2021年全國碩士研究生入學統一考試數學三真題

2021年全國碩士研究生入學統一考試數學三真題(總分：150.00，做題時間：180分鐘)一、選擇題(總題數：10，分數：50.00)1.當x→0時，時x7的（

）。

（分數：5.00）

A.低階無窮小

B.等價無窮小

C.高階無窮小

√

D.同階但非等價無窮小解析：因為當x→0時，，正確答案為C。2.函數，在x=0處（

）。

（分數：5.00）

A.連續(xù)且取極大值

B.連續(xù)且取極小值

C.可導且導數為0

D.可導且導數不為0

√解析：3.設函數f(x)=ax-blnx(a＞0)有兩個零點，則的取值范圍是（

）。

（分數：5.00）

A.(e,+∞)

√

B.(0,e)

C.

D.解析：4.設函數f（x,y）可微，且f（x+1，ex）=x（x+1）2，f（x,x2）=2x2lnx，則df（1,1）=（

）。

（分數：5.00）

A.dx+dy

B.dx-dy

C.dy

√

D.-dy解析：5.二次型f（x1，x2，x3）=（x1+x2）2+（x2+x3）2-（x3-x1）2的正慣性指數與負慣性指數依次為（

）。

（分數：5.00）

A.2,0

B.1,1

√

C.2,1

D.1,2解析：

令上式等于零，故特征值為-1，3，0，故該二次型的正慣性指數為1，負慣性指數為1，故應選B。6.設A=(a1，a2，a3，a4)為4階正交矩陣，若矩陣，

k表示任意常數，則線性方程組Bx=β的通解x=（

）。

（分數：5.00）

A.a2+a3+a4+ka1

B.a1+a3+a4+ka2

C.a1+a2+a4+ka3

D.a1+a2+a3+ka4

√解析：因為A=(a1，a2，a3，a4)為4階正交矩陣，所以向量組a1，a2，a3，a4是一組標準正交向量組，則r(B)=3，，

故線性方程組Bx=0的通解為ka4，而，故線性方程組Bx=β的通解為x=a1+a2+a3+ka4，其中k為任意常數，故應選D。7.已知矩陣，若下三角可逆矩陣P和上三角可逆矩陣Q，使PAQ為對角矩陣，則P，Q可以分別?。?/p>

）。

（分數：5.00）

A.

B.

C.

√

D.解析：8.設A，B為隨機事件，且0<P(B)<1，下列命題中不成立的是（

）。<p(b)<1，下列命題中不成立的是<p="">

（分數：5.00）

A.

B.

C.

D.

√解析：9.（

）

（分數：5.00）

A.

B.

√

C.

D.解析：10.設總體X的概率分布為，利用來自總體的樣本值1，3，2，2，1，3，1，2，可得θ的最大似然估計值為（

）。

（分數：5.00）

A.

√

B.

C.

D.解析：二、填空題(總題數：6，分數：30.00)11.若=________。

（分數：5.00）填空項1:__________________

（正確答案：）解析：12.________。

（分數：5.00）填空項1:__________________

（正確答案：6）解析：13.設平面區(qū)域D由曲線與x軸圍成，則D繞x軸旋轉所成旋轉體的體積為________。

（分數：5.00）填空項1:__________________

（正確答案：）解析：14.差分方程Δyt=t的通解為________。

（分數：5.00）填空項1:__________________

（正確答案：）解析：15.多項式中x3項的系數為________。

（分數：5.00）填空項1:__________________

（正確答案：-5）解析：，所以展開式中含x3項的有-x3，-4x3，即x3項的系數為-5。16.甲乙兩個盒子中各裝有2個紅球和2個白球，先從甲盒中任取一球，觀察顏色后放入乙盒中，再從乙盒中任取一球，令X,Y分別表示從甲盒和乙盒中取到的紅球個數，則X與Y的相關系數________。

（分數：5.00）填空項1:__________________

（正確答案：）解析：三、解答題(總題數：6，分數：70.00)17.已知存在，求a的值。

（分數：10.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(要想極限存在，則左右極限相等；

)解析：18.求函數的極值。

（分數：12.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：()解析：19.設有界區(qū)域D是x2+y2=1和直線y=x以及x軸在第一象限圍城的部分，計算二重積分。

（分數：12.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(

)解析：設n為正整數，y=yn(x)是微分方程xy'-(n-1)y=0滿足條件的解。（分數：12）(1).求yn(x)。（分數：6）__________________________________________________________________________________________

正確答案：()解析：(2).求級數的收斂域及和函數。（分數：6）__________________________________________________________________________________________

正確答案：()解析：20.設矩陣僅有兩個不同的特征值，若A相似于對角矩陣，求a，b的值，并求可逆矩陣P，使P-1AP為對角矩陣。

（分數：12.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(

當b=3時，由A相似對角化可知，二重根所對應特征值至少存在兩個線性無關的特征向量，則

)解析：在區(qū)間(0,2)上隨機取一點，將該區(qū)間分成兩段，較短的一段長度記為X，較長的一段長度記為Y，。（分數：12）(1).求X的概率密度。（分數：4）__________________________________________________________________________________________

正確答案：()解析：(2).求Z的概率密度。（分數：4）_____________________________________________________________