另一方面，是關(guān)于的增函數(shù)，綜上有：．……………12分選擇=2\*GB3②解：（1）由有…………1分所以或，所以舍去………………………3分當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，符合上式，…………6分（2）由（1）知……………………8分………………9分………………10分另一方面，是關(guān)于的增函數(shù)，綜上有：．……………12分19.解：（1）連接，由題意，，，是中點，．已知，，面，則……2分在中，，，，由余弦定理得：，．，則面，于是． …………4分，與相交，面，面，．……………………… 6分（2）連，，設(shè)，由（1）知，，兩兩垂直，故分別以，，為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由題意，則，，，取面的法向量，設(shè)面的法向量，則，令，則，，即……………………8分設(shè)面與面的二面角為，則：，…11分當(dāng)時，，即長為時，所求銳二面角最?。?2分20．解：（1）解：，，，……１分，………………3分：………………………４分（2）設(shè):，:，（），（）由聯(lián)立得：，得，同理6分又……………………7分點到的距離……………………8分所以………9分………………11分當(dāng)即時，四邊形的面積為定值.……12分21．解：（1）當(dāng)時，，，………1分的定義域為，，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，………………3分．……………5分（2）法一：，在單調(diào)遞增，…………6分取，且則取，且則可見，，使得，即，當(dāng)時，，單調(diào)遞減當(dāng)時，，單調(diào)遞增……8分依據(jù)題意有：即令在單增，………………10分又發(fā)現(xiàn)，則有，有，即令，即單調(diào)遞增……………12分（2）法二：由題意，恒成立，即對任意恒成立，對任意恒成立，對任意恒成立，對任意恒成立，對任意恒成立，對任意恒成立，……7分令，顯然在上單調(diào)遞增，原題對任意恒成立，即對任意恒成立，………8分又由（1）知：，，……………10分又由的解析式知的取值范圍為：．…………12分22解：（1）設(shè)，，由已知得，，………3分則,曲線的極坐標(biāo)方程為……………5分（2）法一：的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為由得點的直角坐標(biāo)為……………６分由已知可設(shè)的直角坐標(biāo)為,則到的距離……………７分…………8分當(dāng)時面積有最大值為…９分這時點的直角坐標(biāo)為………………10分（2）法二：由已知得,７分……8分時，面積的最大值為.………………9分這時點的直角坐標(biāo)為………………10分23.解